Grupa tapet - Wallpaper group

Przykład wzoru egipskiego z grupą tapet p 4 m

Grupa tapet (lub płaska grupa symetrii lub płaska grupa krystalograficzna ) to matematyczna klasyfikacja dwuwymiarowego powtarzalnego wzoru, oparta na symetriach wzoru. Takie wzory często występują w architekturze i sztuce dekoracyjnej , zwłaszcza w tkaninach i kafelkach oraz tapetach .

Najprostsza grupa tapet, Grupa p 1, ma zastosowanie, gdy nie ma innej symetrii niż fakt, że wzór powtarza się w regularnych odstępach czasu w dwóch wymiarach, jak pokazano w sekcji p1 poniżej.

Poniższe przykłady to wzorce z większą liczbą form symetrii:

Przykłady A i B mają tę samą grupę tapet; nazywa się to p 4 m w notacji IUCr i *442 w notacji orbifold . Przykład C ma inną grupę tapet o nazwie p 4 g lub 4*2 . Fakt, że A i B mają tę samą grupę tapet, oznacza, że ​​mają te same symetrie, niezależnie od szczegółów projektów, podczas gdy C ma inny zestaw symetrii pomimo wszelkich powierzchownych podobieństw.

Liczba grup symetrii zależy od liczby wymiarów we wzorach. Grupy tapet odnoszą się do przypadku dwuwymiarowego, pośrednie w złożoności między prostszymi grupami fryzów i trójwymiarowymi grupami przestrzennymi . Subtelne różnice mogą umieszczać podobne wzory w różnych grupach, podczas gdy wzory bardzo różniące się stylem, kolorem, skalą lub orientacją mogą należeć do tej samej grupy.

Dowodem , że istnieje tylko 17 odrębnych grup takich płaskich symetrii najpierw przeprowadzane przez Evgraf Fedorov 1891 i pochodzi niezależnie przez George'a PolyA w 1924 Dowód, że lista grup tapeta jest pełna się dopiero po trudnego przypadku grupy kosmiczne zostały zrobione. Siedemnaście możliwych grup tapet wymieniono poniżej w § Siedemnaście grup .

Symetrie wzorów

Symetrii wzorca jest luźno mówiąc, sposób przekształcenia wzoru tak, że wygląda dokładnie tak samo po transformacji. Na przykład symetria translacyjna występuje, gdy wzór może zostać przesunięty (innymi słowy, przesunięty) na pewną skończoną odległość i wydaje się niezmieniony. Pomyśl o przesunięciu zestawu pionowych pasków w poziomie o jeden pasek. Wzór pozostaje niezmieniony. Ściśle mówiąc, prawdziwa symetria istnieje tylko we wzorach, które dokładnie się powtarzają i trwają w nieskończoność. Zestaw tylko, powiedzmy, pięciu pasków nie ma symetrii translacyjnej — po przesunięciu pasek na jednym końcu „znika”, a na drugim „dodawany jest nowy pasek”. W praktyce jednak klasyfikację stosuje się do skończonych wzorów, a małe niedoskonałości można zignorować.

Rodzaje transformacji, które są tutaj istotne, nazywane są izometriami płaszczyzny euklidesowej . Na przykład:

  • Jeśli przesuniemy przykład B o jedną jednostkę w prawo, tak aby każdy kwadrat pokrywał kwadrat, który był z nim pierwotnie sąsiadujący, to wynikowy wzór jest dokładnie taki sam jak wzór, od którego zaczęliśmy. Ten rodzaj symetrii nazywa się translacją . Przykłady A i C są podobne, z tym wyjątkiem, że najmniejsze możliwe przesunięcia są w kierunkach ukośnych.
  • Jeśli obrócimy przykład B zgodnie z ruchem wskazówek zegara o 90° wokół środka jednego z kwadratów, ponownie otrzymamy dokładnie ten sam wzór. Nazywa się to rotacją . Przykłady A i C również mają obrót o 90°, chociaż znalezienie właściwego środka obrotu dla C wymaga nieco większej pomysłowości .
  • Możemy również odwrócić przykład B na osi poziomej biegnącej przez środek obrazu. Nazywa się to odbiciem . Przykład B ma również odbicia wzdłuż osi pionowej i dwóch osi ukośnych. To samo można powiedzieć o A .

