Sfera jednostkowa - Unit sphere

Niektóre 1-sfery. jest normą dla przestrzeni euklidesowej omówioną w pierwszej sekcji poniżej.${\ Displaystyle \ | {\ pogrubienie {x}} \ | _ {2}}$

W matematyce , A jednostka sfera jest po prostu kula o promieniu jednego wokół danego centrum . Mówiąc bardziej ogólnie, jest to zbiór punktów w odległości 1 od stałego punktu centralnego, gdzie różne normy, mogą być używane jako ogólne pojęcia „odległość”. Jednostka kulka jest w zamknięty zestaw punktów na odległość mniejszą lub równą 1 od stałego punktu centralnego. Zwykle centrum znajduje się na początku przestrzeni, więc mówi się o „kulie jednostkowej” lub „sferze jednostkowej”. Szczególnymi przypadkami są koło jednostkowe i dysk jednostkowy .

Znaczenie sfery jednostkowej polega na tym, że każda sfera może zostać przekształcona w sferę jednostkową przez kombinację translacji i skalowania . W ten sposób właściwości sfer w ogóle można sprowadzić do badania sfery jednostkowej.

Kule jednostkowe i kule w przestrzeni euklidesowej

W przestrzeni euklidesowej o n wymiarach ( n −1) -wymiarowa sfera jednostkowa jest zbiorem wszystkich punktów, które spełniają równanie ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

N wymiarową otwarty kulki jednostka to zbiór wszystkich punktów spełniającą nierówność

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}<1,}$

a n- wymiarowa kula jednostki zamkniętej jest zbiorem wszystkich punktów spełniających nierówność

${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ równa 1.}$

Ogólne wzory powierzchni i objętości

Klasyczne równanie jednostkowej sferze jest elipsoidy o promieniu 1 i bez zmian do X, -, r -, lub Z - osiach:

${\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + r ^ {2} + z ^ {2} = 1}$

Objętość kuli jednostkowej w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej oraz pole powierzchni kuli jednostkowej pojawiają się w wielu ważnych formułach analizy . Objętość kuli jednostkowej w n wymiarach, którą oznaczamy V _n , można wyrazić za pomocą funkcji gamma . To jest

${\ Displaystyle V_ {n} = {\ Frac {\ pi ^ {n/2}} {\ Gamma (1 + n/2)}} = {\ zacząć {przypadki} {\ pi ^ {n/2}} /{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~jest~parzyste,} \\~\\{\pi ^{\lpodłoga n/2\rpodłoga }2^{ \lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~nieparzyste,} \end{cases}}}$

gdzie n !! to podwójna silnia .

Hiperobjętość ( n −1)-wymiarowej sfery jednostkowej ( tj . „obszaru” granicy n- wymiarowej kuli), którą oznaczamy A _n , można wyrazić jako

${\ Displaystyle A_ {n} = nV_ {n} = {\ Frac {n \ pi ^ {n/2}} {\ Gamma (1 + n/2)}} = {\ Frac {2 \ pi ^ {n /2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}$

gdzie ostatnia równość obowiązuje tylko dla n > 0 . Na przykład jest to „obszar” granicy jednostki kulowej , w której po prostu zlicza się dwa punkty. Następnie jest „obszar” granicy tarczy jednostkowej, który jest obwodem koła jednostkowego. jest „powierzchnią” granicy jednostki kuli , która jest polem powierzchni sfery jednostkowej . ${\displaystyle A_{1}=2}$${\displaystyle [-1,1]\podzbiór \mathbb {R}}$${\displaystyle A_{2}=2\pi}$${\displaystyle A_{3}=4\pi}$${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {3}: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x ^ ^ {2} \ równa 1 \}}$${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {3}: x_ {1} {2} + x_ {2} ^ {2} + x ^ ^ {2} = 1 \}}$

