Algebra symetryczna - Symmetric algebra

W matematyce The symetryczny Algebra $S (V)$ (określane również $Sym (V)),$ w przestrzeni wektorów $V$ nad pola $K$ jest przemienne Algebra przez $K$ , że zawiera $V$ , i, w pewnym sensie, minimalną dla tej własności. Tutaj „minimalny” oznacza, że $S (V)$ spełnia następującą uniwersalną własność : dla każdego liniowego odwzorowania $f$ od $V$ do algebry przemiennej $A$ , istnieje unikalny homomorfizm algebry $g : S (V) \to A$ taki, że $f = g \circ i$ , gdzie $i$ jest mapa włączenie z $V$ w $S (V)$ .

Jeśli $B$ jest bazą $V$ , algebra symetryczna $S (V)$ może zostać zidentyfikowana poprzez izomorfizm kanoniczny do pierścienia wielomianowego $K [B]$ , gdzie elementy $B$ są uważane za nieokreślone. Dlatego algebra symetryczna nad $V$ może być postrzegana jako „wolny od współrzędnych” pierścień wielomianowy nad $V$ .

Symetryczny Algebra $S (V)$ może być zbudowany jako iloraz z tensora Algebra $T (V)$ przez dwustronnego ideału wytwarzanego przez elementy postaci $x \otimes Y - Y \otimes x$ .

Wszystkie te definicje i właściwości rozciągają się naturalnie na przypadek, w którym $V$ jest modułem (niekoniecznie wolnym) na pierścieniu przemiennym .

Budowa

Z algebry tensorów

Jest możliwe zastosowanie tensor matematycznego $T (V),$ w celu opisania symetryczny matematycznego $S (V)$ . W rzeczywistości, $S (V)$ może być zdefiniowana jako Algebra iloraz z $T (V)$ według dwustronnego ideału generowanego przez komutatory ${\ Displaystyle v \ czasami ww \ czasami v.}$

Sprawdzenie, czy wynikowa algebra spełnia uniwersalną własność podaną we wstępie, jest proste, ale dość żmudne.

Wynika to również bezpośrednio z ogólnego wyniku teorii kategorii , który twierdzi, że złożenie dwóch lewych funktorów sprzężonych jest również lewym funktorem sprzężonym. Tutaj funktor zapominający z algebr przemiennych do przestrzeni wektorowych lub modułów (zapominając o mnożeniu) jest złożeniem funktorów zapominających z algebr przemiennych do algebr asocjacyjnych (zapominając przemienność) i od algebr asocjacyjnych do wektorów lub modułów (zapominając o mnożeniu). Ponieważ algebra tensorów i iloraz komutatorów są sprzężone z tymi zapominającymi funktorami, ich złożenie przylega do zapominającego funktora od algebry przemiennej do wektorów lub modułów, co dowodzi pożądanej własności uniwersalnej.

Z pierścienia wielomianowego

Algebrę symetryczną $S (V)$ można również zbudować z pierścieni wielomianowych .

Jeżeli $V$ jest $K$ przestrzeń-wektor lub wolne $K$ -module , na bazie $B$ , niech $K [B]$ być wielomian pierścień, który zawiera elementy $B$ jak wielomianami. Do jednorodnych wielomiany jednego stopnia tworzą przestrzeń wektorową lub wolny moduł, który może być identyfikowany z $V$ . Łatwo jest sprawdzić, czy to sprawia, że $K [B]$ jest rozwiązaniem uniwersalnego problemu przedstawionego we wstępie. Oznacza to, że $K [B]$ i $S (V)$ są kanonicznie izomorficzne i dlatego można je zidentyfikować. Wynika to również bezpośrednio z ogólnych rozważań teorii kategorii , ponieważ swobodne moduły i pierścienie wielomianowe są swobodnymi obiektami swoich odpowiednich kategorii.

Jeśli $V$ jest modułem, który nie jest wolny, może być napisane gdzie $L$ to darmowy moduł, a $M$ jest modułem z $L$ . W tym przypadku trzeba ${\ Displaystyle V = L/M}$

{\ Displaystyle S (V) = S (L / M) = S (L) / \ langle M \ rangle ,}

gdzie jest ideał generowany przez $M$ . (Tutaj znaki równości oznaczają równość aż do kanonicznego izomorfizmu). Ponownie można to udowodnić, pokazując, że mamy rozwiązanie własności uniwersalnej, a można to zrobić albo za pomocą prostego, ale nudnego obliczenia, albo za pomocą teorii kategorii. a dokładniej fakt, że iloraz jest rozwiązaniem uniwersalnego problemu dla morfizmów, które odwzorowują zero w danym podzbiorze. (W zależności od przypadku jądro jest normalną podgrupą , submodułem lub ideałem, a zwykłą definicję ilorazów można postrzegać jako dowód na istnienie rozwiązania uniwersalnego problemu.) ${\ Displaystyle \ langle M \ rangle }$

