Dzielnik zera - Zero divisor

W abstrakcyjnej Algebra An elementem z pierścieniem R nazywa się w lewo dzielnik zera , jeżeli istnieje niezerowe x z B w taki sposób, ax = 0 , albo równoważnie, gdy mapy od R do R , który wysyła X do ax jest za pomocą wstrzyknięć . Podobnie element a pierścienia nazywany jest prawym dzielnikiem zerowym, jeśli istnieje niezerowe y w R takie, że ya = 0 . Jest to częściowy przypadek podzielności w pierścieniach. Element będący lewym lub prawym dzielnikiem zera nazywany jest po prostu dzielnikiem zerowym . Element  a, który jest zarówno lewym, jak i prawym dzielnikiem zerowym, nazywany jest dwustronnym dzielnikiem zerowym (niezerowy x taki, że ax = 0 może być różny od niezerowego y tak, że ya = 0 ). Jeśli pierścień jest przemienny , to lewy i prawy dzielnik zerowy są takie same.

Element pierścienia, który nie jest lewym dzielnikiem zera, nazywany jest lewostronnym lub lewostronnym kasowalnym . Podobnie, element pierścienia, który nie jest prawym dzielnikiem zerowym, jest nazywany prawostronnym lub prawostronnym anulowalnym . Element pierścienia, który można anulować z lewej i prawej strony, a zatem nie jest zerowym dzielnikiem, nazywany jest zwykłym lub anulowalnym lub niezerowym dzielnikiem . Niezerowy dzielnik zerowy nazywany jest niezerowym dzielnikiem zerowym lub nietrywialnym dzielnikiem zerowym . Niezerowy pierścień bez nietrywialnych zerowych dzielników nazywany jest domeną .

Przykłady

• W pierścieniu ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ klasa reszt jest zerowym dzielnikiem od . ${\ displaystyle {\ overline {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {2}} \ times {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}}}$
• Jedynym dzielnik zera w pierścieniu z liczb całkowitych jest . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0}$
• Nilpotent element pierścienia niezerową zawsze jest dwustronny dzielnik zera.
• Elementem idempotent pierścienia jest zawsze dwustronna dzielnik zera, ponieważ . ${\ displaystyle e \ neq 1}$${\ Displaystyle e (1-e) = 0 = (1-e) e}$
• Pierścień matryc ${\ displaystyle n \ razy n}$ na obszarze ma niezerowe dzielnik zera razie . Przykłady zerowych dzielników w pierścieniu macierzy (nad dowolnym niezerowym pierścieniem ) są pokazane tutaj: ${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle 2 \ razy 2}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 i 1 \\ 2 i 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 i 1 \\ - 1 i -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 i 1 \\ - 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 i 0 \\ 0 i 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 i 0 \\ 0 i 1 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ .

• Bezpośrednim produktem z dwóch lub więcej niezerowych pierścieni zawsze niezerowe dzielnik zera. Na przykład, z każdą niezerowe , to jest dzielnik zera. ${\ displaystyle R_ {1} \ razy R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ Displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)}$${\ displaystyle (1,0)}$
• Pozwolić być pole i być grupa . Załóżmy, że zawiera element skończonego porządku . Wtedy w pierścieniu grupowym jeden ma , bez żadnego współczynnika zero, więc jest niezerowy dzielnik zerowy w . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ displaystyle K [G]}$${\ Displaystyle (1-g) (1 + g + \ cdots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n} = 0}$${\ displaystyle 1-g}$${\ displaystyle K [G]}$

Jednostronny dzielnik zerowy

• Rozważmy pierścień (formalnych) macierzy z i . Wtedy i . Jeśli , to jest lewym dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy jest parzyste, ponieważ i jest prawym dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy jest parzyste z podobnych powodów. Jeśli którykolwiek z nich jest , to jest to dwustronny dzielnik zerowy. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle x, z \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa i xb + yc \\ 0 i zc \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa i ya + zb \\ 0 i zc \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle x \ neq 0 \ neq z}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \ end {pmatrix }}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x, z}$${\ displaystyle 0}$
• Oto kolejny przykład pierścienia z elementem, który jest zerowym dzielnikiem tylko z jednej strony. Niech będzie zbiorem wszystkich sekwencji liczb całkowitych . Weź za pierścień wszystkie mapy addytywne od do , z dodawaniem punktowym i kompozycją jako operacjami pierścienia. (Oznacza to, że nasz pierścień jest The pierścień endomorfizm addytywnej grupy ). Trzy przykłady elementów tego pierścienia są przesunięcie w prawo The lewej zmiany i mapę występ na pierwszy czynnik . Wszystkie trzy z tych map addytywnych nie są zerowe, a złożone i oba są równe zeru, więc jest to lewy dzielnik zerowy i prawy dzielnik zera w pierścieniu map addytywnych od do . Jednak nie jest prawym dzielnikiem zerowym i nie jest lewym dzielnikiem zerowym: złożona jest tożsamością. jest dwustronnym dzielnikiem zerowym, ponieważ , a nie jest w żadnym kierunku. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathrm {koniec} (S)}$${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle R (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (0, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ ${\ Displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...)}$${\ Displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {1}, 0,0, ...)}$${\ displaystyle LP}$${\ displaystyle PR}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle LR}$${\ displaystyle RL}$${\ displaystyle RLP = 0 = PRL}$${\ displaystyle LR = 1}$

