Wersor - Versor

W matematyce , A versor jest kwaternion z normą on (a jednostka kwaternionów ). Słowo to pochodzi od łacińskiego versare = „zawrócić” z sufiksem -lub tworząc rzeczownik od czasownika (tj. versor = „tokarz”). Został wprowadzony przez Williama Rowana Hamiltona w kontekście jego teorii kwaternionów.

Każdy wersor ma formę

${\ Displaystyle q = \ exp (a \ mathbf {r} ) = \ cos a + \ mathbf {r} \ sin a \ quad \ mathbf {r} ^ {2} = -1 \ quad a \ w [0 ,\Liczba Pi ],}$

gdzie warunek r ² = -1 oznacza, że r jest kwaternionem wektora o jednostkowej długości (lub że pierwsza składowa r jest równa zero, a ostatnie trzy składowe r są wektorami jednostkowymi w 3 wymiarach). Odpowiedni obrót w 3 wymiarach ma kąt 2 a wokół osi r w reprezentacji oś-kąt . W przypadku a = π/2 , wersor nazywa się prawym wersorem .

Prezentacja na 3 i 2 sferach

łuk AB + łuk BC = łuk AC

Hamilton oznaczał wersor kwaternionu q symbolem U q . Był wtedy w stanie wyświetlić ogólny kwaternion w postaci współrzędnych biegunowych

q = T q U q ,

gdzie T q jest normą q . Norma wersora jest zawsze równa jeden; stąd zajmują jednostkę 3-sferę w H . Przykłady wersorów obejmują osiem elementów grupy kwaternionów . Szczególne znaczenie mają prawe wersory , które mają kąt π/2 . Te wersory mają zerową część skalarną, podobnie jak wektory o długości jeden (wektory jednostkowe). Prawe wersory tworzą sferę pierwiastków kwadratowych z -1 w algebrze kwaternionów. Generatory i , j oraz k są przykładami prawych wersorów, a także ich odwrotności addytywnej . Inne wersory obejmują dwadzieścia cztery kwaterniony Hurwitza, które mają normę 1 i tworzą wierzchołki 24-komórkowego polichoronu.

Hamilton zdefiniował kwaternion jako iloraz dwóch wektorów. Wersor można zdefiniować jako iloraz dwóch wektorów jednostkowych. Dla dowolnej płaszczyzny stałej Π iloraz dwóch wersorów leżących w Π zależy tylko od kąta (zwróconego) między nimi, takiego samego a jak w wyjaśnionej powyżej reprezentacji wersorowo-kątowej wersora. Dlatego naturalne może być rozumienie odpowiednich wersorów jako skierowanych łuków, które łączą pary wektorów jednostkowych i leżą na wielkim okręgu utworzonym przez przecięcie Π ze sferą jednostkową , gdzie płaszczyzna Π przechodzi przez początek. Łuki o tym samym kierunku i długości (lub ten sam kąt w radianach ) są równoważne , tzn. definiują ten sam wersor.

Taki łuk, chociaż leży w przestrzeni trójwymiarowej , nie reprezentuje toru obracającego się punktu, jak opisano w przypadku produktu wielowarstwowego z wersorem. Rzeczywiście, reprezentuje lewą akcję mnożenia wersora na kwaternionach, która zachowuje płaszczyznę Π i odpowiadający jej wielki okrąg trzech wektorów. Obrót trójwymiarowy zdefiniowany przez wersor ma kąt dwa razy mniejszy od kąta łuku i zachowuje tę samą płaszczyznę. Jest to obrót wokół odpowiedniego wektora r , który jest prostopadły do Π.

Hamilton pisze o trzech wektorach jednostkowych

${\displaystyle q=\beta :\alfa =OB:OA\ }$ oraz

${\displaystyle q'=\gamma :\beta =OC:OB}$

sugerować

${\displaystyle q'q=\gamma:\alfa =OC:OA.}$

Mnożenie kwaternionów normy 1 odpowiada (nieprzemiennemu) „dodaniu” łuków wielkiego koła na sferze jednostkowej. Każda para wielkich kół jest albo tym samym okręgiem, albo ma dwa punkty przecięcia . Stąd zawsze można przesunąć punkt B i odpowiadający mu wektor do jednego z tych punktów tak, że początek drugiego łuku będzie taki sam jak koniec pierwszego łuku.

Równanie

${\displaystyle \exp(c\mathbf {r})\exp(a\mathbf {s})=\exp(b\mathbf {t})\!}$

niejawnie określa reprezentację wektorowo-kątową dla iloczynu dwóch wersorów. Jego rozwiązanie jest przykładem ogólnego wzoru Campbella-Bakera-Hausdorffa w teorii grup Liego . Ponieważ 3-sfera reprezentowana przez wersory w jest 3-parametrową grupą Liego, praktyka z kompozycjami wersorowymi jest krokiem w kierunku teorii Liego . Najwyraźniej wersory są obrazem odwzorowania wykładniczego nałożonego na kulę o promieniu π w podprzestrzeni kwaternionów wektorów. ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Wersory składają się na wspomniane wcześniej łuki wektorowe, a Hamilton odniósł się do tej operacji grupowej jako „suma łuków”, ale jako kwaterniony po prostu się mnożą.

