Akcja grupowa - Group action
Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup |
---|
W matematyce , o działanie grupy na przestrzeni jest homomorfizmem grupy danej grupy do grupy przekształceń przestrzeni. Podobnie działanie grupowe na strukturze matematycznej jest homomorfizmem grupy w grupie automorfizmu struktury. Mówi się, że grupa działa na przestrzeń lub strukturę. Jeśli grupa działa na strukturę, zwykle działa również na obiektach zbudowanych z tej struktury. Na przykład grupa izometrii euklidesowych oddziałuje na przestrzeń euklidesową, a także na narysowane w niej figury. W szczególności działa na zbiór wszystkich trójkątów . Podobnie, grupa symetrii o wielościanu działa na wierzchołkach , na krawędziach , a powierzchnie wielościanu.
Akcja grupowa na (skończenie wymiarowej) przestrzeni wektorowej nazywana jest reprezentacją grupy. Pozwala to na zidentyfikowanie wielu grup z podgrupami GL( n , K ) , grupy macierzy odwracalnych wymiaru n nad ciałem K .
Symetryczna grupa S n działa na dowolny zestaw z n elementami poprzez permutację elementów zestawu. Chociaż grupa wszystkich permutacji zbioru formalnie zależy od zbioru, koncepcja działania grupowego pozwala rozważyć jedną grupę do badania permutacji wszystkich zbiorów o tej samej kardynalności .
Definicja
Lewa akcja grupowa
Jeżeli G jest grupą z elementem tożsamościowym e , a X jest zbiorem, to ( lewa ) akcja grupowa α z G na X jest funkcją
spełnia następujące dwa aksjomaty:
Tożsamość: Zgodność:
(z α ( g , x ) często skracane do gx lub g ⋅ x , gdy rozważane działanie jest jasne z kontekstu):
Tożsamość: Zgodność:
dla wszystkich g i h w G i wszystkich x w X .
Grupa G ma działać na X (od lewej). Zbiór X wraz z działaniem G nazywany jest (po lewej ) G - zbiorem .
Z tych dwóch aksjomatów wynika, że dla dowolnego ustalonego g w G funkcja od X do siebie, która odwzorowuje x na g ⋅ x jest bijekcją, z odwrotną bijekcją odpowiadającą mapą dla g- 1 . Dlatego można równoważnie zdefiniować grupowe działanie G na X jako homomorfizm grupowy od G do symetrycznej grupy Sym( X ) wszystkich bijekcji od X do siebie.
Prawidłowa akcja grupowa
Podobnie, prawy zespół działanie z G na X jest funkcją
(z α ( x , g ) często skracane do xg lub x ⋅ g, gdy rozważane działanie jest jasne z kontekstu)
spełnia analogiczne aksjomaty:
Tożsamość: Zgodność:
dla wszystkich g i h w G i wszystkich x w X .
Różnica między lewą i prawą akcją polega na kolejności, w jakiej iloczyn gh działa na x . W przypadku akcji w lewo, h działa jako pierwsze, a następnie g jako drugie. W przypadku prawidłowego działania, g działa jako pierwsze, a następnie h jako drugie. Ze względu na wzór ( gh ) −1 = h −1 g −1 , lewa akcja może być skonstruowana z prawego działania przez złożenie z odwrotnym działaniem grupy. Również prawe działanie grupy G na X może być traktowane jako lewe działanie jej przeciwnej grupy G op na X .
Tak więc, aby ustalić ogólne właściwości działań grupowych, wystarczy wziąć pod uwagę tylko działania lewe. Są jednak przypadki, w których nie jest to możliwe. Na przykład pomnożenie grupy indukuje zarówno lewe działanie, jak i prawe działanie na samej grupie — pomnożenie odpowiednio po lewej i po prawej stronie.
Rodzaje działań
Akcja G na X nazywa się:
- Przechodni, jeśliXjestniepustei jeśli dla każdej paryx,ywXistniejegwGtakie, że g ⋅ x = y . Na przykład, działanie symetryczna grupaXjest przechodni, działanie zogólnej grupy liniowegolubspecjalnej grupy liniowez przestrzeni wektorVo V ∖ {0}jest przechodni, ale działanieortogonalne grupyo euklidesowej PowierzchniaEnie jest przejściowe o E ∖ {0}(to jest przechodni wsferze jednostkowejodE, chociaż).