Jednak przykład C jest inny . Ma tylko odbicia w kierunku poziomym i pionowym, a nie w poprzek osi ukośnych. Jeśli przerzucimy się przez linię ukośną, nie otrzymamy tego samego wzoru; co możemy zrobić get to oryginalny wzór przesunięte w poprzek przez pewną odległość. Jest to jeden z powodów, dla których grupa tapet A i B różni się od grupy tapet C .

Kolejną transformacją jest „Glide”, połączenie odbicia i translacji równoległej do linii odbicia.

Odbicie poślizgu zmapuje zestaw lewego i prawego odcisku stopy na siebie

Formalna definicja i dyskusja

Matematycznie krystalograficzny Grupa grupa tapety lub płaszczyzna jest rodzajem topologicznie dyskretne grupy o izometrycznych euklidesowa płaszczyźnie , która zawiera dwa liniowo niezależne tłumaczeń .

Dwie takie grupy izometrii są tego samego typu (tej samej grupy tapet), jeśli są takie same aż do przekształcenia afinicznego płaszczyzny . Tak więc np. przesunięcie płaszczyzny (stąd przesunięcie luster i środków obrotu) nie wpływa na grupę tapet. To samo dotyczy zmiany kąta między wektorami translacji, pod warunkiem, że nie dodaje ani nie usuwa symetrii (ma to miejsce tylko wtedy, gdy nie ma zwierciadeł i odbić poślizgu , a symetria obrotowa jest co najwyżej 2).

W przeciwieństwie do przypadku trójwymiarowego , możemy równoważnie ograniczyć przekształcenia afiniczne do tych, które zachowują orientację .

Z twierdzenia Bieberbacha wynika, że ​​wszystkie grupy tapet różnią się nawet jako grupy abstrakcyjne (w przeciwieństwie np. do grup fryzowych , z których dwie są izomorficzne z Z ).

Wzory 2D z podwójną symetrią translacyjną można kategoryzować według typu grupy symetrii .

Izometrie płaszczyzny euklidesowej

Izometrie płaszczyzny euklidesowej dzielą się na cztery kategorie ( więcej informacji w artykule Izometria płaszczyzny euklidesowej ).

  • Translacje , oznaczane przez T v , gdzie v jest wektorem w R 2 . Powoduje to przesunięcie płaszczyzny przy zastosowaniuwektora przemieszczenia v .
  • Obroty , oznaczane przez R c , θ , gdzie c jest punktem na płaszczyźnie (środkiem obrotu), a θ jest kątem obrotu.
  • Odbicia lub izometrie lustrzane oznaczone przez F L , gdzie L jest prostą w R 2 . ( F oznacza „odwrócenie”). Daje to efekt odbicia płaszczyzny w linii L , zwanej osią odbicia lub powiązanym lustrem .
  • Odbicia ślizgowe , oznaczone G, L , D , w których L jest linia, R 2 , a d oznacza odległość. Jest to połączenie odbicia w linii L i przesunięcia wzdłuż L o odległość d .

Warunki niezależnych tłumaczeń

Warunek liniowo niezależnych translacji oznacza, że ​​istnieją liniowo niezależne wektory v i w (w R 2 ) takie, że grupa zawiera zarówno T v , jak i T w .

Celem tego warunku jest odróżnienie grup tapet od grup fryzów , które posiadają translację, ale nie dwóch liniowo niezależnych, oraz od dwuwymiarowych dyskretnych grup punktowych , które w ogóle nie mają translacji. Innymi słowy, grupy tapet reprezentują wzory, które powtarzają się w dwóch różnych kierunkach, w przeciwieństwie do grup fryzów, które powtarzają się tylko wzdłuż jednej osi.

(Możliwe jest uogólnienie tej sytuacji. Moglibyśmy na przykład badać dyskretne grupy izometrii R n z m liniowo niezależnymi translacjami, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą z zakresu 0 ≤  m  ≤  n .)

Warunek dyskretności

Warunek dyskretności oznacza, że ​​istnieje pewna dodatnia liczba rzeczywista ε, taka, że ​​dla każdego translacji T v w grupie wektor v ma długość co najmniej ε (z wyjątkiem oczywiście przypadku, gdy v jest wektorem zerowym, ale translacje niezależne warunek zapobiega temu, ponieważ każdy zestaw zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny z definicji i dlatego jest niedozwolony).