Geometria przestrzeni eliptycznej została opisana jako przestrzeń wersorów.

Reprezentacja SO(3)

Grupa ortogonalna w trzech wymiarach, grupa rotacyjna SO(3) , jest często interpretowana za pomocą wersorów poprzez wewnętrzny automorfizm, gdzie u jest wersorem. Rzeczywiście, jeśli ${\ Displaystyle q \ mapsto u ^ {-1} qu}$

${\displaystyle u=\exp(ar)}$a wektor s jest prostopadły do r ,

następnie

${\ Displaystyle u ^ {-1} su = s \ cos 2a + sr \ sin 2a}$

przez obliczenia. Płaszczyzna jest izomorficzna, a wewnętrzny automorfizm, przez przemienność, sprowadza się do odwzorowania tożsamości. Ponieważ kwaterniony mogą być interpretowane jako algebra dwóch wymiarów złożonych, akcję rotacji można również rozpatrywać przez specjalną grupę unitarną SU(2) . ${\ Displaystyle \ {x + rok: (x, y) \ w \ mathbb {R} ^ {2} \} \ podzbiór H}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Dla ustalonego r , wersory postaci exp( a r ) gdzie a  ∈  (−π, π] tworzą podgrupę izomorficzną z grupą kołową . Orbity lewej akcji mnożenia tej podgrupy są włóknami wiązki włókien nad 2- sferowe , znane jako fibracja Hopfa w przypadku r  =  i ; inne wektory dają izomorficzne, ale nie identyczne fibracje. W 2003 roku David W. Lyons napisał „włókna mapy Hopfa są okręgami w S ³ ” (strona 95). Lyons daje elementarne wprowadzenie do kwaternionów, aby wyjaśnić rozwłóknienie Hopfa jako mapowanie kwaternionów jednostkowych.

Wersory zostały użyte do przedstawienia obrotów sfery Blocha z mnożeniem kwaternionów.

Przestrzeń eliptyczna

Placówka wersorów ilustruje geometrię eliptyczną , w szczególności przestrzeń eliptyczną , trójwymiarową sferę obrotów. Wersory są punktami tej eliptycznej przestrzeni, chociaż odnoszą się do obrotów w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Mając dwa ustalone wersory u i v , odwzorowanie jest ruchem eliptycznym . Jeśli jeden z ustalonych wersorów wynosi 1, to ruch jest tłumaczeniem przestrzeni eliptycznej Clifforda , nazwanym na cześć Williama Kingdona Clifforda, który był zwolennikiem tej przestrzeni. Linia eliptyczna przechodząca przez wersor u to Równoległość w przestrzeni wyrażona przez paralele Clifforda . Jedna z metod oglądania przestrzeni eliptycznej wykorzystuje transformację Cayleya do mapowania wersorów do${\displaystyle q\mapsto uqv}$${\ Displaystyle \ {ue ^ {ar}: 0 \ leq a < \ pi \}}.$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Wersor hiperboliczny

Wersor hiperboliczny jest uogólnieniem wersorów czwartorzędowych do nieokreślonych grup ortogonalnych , takich jak grupa Lorentza . Określa się ją jako ilość formy

${\ Displaystyle \ exp (ar) = \ cosh a + \ mathbf {r} \ sinh a}$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {r} ^ {2} = + 1.}$

Takie elementy powstają w algebrach o sygnaturze mieszanej , np. liczby split-complex lub split-quaternions . To algebra tesaryn odkryta przez Jamesa Cockle'a w 1848 roku jako pierwsza dostarczyła wersorów hiperbolicznych. W rzeczywistości James Cockle napisał powyższe równanie (z j zamiast r ), gdy odkrył, że tessaryny zawierają nowy typ wyimaginowanego elementu.

Ten wersor był używany przez Homershama Coxa (1882/83) w odniesieniu do mnożenia kwaternionów. Głównym przedstawicielem wersorów hiperbolicznych był Alexander Macfarlane, który pracował nad ukształtowaniem teorii kwaternionów, aby służyła naukom fizycznym. Zobaczył moc modelowania wersorów hiperbolicznych działających na płaszczyźnie liczb rozszczepionych zespolonych, aw 1891 r. wprowadził kwaternionów hiperbolicznych, aby rozszerzyć koncepcję na 4-przestrzeń. Problemy w tej algebrze doprowadziły do ​​użycia bikwaternionów po 1900 r. W szeroko rozpowszechnionym przeglądzie z 1899 r. Macfarlane powiedział:

...pierwiastek równania kwadratowego może mieć charakter wersorowy lub skalarny. Jeśli ma charakter wersorowy, to część, na którą wpływa pierwiastek, obejmuje oś prostopadłą do płaszczyzny odniesienia i tak jest, niezależnie od tego, czy pierwiastek obejmuje pierwiastek kwadratowy z minus jeden, czy nie. W pierwszym przypadku wersor jest kołowy, w drugim hiperboliczny.

