Przestrzeń fazowa - Phase space

Równania różniczkowe
Równania różniczkowe Naviera-Stokesa stosowane do symulacji przepływu powietrza wokół przeszkody
Zakres Nauki przyrodnicze Inżynieria Astronomia Fizyka Chemia Biologia Geologia Matematyka stosowana Mechanika kontinuum Teoria chaosu Układy dynamiczne Nauki społeczne Ekonomia Dynamika populacji
Klasyfikacja
Rodzaje Zwyczajny Częściowy Różniczkowo-algebraiczny Całko-różnicowy Frakcyjny Liniowy Nieliniowy Według typu zmiennej Zmienne zależne i niezależne Autonomiczny Kompleks Połączone / Oddzielone Dokładny Jednorodne  / Niejednorodne Cechy Zamówienie Operator Notacja
Związek z procesami Różnica (dyskretny analog) Stochastyczny Stochastyczne częściowe Opóźnienie
Rozwiązanie
Istnienie i wyjątkowość Twierdzenie Picarda-Lindelöfa Twierdzenie o istnieniu Peano Twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego Twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego
Tematy ogólne wroński Portret fazowy Przestrzeń fazowa Lapunow  / Asymptotyczna  / Stabilność wykładnicza Wskaźnik konwergencji Seria  / Rozwiązania integralne Całkowanie numeryczne Funkcja delta Diraca
Metody rozwiązania Kontrola Metoda charakterystyki Euler Wykładnicza formuła odpowiedzi Różnica skończona  ( Crank-Nicolson ) Końcowy element Nieskończony element Skończona objętość Galerkin Pietrow-Galerkin Czynnik integrujący Przekształcenia całkowe Teoria zaburzeń Runge-Kutta Separacja zmiennych Nieokreślone współczynniki Zmienność parametrów
Ludzie Izaak Newton Gottfrieda Leibniza Leonhard Euler Emil Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v T mi

Ścieżka fazy oscylatora Duffinga

Przestrzeń fazowa układu dynamicznego ze stabilnością ogniskową, przedstawiająca jedną trajektorię przestrzeni fazowej

W teorii układ dynamiczny , A miejsce faza jest miejsce , w którym wszystkie możliwe stany układu są przedstawione z każdej możliwej stan odpowiadający jednemu unikalnego punktu w przestrzeni fazy. W przypadku układów mechanicznych przestrzeń fazowa składa się zwykle ze wszystkich możliwych wartości zmiennych położenia i pędu . Jest to produkt zewnętrzny przestrzeni bezpośredniej i przestrzeni wzajemnej . Koncepcja przestrzeni fazowej została opracowana pod koniec XIX wieku przez Ludwiga Boltzmanna , Henri Poincaré i Josiaha Willarda Gibbsa .

Wstęp

W przestrzeni fazowej każdy stopień swobody lub parametr układu jest reprezentowany jako oś przestrzeni wielowymiarowej; układ jednowymiarowy nazywany jest linią fazową , natomiast układ dwuwymiarowy nazywa się płaszczyzną fazową . Dla każdego możliwego stanu systemu lub dozwolonej kombinacji wartości parametrów systemu w przestrzeni wielowymiarowej zawarty jest punkt. Ewoluujący stan systemu w czasie śledzi ścieżkę ( trajektorię przestrzeni fazowej dla systemu) w przestrzeni wielowymiarowej. Trajektoria w przestrzeni fazowej reprezentuje zbiór stanów zgodnych z startem od jednego określonego warunku początkowego , znajdujący się w pełnej przestrzeni fazowej, która reprezentuje zbiór stanów zgodnych z startem z dowolnego warunku początkowego. Jako całość diagram fazowy reprezentuje wszystko, czym może być system, a jego kształt może łatwo wyjaśnić cechy systemu, które w przeciwnym razie mogłyby nie być oczywiste. Przestrzeń fazowa może zawierać dużą liczbę wymiarów. Na przykład, gaz zawierający wiele cząsteczek może wymagać osobnego wymiaru dla pozycji x , y i z oraz pędu każdej cząstki (6 wymiarów dla wyidealizowanego gazu jednoatomowego), a dla bardziej złożonych układów molekularnych wymagane są dodatkowe wymiary, aby opisać tryby wibracyjne wiązania molekularne, a także wirują wokół 3 osi. Przestrzenie fazowe są łatwiejsze do wykorzystania podczas analizy zachowania układów mechanicznych ograniczonych do ruchu wokół i wzdłuż różnych osi obrotu lub translacji - np. w robotyce, jak analiza zakresu ruchu ramienia robota lub określenie optymalnej ścieżki do osiągnięcia określonej pozycji /momentum wynik.

Ewolucja zespołu układów klasycznych w przestrzeni fazowej (góra). Układy są masywną cząstką w jednowymiarowej studni potencjału (czerwona krzywa, dolna figura). Początkowo zwarty zespół z czasem ulega zawirowaniu.