-
Wierny (lubskuteczna ), jeśli dla każdego dwóch odrębnychg,hwGistniejexwXtakich, że g ⋅ x ≠ H ⋅ x ; lub równoważnie, jeśli dla każdego g ≠ e wGistniejexwXtakie, że g ⋅ x ≠ x . Innymi słowy, w wiernym działaniu grupowym różne elementyGwywołują różne permutacjeX. W kategoriach algebraicznych grupaGdziała wiernie naXwtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający homomorfizm grupie symetrycznej, G → Sym( X ), ma trywialnejądro. Tak więc, dla wiernego działania,G osadzasię wgrupie permutacyjnejnaX; konkretnie,Gjest izomorficzny ze swoim obrazem w Sym(X). JeśliGnie działa wiernie naX, możemy łatwo zmodyfikować grupę, aby uzyskać wierne działanie. Jeśli określenie N = { g z G : g ⋅ x = x dla wszystkich x w X }, aNjestnormalnie podgrupyzG; rzeczywiście jest to jądro homomorfizmu G → Sym( X ). Grupaczynników G/Ndziała wiernie naXprzez ustawienie( gN ) ⋅ x = g ⋅ x . Pierwotne działanieGnaXjest wierne wtedy i tylko wtedy, gdy N = { e }. Najmniejszy zbiór, na którym można zdefiniować wierne działanie, może się znacznie różnić dla grup tej samej wielkości. Na przykład:
- Trzy grupy o wielkości 120 są symetryczne grupa S 5 The dwudziestościan grupa i grupa cykliczna . Najmniejsze zestawy, na których można zdefiniować wierne akcje, mają odpowiednio rozmiar 5, 12 i 16.
- W abelowe grupy o wielkości 2 N zawierają grupę cykliczną , jak również (w bezpośrednim produktem z n kopii ), ale ta ostatnia występuje wiernie zestawu wielkości 2 n , podczas gdy te pierwsze mogą nie działać dokładnie na zestawie mniejsze od siebie.
- Swobodny (lubpółregularnylubpunktowy swobodny), jeśli przy danymg,hwG, istnieniexwXz g ⋅ x = h ⋅ x implikuje g = h . Równoważnie: jeśligjest elementem grupy i istniejexwXz g ⋅ x = x (to znaczy, jeśligma co najmniej jeden punkt stały), togjest tożsamością. Zauważ, że darmowa akcja na niepustym zestawie jest wierna.
- Zwykły (lubpo prostu przechodnie lubostro przechodnie), jeśli jest zarówno przechodnia, jak i wolna; jest to równoznaczne z powiedzeniem, że na każde dwax,ywXistnieje dokładnie jednogwGtakie, że g ⋅ x = y . W tym przypadkuXnazywamygłówną jednorodną przestrzeniądlaGlubG-torsora. Działanie dowolnej grupyGna siebie przez mnożenie od lewej jest regularne, a więc również wierne. Każda grupa może zatem być osadzona w grupie symetrycznej na swoich własnych elementach Sym(G). Ten wynik jest znany jakotwierdzenie Cayleya.
- n -przechodnie jeśli X ma co najmniej n elementów i dla wszystkich różnych x 1 , ..., x n i wszystkich różnych y 1 , ..., y n , istnieje g w G takie, że g ⋅ x k = r k o 1 ≤ k ≤ n . Akcja 2-przechodnia jest również nazywanapodwójnie przechodnie , akcja 3-przechodnia jest również nazywanapotrójnie przechodniąi tak dalej. Takie działania definiują interesujące klasy podgrup w grupach symetrycznych: grupy2-przechodniei ogólniejmnożąc grupy przechodnie. Akcja grupy symetrycznej na zbiorze składającym się znelementów jest zawszen-przechodnia; działaniegrupy naprzemiennejjest (n − 2) – przechodnie.
- Ostro n -przechodni, jeśli istnieje dokładnie jeden takig.
- Prymitywne, jeśli jest przechodnie i nie zachowuje żadnego nietrywialnego podziałuX. Zobaczgrupę permutacji prymitywnych,aby uzyskać szczegółowe informacje.