Pola powierzchni i objętości dla niektórych wartości są następujące: ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle n}$	${\ Displaystyle A_ {n}}$ (powierzchnia)		${\ Displaystyle V_ {n}}$ (Tom)
0	${\ Displaystyle 0 (1/0!) \ pi ^ {0}}$	0	${\ Displaystyle (1/0!) \ pi ^ {0}}$	1
1	${\ Displaystyle 1 (2 ^ {1}/1!!) \ pi ^ {0}}$	2	${\ Displaystyle (2 ^ {1}/1!!) \ pi ^ {0}}$	2
2	${\ Displaystyle 2 (1/1!) \ pi ^ {1} = 2 \ pi }$	6.283	${\ Displaystyle (1/1!) \ pi ^ {1} = \ pi }$	3.141
3	${\ Displaystyle 3 (2 ^ {2}/3!!) \ pi ^ {1} = 4 \ pi}$	12.57	${\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi}$	4.189
4	${\ Displaystyle 4 (1/2!) \ pi ^ {2} = 2 \ pi ^ {2}}$	19.74	${\ Displaystyle (1/2!) \ pi ^ {2} = (1/2) \ pi ^ {2}}$	4,935
5	${\ Displaystyle 5 (2 ^ {3}/5!!) \ pi ^ {2} = (8/3) \ pi ^ {2}}$	26,32	${\ Displaystyle (2 ^ {3}/5!!) \ pi ^ {2} = (8/15) \ pi ^ {2}}$	5,264
6	${\ Displaystyle 6 (1/3!) \ pi ^ {3} = \ pi ^ {3}}$	31.01	${\ Displaystyle (1/3!) \ pi ^ {3} = (1/6) \ pi ^ {3}}$	5.168
7	${\ Displaystyle 7 (2 ^ {4}/7!!) \ pi ^ {3} = (16/15) \ pi ^ {3}}$	33,07	${\ Displaystyle (2 ^ {4}/7!!) \ pi ^ {3} = (16/105) \ pi ^ {3}}$	4,725
8	${\ Displaystyle 8 (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/3) \ pi ^ {4}}$	32,47	${\ Displaystyle (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/24) \ pi ^ {4}}$	4.059
9	${\ Displaystyle 9 (2 ^ {5}/9!!) \ pi ^ {4} = (32/105) \ pi ^ {4}}$	29,69	${\ Displaystyle (2 ^ {5}/9!!) \ pi ^ {4} = (32/945) \ pi ^ {4}}$	3.299
10	${\ Displaystyle 10 (1/5!) \ pi ^ {5} = (1/12) \ pi ^ {5}}$	25,50	${\ Displaystyle (1/5!) \ pi ^ {5} = (1/120) \ pi ^ {5}}$	2.550

gdzie rozwinięte wartości dziesiętne dla n  ≥ 2 są zaokrąglane do wyświetlanej precyzji.

Rekurencja

Wartości A _n spełniają rekurencję:

${\displaystyle A_{0}=0}$

${\displaystyle A_{1}=2}$

${\displaystyle A_{2}=2\pi}$

${\ Displaystyle A_ {n} = {\ Frac {2 \ pi} {n-2}} A_ {n-2}}$dla .${\displaystyle n>2}$

Wartości V _n spełniają rekurencję:

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\ Displaystyle V_ {n} = {\ Frac {2 \ pi} {n}} V_ {n-2}}$dla .${\displaystyle n>1}$

Wymiary ułamkowe

Wzory na A _n i V _n można obliczyć dla dowolnej liczby rzeczywistej n  ≥ 0 i istnieją okoliczności, w których właściwe jest poszukiwanie obszaru kuli lub objętości kuli, gdy n nie jest nieujemną liczbą całkowitą.

Pokazuje to hiperobjętość ( x –1)-wymiarowej kuli ( tj . „obszar” powierzchni x- wymiarowej kuli) jako ciągłą funkcję  x .

To pokazuje objętość kuli w wymiarach x jako ciągłą funkcję  x .

Inne promienie

Pole powierzchni ( n –1)-wymiarowej kuli o promieniu r wynosi A _n  r ^{n -1 ,} a objętość n- wymiarowej kuli o promieniu r wynosi V _n  r ⁿ . Na przykład pole wynosi A = 4 π  r ² dla powierzchni trójwymiarowej kuli o promieniu r . Objętość wynosi V = 4 π  r ³ / 3 dla trójwymiarowej kuli o promieniu  r .

