Algebra zewnętrzna - Exterior algebra
W matematyce The od zewnątrz lub klin produkt nosicieli algebraicznym konstrukcja stosowana w geometrii do badania obszary , wielkości i ich wyższe wymiary analogi. Zewnętrzny iloczyn dwóch wektorów i , oznaczony przez , nazywany jest dwuwektorem i znajduje się w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem , czyli przestrzeni wektorowej, która różni się od pierwotnej przestrzeni wektorów. Wielkość od mogą być interpretowane jako strefy równoległoboku z bokami i , który w trzech wymiarach może być wyliczony z wykorzystaniem iloczynu dwóch wektorów. Bardziej ogólnie, wszystkie równoległe powierzchnie płaskie o tej samej orientacji i powierzchni mają ten sam dwuwektor jako miarę ich zorientowanego obszaru . Podobnie jak iloczyn krzyżowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny , co oznacza, że dla wszystkich wektorów i , ale w przeciwieństwie do iloczynu krzyżowego iloczyn zewnętrzny jest asocjacyjny .
Patrząc w ten sposób, zewnętrzny iloczyn dwóch wektorów nazywa się 2-łopatką . Bardziej ogólnie, zewnętrzny iloczyn dowolnej liczby k wektorów można zdefiniować i jest on czasami nazywany k -ostrzem. Żyje w przestrzeni znanej jako k- ta zewnętrzna moc. Wielkość powstałego k -łopatki jest objętością k -wymiarowego równoległościanu, którego krawędzie są danymi wektorami, tak jak wielkość iloczynu potrójnego skalarnego wektorów w trzech wymiarach daje objętość równoległościanu generowanego przez te wektory.
Algebra zewnętrzna lub Grassmann algebry po Hermann Grassmann , jest system algebraiczny którego produkt jest produktem na zewnątrz. Algebra zewnętrzna zapewnia algebraiczne ustawienie, w którym można odpowiedzieć na pytania geometryczne. Na przykład ostrza mają konkretną interpretację geometryczną, a obiektami w zewnętrznej algebrze można manipulować zgodnie z zestawem jednoznacznych reguł. Algebra zewnętrzna zawiera obiekty, które są nie tylko k -łopatkami, ale sumami k -łopatek; taka suma nazywana jest k -wektorem . K -blades, ponieważ są one proste produkty wektorów, nazywane są proste elementy algebry. Rangi jakiegokolwiek k -wektor jest zdefiniowany jako najmniejsza liczba elementów prostych, których jest sumą. Iloczyn zewnętrzny rozciąga się na pełną algebrę zewnętrzną, więc sensowne jest pomnożenie dowolnych dwóch elementów algebry. Wyposażona w ten produkt, algebra zewnętrzna jest algebrą asocjacyjną , co oznacza, że dla dowolnych elementów . Do k -vectors mieć stopni K , co oznacza, że są one sumy produktów k wektorów. Gdy mnoży się elementy o różnych stopniach, stopnie są dodawane jak mnożenie wielomianów . Oznacza to, że algebra zewnętrzna jest algebrą stopniowaną .
Definicja algebry zewnętrznej ma sens nie tylko dla przestrzeni wektorów geometrycznych, ale także innych obiektów wektorowych, takich jak pola wektorowe lub funkcje . Ogólnie rzecz biorąc, algebra zewnętrzna może być zdefiniowana dla modułów nad pierścieniem przemiennym oraz dla innych struktur będących przedmiotem zainteresowania algebry abstrakcyjnej . Jest to jedna z tych bardziej ogólnych konstrukcji, w której algebra zewnętrzna znajduje jedno ze swoich najważniejszych zastosowań, gdzie pojawia się jako algebra form różniczkowych, która ma fundamentalne znaczenie w dziedzinach wykorzystujących geometrię różniczkową . Algebra zewnętrzna ma również wiele właściwości algebraicznych, które czynią ją wygodnym narzędziem w samej algebrze. Powiązanie algebry zewnętrznej z przestrzenią wektorową jest rodzajem funktora na przestrzeniach wektorowych, co oznacza, że jest w pewien sposób zgodne z liniowymi przekształceniami przestrzeni wektorowych. Algebra zewnętrzna jest jednym z przykładów bialgebry , co oznacza, że jej podwójna przestrzeń również posiada iloczyn, a ten podwójny iloczyn jest kompatybilny z iloczynem zewnętrznym. Ta podwójna algebra jest dokładnie algebrą naprzemiennych form wieloliniowych , a parowanie między algebrą zewnętrzną i jej podwójnością jest określone przez iloczyn wewnętrzny .
Motywujące przykłady
Obszary w samolocie
Kartezjański płaszczyzny R 2 jest prawdziwe miejsca wektora wyposażony podstawa składa się z pary wektor jednostkowy
Przypuszczam, że
są parą danych wektorów w R 2 , zapisanych w komponentach. Istnieje unikalny równoległobok mający v i w jako dwa boki. Pole powierzchni tego równoległoboku określa standardowy wzór na wyznacznik :
Rozważmy teraz iloczyn zewnętrzny v i w :
gdzie pierwszy krok wykorzystuje prawo dystrybucji dla produktu zewnętrznego , a ostatni wykorzystuje fakt, że produkt zewnętrzny jest naprzemienny, a w szczególności . (Fakt, że urządzenie zewnętrzne jest również na przemian siły ). Należy zauważyć, że w tym ostatnim współczynnik wyrażenia jest dokładnie wyznacznikiem macierzy [ v wagowo ] . Fakt, że może to być dodatnie lub ujemne, ma intuicyjne znaczenie, że v i w mogą być zorientowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak wierzchołki równoległoboku, który definiują. Taki obszar nazywa się obszarem znaku równoległoboku: wartość bezwzględna obszaru znaku to zwykły obszar, a znak określa jego orientację.
Fakt, że ten współczynnik jest obszarem oznaczonym, nie jest przypadkiem. W rzeczywistości stosunkowo łatwo zauważyć, że iloczyn zewnętrzny powinien być powiązany z obszarem znaku, jeśli próbuje się zaksjomatyzować ten obszar jako konstrukt algebraiczny. Dokładniej, jeśli A( v , w ) oznacza obszar ze znakiem równoległoboku, którego para wektorów v i w tworzą dwa sąsiednie boki, to A musi spełniać następujące własności:
- A( r v , s w ) = rs A( v , w ) dla dowolnych liczb rzeczywistych r i s , ponieważ przeskalowanie którejkolwiek ze stron powoduje przeskalowanie obszaru o tę samą wartość (a odwrócenie kierunku jednego z boków odwraca orientację równoległoboku).