- Lokalnie wolne, jeśli G jest grupą topologiczną , a sąsiedztwo U z e w G jest takie, że ograniczenie działania do U jest wolne; to znaczy, jeśli g ⋅ x = x dla pewnego x i pewnego g w U, to g = e .
Ponadto, jeśli G działa na przestrzeni topologicznej X , to działanie jest następujące:
- Zastanawianie się, czy każdy punkt x w X ma sąsiedztwo U takie, żejest skończone. Na przykład działanieonby tłumaczenia jest wędrujące. Wędruje też akcja grupy modułowej na półpłaszczyźnie Poincaré.
- Prawidłowo nieciągły, jeśli X jest przestrzenią lokalnie zwartą i dla każdego zwartego podzbioru K ⊂ X zbiór jest skończony. Podane powyżej czynności wędrowne są również właściwie nieciągłe. Z drugiej strony działanie na dane przez jest wędrujące i swobodne, ale nie jest właściwie nieciągłe.
- Prawidłowe, jeśliGjest grupą topologiczną i mapa zjestwłaściwa. JeśliGjestdyskretna, a następnie properness jest równoważna odpowiedniej nieciągłości naG-actions.
- Mówi się, że ma dyskretne orbity, jeśli orbita każdego x w X pod działaniem G jest dyskretna w X .
- Obejmujące przestrzeń działania , jeśli każdy punkt x w X ma otoczenie U takie, że .
Jeśli X jest niezerowym modułem nad pierścieniem R, a działanie G jest R- liniowe, to mówi się, że jest
- Nieredukowalne, jeśli nie ma niezerowego odpowiedniego niezmiennego submodułu.
Orbity i stabilizatory
Rozważmy grupę G działającą na zbiorze X . Orbity pierwiastka X w X jest zestaw elementów X , którym x może być przemieszczane przez elementy G . Orbita x jest oznaczona przez G ⋅ x :
Właściwości zdefiniowanie grupy gwarancji, że zbiór orbit (punkty x w) x pod działaniem G tworzą partycję z X . Przynależną równoważność stosunek jest określony przez mówiąc x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g na G w g ⋅ x = y . Orbity są wtedy klasami równoważności w tej relacji; dwa elementy x i y są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich orbity są takie same, to znaczy G ⋅ x = G ⋅ y .
Akcja grupowa jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie jedną orbitę, to znaczy, jeśli istnieje x w X z G ⋅ x = X . Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy G ⋅ x = X dla wszystkich x w X (biorąc pod uwagę, że X nie jest puste).
Zbiór wszystkich orbit X pod działaniem G zapisujemy jako X / G (lub rzadziej: G \ X ) i nazywamy ilorazem działania. W sytuacjach geometrycznych można to nazwaćprzestrzeń orbity , podczas gdy w sytuacjach algebraicznych można ją nazwać przestrzeniąkoinwarianty i zapisaneX G , w przeciwieństwie do niezmienników (punkty stałe), oznaczoneX G : koinwarianty sąilorazem,podczas gdy niezmienniki sąpodzbiorem. Terminologia i notacja koinwariantna są używane szczególnie wkohomologiigrupowejihomologii grupowej, które wykorzystują tę samą konwencję indeksu górnego/dolnego.
Niezmienne podzbiory
Jeżeli Y jest podzbiorem z X , jeden zapisuje G ⋅ Y dla zestawu { g ⋅ y : y ∈ Y i g ∈ G } . Mówi się, że podzbiór Y jest niezmienny pod G, jeśli G ⋅ Y = Y (co jest równoważne G ⋅ Y ⊆ Y ). W takim przypadku G działa również na Y , ograniczając działanie do Y . Podzbiór Y nazywamy ustalonym pod G, jeśli g ⋅ y = y dla wszystkich g w G i wszystkich y w Y . Każdy podzbiór ustalony pod G jest również niezmienny pod G , ale nie odwrotnie.
Każda orbita jest niezmiennym podzbiorem X, na którym G działa przechodnie . I odwrotnie, każdy niezmienny podzbiór X jest sumą orbit. Działanie G na X jest przechodnie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy są równoważne, co oznacza, że jest tylko jedna orbita.