Cieniowanie

Algebra symetryczna jest algebrą stopniowaną . Oznacza to, że jest to suma bezpośrednia

{\ Displaystyle S (V) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} S ^ {n} (V)}

gdzie nazywany $n$ p symetryczny mocy z $V$ jest podprzestrzeń wektora lub modułem generowane przez produkty $n$ elementów $V$ . (Drugi moc symetryczny jest czasami nazywany symetryczny kwadrat o $V$ ). ${\ Displaystyle S ^ {n} (V)}$ ${\ Displaystyle S ^ {2} (V)}$

Można to udowodnić na różne sposoby. Wynika to z konstrukcji tensor-algebry: ponieważ algebra tensorów jest stopniowana, a algebra symetryczna jest jej ilorazem przez jednorodny ideał : ideał wygenerowany przez wszystkie, gdzie $x$ i $y$ są w $V$ , to znaczy jednorodne pierwszego stopnia. ${\ Displaystyle x \ czasami yy \ czasami x,}$

W przypadku przestrzeni wektorowej lub modułu swobodnego gradacja jest stopniowaniem wielomianów przez całkowity stopień . Niewolny moduł można zapisać jako $L / M$ , gdzie $L$ jest wolnym modułem bazy $B$ ; jego algebra symetryczna jest ilorazem (stopniowanej) algebry symetrycznej $L$ (pierścień wielomianu) przez jednorodny ideał generowany przez elementy $M$ , które są jednorodne pierwszego stopnia.

Można również zdefiniować jako rozwiązanie problemu uniwersalnego dla $n-$ liniowych funkcji symetrycznych od $V$ do przestrzeni wektorowej lub modułu, a następnie sprawdzić, czy prosta suma wszystkich spełnia uniwersalny problem dla algebry symetrycznej. ${\ Displaystyle S ^ {n} (V)}$ ${\ Displaystyle S ^ {n} (V)}$

Związek z tensorami symetrycznymi

Ponieważ algebra symetryczna przestrzeni wektorowej jest ilorazem algebry tensorowej, element algebry symetrycznej nie jest tensorem, a w szczególności nie jest tensorem symetrycznym . Jednak tensory symetryczne są silnie powiązane z algebrą symetryczną.

Symetryczny tensor stopnia $n$ jest elementem $T n (V)$ , który pozostaje niezmienny w ramach działania z grupy symetrycznie Dokładniej, ponieważ transformacja wyznacza liniowe endomorfizm z $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . Tensor symetryczny to tensor, który jest niezmienny we wszystkich tych endomorfizmach. Symetryczne tensory stopnia $n$ tworzą podprzestrzeń wektorową (lub moduł) $Sym$ $n$ $($ $V$ $) \subset$ $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . W symetrycznych tensory są elementy do bezpośredniego sumy , która jest Graded przestrzeń wektorową (lub moduł Graded ). Nie jest to algebra, ponieważ iloczyn tensorowy dwóch symetrycznych tensorów nie jest ogólnie symetryczny. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {S}} _ {n}.}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ w {\ matematyczny {S}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {n} \ mapsto v_ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {\ sigma (k)}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {Sym} ^ {n} (V)}$

Niech będzie ograniczeniem do $Sym$ $n$ $($ $V$ $)$ kanonicznej sujekcji Jeśli $n$ $!$ jest odwracalny w polu (lub pierścieniu), to jest izomorfizmem . Tak jest zawsze w przypadku pola gruntowego o charakterystyce zero. Odwrotny Izomorfizm jest liniowym zdefiniowana (na produkty o $n$ wektorów) przez symetryzacji ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ ${\ Displaystyle T ^ {n} (V) \ do S ^ {n} (V).}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$

{\ Displaystyle v_ {1} \ cdots v_ {n} \ mapsto {\ Frac {1} {n!}} \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} v_ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \otimes v_{\sigma (n)}.}

Mapa nie jest iniektywna, jeśli charakterystyka jest mniejsza niż $n$ +1; na przykład zero w charakterystycznej dwójce. Nad pierścieniem o zerowej charakterystyce może być niesurjektywna; na przykład po liczbach całkowitych, jeśli $x$ i $y$ są dwoma liniowo niezależnymi elementami $V$ $=$ $S$ $1$ $($ $V$ $)$ , które nie są w $2$ $V$ , to ponieważ ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {n} (x \ czasami y + y \ czasami x) = 2xy}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {n}}$ ${\ Displaystyle xy \ nie \ w \ pi _ {n} (\ nazwa operatora {Sym} ^ {2} (V)),}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (x \ otimes y + y \ otimes x) \ nie \ w \ operatorname {Sym} ^ {2} (V).}$