Sprzężony moment

W mechanice klasycznej dowolny wybór współrzędnych uogólnionych q _i dla pozycji (tj. współrzędnych w przestrzeni konfiguracji ) definiuje sprzężone uogólnione pędy p _i, które razem definiują współrzędne w przestrzeni fazowej. Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, w mechanice klasycznej przestrzeń fazowa jest wiązką kostyczną przestrzeni konfiguracyjnej, a w tej interpretacji powyższa procedura wyraża, że ​​wybór lokalnych współrzędnych w przestrzeni konfiguracyjnej indukuje wybór naturalnych lokalnych współrzędnych Darboux dla standardowej struktury symplektycznej na przestrzeni kostycznej .

Zespoły statystyczne w przestrzeni fazowej

Ruch zespołu układów w tej przestrzeni jest badany przez klasyczną mechanikę statystyczną . Gęstość lokalna punktów w takich układach jest zgodna z twierdzeniem Liouville'a i dlatego może być przyjmowana jako stała. W kontekście systemu modelowego w mechanice klasycznej współrzędne przestrzeni fazowej systemu w danym momencie składają się ze wszystkich zmiennych dynamicznych systemu. Dzięki temu możliwe jest obliczenie stanu układu w dowolnym momencie w przyszłości lub w przeszłości poprzez całkowanie równań ruchu Hamiltona lub Lagrange'a.

Przykłady

Ilustracja przedstawiająca sposób skonstruowania portretu fazowego dla ruchu wahadła prostego .

Przepływ szeregów czasowych w przestrzeni fazowej określonej równaniem różniczkowym wahadła . Oś X odpowiada położeniu wahadła, a oś Y jego prędkości.

Niskie wymiary

W przypadku prostych systemów może być tylko jeden lub dwa stopnie swobody. Jeden stopień swobody występuje, gdy mamy autonomiczne równanie różniczkowe zwyczajne w jednej zmiennej, a wynikowy układ jednowymiarowy nazywa się linią fazową , a jakościowe zachowanie układu jest natychmiast widoczne z linii fazowej. Najprostszymi nietrywialnymi przykładami są wykładniczy model wzrostu /rozpad (jedna niestabilna/stabilna równowaga) oraz logistyczny model wzrostu (dwie równowagi, jedna stabilna, jedna niestabilna). ${\displaystyle dy/dt=f(y)}$

Przestrzeń fazowa układu dwuwymiarowego nazywana jest płaszczyzną fazową , która występuje w mechanice klasycznej dla pojedynczej cząstki poruszającej się w jednym wymiarze i gdzie dwie zmienne to położenie i prędkość. W tym przypadku, szkic portretu fazy może przekazać informacje o jakościową dynamiki układu, takich jak cyklu graniczną w van der Pol generatora przedstawionego na rysunku.

Tutaj oś pozioma podaje pozycję, a oś pionową prędkość. W miarę rozwoju systemu jego stan podąża za jedną z linii (trajektorii) na diagramie fazowym.

Portret fazy z Van der Pol oscylatora

Teoria chaosu

Klasycznymi przykładami diagramów fazowych z teorii chaosu są:

• atraktor Lorenza
• wzrost populacji (tj. mapa logistyczna )
• płaszczyzna parametryczna złożonych wielomianów kwadratowych ze zbiorem Mandelbrota .

Wykres fazowy

Wykres zmiennych położenia i pędu w funkcji czasu jest czasami nazywany wykresem fazowym lub wykresem fazowym . Jednak to ostatnie wyrażenie, „ diagram fazowy ”, jest zwykle zarezerwowane w naukach fizycznych dla diagramu pokazującego różne obszary stabilności faz termodynamicznych układu chemicznego, na który składa się ciśnienie , temperatura i skład.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej współrzędne p i q przestrzeni fazowej zwykle stają się operatorami hermitowskimi w przestrzeni Hilberta .

Mogą jednak alternatywnie zachować swoją klasyczną interpretację, pod warunkiem, że ich funkcje składają się w nowatorski sposób algebraiczny (poprzez produkt gwiezdny Groenewolda z 1946 r .). Jest to zgodne z zasadą nieoznaczoności mechaniki kwantowej. Każdemu obserwowalnemu w mechanice kwantowej odpowiada unikalna funkcja lub rozkład w przestrzeni fazowej i vice versa, jak określił Hermann Weyl (1927) i uzupełnił John von Neumann (1931); Eugeniusz Wigner (1932); a w wielkiej syntezie HJ Groenewold (1946). Wraz z JE Moyalem (1949) uzupełnili one podstawy sformułowania mechaniki kwantowej w przestrzeni fazowej , kompletnego i logicznie autonomicznego przeformułowania mechaniki kwantowej. (Jego nowoczesne abstrakcje obejmują kwantyzację deformacji i kwantyzację geometryczną ).

Wartości oczekiwane w kwantyzacji w przestrzeni fazowej są uzyskiwane izomorficznie do śledzących obserwowalnych operatorów z macierzą gęstości w przestrzeni Hilberta: są one otrzymywane przez całki w przestrzeni fazowej obserwabli, przy czym rozkład quasi-prawdopodobieństwa Wignera skutecznie służy jako miara.