G niezmienny element X to x ∈ X w taki sposób, g ⋅ x = x dla wszystkich g ∈ G . Zbiór wszystkich takich X jest oznaczona X G i zwane G Niezmienniki z X . Gdy X jest G -module , X G jest zerowe kohomologie grupa G ze współczynników X i wyższe grupy kohomologii są pochodne Funktory z funktora z G -invariants.
Punkty stałe i podgrupy stabilizatorów
Biorąc pod uwagę g w G i x w X przy g ⋅ x = x , mówi się, że „ x jest stałym punktem g ” lub że „ g ustala x ”. Dla każdego x w X The podgrupa stabilizatora z G w stosunku do X (znany także grupa izotropowość lub małe grupy ) stanowi zbiór wszystkich elementów G mocujące x :
Jest to podgrupa z G , chociaż zwykle nie jest normalny. Działanie G na X jest swobodne wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie stabilizatory są trywialne. Jądro N homomorfizmu z grupą symetryczną, G → Sym( X ) , jest dane przez przecięcie stabilizatorów G x dla wszystkich x w X . Jeśli N jest trywialne, mówi się, że działanie jest wierne (lub skuteczne).
Niech x i y będą dwoma elementami w X i niech g będzie elementem grupy takim, że y = g ⋅ x . Następnie dwie grupy stabilizatorów G x i G y są powiązane przez G y = g G x g -1 . Dowód: z definicji h ∈ G y wtedy i tylko wtedy, gdy h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Stosując g -1 po obu stronach tej równości daje ( g -1 hg )⋅ x = x ; czyli g -1 hg ∈ G x . Podobnie następuje przeciwne włączenie, przyjmując h ∈ G x i zakładając x = g −1 ⋅ y .
Powyższe mówi, że stabilizatory pierwiastków na tej samej orbicie są ze sobą sprzężone . W ten sposób do każdej orbity możemy powiązać klasę koniugatu podgrupy G (czyli zbiór wszystkich koniugatów podgrupy). Niech oznaczają klasa sprzężoności z H . Wtedy orbita O ma typ, jeśli stabilizator jakiegoś/dowolnego x w O należy do . Typ orbity maksymalnej jest często nazywany typem orbity głównej .
Twierdzenie o stabilizatorze orbity i lemat Burnside'a
Orbity i stabilizatory są ze sobą ściśle powiązane. Dla ustalonego x w X , rozważ odwzorowanie f : G → X dane przez g ↦ g · x . Z definicji obraz f ( G ) na tej mapie to orbita G · x . Warunkiem, aby dwa elementy miały ten sam obraz, jest
- .
Innymi słowy, wtedy i tylko wtedy i leżą w tym samym zestawie dla podgrupy stabilizatora . Tak więc, włókna z F, w dowolnym Y w G · x jest zawarte w takim warstwa, a każda taka warstwa występuje także w postaci włókien. Dlatego f określa bijekcję między zbiorem cosetów dla podgrupy stabilizatora a orbitą G · x , która wysyła . Ten wynik jest znany jako twierdzenie o stabilizatorze orbity .
Jeśli G jest skończone, to twierdzenie o stabilizatorze orbity wraz z twierdzeniem Lagrange'a daje
innymi słowy długość orbity x razy rząd jej stabilizatora jest rządem grupy. W szczególności oznacza to, że długość orbity jest dzielnikiem porządku grupowego.
- Przykład: Niech G będzie grupą rzędu pierwszego p działającą na zbiorze X zawierającym k elementów. Ponieważ każda orbita ma 1 lub p elementów, istnieją przynajmniej orbity o długości 1, które są G- niezmiennymi elementami.
Ten wynik jest szczególnie przydatny, ponieważ można go wykorzystać do zliczania argumentów (zwykle w sytuacjach, gdy X również jest skończone).