- A( v , v ) = 0 , ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku określona przez v (tj. odcinek linii ) wynosi zero.
- A( w , v ) = −A( v , w ) , ponieważ zamiana ról v i w odwraca orientację równoległoboku.
- A( v + r w , w ) = A( v , w ) dla dowolnej liczby rzeczywistej r , ponieważ dodanie wielokrotności w do v nie wpływa ani na podstawę, ani na wysokość równoległoboku iw konsekwencji zachowuje jego powierzchnię.
- A( e 1 , e 2 ) = 1 , ponieważ pole kwadratu jednostkowego wynosi jeden.
Z wyjątkiem ostatniej właściwości, iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów spełnia te same właściwości co powierzchnia. W pewnym sensie produkt zewnętrzny uogólnia końcową właściwość, pozwalając na porównanie obszaru równoległoboku z obszarem dowolnego wybranego równoległoboku w płaszczyźnie równoległej (tutaj ten o bokach e 1 i e 2 ). Innymi słowy, produkt zewnętrzny zapewnia niezależną od podłoża formułę powierzchni.
Produkty krzyżowe i potrójne
W przypadku wektorów w trójwymiarowej zorientowanej przestrzeni wektorowej z dwuliniowym iloczynem skalarnym zewnętrzna algebra jest ściśle związana z iloczynem krzyżowym i iloczynem potrójnym . Używając standardowej bazy ( e 1 , e 2 , e 3 ) iloczyn zewnętrzny pary wektorów
oraz
jest
gdzie ( e 1 ∧ e 2 , e 2 ∧ e 3 , e 3 ∧ e 1 ) jest bazą dla przestrzeni trójwymiarowej Λ 2 ( R 3 ). Powyższe współczynniki są takie same, jak w zwykłej definicji iloczynu poprzecznego wektorów w trzech wymiarach o określonej orientacji, jedyne różnice polegają na tym, że iloczyn zewnętrzny nie jest zwykłym wektorem, ale zamiast tego jest 2-wektorem , i że produkt zewnętrzny nie zależy od wyboru orientacji.
Wprowadzanie trzeciego wektora
iloczynem zewnętrznym trzech wektorów jest
gdzie e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 jest wektorem bazowym dla przestrzeni jednowymiarowej Λ 3 ( R 3 ). Współczynnik skalarny jest iloczynem potrójnym trzech wektorów.
Iloczyn krzyżowy i iloczyn potrójny w trójwymiarowej przestrzeni wektorów euklidesowych dopuszczają zarówno interpretacje geometryczne, jak i algebraiczne. Iloczyn poprzeczny u × v można interpretować jako wektor prostopadły zarówno do u, jak i v, którego wielkość jest równa powierzchni równoległoboku wyznaczonej przez oba wektory. Może być również interpretowany jako wektor składający się z minorów macierzy z kolumnami u i v . Potrójny iloczyn u , v i w jest skalarem ze znakiem reprezentującym objętość zorientowaną geometrycznie. Algebraicznie jest wyznacznikiem macierzy z kolumnami u , v i w . Wyrób zewnętrzny w trzech wymiarach pozwala na podobne interpretacje: również można go utożsamiać z ukierunkowanymi liniami, obszarami, objętościami itp., które są rozpięte przez jeden, dwa lub więcej wektorów. Produkt zewnętrzny uogólnia te pojęcia geometryczne na wszystkie przestrzenie wektorowe i na dowolną liczbę wymiarów, nawet przy braku iloczynu skalarnego.
Definicje formalne i własności algebraiczne
Zewnętrzna Algebra Λ ( V ), w przestrzeni wektorów V nad dziedzinie K jest zdefiniowana jako Algebra iloraz z tensora Algebra T ( V ) według dwustronnego idealnego I wytworzonej przez wszystkie elementy w postaci x ⊗ x dla x ∈ V (tj. wszystkie tensory, które mogą być wyrażone jako iloczyn tensorowy wektora w samym V ). Ideał I zawiera ideał J generowany przez elementy formy i te ideały pokrywają się wtedy (i tylko wtedy) :
- .
Definiujemy
Produkt zewnątrz ∧ dwóch elementów X ( V ) jest produktem wywołanej przez produkt tensora ⊗ z T ( V ) . To znaczy, jeśli
jest sujekcją kanoniczną , a a i b są w Λ( V ) , to są i w T ( V ) takie, że i i
Z definicji algebry ilorazu wynika, że wartość nie zależy od konkretnego wyboru i .
A T 0 = K , T 1 = V , a , inkluzje K i V w T ( V ) indukują iniekcje K i V do X ( V ) . Iniekcje te są powszechnie uważane za inkluzje i nazywane są naturalnymi osadami , naturalnymi iniekcji lub naturalnymi inkluzjami . Słowo kanoniczny jest również powszechnie używane w miejsce naturalnego .
Produkt naprzemienny
Wyrób zewnętrzny jest budową naprzemienną na elementach , co oznacza, że dla wszystkich , przez powyższą konstrukcję. Wynika z tego, że produkt jest również antyprzemienny na elementach , przy założeniu, że ,
W związku z tym
Bardziej ogólnie, jeśli σ jest permutacją liczb całkowitych [1, ..., k ] , a x 1 , x 2 , ..., x k są elementami V , wynika z tego, że
gdzie sgn( σ ) jest sygnaturą permutacji σ .
W szczególności, jeśli x i = x j dla niektórych i ≠ j , to zachodzi również następujące uogólnienie własności alternacji:
Moc zewnętrzna
K p zewnętrznej siły do V , oznaczoną X k ( V ), jest podprzestrzeń wektor z X ( V ), łączone za pomocą elementów w postaci
Jeśli α ∈ Λ k ( V ) , to mówimy , że α jest k - wektorem . Jeśli ponadto α można wyrazić jako iloczyn zewnętrzny k elementów V , to mówimy, że α jest rozkładalne . Chociaż rozkładalne k -wektory rozpinają k ( V ), nie każdy element Λ k ( V ) jest rozkładalny. Na przykład w R 4 następujący dwuwektor nie jest rozkładalny:
(Jest to forma symplektyczna , ponieważ α ∧ α ≠ 0 .)