Bez przykładów

• Pierścień liczb całkowitych modulo a liczba pierwsza nie ma zerowych dzielników innych niż 0. Ponieważ każdy element niezerowy jest jednostką , pierścień ten jest ciałem skończonym .
• Mówiąc bardziej ogólnie, pierścień dzielący nie ma zerowych dzielników z wyjątkiem 0.
• Niezerowe przemienne pierścień , którego tylko dzielnik zera jest 0 nazywa się dziedzina całkowitości .

Nieruchomości

• W pierścieniu n -by- n macierzy nad dziedzinie , lewy i prawy dzielnik zera pokrywają; są to dokładnie pojedyncze macierze . W pierścieniu macierzy n -by- n w dziedzinie całkowej zerowymi dzielnikami są dokładnie macierze z wyznacznikiem zero .
• Lewy lub prawy dzielnik zerowy nigdy nie może być jednostką , ponieważ jeśli a jest odwracalne, a ax = 0 dla jakiegoś niezerowego x , to 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , sprzeczność.
• Element można usunąć po stronie, na której jest regularny. Oznacza to, że jeśli a jest lewostronnym regularnym, ax = ay implikuje, że x = y , i podobnie dla prawego regularnego.

Zero jako dzielnik zera

Nie ma potrzeby stosowania odrębnej konwencji dla przypadku a = 0 , ponieważ definicja ma zastosowanie również w tym przypadku:

• Jeśli R jest pierścieniem innym niż pierścień zerowy , to 0 jest (dwustronnym) dzielnikiem zerowym, ponieważ każdy niezerowy element x spełnia 0 x = 0 = x 0 .
• Jeśli R jest pierścieniem zerowym , w którym 0 = 1 , to 0 nie jest zerowym dzielnikiem, ponieważ nie ma elementu niezerowego , który po pomnożeniu przez 0 daje 0 .

Niektóre odniesienia zawierają lub wykluczają 0 jako dzielnik zerowy we wszystkich pierścieniach zgodnie z konwencją, ale następnie cierpią z powodu konieczności wprowadzania wyjątków w instrukcjach, takich jak następujące:

• W przemiennej pierścienia R , zestaw niezerowej dzielników jest mnożnikowy zestaw do badań . (To z kolei jest ważne dla określenia całkowitego pierścienia ilorazowego ). To samo dotyczy zbioru nie-lewych-zerowych dzielników i zbioru nie-prawych-zerowych dzielników w dowolnym pierścieniu, przemiennym albo nie.
• W przemiennej pierścień noetherowski R , zestaw dzielnik zera jest związek o związane ideał pierwszy z R .

Dzielnik zerowy w module

Niech R być przemienne pierścień pozwolić M być R - moduł , niech być elementem R . Jedna z nich mówi, że jest M -regular jeśli „mnożenie przez się ” mapą jest injective, a jest dzielnik zera na M inaczej. Zestaw M -regular elementów jest mnożnikowy zestaw do badań . ${\ Displaystyle M \, {\ stackrel {a} {\ to}} \, M}$

Specjalizacja definicji „ M- regularnego” i „zerowego dzielnika na M ” do przypadku M = R przywraca definicje „zwykłego” i „zerowego dzielnika” podane wcześniej w tym artykule.

Zobacz też

• Właściwość zerowego produktu
• Słowniczek algebry przemiennej (dokładny dzielnik zerowy)
• Wykres z zerowym dzielnikiem

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• „Zero divisor” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhalovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebry, pierścienie i moduły , t. 1, Springer, ISBN   1-4020-2690-0 |volume= ma dodatkowy tekst ( pomoc )
• Weisstein, Eric W. „Zero Divisor” . MathWorld .