- Przykład: Możemy użyć twierdzenia o stabilizatorze orbity, aby policzyć automorfizmy grafu . Rozważmy graf sześcienny jak na rysunku i niech G oznacza jego grupę automorficzną . Wtedy G działa na zbiorze wierzchołków {1, 2, ..., 8}, a ta akcja jest przechodnia, co można zobaczyć tworząc obroty wokół środka sześcianu. Tak więc, zgodnie z twierdzeniem o stabilizatorze orbity, . Stosując teraz twierdzenie do stabilizatora G 1 , możemy otrzymać . Każdy element G, który ustala 1, musi wysłać 2 do 2, 4 lub 5. Jako przykład takich automorfizmów rozważ obrót wokół osi przekątnej o 1 i 7, o które permutuje 2,4,5 i 3,6,8 , oraz poprawki 1 i 7. Tak więc . Zastosowanie twierdzenia po raz trzeci daje . Każdy element G, który ustala 1 i 2, musi wysłać 3 do 3 lub 6. Odbicie sześcianu w płaszczyźnie przez 1,2,7 i 8 jest takim automorfizmem wysyłającym 3 do 6, a więc . Widzimy też, że składa się on tylko z automorfizmu tożsamościowego, ponieważ każdy element G ustalający 1, 2 i 3 musi także ustalać wszystkie inne wierzchołki, ponieważ są one określone przez ich sąsiedztwo z 1, 2 i 3. Łącząc poprzednie obliczenia, możemy teraz uzyskać .
Wynikiem ściśle powiązanym z twierdzeniem o stabilizatorze orbity jest lemat Burnside'a :
gdzie X g jest zbiorem punktów ustalonych przez g . Wynik ten ma zastosowanie głównie wtedy, gdy G i X są skończone, gdy można go interpretować w następujący sposób: liczba orbit jest równa średniej liczbie punktów ustalonych na element grupy.
Mocowanie grupy G , zestaw posiadanie różnic skończonych G -Służy tworzy pierścień, zwany pierścieniem Burnside z G , którym odpowiada dodatkiem do rozłącznego jedności oraz rozmnażania i produktu kartezjańskiej .
Przykłady
- ten trywialne działanie jakiejkolwiek grupyGw dowolnym ustalonymXjest określona g ⋅ x = x dla wszystkichgzGi wszystkichXnaX; oznacza to, że każdy element grupy indukujepermutację tożsamościnaX.
- W każdej grupie G mnożenie od lewej jest działaniem G na G : g ⋅ x = gx dla wszystkich g , x w G . Akcja ta jest swobodna i przechodnia (regularna) i stanowi podstawę szybkiego dowodu twierdzenia Cayleya - że każda grupa jest izomorficzna z podgrupą symetrycznej grupy permutacji zbioru G .
- W każdej grupie G z podgrupą H mnożenie od lewej jest działaniem G na zbiorze cosetów G/H : g ⋅ aH = gaH dla wszystkich g , a w G . W szczególności, jeśli H nie zawiera nietrywialnych normalnych podgrup G, indukuje to izomorfizm z G do podgrupy grupy permutacyjnej stopnia [G:H] .
- W każdej z grup G , koniugacji jest działanie G w G : g ⋅ x = gxg -1 . Notacja wykładnicza jest powszechnie stosowana dla wariantu o działaniu prawostronnym: x g = g -1 xg ; spełnia ( x g ) h = x gh .
- W każdej grupie G z podgrupą H koniugacja jest działaniem G na koniugaty H : g ⋅ K = gKg -1 dla wszystkich g w G i K koniugatów H .
- Symetryczna grupa S n i jej podgrupy działają na zbiorze { 1, …, n } permutując jego elementy
- Grupa symetrii wielościanu działa na zbiór wierzchołków tego wielościanu. Działa również na zbiór ścian lub zbiór krawędzi wielościanu.
- Grupa symetrii dowolnego obiektu geometrycznego działa na zbiór punktów tego obiektu.
- Grupa automorfizmu przestrzeni wektorowej (lub grafu , grupy, pierścienia...) działa na przestrzeni wektorowej (lub zbioru wierzchołków grafu, grupy, pierścienia...).
- Ogólna grupa liniowa GL( n , K ) i jej podgrupy, w szczególności podgrupy Lie (w tym specjalna grupa liniowa SL( n , K ) , grupa ortogonalna O( n , K ) , specjalna grupa ortogonalna SO( n , K ) , a grupa symplektyczna Sp( n , K ) ) to grupy Liego działające w przestrzeni wektorowej K n . Operacje na grupach podaje się mnożąc macierze z grup przez wektory z K n .