Kule jednostkowe w unormowanych przestrzeniach wektorowych

Dokładniej, otwarta kula jednostkowa w unormowanej przestrzeni wektorowej , z normą , to ${\ Displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\ Displaystyle \ {x \ w V: \ | x \ | <1 \}}$

To wnętrze z zamkniętą jednostkę piłki związku ( V , || · ||)

${\ Displaystyle \ {x \ w V: \ | x \ | \ leq 1 \}}$

Ta ostatnia jest rozłącznym połączeniem pierwszej i ich wspólnej granicy, jednostkowej sfery ( V ,||·||):

${\ Displaystyle \ {x \ w V: \ | x \ | = 1 \}}$

„Kształt” kuli jednostkowej jest całkowicie zależny od wybranej normy; może mieć „rogi” i na przykład może wyglądać jak [−1,1] ⁿ , w przypadku max-normy w R ⁿ . Otrzymuje się naturalnie okrągłą kulę jako kulę jednostkową odnoszącą się do zwykłej normy przestrzeni Hilberta , opartej w przypadku skończenie wymiarowym na odległości euklidesowej ; jego granica jest tym, co zwykle oznacza sfera jednostkowa .

Niech Zdefiniuj zwykły -norm dla p ≥ 1 jako: ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, ... x_ {n}) \ w \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\displaystyle \ell_{p}}$

${\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = (\ suma _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p}) ^ {1/p}}$

To jest zwykła norma przestrzeni Hilberta . nazywa się normą Hamminga lub -normą. Warunek p ≥ 1 jest konieczny w definicji normy, ponieważ kula jednostkowa w dowolnej przestrzeni unormowanej musi być wypukła jako konsekwencja nierówności trójkąta . Niech oznaczają max ekologiczny lub -norm x. ${\displaystyle \|x\|_{2}}$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {1}}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle \ell_{p}}$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}}$${\displaystyle \ell_{\infty}}$

Zauważ, że dla obwodów dwuwymiarowych kul jednostkowych (n=2) mamy: ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$ to wartość minimalna.

${\ Displaystyle C_ {2} = 2 \ pi \,.}$

${\ Displaystyle C_ {\ infty} = 8}$ to wartość maksymalna.

Uogólnienia

Przestrzenie metryczne

Wszystkie trzy powyższe definicje można w prosty sposób uogólnić na przestrzeń metryczną , ze względu na wybrane pochodzenie. Jednak względy topologiczne (wnętrze, domknięcie, granica) nie muszą obowiązywać w ten sam sposób (np. w przestrzeniach ultrametrycznych wszystkie trzy są jednocześnie zbiorami otwartymi i domkniętymi), a sfera jednostkowa może być nawet pusta w niektórych przestrzeniach metrycznych.

Formy kwadratowe

Jeżeli V jest liniową przestrzeń z prawdziwego postaci kwadratowej K : V → R następnie {s ∈ V  : F (t) = 1} można nazwać kuli jednostka lub jednostki quasi kuli o V . Na przykład forma kwadratowa , gdy jest ustawiona na jeden, wytwarza hiperbolę jednostkową, która pełni rolę „koła jednostkowego” w płaszczyźnie liczb rozszczepionych . Podobnie forma kwadratowa x ² otrzymuje się pary linii do kuli jednostkowej w liczbie podwójnej płaszczyźnie. ${\ Displaystyle x ^ {2}-y ^ {2}}$

Zobacz też

• piłka
• hipersfera
• kula
• superelipsa
• koło jednostki
• dysk jednostkowy
• pakiet sfery jednostkowej
• kwadrat jednostkowy

Uwagi i referencje

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces , strona 24, Springer-Verlag .
• Deza, E.; Deza, M. (2006), Słownik odległości , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Recenzja w Biuletynie Europejskiego Towarzystwa Matematycznego 64 (czerwiec 2007) , s. 57. Ta książka jest zorganizowana jako lista odległości wielu typów, każda z krótkim opisem.

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Sfera jednostkowa” . MatematykaŚwiat .