Podstawa i wymiar
Jeżeli wymiar w V jest n i { e 1 , ..., e n } jest podstawą do V , a następnie zestaw
jest bazą dla Λ k ( V ) . Powód jest następujący: biorąc pod uwagę jakikolwiek zewnętrzny produkt formy
każdy wektor v j można zapisać jako liniową kombinację wektorów bazowych e i ; używając dwuliniowości produktu zewnętrznego, można to rozszerzyć do liniowej kombinacji produktów zewnętrznych tych wektorów bazowych. Dowolny iloczyn zewnętrzny, w którym ten sam wektor bazowy pojawia się więcej niż raz, wynosi zero; każdy produkt zewnętrzny, w którym wektory bazowe nie pojawiają się we właściwej kolejności, można zmienić, zmieniając znak za każdym razem, gdy dwa wektory bazowe zamieniają się miejscami. Na ogół, w wyniku współczynniki podstawy k -vectors można obliczyć jako nieletnich o matrycy , który opisuje wektory v j w odniesieniu do podstawy e I .
Licząc elementy bazowe, wymiar Λ k ( V ) jest równy współczynnikowi dwumianowemu :
gdzie n jest wymiarem wektorów , a k jest liczbą wektorów w produkcie. Współczynnik dwumianowy daje prawidłowy wynik, nawet w wyjątkowych przypadkach; w szczególności, Λ k ( V ) = { 0 } dla k > n .
Dowolny element algebry zewnętrznej można zapisać jako sumę k -wektorów . Zatem jako przestrzeń wektorowa algebra zewnętrzna jest sumą prostą
(gdzie zgodnie z konwencją Λ 0 ( V ) = K , pole leżące u podstaw V , a Λ 1 ( V ) = V ), a zatem jego wymiar jest równy sumie współczynników dwumianowych, która wynosi 2 n .
Pozycja z k -wektor
Jeśli α ∈ Λ k ( V ) , to można wyrazić α jako kombinację liniową rozkładających się k -wektorów :
gdzie każdy α ( i ) jest rozkładalny, powiedzmy
Pozycja w k -wektor alfa jest minimalna ilość rozkładalnych k -vectors w taki rozszerzenie alfa . Jest to podobne do pojęcia rangi tensorowej .
Ranga jest szczególnie ważna w badaniu dwuwektorów ( Sternberg 1964 , §III.6) ( Bryant et al. 1991 ). Rząd 2-wektorowego α można utożsamić z połową rzędu macierzy współczynników α w bazie. Zatem jeśli e i jest bazą dla V , to α można wyrazić jednoznacznie jako
gdzie a ij = − a ji (macierz współczynników jest skośno-symetryczna ). Rząd macierzy a ij jest więc parzysty i jest dwukrotnością rzędu postaci α .
W charakterystyce 0 2-wektor α ma rząd p wtedy i tylko wtedy, gdy
- oraz
Stopniowana struktura
Zewnętrzny iloczyn k -wektora z p -wektorem to ( k + p ) -wektor, ponownie odwołujący się do dwuliniowości. W konsekwencji bezpośredni rozkład sum z poprzedniej sekcji
nadaje algebrze zewnętrznej dodatkową strukturę algebry stopniowanej , czyli
Co więcej, jeśli K jest polem bazowym, mamy
- oraz
Produkt zewnętrzny jest klasyfikowany jako antyprzemienny, co oznacza, że jeśli α ∈ Λ k ( V ) i β ∈ Λ p ( V ) , to
Oprócz studiowania struktury stopniowanej w algebrze zewnętrznej, Bourbaki (1989) bada dodatkowe struktury stopniowane w algebrach zewnętrznych, takich jak te z zewnętrznej algebry modułu stopniowanego (modułu, który już posiada własną gradację).
Własność uniwersalna
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K . Nieformalnie, mnożenie w X ( V ) jest wykonywana przez manipulowanie symbolami i nakładające prawo dystrybucyjny , takie prawa łączności i używając tożsamości dla v ∈ V . Formalnie, Λ( V ) jest "najbardziej ogólną" algebrą, w której te reguły obowiązują przy mnożeniu, w tym sensie, że każda K- algebra asocjacyjna z jedynką zawierająca V z przemiennym mnożeniem na V musi zawierać homomorficzny obraz Λ( V ) . Innymi słowy, algebra zewnętrzna ma następującą uniwersalną własność :
Dla dowolnych unital asocjacyjny K -algebra i każdy K - liniowym j : V → tak, że j ( V ) J ( V ) = 0 za każdym V w V , to istnieje dokładnie jeden unital Algebra Homomorfizm f : Λ ( V ) → A takie, że j ( v ) = f ( i ( v )) dla wszystkich v w V (tu i jest naturalnym włączeniem V do Λ( V ) , patrz wyżej).
Aby skonstruować najogólniejszą algebrę zawierającą V i której mnożenie jest naprzemienne przez V , naturalne jest rozpoczęcie od najogólniejszej algebry asocjacyjnej zawierającej V , algebry tensorów T ( V ) , a następnie wymuszenie własności alternacji przez wzięcie odpowiedniego iloraz . Bierzemy zatem dwustronny ideał I w T ( V ) wygenerowany przez wszystkie elementy postaci v ⊗ v dla v w V i definiujemy Λ( V ) jako iloraz
(i użyj ∧ jako symbolu mnożenia w Λ( V )) . Łatwo zatem wykazać, że Λ( V ) zawiera V i spełnia powyższą uniwersalną własność.
W konsekwencji tej konstrukcji operacja przypisania przestrzeni wektorowej V jej algebry zewnętrznej Λ( V ) jest funktorem z kategorii przestrzeni wektorowych do kategorii algebr.
Zamiast definiować najpierw Λ( V ), a następnie identyfikować zewnętrzne potęgi Λ k ( V ) jako pewne podprzestrzenie, można alternatywnie zdefiniować najpierw przestrzenie Λ k ( V ), a następnie połączyć je w algebrę Λ( V ) . To podejście jest często stosowane w geometrii różniczkowej i zostało opisane w następnej sekcji.
Uogólnienia
Biorąc pod uwagę pierścienia przemiennego R oraz R - moduł M , można zdefiniować zewnętrzne X matematycznego ( M ), tak jak powyżej, w odpowiednim ilorazem tensora Algebra T ( M ). Zaspokoi analogiczną własność uniwersalną. Wiele własności Λ( M ) wymaga również, aby M był modułem rzutowym . Tam, gdzie stosowana jest skończona wymiarowość, właściwości wymagają ponadto, aby M było skończone i rzutowe. Uogólnienia dotyczące najczęstszych sytuacji można znaleźć u Bourbaki (1989) .