- Ogólna grupa liniowa GL( n , Z ) działa na Z n poprzez naturalne działanie macierzy. Orbity jego działania są klasyfikowane przez największy wspólny dzielnik współrzędnych wektora w Z n .
- Grupa afiniczna działa przechodnie na punkty przestrzeni afinicznej , a podgrupa V grupy afinicznej (czyli przestrzeni wektorowej) ma działanie przechodnie i swobodne (czyli regularne ) na te punkty; w rzeczywistości można to wykorzystać do określenia definicji przestrzeni afinicznej .
- Rzutowa liniową grupę PGL ( n + 1, K ) i jego podgrup, a zwłaszcza jego podgrupy Lie, które są grupami Lie działające na przestrzeni rzutowej P n ( K ). Jest to iloraz działania ogólnej grupy liniowej na przestrzeń rzutową. Na szczególną uwagę zasługuje PGL(2, K ) , symetrie linii rzutowej, która jest ostro 3-przechodnia, zachowując współczynnik krzyżowania ; grupa Möbiusa PGL (2 C ), ma szczególne znaczenie.
- W izometrie ustawy z samolotu na zestaw obrazów i wzorów 2D, takich jak wzory tapet . Definicję można doprecyzować, określając, co oznacza obraz lub wzór, na przykład funkcja położenia z wartościami w zestawie kolorów. Izometrie są w rzeczywistości jednym z przykładów grupy afinicznej (działania).
- Zestawy poddana działaniu grupy G składało się z kategorii z G -Służy, w których obiekty są G -Służy i morfizmami są G -Set homomorfizmy: funkcje f : X → Y w taki sposób, g ⋅ ( F ( x )) = f ( g ⋅ x ) dla każdego g w G .
- Grupa Galois z rozszerzeniem obszar L / K działa na polu l, ale ma tylko trywialne działanie na elementy podpolu K. podgrup Gal (l / K) odpowiadają podpól L zawierających K, czyli pośrednie pole rozszerzenia między L i K.
- Dodatkowa grupa liczb rzeczywistych ( R , + ) działa na przestrzeń fazową " dobrze zachowujących się " systemów w mechanice klasycznej ( i ogólniej układach dynamicznych ) przez przesunięcie w czasie : jeśli t jest w R i x jest w fazie przestrzeni, to x opisuje stan systemu, a t + x definiuje się jako stan systemu t sekund później, jeśli t jest dodatnie lub − t sekund temu, jeśli t jest ujemne.
- Grupa addytywna liczb rzeczywistych ( R , + ) działa na zbiór funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej na różne sposoby, przy czym ( t ⋅ f )( x ) równa się np. f ( x + t ) , f ( x ) + T , f ( XE t ) , f ( x ), e , T , f ( x + t ) e t , a f ( XE t ) + t , ale f ( XE T + t ) .
- Biorąc pod uwagę działanie grupy G o X można zdefiniować indukowanej działanie G na zestaw zasilania z X , ustawiając g ⋅ U = { g ⋅ u : u ∈ u } dla każdego podzbioru U z X i każdy g z G . Jest to przydatne, na przykład, w badaniu działania dużej grupy Mathieu na zbiorze 24 oraz w badaniu symetrii w niektórych modelach skończonych geometrii .
- W kwaterniony z normą 1 ( wersorów ), jak multiplikatywna grupa, działające na R 3 : Do takiego kwaternionów Z = cos α / 2 + V sin α / 2 odwzorowanie f ( x ) = oo x Z * jest obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt α wokół osi określonej przez wektor jednostkowy v ; z to ten sam obrót; zobacz kwaterniony i rotację przestrzenną . Zauważ, że nie jest to wierne działanie, ponieważ quaternion -1 pozostawia wszystkie punkty tam, gdzie były, podobnie jak quaternion 1.
- Biorąc lewo G -Służy znajduje się lewy G -Set której elementy są G -equivariant mapy i lewym G -action podane przez (gdzie „ ” oznacza mnożenie przez prawo ). Ten zbiór G ma tę właściwość, że jego stałe punkty odpowiadają mapom ekwiwariantnym ; bardziej ogólnie, jest to obiekt wykładniczy w kategorii G- zbiorów.
