Klasa równoważności - Equivalence class
W matematyce , gdy elementy jakiegoś zbioru mają zdefiniowane pojęcie równoważności (sformalizowane jako relacja równoważności ), to można w naturalny sposób podzielić zbiór na klasy równoważności . Te klasy równoważności są skonstruowane w taki sposób, że elementy i należą do tej samej klasy równoważności, jeśli i tylko wtedy , gdy są równoważne.
Formalnie, ponieważ zestaw i równoważnością w tej klasie równoważności elementu w oznaczony jest zestaw
Gdy zbiór ma jakąś strukturę (np.
operację grupową lub topologię ) i relacja równoważności jest zgodna z tą strukturą, zbiór ilorazowy często dziedziczy podobną strukturę ze swojego zbioru macierzystego. Przykłady obejmują iloraz miejsca liniowych Algebra , iloraz przestrzenie w topologii , grupy iloraz , jednorodnych przestrzeni , iloraz pierścienie , iloraz monoids i iloraz kategorie .Przykłady
- Jeśli jest zbiorem wszystkich samochodach i jest
Definicja i notacja
Relacją równoważności na zbiorze jest
binarna relacja na zaspokojenie trzy właściwości:- dla wszystkich (
Klasa równoważności elementu jest często oznaczany i jest zdefiniowany jako zbiór elementów, które są związane poprzez słowo „klasy” w termin „klasa równoważne” może ogólnie być traktowane jako synonim „
zestaw ”, chociaż niektóre równoważności klasy nie są zbiorami, ale właściwymi klasami . Na przykład „bycie izomorficznym ” jest relacją równoważności na grupach , a klasy równoważności, zwane klasami izomorfizmu , nie są zbiorami.Zbiór wszystkich klas równoważności w odniesieniu do relacji równoważności jest oznaczony jako i nazywa się
modulo (lub Iloraz zestaw oo). Suriekcją mapaznaktóry odwzorowuje każdy element jej klasy równoważności, nosi nazwę odrzucenie kanoniczne lubodwzorowanie kanoniczne.Każdy element równoważnej klasy charakteryzuje klasę i może być używany do jej reprezentowania . Wybranie takiego elementu nazywamy reprezentantem klasy. Wybór reprezentanta w każdej klasie określa zastrzyk od do
X . Ponieważ jego skład z kanonicznym odrzuceniem jest tożsamością takiego wstrzyknięcia nazywamy sekcją , używając terminologii teorii kategorii .Czasami jest sekcja, która jest bardziej „naturalna” niż pozostałe. W tym przypadku przedstawiciele nazywani są
przedstawicielami kanonicznymi . Na przykład, w modułowej arytmetyczne dla każdej liczby całkowitej m większy niż 1 , zbieżność modulo m jest stosunek równoważności na całkowite, na której dwie liczby całkowite i b są ekwiwalentne w takim przypadku mówi się zgodny -W m dzieli jest oznaczone Każda klasa zawiera unikalną nieujemną liczbę całkowitą mniejszą niż i te liczby całkowite są reprezentantami kanonicznymi.Użycie reprezentantów do reprezentowania klas pozwala uniknąć jawnego traktowania klas jako zbiorów. W tym przypadku kanoniczne odrzucenie, które odwzorowuje element na jego klasę, zostaje zastąpione funkcją, która odwzorowuje element na przedstawiciela jego klasy. W powyższym przykładzie, funkcja ta jest oznaczona i daje resztę
euklidesowej Division of przez m .Nieruchomości
Każdy element z jest członkiem klasy równoważności każda dwóch klas równoważności i są albo równa lub
rozłączne . Dlatego zbiór wszystkich klas równoważności tworzy działowych z : każdy element należący do jednej i tylko jednej klasy równoważności. I odwrotnie, każdy podział pochodzi w ten sposób z relacji równoważności, zgodnie z którą wtedy i tylko wtedy i należą do tego samego zbioru podziału.Z właściwości relacji równoważności wynika, że:
Innymi słowy, jeśli jest relacją równoważności na zbiorze a i są dwa elementy to te stwierdzenia są równoważne:
Reprezentacja graficzna
Nieukierunkowane wykres może być związana z dowolnym symetryczny względem w zestawie , w którym wierzchołki są elementy oraz dwa wierzchołki i są połączone tylko wtedy, gdy Wśród tych wykresach są wykresy stosunków równoważności; są one scharakteryzowane jako grafy w taki sposób, że
połączone komponenty są klikami .Niezmienniki
Jeśli jest to związek o równoważność i jest własnością elementami tak, że gdy jest w przypadku gdy jest to prawda, że właściwość mówi się za
niezmienne w lub dobrze zdefiniowane pod względemCzęsty szczególny przypadek występuje wtedy, gdy jest funkcją z do innego zestawu ; jeśli kiedykolwiek wtedy mówi się, że jest
klasowo niezmiennikiem lub po prostu niezmiennikiem pod To występuje na przykład w teorii charakteru grup skończonych. Niektórzy autorzy używają słowa „zgodny z ” lub po prostu „szanuje ” zamiast „niezmiennego pod ”.Dowolna funkcja sama określa relacją równoważności na zgodnie z którym wtedy i tylko wtedy Klasa równoważności jest zbiorem wszystkich elementów w których się odwzorowywane na to jest klasa jest
obraz odwrotny od równoważność ta relacja jest znany jako jądro zMówiąc bardziej ogólnie, funkcja może mapować równoważne argumenty (w relacji równoważności na ) na równoważne wartości (w relacji równoważności na ). Taka funkcja jest
morfizmem zbiorów wyposażonych w relację równoważności.Przestrzeń ilorazowa w topologii
W topologii , A iloraz przestrzeń jest przestrzenią topologiczną utworzona na zestaw klas równoważności relacją równoważności w przestrzeni topologicznej, korzystając topologię oryginalnego przestrzeń do tworzenia topologii na zbiorze klas równoważności.
