Funkcja tożsamości - Identity function
W matematyce , funkcja tożsamości , zwany także relacja tożsamość lub tożsamość map lub transformacja tożsamości , jest to funkcja , która zawsze zwraca tę samą wartość, która była używana jako argument. Oznacza to, że gdy f jest tożsamością, równość f ( X ) = X obowiązuje dla wszystkich X .
Definicja
Formalnie, jeśli M jest zestaw , identyfikacja funkcji f na M określa się, że funkcja z dziedziny i codomain M który spełnia
- f ( X ) = X dla wszystkich elementów X w M .
Innymi słowy, wartość funkcji f ( X ) w M (czyli w kodziedzinie) jest zawsze tym samym elementem wejściowym X z M (obecnie uważanego za dziedzinę). Funkcja tożsamości na M jest wyraźnie funkcją iniekcyjną, jak również funkcją suriektywną , więc jest również bijektywna .
Funkcja tożsamości f na M jest często oznaczana przez id M .
W teorii zbiorów , w którym funkcją jest zdefiniowany jako szczególnego rodzaju związku binarnego funkcja tożsamości jest przez stosunku tożsamości lub przekątnej od M .
Własności algebraiczne
Jeśli f : M → N jest dowolną funkcją, to mamy f ∘ id M = f = id N ∘ f (gdzie „∘” oznacza złożenie funkcji ). W szczególności, identyfikator M jest element neutralny w monoid wszystkich funkcji, z M do M .
Ponieważ element tożsamości monoidu jest unikalny , można alternatywnie zdefiniować funkcję tożsamości na M jako ten element tożsamości. Takie uogólnia definicji do pojęcia o morfizmu tożsamości w teorii kategorii , gdzie endomorfizm z M nie muszą być funkcje.
Nieruchomości
- Funkcja tożsamościowa jest operatorem liniowym , gdy jest stosowana do przestrzeni wektorowych .
- Funkcja tożsamości na liczbach całkowitych dodatnich jest funkcją całkowicie multiplikatywną (zasadniczo mnożenie przez 1), rozważaną w teorii liczb .
- W n -wymiarowej przestrzeni wektorowej funkcja tożsamości reprezentuje macierz jednostkową I n , niezależnie od podstawy .
- W przestrzeni metrycznej tożsamość jest trywialnie izometrią . Obiekt bez symetrii ma jako grupę symetrii grupę trywialną zawierającą tylko tę izometrię (typ symetrii C 1 ).
- W przestrzeni topologicznej funkcja tożsamości jest zawsze ciągła.
- Funkcja tożsamości jest idempotentna .