Algebry zewnętrzne wiązek wektorowych są często uwzględniane w geometrii i topologii. Nie ma istotnych różnic między właściwościami algebraicznymi zewnętrznej algebry skończenie wymiarowych wiązek wektorowych a właściwościami zewnętrznej algebry skończenie generowanych modułów rzutowych, zgodnie z twierdzeniem Serre'a-Swana . Dla snopów modułów można zdefiniować bardziej ogólne algebry zewnętrzne .
Algebra przemiennych tensorów
Jeżeli K jest ciałem o charakterystyce 0, to zewnętrzna algebra przestrzeni wektorowej V nad K może być kanonicznie utożsamiana z wektorową podprzestrzenią T( V ) składającą się z antysymetrycznych tensorów . Przypomnijmy, że algebra zewnętrzna jest ilorazem T( V ) przez ideał I wygenerowany przez elementy postaci x ⊗ x .
Niech T r ( V ) będzie przestrzenią jednorodnych tensorów stopnia r . Obejmuje to rozkładające się tensory
Antisymmetrization (lub czasami skośna-symetryzacja ) z tworzywa ulegającego rozkładowi tensora jest określona
gdzie suma jest przejmowana przez symetryczną grupę permutacji na symbole {1, ..., r }. To rozciąga się przez liniowość i jednorodność do operacji, również oznaczanej przez Alt, na pełnej algebrze tensorowej T( V ). Obraz Alt(T( V )) jest algebrą naprzemiennych tensorów , oznaczoną A( V ). Jest to podprzestrzeń wektorowa przestrzeni T( V ) i dziedziczy strukturę stopniowanej przestrzeni wektorowej z przestrzeni T( V ). Zawiera produkt stopniowany asocjacyjnie zdefiniowany przez
Chociaż iloczyn ten różni się od iloczynu tensorowego, jądro Alt jest właśnie idealnym I (znowu przy założeniu, że K ma charakterystykę 0) i istnieje izomorfizm kanoniczny
Notacja indeksowa
Przypuśćmy, że V ma skończony wymiar n , i że podstawą wiadomość e 1 , ..., e n z V jest podane. wtedy dowolny tensor przemienny t ∈ A r ( V ) ⊂ T r ( V ) można zapisać w notacji indeksowej jako
gdzie t i 1 ⋅⋅⋅ i r jest całkowicie antysymetryczne w swoich indeksach.
Iloczyn zewnętrzny dwóch naprzemiennych tensorów t i s rzędów r i p jest dany przez
Składowe tego tensora są dokładnie skośną częścią składowych iloczynu tensorowego s ⊗ t , oznaczoną nawiasami kwadratowymi na indeksach:
Wyrób wewnętrzny można również opisać w notacji indeksowej w następujący sposób. Niech będzie antysymetrycznym tensorem rzędu r . Wtedy, dla α ∈ V ∗ , i α t jest tensorem przemiennym rzędu r − 1 , danym wzorem
gdzie n jest wymiarem V .
Dwoistość
Operatory naprzemienne
Mając dwie przestrzenie wektorowe V i X oraz liczbę naturalną k , operator przemienny od V k do X jest odwzorowaniem wieloliniowym
tak, że gdy v 1 , ..., v k są liniowo zależnymi wektorami w V , wtedy
Mapa
który łączy się z wektorami z ich produktu zewnętrznego, tj. odpowiadającego im wektora -, również jest naprzemienny. W rzeczywistości ta mapa jest "najbardziej ogólnym" operatorem przemiennym zdefiniowanym w ; biorąc pod uwagę dowolny inny operator przemienny , istnieje unikalna mapa liniowa z . Ta uniwersalna właściwość charakteryzuje przestrzeń i może służyć jako jej definicja.
Naprzemienne formy wieloliniowe
Powyższe omówienie dotyczy przypadku, gdy X = K , pole bazowe. W tym przypadku przemienna funkcja wieloliniowa
nazywana jest przemienną formą wieloliniową . Zbiór wszystkich przemiennych form wieloliniowych jest przestrzenią wektorową, ponieważ suma dwóch takich odwzorowań lub iloczyn takiego odwzorowania ze skalarem jest znowu przemienny. Dzięki uniwersalnej własności potęgi zewnętrznej przestrzeń przemiennych form stopnia k na V jest naturalnie izomorficzna z przestrzenią dualną (Λ k V ) ∗ . Jeśli V jest skończenie wymiarowe, to ten drugi jest naturalnie izomorficzny z Λ k ( V ∗ ). W szczególności, jeśli V jest n- wymiarowe, wymiarem przestrzeni przemiennych map od V k do K jest współczynnik dwumianowy
Pod tą identyfikacją produkt zewnętrzny przybiera konkretną formę: tworzy nową antysymetryczną mapę z dwóch danych. Załóżmy, że ω : V k → K i η : V m → K są dwoma mapami antysymetrycznymi. Podobnie jak w przypadku iloczynów tensorowych odwzorowań wieloliniowych, liczba zmiennych ich iloczynu zewnętrznego jest sumą liczb ich zmiennych. Definiuje się go następująco:
gdzie, jeśli charakterystyka pola bazowego K wynosi 0, alternatywa Alt mapy wieloliniowej jest zdefiniowana jako średnia wartości skorygowanych o znak we wszystkich permutacjach jego zmiennych:
Gdy pole K ma charakterystykę skończoną , odpowiednik powyższego wyrażenia bez silni lub stałych jest dobrze zdefiniowany:
gdzie tutaj Sh k , m ⊂ S k + m jest podzbiorem ( k , m ) tasowania : permutacje σ zbioru {1, 2, ..., k + m } takie, że σ (1) < σ (2 ) < ⋯ < σ ( k ) i σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ⋯ < σ ( k + m ) .
Produkt do wnętrz
Załóżmy, że V jest skończenie wymiarowe. Jeżeli V * oznacza dwie przestrzenie do przestrzeni wektora V , a następnie dla każdej a- ∈ V * , możliwe jest zdefiniowanie antiderivation na Algebra X ( V ),
To wyprowadzenie nazywa się iloczynem wewnętrznym z α lub czasami operatorem wstawiania lub skróceniem przez α .