W algebrze abstrakcyjnej , relacje kongruencji na podstawowym zbiorze algebry pozwalają algebrze indukować algebrę na klasach równoważności relacji, zwaną algebrą ilorazów . W liniowym Algebra , A przestrzeń iloraz jest przestrzeń utworzona przez wektor biorąc grupę iloraz , gdzie homomorfizm iloraz jest liniową mapą . Co za tym idzie, w algebry abstrakcyjnej, termin przestrzeń iloraz mogą być wykorzystywane do ilorazowych modułów , ilorazowych pierścieni , grup ilorazowych lub dowolnej algebry iloraz. Jednak użycie tego terminu dla bardziej ogólnych przypadków może być równie często przez analogię z orbitami akcji grupowej.
Orbity działania grupowego na zbiorze można nazwać przestrzenią ilorazową działania na zbiorze, zwłaszcza gdy orbity działania grupowego są właściwymi kosetami podgrupy grupy, które wynikają z działania podgrupy na
zbiorze. grupa przez lewe translacje lub odpowiednio lewe cosets jako orbity pod prawą translacją.Normalna podgrupa grupy topologicznej, działająca na grupę poprzez akcję translacji, jest przestrzenią ilorazową w sensie topologii, algebry abstrakcyjnej i akcji grupowych jednocześnie.
Chociaż termin może być używany dla dowolnego zestawu klas równoważności w relacji równoważności, prawdopodobnie z dalszą strukturą, intencją użycia tego terminu jest generalnie porównanie tego typu relacji równoważności w zestawie albo z relacją równoważności, która indukuje pewną strukturę w zestawie klas równoważności ze struktury tego samego rodzaju na orbitach akcji grupowej lub na orbity. Zarówno sens struktury utrzymywanej przez relację równoważności, jak i badanie
niezmienników w ramach działań grupowych prowadzą do definicji niezmienników relacji równoważności podanej powyżej.Zobacz też
- Podział równoważności , metoda tworzenia zestawów testowych w testowaniu oprogramowania polegająca na podzieleniu możliwych danych wejściowych programu na klasy równoważności zgodnie z zachowaniem programu na tych danych wejściowych
- Przestrzeń jednorodna , przestrzeń ilorazowa grup Liego
- Częściowa relacja równoważności – Matematyczna koncepcja porównywania obiektów
- Iloraz przez relację równoważności
- Poprzeczna (kombinatoryka) – Linia przecinająca układ linii.
Uwagi
Bibliografia
- Avelsgaard, Carol (1989), Podstawy zaawansowanej matematyki , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
- Devlin, Keith (2004), Zbiory, funkcje i logika: wprowadzenie do matematyki abstrakcyjnej (3rd ed.), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
- Maddox, Randall B. (2002), Myślenie matematyczne i pisanie , Harcourt / Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
- Wolf, Robert S. (1998), Dowód, logika i przypuszczenia: Przybornik matematyka , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7
Dalsza lektura
- Sundstrom (2003), Rozumowanie matematyczne: pisanie i dowód , Prentice-Hall
- Kowal; Eggena; St.Andre (2006), przejście do zaawansowanej matematyki (6th ed.), Thomson (Brooks / Cole)
- Schumacher, Carol (1996), Rozdział Zero: Podstawowe pojęcia matematyki abstrakcyjnej , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
- O'Leary (2003), Struktura dowodu: z logiką i teorią mnogości , Prentice-Hall
- Lay (2001), Analiza ze wstępem do dowodu , Prentice Hall
- Morash, Ronald P. (1987), Most do matematyki abstrakcyjnej , Random House, ISBN 0-394-35429-X
- Gilberta; Vanstone (2005), Wprowadzenie do myślenia matematycznego , Pearson Prentice-Hall
- Fletchera; Patty, Podstawy Matematyki Wyższej , PWS-Kent
- Iglewicza; Stoyle, Wprowadzenie do rozumowania matematycznego , MacMillan
- D'Angelo; West (2000), Myślenie matematyczne: rozwiązywanie problemów i dowody , Prentice Hall
- Cupillari , The Nuts and Bolts of Proofs , Wadsworth
- Bond, Wstęp do matematyki abstrakcyjnej , Brooks/Cole
- Barniera; Feldman (2000), Wprowadzenie do matematyki zaawansowanej , Prentice Hall
- Ash, elementarz matematyki abstrakcyjnej , MAA
Zewnętrzne linki
- Multimedia związane z klasami równoważności w Wikimedia Commons