Akcje grupowe i grupoidy
Pojęcie działania grupowego można umieścić w szerszym kontekście, używając grupoidu działania związanego z działaniem grupowym, umożliwiając w ten sposób techniki z teorii grupoidów, takie jak prezentacje i fibracje . Dalej stabilizatory akcji są grupami wierzchołków, a orbity akcji są składnikami grupoidy akcji. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz książkę Topologia i groupoids, o której mowa poniżej.
Ten grupoid działania ma morfizm p : G′ → G , który jest morfizmem pokrywającym grupoidy . Pozwala to na powiązanie takich morfizmów z mapami pokrywającymi w topologii.
Morfizmy i izomorfizmy między G- zbiorami
Jeśli X i Y są dwoma zbiorami G , morfizm od X do Y jest funkcją f : X → Y taką, że f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) dla wszystkich g w G i wszystkich x w X . Morfizmami G -Służy nazywane są również equivariant mapy lub G-mapy .
Złożenie dwóch morfizmów jest znowu morfizmem. Jeśli morfizm f jest bijektywny, to jego odwrotność jest również morfizmem. W tym przypadku f nazywamy izomorfizmem , a dwa zbiory G X i Y nazywamy izomorfizmem ; dla wszystkich praktycznych celów izomorficzne zbiory G są nie do odróżnienia.
Kilka przykładowych izomorfizmów:
- Każde normalne działanie G jest izomorficzne z działaniem G na G przez mnożenie od lewej.
- Każde wolne działanie G jest izomorficzne z G × S , gdzie S jest pewnym zbiorem, a G działa na G × S przez mnożenie od lewej na pierwszej współrzędnej. ( S można przyjąć jako zbiór orbit X / G .)
- Każda przechodnia akcja G jest izomorficzna do lewej mnożenia przez G na zbiorze lewych kosetów jakiejś podgrupy H z G . ( H można przyjąć jako grupę stabilizatora dowolnego elementu oryginalnego zestawu G. )
Z tym pojęciem morfizmu, zbiór wszystkich zbiorów G tworzy kategorię ; ta kategoria jest toposem Grothendiecka (w rzeczywistości, zakładając klasyczną metalogikę, ten topos będzie nawet logiczny).
Ciągłe akcje grupowe
Często uważa działania grup ciągłych : grupa G jest grupą topologiczną, X jest przestrzenią topologiczną, a mapa G × X → X jest ciągła względem topologii produktu z G × X . Przestrzeń X nazywana jest również w tym przypadku przestrzenią G. Jest to rzeczywiście uogólnienie, ponieważ każdą grupę można uznać za grupę topologiczną przy użyciu topologii dyskretnej . Wszystkie wprowadzone powyżej pojęcia nadal działają w tym kontekście, jednak definiujemy morfizmy między przestrzeniami G jako ciągłe odwzorowania zgodne z działaniem G . Iloraz X / G dziedziczy topologię ilorazową z X i nazywa się przestrzenią ilorazową akcji. Powyższe stwierdzenia dotyczące izomorfizmów dla akcji regularnych, swobodnych i przechodnich nie są już aktualne dla ciągłych akcji grupowych.
Jeżeli X jest regularną przestrzenią pokrywającą inną przestrzeń topologiczną Y , to działanie grupy transformacji talii na X jest właściwie nieciągłe i wolne. Każda swobodna, właściwie nieciągła akcja grupy G na połączonej ścieżką przestrzeni topologicznej X powstaje w ten sposób: odwzorowanie ilorazowe X ↦ X / G jest regularnym odwzorowaniem pokrywającym, a grupa transformacji pokładu jest daną akcję G na X . Co więcej, jeśli X jest po prostu połączone, podstawowa grupa X / G będzie izomorficzna z G .
Wyniki te zostały uogólnione w książce Topology and Groupoids, o której mowa poniżej, w celu uzyskania fundamentalnej grupoidy przestrzeni orbity nieciągłego działania dyskretnej grupy w przestrzeni Hausdorffa, jako, w rozsądnych warunkach lokalnych, grupoida orbity fundamentalnej grupoidy przestrzeń. Pozwala to na obliczenia takie jak podstawowa grupa kwadratu symetrycznego przestrzeni X , czyli przestrzeń orbity iloczynu X ze sobą pod działaniem skrętu cyklicznej grupy rzędu 2 wysyłającej ( x , y ) do ( y , x ) ) .