Załóżmy, że w Λ k V . Wtedy w jest wieloliniowym odwzorowaniem V ∗ na K , więc jest ono zdefiniowane przez jego wartości na k- krotnym iloczynie kartezjańskim V ∗ × V ∗ × ... × V ∗ . Jeśli u 1 , u 2 , ..., u k −1 są k − 1 elementami V ∗ , to zdefiniuj
Dodatkowo, niech i α f = 0, gdy f jest czystym skalarem (tj. należącym do Λ 0 V ).
Charakterystyka i właściwości aksjomatyczne
Produkt do wnętrz spełnia następujące właściwości:
- Dla każdego k i każdego α ∈ V ∗ ,
- Jeśli v jest elementem V (= Λ 1 V ), to i α v = α ( v ) jest podwójnym parowaniem między elementami V i elementami V ∗ .
- Dla każdego α ∈ V ∗ , i α jest stopniowanym pochodnym stopnia −1:
Te trzy właściwości są wystarczające do scharakteryzowania produktu wewnętrznego, jak również do zdefiniowania go w ogólnym przypadku nieskończenie wymiarowym.
Dalsze właściwości produktu do wnętrz to:
Hodge dualizm
Załóżmy, że V ma skończony wymiar n . Wtedy iloczyn wewnętrzny indukuje kanoniczny izomorfizm przestrzeni wektorowych
według definicji rekurencyjnej
W układzie geometrycznym niezerowy element górnej potęgi zewnętrznej Λ n ( V ) (która jest jednowymiarową przestrzenią wektorową) jest czasami nazywany formą objętościową (lub formą orientacji , chociaż termin ten może czasami prowadzić do niejednoznaczności) . Nazwa formy orientacji wynika z tego, że wybór preferowanego elementu górnego determinuje orientację całej algebry zewnętrznej, gdyż jest to równoznaczne z ustaleniem uporządkowanej bazy przestrzeni wektorowej. W stosunku do preferowanej postaci objętościowej σ izomorfizm jest wyraźnie podany przez
Jeżeli, oprócz postaci objętościowej, przestrzeń wektorowa V jest wyposażona w iloczyn skalarny identyfikujący V z V ∗ , to otrzymany izomorfizm nazywamy operatorem gwiazdy Hodge'a , który odwzorowuje element na jego dualną Hodge'a :
Złożenie ze sobą odwzorowuje Λ k ( V ) → Λ k ( V ) i jest zawsze skalarną wielokrotnością odwzorowania tożsamości. W większości zastosowań, forma objętość jest kompatybilny z urządzeniem wewnętrznym, jak w tym sensie, że są to zewnętrzne wytworem ortonormalne oparciu o V . W tym przypadku,
gdzie id jest odwzorowaniem tożsamości, a produkt wewnętrzny ma sygnaturę metryczną ( p , q ) — p plusy i q minusy.
Produkt wewnętrzny
Dla V przestrzeni skończenie wymiarowej iloczyn skalarny (lub pseudoeuklidesowy iloczyn skalarny) na V definiuje izomorfizm V z V ∗ , a więc także izomorfizm Λ k V z (Λ k V ) ∗ . Parowanie między tymi dwiema przestrzeniami również przybiera formę produktu wewnętrznego. Na rozkładających się k -wektorach,
wyznacznik macierzy produktów wewnętrznych. W szczególnym przypadku v i = w i , iloczyn skalarny jest normą kwadratową wektora k , określoną przez wyznacznik macierzy Gramiana (⟨ v i , v j ⟩) . Jest to następnie rozciągane dwuliniowo (lub półtoraliniowo w przypadku zespolonym) do niezdegenerowanego iloczynu wewnętrznego na Λ k V . Jeżeli e i , i = 1, 2, ..., n , tworzą podstawę ortonormalną na V , a następnie wektory formie
stanowią bazę ortonormalną dla Λ k ( V ).
W odniesieniu do iloczynu wewnętrznego mnożenie zewnętrzne i iloczyn wewnętrzny są ze sobą sprzężone. W szczególności, dla v ∈ Λ k -1 ( V ) , w ∈ Λ k ( V ) i x ∈ V ,
gdzie x ♭ ∈ V ∗ jest izomorfizmem muzycznym , funkcjonałem liniowym zdefiniowanym przez
dla wszystkich y ∈ V . Ta właściwość całkowicie charakteryzuje produkt wewnętrzny w algebrze zewnętrznej.
Rzeczywiście, bardziej ogólnie dla v ∈ Λ k − l ( V ) , w ∈ Λ k ( V ) i x ∈ Λ l ( V ) , iteracja powyższych własności daje
gdzie teraz x ♭ ∈ Λ l ( V ∗ ) ≃ (Λ l ( V )) ∗ jest podwójnym l -wektorem zdefiniowanym przez
dla wszystkich y ∈ Λ l ( V ) .
Struktura Bialgebry
Istnieje zgodność między stopniowanym dualem stopniowanej algebry Λ( V ) a naprzemiennymi formami wieloliniowymi na V . Algebra zewnątrz (jak również symetryczne Algebra ) dziedziczy strukturę bialgebra i, rzeczywiście, matematycznego Hopf strukturę z Algebra napinającej . Zobacz artykuł o algebrach tensorów, aby uzyskać szczegółowe informacje na ten temat.
Zewnętrzny iloczyn form wieloliniowych określonych powyżej jest dualny do koproduktu określonego na Λ( V ), dając strukturę kogebry . Współprodukt jest funkcją liniową Δ: Λ ( V ) → X ( V ) ⊗ Λ ( V ), który jest przedstawiony
na elementach v ∈ V . Symbol 1 oznacza element jednostkowy pola K . Przypomnij sobie, że K ⊂ Λ( V ), więc powyższe naprawdę leży w Λ( V ) ⊗ Λ( V ). Ta definicja koproduktu jest podnoszona do pełnej przestrzeni Λ( V ) przez homomorfizm (liniowy). Prawidłowa forma tego homomorfizmu nie jest tym, co można by naiwnie napisać, ale musi być dokładnie zdefiniowana w artykule w Cogebrze . W takim przypadku otrzymujemy
Rozwijając to szczegółowo, otrzymujemy następujące wyrażenie na rozkładających się elementach:
gdzie drugie sumowanie jest brane po wszystkich ( p +1, k − p ) -tasowaniach . Powyższe zostało napisane za pomocą notacyjnej sztuczki, aby śledzić element pola 1: sztuczka polega na zapisaniu , a ta jest tasowana w różnych miejscach podczas rozwijania sumy przez tasowanie. Przetasowanie wynika bezpośrednio z pierwszego aksjomatu ko-algebry: względna kolejność elementów jest zachowana w przetasowaniu w przetasowaniach: przetasowanie w przetasowaniach dzieli tylko uporządkowany ciąg na dwa uporządkowane ciągi, jeden po lewej, a drugi po prawej .