Podsumowując, na polu charakterystycznym dla zera tensory symetryczne i algebra symetryczna tworzą dwie izomorficzne gradowane przestrzenie wektorowe. Można je zatem zidentyfikować tylko w zakresie struktury przestrzeni wektorowej, ale nie można ich zidentyfikować, gdy w grę wchodzą produkty. Co więcej, izomorfizm ten nie rozciąga się na przypadki pól o dodatniej charakterystyce i pierścieni, które nie zawierają liczb wymiernych .

Właściwości kategoryczne

Mając moduł $V$ nad przemiennym pierścieniem $K$ , algebra symetryczna $S (V)$ może być zdefiniowana przez następującą uniwersalną własność :

Dla każdego liniowego odwzorowania

f

od

V

do algebry przemiennej

A

istnieje unikalny homomorfizm algebry taki, że gdzie

i

jest włączeniem

V

do

S

(

V

)

.

{\ Displaystyle g: S (V) \ do A}

f=g\circ ja

Jak dla każdej własności uniwersalnej, tak szybko jak to istnieje rozwiązanie, jednoznacznie Definiuje algebry symetryczne, maksymalnie do kanonicznej izomorfizmu . Wynika z tego, że wszystkie własności algebry symetrycznej można wyprowadzić z własności uniwersalnej. Ta sekcja poświęcona jest głównym właściwościom należącym do teorii kategorii .

Symetryczny algebra jest funktor z kategorii od $K$ -modules do kategorii $K$ -commutative algebry, ponieważ nieruchomość uniwersalny sugeruje, że każdy moduł homomorfizm może być przedłużony do homomorfizmu algebry ${\ Displaystyle f: V \ do W}$ ${\ Displaystyle S (f): S (V) \ do S (W).}$

Uniwersalną własność można przeformułować, mówiąc, że algebra symetryczna jest lewostronnym sprzężeniem z funktorem zapominającym, który wysyła algebrę przemienną do modułu bazowego.

Algebra symetryczna przestrzeni afinicznej

Można analogicznie skonstruować algebrę symetryczną na przestrzeni afinicznej . Kluczową różnicą jest to, że algebra symetryczna przestrzeni afinicznej nie jest algebrą stopniowaną, ale algebrą filtrowaną : można określić stopień wielomianu w przestrzeni afinicznej, ale nie jej jednorodnych części.

Na przykład, mając dany wielomian liniowy na przestrzeni wektorowej, można wyznaczyć jego stałą część przez obliczenie na 0. W przestrzeni afinicznej nie ma rozróżnialnego punktu, więc nie można tego zrobić (wybór punktu zamienia przestrzeń afiniczną w wektor przestrzeń).

Analogia do algebry zewnętrznej

S ^K są Funktory porównywalne do zewnętrznych uprawnień ; tu jednak wymiar rośnie wraz z k ; to jest podane przez

{\ Displaystyle \ Operatorname {słabe} (S ^ {k} (V)) = {\ Binom {n + k-1} {k}}}

gdzie n jest wymiarem V . Ten współczynnik dwumianowy jest liczbą n- zmiennych jednomianów stopnia k . W rzeczywistości algebra symetryczna i algebra zewnętrzna pojawiają się jako izotypowe składowe trywialnej i znakowej reprezentacji działania działania na iloczyn tensorowy (na przykład nad ciałem zespolonym) $S_{n}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ czasami n}}$

Jako algebra Hopfa

Algebry symetrycznej można nadać strukturę algebry Hopfa . Zobacz Algebra Tensora po szczegóły.

Jako uniwersalna algebra obwiedni

Symetryczny Algebra S ( V ) jest uniwersalny obwiedni Algebra o Abelowych Lie Algebra , czyli taka, w której wspornik Lie identycznie 0.

Zobacz też

algebra zewnętrzna , przemienny analog algebry
stopniowana-symetryczna algebra , wspólne uogólnienie algebry symetrycznej i algebry zewnętrznej
Algebra Weyla , kwantowa deformacja algebry symetrycznej przez formę symplektyczną
Algebra Clifforda , kwantowa deformacja zewnętrznej algebry przez formę kwadratową

Bibliografia

Bourbaki, Nicolas (1989), Elementy matematyki , Algebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

Languages

In other projects