Celem tego warunku jest zapewnienie, że grupa ma zwartą domenę podstawową lub innymi słowy „komórkę” o niezerowej, skończonej powierzchni, która jest powtarzana przez płaszczyznę. Bez tego warunku moglibyśmy mieć na przykład grupę zawierającą tłumaczenie T x dla każdej liczby wymiernej x , która nie odpowiadałaby żadnemu sensownemu wzorowi tapety.

Jedną ważną i nietrywialną konsekwencją warunku dyskretności w połączeniu z warunkiem niezależnych translacji jest to, że grupa może zawierać tylko obroty rzędu 2, 3, 4 lub 6; oznacza to, że każdy obrót w grupie musi być obrotem o 180 °, 120 °, 90 ° lub 60 °. Fakt ten jest znany jako twierdzenie o ograniczeniach krystalograficznych i można go uogólnić na przypadki wyższych wymiarów.

Notacje dla grup tapet

Notacja krystalograficzna

Krystalografia ma do odróżnienia 230 grup przestrzennych , znacznie więcej niż 17 grup tapet, ale wiele symetrii w grupach jest takich samych. Możemy więc użyć podobnej notacji dla obu rodzajów grup, Carla Hermanna i Charlesa-Victora Mauguina . Przykładem pełnej nazwy tapety w stylu Hermanna-Mauguina (zwanej również notacją IUCr ) jest p 31 m , z czterema literami lub cyframi; częściej jest to skrócona nazwa, taka jak cmm lub pg .

W przypadku grup tapet pełny zapis zaczyna się od p lub c , dla komórki pierwotnej lub komórki wyśrodkowanej na twarzy ; są one wyjaśnione poniżej. Po nim następuje cyfra n , wskazująca najwyższy stopień symetrii obrotowej: 1-krotny (brak), 2-krotny, 3-krotny, 4-krotny lub 6-krotny. Kolejne dwa symbole wskazują symetrie względem jednej osi translacyjnej wzoru, określanej jako „główna”; jeśli jest lustro prostopadłe do osi translacji, wybieramy tę oś jako główną (lub jeśli są dwie, jedną z nich). Symbole to m , g , lub 1 , dla lustra, odbicia poślizgu lub brak. Oś zwierciadła lub odbicia poślizgu jest prostopadła do głównej osi dla pierwszej litery i równoległa lub nachylona o 180°/ n (gdy n  > 2) dla drugiej litery. Wiele grup zawiera inne symetrie implikowane przez dane. Krótki zapis pomija cyfry lub m, które można wywnioskować, o ile nie pozostawia to pomyłek z inną grupą.

Komórka pierwotna to minimalny region powtarzany przez translacje w sieci. Wszystkie grupy symetrii tapet z wyjątkiem dwóch są opisane w odniesieniu do pierwotnych osi komórek, na podstawie współrzędnych wykorzystujących wektory translacji sieci. W pozostałych dwóch przypadkach opis symetrii odnosi się do wyśrodkowanych komórek, które są większe niż komórka pierwotna, a zatem mają wewnętrzne powtórzenia; kierunki ich boków różnią się od kierunków wektorów translacji obejmujących prymitywną komórkę. Notacja Hermanna-Mauguina dla grup przestrzennych kryształów wykorzystuje dodatkowe typy komórek.

Przykłady
  • p 2 ( p 2): komórka prymitywna, dwukrotna symetria rotacji, brak luster i odbić poślizgowych.
  • p 4 gm ( p 4 mm ): komórka prymitywna, 4-krotna rotacja, odbicie poślizgu prostopadle do osi głównej, oś lustrzana pod kątem 45°.
  • c 2 mm ( c 2 mm ): wyśrodkowana komórka, dwukrotny obrót, osie lustrzane zarówno prostopadłe, jak i równoległe do osi głównej.
  • p 31 m ( p 31 m ): komórka prymitywna, 3-krotny obrót, oś lustrzana przy 60°.

Oto wszystkie nazwy różniące się krótkim i pełnym zapisem.

Krystalograficzne krótkie i pełne nazwy
Krótki po południu pg cm pm pmg pgg cmm p 4 mln p 4 g p 6 mln
Pełny p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg ok. 2 mm p 4 mm p 4 gm p 6 mm

Pozostałe nazwy to p 1 , p 2 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 i p 6 .