Zauważ, że koprodukt zachowuje stopień algebry. Rozszerzając do pełnej przestrzeni Λ( V ), należy
Symbol tensora ⊗ użyty w tym rozdziale należy rozumieć z pewną ostrożnością: nie jest to ten sam symbol tensora, który jest używany w definicji produktu naprzemiennego. Intuicyjnie chyba najłatwiej pomyśleć, że jest to po prostu inny, ale inny iloczyn tensorowy: nadal jest (bi-)liniowy, jak powinien być iloczyn tensorowy, ale to właśnie iloczyn jest odpowiedni dla definicji biagebry, jest, do tworzenia obiektu Λ( V ) ⊗ Λ( V ). Wszelkie utrzymujące się wątpliwości można rozwiać rozważając równości (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) i ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , które wynikają z definicji kogebry, w przeciwieństwie do naiwnych manipulacji z użyciem symboli tensora i klina. To rozróżnienie jest bardziej szczegółowo rozwinięte w artykule o algebrach tensorów . Tutaj problem jest znacznie mniejszy, ponieważ iloczyn przemienny Λ wyraźnie odpowiada mnożeniu w biagebrze, pozostawiając symbol ⊗ do wykorzystania w definicji biagebry. W praktyce nie stanowi to szczególnego problemu, o ile uniknie się fatalnej pułapki polegającej na zastąpieniu naprzemiennych sum ⊗ symbolem klina, z jednym wyjątkiem. Można skonstruować produkt naprzemienny z ⊗, rozumiejąc, że działa on w innej przestrzeni. Bezpośrednio poniżej podano przykład: iloczyn przemienny dla przestrzeni podwójnej można podać w kategoriach iloczynu równoległego. Konstrukcja bialgebry odpowiada tutaj prawie dokładnie konstrukcji artykułu algebry tensorów , z wyjątkiem konieczności prawidłowego śledzenia znaków przemiennych dla algebry zewnętrznej.
Jeśli chodzi o koprodukt, zewnętrzny produkt w podwójnej przestrzeni jest tylko stopniowanym dualem koproduktu:
gdzie iloczyn tensorowy po prawej stronie jest wieloliniowymi odwzorowaniami liniowymi (rozszerzonymi o zero na elementach o niezgodnym stopniu jednorodnym: dokładniej, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , gdzie ε jest obecnie zdefiniowane).
Counit jest homomorfizm ε : Λ ( V ) → K , która zwraca 0 o stopniu elementu jej argumentu. Koprodukt i counit, wraz z iloczynem zewnętrznym, definiują strukturę biagebry na zewnętrznej algebrze.
Z antypodą zdefiniowaną na elementach jednorodnych przez , algebra zewnętrzna jest ponadto algebrą Hopfa .
Funkcjonalność
Załóżmy , że V i W są parą przestrzeni wektorowych oraz f : V → W jest odwzorowaniem liniowym . Następnie, dzięki uniwersalnej własności, istnieje unikalny homomorfizm stopniowanych algebr
takie, że
W szczególności Λ( f ) zachowuje jednorodność stopnia. K -graded składniki X ( f ) przedstawiono na elementach rozkładających się przez
Pozwolić
Składowymi transformacji Λ k ( f ) względem bazy V i W jest macierz k × k nieletnich f . W szczególności, gdy V = W i V jest skończonym wymiarze n , a następnie Λ n ( f ) jest odwzorowaniem jednowymiarowej przestrzeni wektorowej X n V do siebie i dlatego jest podana przez skalarne: w determinant of f .
Dokładność
Jeśli jest krótkim dokładnym ciągiem przestrzeni wektorowych, to
jest dokładną sekwencją stopniowanych przestrzeni wektorowych, tak jak
Kwoty bezpośrednie
W szczególności algebra zewnętrzna sumy prostej jest izomorficzna z iloczynem tensorowym algebr zewnętrznych:
To jest stopniowany izomorfizm; tj,
W większej ogólności, dla krótkiego dokładnego ciągu przestrzeni wektorowych , występuje naturalna filtracja
gdzie for jest połączone z elementami formularza for i . Odpowiednie ilorazy dopuszczają naturalny izomorfizm
- podane przez
W szczególności, jeśli U jest jednowymiarowe, to
jest dokładne, a jeśli W jest jednowymiarowe, to
jest dokładny.
Aplikacje
Algebra liniowa
W zastosowaniach do liniowego Algebra , urządzenie zewnętrzne stanowi streszczenie algebraiczną sposób opisujący determinantę i nieletnich o matrycy . Na przykład dobrze wiadomo, że wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy objętości równoległoboku, którego boki są kolumnami macierzy (ze znakiem wskazującym orientację). Sugeruje to, że wyznacznik można zdefiniować w kategoriach iloczynu zewnętrznego wektorów kolumnowych. Podobnie k x k minorów macierzy można zdefiniować, patrząc na zewnętrzne iloczyny wektorów kolumnowych wybranych k na raz. Idee te można rozszerzyć nie tylko na macierze, ale także na przekształcenia liniowe : wyznacznikiem przekształcenia liniowego jest czynnik, za pomocą którego skaluje ona zorientowaną objętość dowolnego danego równoległoboku odniesienia. Tak więc wyznacznik transformacji liniowej można zdefiniować w kategoriach tego, co transformacja robi z najwyższą siłą zewnętrzną. Działanie przemiany na słabsze siły zewnętrzne daje podstawę – niezależny sposób mówienia o nieletnich transformacji.
Szczegóły techniczne: Definicje
Niech będzie n- wymiarową przestrzenią wektorową nad polem z bazą .
- Dla , zdefiniuj na prostych tensorach przez
- Dla , zdefiniuj transpozycję zewnętrzną jako unikalny operator satysfakcjonujący
- Dla , zdefiniuj . Te definicje są równoważne z innymi wersjami.
Podstawowe właściwości
Wszystkie wyniki uzyskane z innych definicji wyznacznika, śladu i sprzężenia można uzyskać z tej definicji (ponieważ definicje te są równoważne). Oto kilka podstawowych właściwości związanych z tymi nowymi definicjami:
- jest -liniowa.
- Mamy kanoniczny izomorfizm
- Wpisy transponowanej macierzy z są -minorami .