Dzisiaj pojęcie grupy jednoparametrowej obejmuje pojęcia wersora i wersora hiperbolicznego, ponieważ terminologia Sophusa Lie zastąpiła terminologię Hamiltona i Macfarlane'a. W szczególności, dla każdego r takiego, że rr = +1 lub rr = -1 , odwzorowanie przenosi linię rzeczywistą do grupy wersorów hiperbolicznych lub zwykłych. W zwykłym przypadku, gdy r i − r są antypodami na sferze, grupy jednoparametrowe mają te same punkty, ale są skierowane przeciwnie. W fizyce ten aspekt symetrii obrotowej nazywa się dubletem . ${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r})}$

W 1911 roku Alfred Robb opublikował swoją Optyczną Geometrię Ruchu, w której zidentyfikował parametr szybkości, który określa zmianę układu odniesienia . Ten parametr szybkości odpowiada zmiennej rzeczywistej w jednoparametrowej grupie wersorów hiperbolicznych. Wraz z dalszym rozwojem szczególnej teorii względności działanie hiperbolicznego wersora zaczęto nazywać doładowaniem Lorentza .

Teoria kłamstwa

Sophus Lie miał mniej niż rok, kiedy Hamilton po raz pierwszy opisał kwaterniony, ale nazwa Lie została powiązana ze wszystkimi grupami generowanymi przez potęgowanie. Zbiór wersorów wraz z ich mnożeniem został oznaczony jako Sl(1,q) przez Roberta Gilmore'a w swoim tekście o teorii Liego. Sl(1,q) jest specjalną grupą liniową jednego wymiaru nad kwaternionami, „specjalną” wskazującą, że wszystkie elementy mają normę jeden. Grupa jest izomorficzna z SU(2,c), specjalną grupą unitarną , często używanym oznaczeniem, ponieważ kwaterniony i wersory są czasami uważane za anachroniczne dla teorii grup. Specjalny ortogonalne tak grupy (3, R) obrotów w trzech wymiarach ściśle powiązane: to jest 2: 1 homomorphic obraz SU (2, c).

Podprzestrzeń nazywana jest algebrą Liego grupy wersorów. Iloczyn komutatora podwaja iloczyn krzyżowy dwóch wektorów, tworzy mnożenie w algebrze Liego. Bliski związek z SU(1,c) i SO(3,r) jest widoczny w izomorfizmie ich algebr Liego. ${\ Displaystyle \ {xi + yj + zk: x, y, z \ w R \} \ podzbiór H}$${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$

Grupy kłamstwa, które zawierają wersory hiperboliczne, obejmują grupę na hiperboli jednostkowej i specjalną grupę jednostkową SU(1,1) .

Zobacz też

• cis (matematyka) ( cis( x ) = cos( x ) + i sin( x ) )
• Kwaterniony i rotacja przestrzenna
• Obroty w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
• Skręt (geometria)

Uwagi

Bibliografia

• William Rowan Hamilton (1844 do 1850) Na temat kwaternionów lub nowego systemu wyobrażeń w algebrze , Philosophical Magazine , link do kolekcji Davida R. Wilkinsa w Trinity College w Dublinie .
• William Rowan Hamilton (1899) Elements of Quaternions , wydanie drugie, pod redakcją Charlesa Jaspera Joly, Longmans Green & Company. Zobacz s. 135–147.
• Arthur Sherburne Hardy (1887) Elements of Quaternions , s. 71,2 „Reprezentacja wersorów za pomocą łuków sferycznych” i s. 112–8 „Zastosowania do trygonometrii sferycznej”.
• Arthur Stafford Hathaway (1896) Primer on Quaternions , rozdział 2: Zakręty, rotacje, kroki łuku, z projektu Gutenberg
• Cibelle Celestino Silva, Roberto de Andrade Martins (2002) "Wektory biegunowe i osiowe kontra kwaterniony", American Journal of Physics 70:958. Sekcja IV: Wersory i wektory unitarne w układzie kwaternionów. Sekcja V: Wersor i wektory unitarne w algebrze wektorowej.
• Pieter Molenbroeck (1891) Theorie der Quaternionen , Seite 48, "Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel", Leiden: Brill.

Zewnętrzne linki

• Versor w Encyklopedii Matematyki .
• Luis Ibáñez Quaternion poradnik z National Library of Medicine