Notacja Orbifold

Notacja Orbifold dla grup tapet, zalecana przez Johna Hortona Conwaya (Conway, 1992) (Conway 2008), opiera się nie na krystalografii, ale na topologii. Składamy nieskończone okresowe kafelki płaszczyzny w jego istotę, orbifold , a następnie opisujemy to kilkoma symbolami.

  • Cyfra n wskazuje środek n- krotnej rotacji odpowiadającej punktowi stożka na orbifoldzie. Według krystalograficznego twierdzenia o ograniczeniu n musi wynosić 2, 3, 4 lub 6.
  • Gwiazdka * oznacza lustrzaną symetrię odpowiadającą granicy orbifoldu. Współdziała z cyframi w następujący sposób:
    1. Cyfry przed * oznaczają centra czystej rotacji ( cykliczne ).
    2. Cyfry po * oznaczają środki obrotu z przechodzącymi przez nie lustrami, odpowiadające „rogom” na granicy orbifoldu ( dwuścienne ).
  • Krzyżyk x występuje, gdy obecne jest odbicie poślizgowe i wskazuje nasadkę krzyżową na orbifold. Czyste lustra łączą się z translacją kratową, aby uzyskać poślizgi, ale są one już uwzględnione, więc nie odnotowujemy ich.
  • Symbol „brak symetrii”, o , jest samodzielny i wskazuje, że mamy tylko translacje sieciowe bez żadnej innej symetrii. Orbifold z tym symbolem to torus; ogólnie symbol o oznacza uchwyt na orbifoldzie.

Grupa oznaczona w notacji krystalograficznej przez cmm będzie, w notacji Conwaya, wynosić 2*22 . 2 przed * mówi, mamy 2-krotny centrum obrotu bez lustra przez nią. * Sam mówi, że mamy lustro. Pierwsze 2 po * mówi, że mamy 2-krotny środek obrotu na lustrze. Ostatnie 2 mówią, że mamy niezależne drugie 2-krotne centrum obrotu na lustrze, które nie jest duplikatem pierwszego pod symetriami.

Grupa oznaczona przez pgg będzie miała 22× . Mamy dwa czyste dwukrotne centra rotacji i oś odbicia poślizgu. Porównajmy to z pmg , Conway 22* , gdzie notacja krystalograficzna wspomina poślizg, ale taki, który jest ukryty w innych symetriach orbifoldu.

Coxeter „s zapis wspornik jest również, na podstawie reflectional grup Coxeter i zmodyfikowane z plusem Indeksy górne rozliczania obrotów, niewłaściwych obrotów i translacji.

Conway, Coxeter i korespondencja krystalograficzna
Conway o ×× *× ** 632 *632
Coxeter [∞ + ,2,∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Krystalograficzna p 1 pg cm po południu p 6 p 6 mln
Conway 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
Coxeter [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Krystalograficzna p 3 p 3 m 1 p 31 mln p 4 p 4 mln p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * *2222 2 *22
Coxeter [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Krystalograficzna p 2 pgg pmg pm cmm

Dlaczego jest dokładnie siedemnaście grup

Orbifold może być postrzegany jako wielokąt z powierzchnią, krawędziami i wierzchołkami, które można rozwinąć, tworząc możliwie nieskończony zestaw wielokątów, które układają albo kulę , albo płaszczyznę, albo płaszczyznę hiperboliczną . Gdy ułoży płaszczyznę sąsiadująco, da grupę tapety, a gdy umieści sferę lub płaszczyznę hiperboliczną, otrzyma albo grupę symetrii sferycznej, albo grupę symetrii hiperbolicznej . Rodzaj przestrzeni, na której znajduje się płytka wielokątów, można znaleźć obliczając charakterystykę Eulera , χ  =  V  −  E  +  F , gdzie V to liczba naroży (wierzchołków), E to liczba krawędzi, a F to liczba ścian. Jeśli charakterystyka Eulera jest dodatnia, to orbifold ma strukturę eliptyczną (sferyczną); jeśli wynosi zero, to ma strukturę paraboliczną, czyli grupę tapet; a jeśli jest ujemna, będzie miała strukturę hiperboliczną. Po wyliczeniu pełnego zestawu możliwych orbifoldów okazuje się, że tylko 17 ma charakterystykę Eulera 0.