-
-
W szczególności,
- Charakterystyczną wielomian od można otrzymać
Algorytm Leverriera
są współczynnikami wyrazów wielomianu charakterystycznego. Występują również w wyrażeniach i . Algorytm Leverriera to ekonomiczny sposób obliczania i :
- Ustaw ;
- Dla ,
Fizyka
W fizyce wiele wielkości jest naturalnie reprezentowanych przez naprzemienne operatory. Na przykład, jeśli ruch naładowanej cząstki jest opisany przez wektory prędkości i przyspieszenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, to normalizacja wektora prędkości wymaga, aby siła elektromagnetyczna była operatorem przemiennym prędkości. Jego sześć stopni swobody utożsamia się z polami elektrycznymi i magnetycznymi.
Geometria liniowa
Rozkładalne k -wektory mają interpretacje geometryczne: dwuwektor u ∧ v reprezentuje płaszczyznę rozpiętą przez wektory, "ważoną" liczbą, określoną przez pole zorientowanego równoległoboku o bokach u i v . Analogicznie, trójwektor u ∧ v ∧ w reprezentuje rozpiętą trójprzestrzeń ważoną objętością zorientowanego równoległościanu o krawędziach u , v i w .
Geometria rzutowa
Rozkładające k -vectors w X k V odpowiadają ważone k wymiarowa liniowa podprzestrzenie od V . W szczególności Grassmannian z k -wymiarowej podprzestrzeni V , oznaczoną Gr k ( V ), można w sposób naturalny oznaczane algebraicznej subvariety w przestrzeni rzutowej P (X k V ). Nazywa się to osadzaniem Plückera .
Geometria różnicowa
Algebra zewnętrzna ma znaczące zastosowania w geometrii różniczkowej , gdzie jest używana do definiowania form różniczkowych . Formy różniczkowe to obiekty matematyczne, które oceniają długość wektorów, obszary równoległoboków i objętości ciał wyższych wymiarów , dzięki czemu można je całkować na krzywych, powierzchniach i rozmaitościach wyższych wymiarów w sposób, który uogólnia całki krzywoliniowe i całki powierzchniowe z rachunku różniczkowego . Postać różnica w punkcie różniczkowej kolektora jest zmienny postać multilinear na powierzchni stycznej w punkcie. Równoważnie forma różniczkowa stopnia k jest funkcjonałem liniowym na k- tej potędze zewnętrznej przestrzeni stycznej. W konsekwencji produkt zewnętrzny form wieloliniowych definiuje naturalny produkt zewnętrzny dla form zróżnicowanych. Formy różniczkowe odgrywają ważną rolę w różnych obszarach geometrii różniczkowej.
W szczególności pochodna zewnętrzna nadaje zewnętrznej algebrze form różniczkowych na rozmaitości strukturę różniczkowej algebry stopniowanej . Zewnętrzna pochodna komutuje z wycofywaniem wzdłuż gładkich odwzorowań między rozmaitościami, a zatem jest naturalnym operatorem różniczkowym . Zewnętrzna algebra form różniczkowych, wyposażona w zewnętrzną pochodną, jest kompleksem kołańcuchowym, którego kohomologia nazywana jest kohomologią de Rhama podstawowej rozmaitości i odgrywa istotną rolę w algebraicznej topologii rozmaitości różniczkowalnych.
Teoria reprezentacji
W teorii reprezentacji , algebra zewnętrzna jest jednym z dwóch podstawowych funktorów Schura w kategorii przestrzeni wektorowych , drugim jest algebra symetryczna . Wszystkie te konstrukcje są używane do generowania reprezentacji nieprzywiedlnych o ogólnej grupy liniowego ; zobacz reprezentacja podstawowa .
Superprzestrzeń
Algebra zewnętrzna nad liczbami zespolonymi jest archetypowym przykładem superalgebry , która odgrywa fundamentalną rolę w teoriach fizycznych dotyczących fermionów i supersymetrii . Pojedynczy element algebry zewnętrznej nazywa się superliczbą lub liczbą Grassmanna . Sama algebra zewnętrzna jest zatem tylko jednowymiarową superprzestrzenią : jest to po prostu zbiór wszystkich punktów algebry zewnętrznej. Topologia w tej przestrzeni jest zasadniczo topologią słabą , a zbiory otwarte są zbiorami cylindrycznymi . N wymiarowa SuperSpace jest tylko n -krotnie produktem algebr zewnętrznych.
Homologia algebry Liego
Niech L będzie algebrą Liego nad ciałem K , wtedy można zdefiniować strukturę kompleksu łańcuchowego na zewnętrznej algebrze L . To jest mapowanie K- liniowe
zdefiniowany na rozkładających się elementach przez
Tożsamość Jacobiego zachodzi wtedy i tylko wtedy, ∂∂ = 0 , a więc jest to warunkiem koniecznym i wystarczającym dla anticommutative niezwiązane Kolejność algebry L aby być Algebra Lie. Co więcej, w tym przypadku Λ L jest kompleksem łańcuchowym z operatorem brzegowym ∂. Homologii powiązany kompleks jest homologii Lie algebra .
Algebra homologiczna
Algebra zewnętrzna jest głównym składnikiem konstrukcji kompleksu Koszula , podstawowego obiektu algebry homologicznej .
Historia
Algebra zewnętrzna została po raz pierwszy wprowadzona przez Hermanna Grassmanna w 1844 roku pod ogólnym terminem Ausdehnungslehre , czyli Teoria Rozszerzenia . Odnosiło się to bardziej ogólnie do algebraicznej (lub aksjomatycznej) teorii wielkości rozszerzonych i było jednym z wczesnych prekursorów nowoczesnego pojęcia przestrzeni wektorowej . Saint-Venant opublikował również podobne idee zewnętrznego rachunku różniczkowego, dla których miał pierwszeństwo przed Grassmannem.
Sama algebra została zbudowana ze zbioru reguł lub aksjomatów, ujmując formalne aspekty teorii wielowektorów Cayleya i Sylwestra. Był to zatem rachunek różniczkowy , podobnie jak rachunek zdań , z tym wyjątkiem, że skupiał się wyłącznie na zadaniu formalnego rozumowania w terminach geometrycznych. W szczególności to nowe rozwiązanie umożliwiło aksjomatyczną charakterystykę wymiaru, właściwość, która wcześniej była badana tylko z punktu widzenia współrzędnych.