Tak więc, ekspresji mechaniki kwantowej w przestrzeni fazy (sam zakres jak, na mechaniki), to mapa Weyl umożliwia rozpoznawanie mechaniki kwantowej jako odkształcenia (uogólnione) w mechanice, a odkształcenie parametr ħ / S , gdzie S jest działanie na odpowiedni proces. (Inne znane deformacje w fizyce obejmują deformację klasycznego Newtona w mechanikę relatywistyczną , z parametrem deformacji v / c ; lub deformację newtonowskiej grawitacji w Generalną Teorię Względności , z parametrem deformacji promień /wymiar charakterystyczny Schwarzschilda .)

Klasyczne wyrażenia, obserwable i operacje (takie jak nawiasy Poissona) są modyfikowane przez zależne poprawki kwantowe, ponieważ konwencjonalne przemienne mnożenie stosowane w mechanice klasycznej jest uogólniane na nieprzemienne mnożenie gwiazd charakteryzujące mechanikę kwantową i leżące u podstaw jej zasady nieoznaczoności.

Termodynamika i mechanika statystyczna

W kontekście termodynamiki i mechaniki statystycznej termin przestrzeń fazowa ma dwa znaczenia: po pierwsze, jest używany w tym samym sensie, co w mechanice klasycznej. Jeśli układ termodynamiczny składa się z cząstek N , to punkt w 6 N- wymiarowej przestrzeni fazowej opisuje stan dynamiczny każdej cząstki w tym układzie, ponieważ każda cząstka jest powiązana z trzema zmiennymi położenia i trzema zmiennymi pędu. W tym sensie, dopóki cząstki są rozróżnialne , mówi się, że punkt w przestrzeni fazowej jest mikrostanem układu. (Dla odróżnienia cząsteczki microstate będzie się składać z szeregu N ! Punktów, odpowiadających wszystkim możliwym wymiany z N cząsteczki). N jest zwykle rzędu liczby Avogadro , zatem opis systemu na poziomie mikroskopowym często niepraktyczne. Prowadzi to do wykorzystania przestrzeni fazowej w innym sensie.

Przestrzeń fazowa może również odnosić się do przestrzeni, która jest sparametryzowana przez stany makroskopowe układu, takie jak ciśnienie, temperatura itp. Na przykład można postrzegać diagram ciśnienie-objętość lub diagramy entropia-temperatura jako opisujące część tej fazy przestrzeń. Punkt w tej przestrzeni fazowej jest odpowiednio nazywany makrostanem. Z łatwością może istnieć więcej niż jeden mikrostan z tym samym makrostanem. Na przykład dla stałej temperatury system może mieć wiele dynamicznych konfiguracji na poziomie mikroskopowym. W tym sensie faza jest obszarem przestrzeni fazowej, w której dany układ znajduje się na przykład w fazie ciekłej lub fazie stałej itp.

Ponieważ mikrostanów jest znacznie więcej niż makrostanów, przestrzeń fazowa w pierwszym sensie jest zwykle rozmaitością znacznie większych wymiarów niż w drugim sensie. Oczywiście do zarejestrowania każdego szczegółu systemu aż do skali molekularnej lub atomowej potrzeba znacznie więcej parametrów niż do określenia, powiedzmy, temperatury lub ciśnienia systemu.

Optyka

Przestrzeń fazowa jest szeroko stosowana w optyce nieobrazowej , gałęzi optyki poświęconej oświetleniu. Jest to również ważne pojęcie w optyce hamiltonowskiej .

Całka fazowa

W klasycznej mechanice statystycznej (energie ciągłe) pojęcie przestrzeni fazowej dostarcza klasycznego analogu funkcji podziału (suma po stanach) znanej jako całka fazowa. Zamiast sumować czynnik Boltzmanna w dyskretnie rozmieszczonych stanach energetycznych (określonych odpowiednimi całkowitymi liczbami kwantowymi dla każdego stopnia swobody) można całkować w ciągłej przestrzeni fazowej. Takie całkowanie zasadniczo składa się z dwóch części: całkowania składowej pędu wszystkich stopni swobody (przestrzeń pędu) oraz całkowania składowej położenia wszystkich stopni swobody (przestrzeń konfiguracji). Znając całkę fazową, można ją powiązać z klasyczną funkcją podziału przez pomnożenie stałej normalizacji reprezentującej liczbę stanów energii kwantowej na jednostkę przestrzeni fazowej. Ta stała normalizacyjna jest po prostu odwrotnością stałej Plancka podniesionej do potęgi równej liczbie stopni swobody układu.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

• Nolte, DD (2015). Wprowadzenie do nowoczesnej dynamiki: chaos, sieci, przestrzeń i czas . Oxford University Press. Numer ISBN 978-0-19-965703-2.
• Nolte, DD (2018). Galileo Unbound: Ścieżka przez życie, wszechświat i wszystko . Oxford University Press. Numer ISBN 978-0-19-880584-7.

Linki zewnętrzne

• „Przestrzeń fazowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]