Kiedy orbifold replikuje się przez symetrię, aby wypełnić płaszczyznę, jej cechy tworzą strukturę wierzchołków, krawędzi i ścian wielokątów, które muszą być zgodne z charakterystyką Eulera. Odwracając proces, możemy przypisać liczby do cech orbifolda, ale ułamki, a nie liczby całkowite. Ponieważ sama orbifold jest ilorazem pełnej powierzchni przez grupę symetrii, charakterystyka Eulera orbifold jest ilorazem charakterystyki powierzchni Eulera przez rząd grupy symetrii.

Orbifold charakterystyka Eulera wynosi 2 minus suma wartości cech, przypisana w następujący sposób:

  • Cyfra n bez lub przed * liczy się jako ( n  − 1)/ n .
  • Cyfra n po a * liczy się jako ( n  − 1)/2 n .
  • Zarówno *, jak i × liczą się jako 1.
  • „Brak symetrii” ° liczy się jako 2.

W przypadku grupy tapet suma charakterystyki musi wynosić zero; zatem suma cech musi wynosić 2.

Przykłady
  • 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
  • 3*3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
  • 4*2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
  • 22×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Teraz wyliczenie wszystkich grup tapet staje się kwestią arytmetyczną, wyliczenia wszystkich ciągów cech z sumą wartości 2.

Ciągi cech z innymi sumami nie są nonsensem; implikują niepłaskie kafelki, nie omówione tutaj. (Kiedy orbifold charakterystyka Eulera jest ujemna, kafelkowanie jest hiperboliczne ; gdy dodatnie, sferyczne lub złe ).

Przewodnik po rozpoznawaniu grup tapet

Aby dowiedzieć się, jaka grupa tapet odpowiada danemu wzorowi, można skorzystać z poniższej tabeli.

Rozmiar najmniejszego
obrotu		 Ma odbicie?
TAk Nie
360° / 6 p 6 m (*632) str. 6 (632)
360° / 4 Czy lustra są pod kątem 45°? str. 4 (442)
Tak: p 4 m (*442) Nr: P 4 g (4 * 2)
360° / 3 Ma zgniliznę. wyśrodkować lusterka? str. 3 (333)
Tak: p 31 m (3*3) Nr: p 3 m 1 (*333)
360°/2 Ma prostopadłe odbicia? Czy odbicie poślizgu?
TAk Nie
Ma zgniliznę. wyśrodkować lusterka? pmg (22*) Tak: str. (22×) Nr: s. 2 (2222)
Tak: cmm (2*22) Nie: pm (*2222)
Żaden Czy oś ślizgu jest wyłączona z lusterek? Czy odbicie poślizgu?
Tak: cm (*×) Nie: po południu (**) Tak: str (××) Nr: s. 1 (o)

Zobacz także ten przegląd z diagramami .

Siedemnaście grup

Każda z grup w tej sekcji ma dwa diagramy struktury komórki, które należy interpretować w następujący sposób (istotny jest kształt, a nie kolor):

Legenda schematu grupy tapet rotacja2.svg środek obrotu drugiego rzędu (180°).
Obrót legendy diagramu grupy tapet3.svg środek obrotu rzędu trzeciego (120°).
Legenda schematu grupy tapet rotacja4.svg środek obrotu rzędu czwartego (90°).
Obrót legendy diagramu grupy tapet6.svg środek obrotu rzędu szóstego (60°).
Legenda schematu grupy tapet refleksji.svg oś odbicia.
Legenda schemat grupy tapet glide reflection.svg oś odbicia poślizgu.

Na diagramach po prawej stronie różne klasy równoważności elementów symetrii są różnie pokolorowane (i obrócone).

Brązowy lub żółto obszaru wskazuje na podstawową domenę , to jest najmniejszą część wzoru, który jest powtarzany.

Diagramy po prawej pokazują komórkę kraty odpowiadającą najmniejszym translacji; te po lewej czasami pokazują większy obszar.