Znaczenie tej nowej teorii wektorów i multiwektorów zostało utracone przez matematyków z połowy XIX wieku, dopóki nie zostało dokładnie zweryfikowane przez Giuseppe Peano w 1888 roku. Prace Peano również pozostawały nieco niejasne aż do przełomu wieków, kiedy temat został ujednolicony przez członków Francuska szkoła geometrii (zwłaszcza Henri Poincaré , Élie Cartan i Gaston Darboux ), która zastosowała idee Grassmanna do rachunku form różniczkowych .
Niedługo później Alfred North Whitehead , zapożyczając z pomysłów Peano i Grassmanna, przedstawił swoją uniwersalną algebrę . To z kolei utorowało drogę do rozwoju algebry abstrakcyjnej w XX wieku, umieszczając aksjomatyczne pojęcie systemu algebraicznego na solidnych podstawach logicznych.
Zobacz też
- Zewnętrzne tożsamości rachunku różniczkowego
- Algebra przemienna
- Algebra symetryczna , symetryczny analog
- Algebra Clifforda , uogólnienie algebry zewnętrznej przy użyciu niezerowej formy kwadratowej
- Algebra Weyla , kwantowa deformacja algebry symetrycznej przez formę symplektyczną
- Algebra wieloliniowa
- Algebra tensora
- Algebra geometryczna
- Kompleks Koszul
- Suma klina
Uwagi
Bibliografia
Odniesienia matematyczne
-
biskup R. ; Goldberg, SI (1980), Analiza tensorowa na rozmaitościach , Dover, ISBN 0-486-64039-6
- Obejmuje potraktowanie naprzemiennych tensorów i naprzemiennych form, a także szczegółowe omówienie dualizmu Hodge'a z perspektywy przyjętej w tym artykule.
-
Bourbaki, Nicolas (1989), Elementy matematyki , Algebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9
- To jest główne matematyczne odniesienie do artykułu. Wprowadza zewnętrzną algebrę modułu nad pierścieniem przemiennym (chociaż ten artykuł specjalizuje się głównie w przypadku, gdy pierścień jest ciałem), w tym omówienie własności uniwersalnej, funktorialności, dualności i struktury biagebry. Patrz §III.7 i §III.11.
-
Bryant, RL ; Czern, SS ; Gardner, RB; Goldschmidta, HL; Griffiths, PA (1991), Zewnętrzne systemy różnicowe , Springer-Verlag
- Ta książka zawiera zastosowania algebr zewnętrznych do rozwiązywania problemów z równaniami różniczkowymi cząstkowymi . Rangi i związane z nimi koncepcje zostały opracowane we wczesnych rozdziałach.
-
MacLane'a, S .; Birkhoff, G. (1999), Algebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2
- Rozdział XVI, sekcje 6–10, zawierają bardziej elementarny opis algebry zewnętrznej, w tym dualizmu, wyznaczników i pobocznych oraz form alternacji.
-
Sternberg, Shlomo (1964), Wykłady z geometrii różniczkowej , Prentice Hall
- Zawiera klasyczne traktowanie algebry zewnętrznej jako przemiennych tensorów oraz zastosowania w geometrii różniczkowej.
odniesienia historyczne
- Bourbaki (1989 , Nota historyczna do rozdziałów II i III)
- Clifford, W. (1878), "Zastosowania rozległej algebry Grassmanna", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 1 (4): 350-358, doi : 10.2307/2369379 , JSTOR 2369379
- Forder, HG (1941), The Calculus of Extension , Cambridge University Press
- Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik (w języku niemieckim)(Teoria liniowego rozszerzenia – nowa gałąź matematyki) alternatywne odniesienie
- Kannenberg, Lloyd (2000), Teoria rozszerzenia (tłumaczenie Ausdehnungslehre Grassmanna ) , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-2031-1
- Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva; Kannenberg, Lloyd (1999), Rachunek geometryczny: Według Ausdehnungslehre H. Grassmann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4126-9.
- Whitehead, Alfred North (1898), Traktat o algebrze uniwersalnej z aplikacjami , Cambridge
Inne odniesienia i dalsza lektura
-
Browne, JM (2007), algebra Grassmanna – Odkrywanie zastosowań rozszerzonej algebry wektorowej za pomocą Mathematica
- Wprowadzenie do algebry zewnętrznej i algebry geometrycznej ze szczególnym uwzględnieniem zastosowań. Zawiera również sekcję historii i bibliografię.
-
Spivak, Michael (1965), Rachunek na rozmaitościach , Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-9021-6
- Obejmuje zastosowania algebry zewnętrznej do form różniczkowych, szczególnie skupionych na integracji i twierdzeniu Stokesa . Oznaczenie Λ k V w tym tekście oznacza przestrzeń naprzemiennych k -form na V ; tj. dla Spivaka Λ k V jest tym, co ten artykuł nazwałby Λ k V ∗ . Spivak omawia to w Dodatku 4.
-
Strang, G. (1993), Wprowadzenie do algebry liniowej , Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-5-5
- Zawiera elementarne traktowanie aksjomatyzacji wyznaczników jako obszarów oznaczonych, objętości i objętości nadwymiarowych.
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Algebra zewnętrzna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
- Wendell H. Fleming (1965) Funkcje kilku zmiennych , Addison-Wesley .
- Rozdział 6: Algebra zewnętrzna i rachunek różniczkowy, strony 205–38. Ten podręcznik rachunku różniczkowego zręcznie wprowadza zewnętrzną algebrę form różniczkowych do sekwencji rachunku różniczkowego dla szkół wyższych.
-
Winitzki, S. (2010), Algebra liniowa przez produkty zewnętrzne
- Wprowadzenie do podejścia bez współrzędnych w podstawowej skończenie wymiarowej algebrze liniowej z wykorzystaniem produktów zewnętrznych.
-
Szafarewicz, IR ; Remizow, AO (2012). Algebra liniowa i geometria . Springer . Numer ISBN 978-3-642-30993-9.
- Rozdział 10: Produkt zewnętrzny i algebry zewnętrzne
- „The Grassmann method in projective geometry” Kompilacja angielskich przekładów trzech notatek Cesare Burali-Forti na temat zastosowania algebry zewnętrznej w geometrii rzutowej
- C. Burali-Forti, „Wprowadzenie do geometrii różniczkowej, zgodnie z metodą H. Grassmanna” Angielskie tłumaczenie wczesnej książki o geometrycznych zastosowaniach algebr zewnętrznych
- „Mechanika, zgodnie z zasadami teorii rozciągłości” Angielskie tłumaczenie jednego z artykułów Grassmanna o zastosowaniach algebry zewnętrznej