Działanie grupy G na lokalnie zwartej przestrzeni X jest współzwarte, jeśli istnieje zwarty podzbiór A zbioru X taki, że GA = X . Dla prawidłowo nieciągłego oddziaływania, współzwartość jest równoważna zwartości przestrzeni ilorazowej X/G .
Działanie G na X jest uważane za właściwe, jeśli odwzorowanie G × X → X × X, które wysyła ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) jest właściwym odwzorowaniem .
Silnie ciągła akcja grupowa i gładkie punkty
O działaniu grupowym grupy topologicznej G na przestrzeni topologicznej X mówimy, że jest silnie ciągła, jeśli dla wszystkich x w X , odwzorowanie g ↦ g ⋅ x jest ciągłe w odniesieniu do odpowiednich topologii. Takie działanie indukuje działanie na przestrzeni funkcji ciągłych na X przez zdefiniowanie ( g ⋅ f )( x ) = f ( g −1 ⋅ x ) dla każdego g w G , f funkcji ciągłej na X , oraz x w X . Zauważ, że chociaż każda ciągła akcja grupowa jest silnie ciągła, odwrotność generalnie nie jest prawdziwa.
Podprzestrzeń punktów gładkich dla działania to podprzestrzeń X punktów x taka, że g ↦ g ⋅ x jest gładka, czyli ciągła i wszystkie pochodne są ciągłe.
Warianty i uogólnienia
Możemy również rozważyć działania monoidów na zbiorach, używając tych samych dwóch aksjomatów jak powyżej. Nie definiuje to jednak map bijective i relacji równoważności. Zobacz działanie półgrupowe .
Zamiast działań na zbiorach, możemy zdefiniować działania grup i monoidów na obiektach dowolnej kategorii: zacznij od obiektu X jakiejś kategorii, a następnie zdefiniuj działanie na X jako homomorfizm monoidu w monoid endomorfizmów X . Jeśli X posiada zbiór bazowy, wówczas wszystkie definicje i fakty podane powyżej mogą zostać przeniesione. Na przykład, jeśli weźmiemy kategorię przestrzeni wektorowych, w ten sposób otrzymujemy reprezentacje grup .
Możemy postrzegać grupę G jako kategorię z pojedynczym obiektem, w którym każdy morfizm jest odwracalny. (lewe) działanie grupowe jest więc niczym innym jak funktorem (kowariantnym) od G do kategorii zbiorów , a reprezentacją grupy jest funktor od G do kategorii przestrzeni wektorowych . Morfizm między G-zbiorami jest więc naturalną transformacją między funktorami działania grupowego. Analogicznie działaniem grupoidu jest funktor z grupoidu do kategorii zbiorów lub do jakiejś innej kategorii.
Oprócz ciągłych działań grup topologicznych na przestrzeniach topologicznych, jeden też często uważa gładkie działania grup leżą na gładkich rozmaitości , regularnych działań grup algebraicznych na rozmaitości algebraicznych i działań z programów grupowych na schematach . Wszystko to są przykłady obiektów grupowych działających na obiekty należące do ich kategorii.
Galeria
Zobacz też
Uwagi
Cytaty
Bibliografia
- Aschbacher, Michael (2000). Teoria grup skończonych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-78675-1. MR 1777008 .
- Brown, Ronald (2006). Topologia i grupoidy , Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8 .
- Kategorie i grupoidy, PJ Higgins , do pobrania przedruk van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, które dotyczą zastosowań grupoidów w teorii grup i topologii.
- Głupek, David; Richarda Foote'a (2004). Abstrakcyjna Algebra (3rd ed.). Wileya. Numer ISBN 0-471-43334-9.
- Eie, Minking; Chang, Shou-Te (2010). Kurs algebry abstrakcyjnej . Światowy Naukowy. Numer ISBN 978-981-4271-88-2.
- Rotman Józef (1995). Wprowadzenie do teorii grup . Teksty magisterskie z matematyki 148 (4th ed.). Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-94285-8.
- Smith, Jonathan DH (2008). Wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej . Podręczniki do matematyki. CRC Prasa. Numer ISBN 978-1-4200-6371-4.