Przecięcie (teoria mnogości) — Intersection (set theory)

Wyjaśnienie symboli użytych w tym artykule znajduje się w tabeli symboli matematycznych .

Definicja

Przecięcie trzech zbiorów:
${\ Displaystyle ~ A \ czapka B \ czapka C}$

Skrzyżowania alfabetu greckiego , łacińskiego i rosyjskiego , uwzględniając jedynie kształty liter i pomijając ich wymowę

Przykład skrzyżowania z zestawami

Przecięcie dwóch zbiorów i oznaczone przez to zbiór wszystkich obiektów, które są członkami zarówno zbiorów, jak i symboli: ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$

$${\ Displaystyle A \ czapka B = \ {x: x \ w A {\ tekst {i}} x \ w B \}.}$$

Oznacza to, że jest elementem przecięcia

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle A \ czapka B}$

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B.}$

Na przykład:

• Przecięcie zbiorów {1, 2, 3} i {2, 3, 4} to {2, 3}.
• Liczba 9 nie znajduje się na przecięciu zbioru liczb pierwszych {2, 3, 5, 7, 11, ...} i zbioru liczb nieparzystych {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, ponieważ 9 nie jest liczbą pierwszą.

Zbiory przecinające się i rozłączne

Mówimy, że ${\ Displaystyle A}$przecina się (spełnia),${\ Displaystyle B}$ jeśli istnieje coś,co jest elementem obuiw takim przypadku mówimy również, że

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle A}$

${\displaystyle B}$

${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle A \ czapka B}$

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle x \ w A \ czapka B.}$

Mówimy to

${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B.}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle A \ czapka B = \ varnothing.}$

Na przykład zbiory i są rozłączne, podczas gdy zbiór liczb parzystych przecina zbiór

${\ Displaystyle \ {1,2 \}}$

${\ Displaystyle \ {3,4\}}$

Własności algebraiczne

Przecięcie binarne jest operacją asocjacyjną ; to znaczy dla dowolnych zestawów i jeden ma ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$

$${\ Displaystyle A \ czapka (B \ czapka C) = (A \ czapka B) \ czapka C.}$$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle A \ czapka A = A}$

Przecięcie rozdziela się na sumę, a suma rozdziela się na przecięcie. Oznacza to, że dla dowolnych zestawów i jeden ma ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A \ cap (B \ kubek C) = (A \ cap B) \ kubek (A \ cap C) \ \ A \ kubek (B \ cap C) = (A \ kubek B )\cap (A\cup C)\end{wyrównany}}}$$

${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle A ^ {c}}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle A.}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B}$

$${\ Displaystyle A \ czapka B = \ lewo (A ^ {c} \ filiżanka B ^ {c} \ po prawej) ^ {c}}$$

Arbitralne skrzyżowania

Najbardziej ogólnym pojęciem jest przecięcie arbitralnego, niepustego zbioru zbiorów. Jeżeli jest

${\ Displaystyle M}$

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle A}$

${\displaystyle M}$

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle A.}$

$${\ Displaystyle \ lewo (x \ w \ bigcap _ {A \ w M} A \ po prawej) \ Leftrightarrow \ lewo (\ dla wszystkich A \ w M \ x \ w A \ po prawej).}$$

Notacja dla tej ostatniej koncepcji może się znacznie różnić. Teoretycy mnogości czasami piszą „ ”, podczas gdy inni zamiast tego piszą „ ”. Ten ostatni zapis można uogólnić na " ", które odnosi się do przecięcia zbioru Oto zbiór niepusty i jest zbiorem dla każdego${\ Displaystyle \ czapka M}$${\ Displaystyle \ czapka _ {A \ w M} A}$${\ Displaystyle \ czapka _ {i \ w I} A_ {i}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {A_ {i}: ja \ w I \ prawo \}.}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle i \ w I.}$

W przypadku, gdy zbiorem indeksów jest zbiór

${\ Displaystyle I}$

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}$$

Gdy formatowanie jest trudne, można to również napisać „ ”. Ten ostatni przykład, przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów, jest w rzeczywistości bardzo powszechny; na przykład zobacz artykuł o

${\ Displaystyle A_ {1} \ czapka A_ {2} \ czapka A_ {3} \ czapka \ cdots }$

Skrzyżowanie null

Koniunkcja argumentów w nawiasach

Koniunkcja braku argumentu jest tautologią (porównaj: iloczyn pusty ); odpowiednio przecięciem żadnego zbioru jest wszechświat .

Zauważ, że w poprzedniej sekcji wykluczyliśmy przypadek, w którym był

${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle A}$

${\displaystyle M}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle M}$

W rodzaju teorii , jednak jest od ustalonego rodzaju więc przecięcie rozumiana jest typu (rodzaju zestawy, których elementy są w ), możemy określić jako uniwersalny zestaw (zbiór, którego elementy są dokładnie wszystkie warunki wpisz ). ${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau,}$${\ Displaystyle \ operatorname {zestaw} \ \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ bigcap _ {A \ w \ pusty zestaw} A}$${\ Displaystyle \ operatorname {zestaw} \ \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$

Zobacz też

• Algebra zbiorów  – Tożsamości i relacje z udziałem zbiorów
• Kardynalność  – Miara liczby elementów zbioru
• Uzupełnienie  – podzbiór elementów, które nie znajdują się w danym podzbiorze
• Przecięcie (geometria euklidesowa)  – obiekty geometryczne, które są wspólne dla innych obiektów geometrycznych
• Wykres skrzyżowania
• Teoria przecięcia  – Gałąź geometrii algebraicznej
• Iterowana operacja binarna
• Lista zbiorowych tożsamości i relacji  – Równości i relacje obejmujące zbiory i funkcje
• Spójnik logiczny  –