Grupa p 1 (o)

Przykład i wykres dla p 1
Struktury komórkowe dla p 1 według typu sieci
Schemat grupy tapet p1.svg
Skośny 		Schemat grupy tapet p1 half.svg
Sześciokątny
Schemat grupy tapet p1 rect.svg
Prostokątny 		Schemat grupy tapet p1 romb.svg
Rombowy 		Schemat grupy tapet p1 square.svg
Kwadrat
  • Podpis Orbifold: o
  • Notacja Coxetera (prostokątna): [∞ + ,2,∞ + ] lub [∞] + ×[∞] +
  • Krata: ukośna
  • Grupa punktowa: C 1
  • Grupa p 1 zawiera tylko tłumaczenia; nie ma rotacji, odbić ani odbić poślizgu.
Przykłady grupy p 1

Te dwa tłumaczenia (boki komórki) mogą mieć różne długości i mogą tworzyć dowolny kąt.

Grupa p 2 (2222)

Przykład i wykres dla p 2
Struktury komórkowe dla p 2 według typu sieci
Schemat grupy tapet p2.svg
Skośny 		Schemat grupy tapet p2 half.svg
Sześciokątny
Schemat grupy tapet p2 rect.svg
Prostokątny 		Schemat grupy tapet p2 romb.svg
Rombowy 		Schemat grupy tapet p2 square.svg
Kwadrat
  • Sygnatura Orbifold: 2222
  • Notacja Coxetera (prostokątna): [∞,2,∞] +
  • Krata: ukośna
  • Grupa punktowa: C 2
  • Grupa p 2 zawiera cztery centra rotacji rzędu drugiego (180°), ale nie ma odbić ani odbić poślizgu.
Przykłady grupy p 2

Grupa po południu (**)

Przykład i schemat dla pm
Struktura komórki dla pm
Schemat grupy tapet pm.svg
Lustra poziome 		Schemat grupy tapet pm obrócony.svg
Lustra pionowe
  • Podpis Orbifold: **
  • Notacja Coxetera: [∞,2,∞ + ] lub [∞ + ,2,∞]
  • Krata: prostokątna
  • Grupa punktowa: D 1
  • Grupa pm nie ma rotacji. Ma osie odbicia, wszystkie są równoległe.
Przykłady grupy pm

(Pierwsze trzy mają pionową oś symetrii, a dwie ostatnie mają inną przekątną).

Grupa pg (××)

Przykład i diagram dla pg
Struktury komórek dla pg
Schemat grupy tapet pg.svg
Prowadnice poziome 		Schemat grupy tapet pg obrócony.svg
Prowadnice pionowe
Prostokątny
  • Sygnatura Orbifold : ××
  • Notacja Coxetera: [(∞,2) + ,∞ + ] lub [∞ + ,(2,∞) + ]
  • Krata: prostokątna
  • Grupa punktowa: D 1
  • Grupa pg zawiera tylko odbicia poślizgu, a ich osie są równoległe. Nie ma rotacji ani odbić.
Przykłady grupy pg
  • Wygenerowane komputerowo
  • Mata z wzorem w jodełkę, na której stał egipski król
  • Mata egipska (detal)
  • Bruk ze wzorem w jodełkę w Salzburgu . Oś odbicia szybowania biegnie z północnego wschodu na południowy zachód
  • Jedna z kolorystyk kwadratowej kafelki afrykańskiej ; linie odbicia schodzenia są w kierunku górny lewy / dolny prawy; ignorując kolory, jest znacznie większa symetria niż tylko pg , to jest to p 4 g (zobacz tam ten obrazek z równo kolorowymi trójkątami)

Bez szczegółów wewnątrz zygzaków mata jest pmg ; ze szczegółami, ale bez rozróżnienia na brąz i czerń, to pgg .

Ignorując faliste krawędzie płytek, chodnik to pgg .

Grupa cm (*×)

Przykład i diagram dla cm
Struktura komórki dla cm
Schemat grupy tapet cm.svg
Lustra poziome 		Schemat grupy tapet cm obrócony.svg
Lustra pionowe
Rombowy
  • Podpis Orbifold: *×
  • Notacja Coxetera: [∞ + ,2 + ,∞] lub [∞,2 + ,∞ + ]
  • Krata: rombowa
  • Grupa punktowa: D 1
  • Grupa cm nie zawiera obrotów. Ma osie odbicia, wszystkie równoległe. Istnieje co najmniej jedno odbicie poślizgu, którego oś nie jest osią odbicia; znajduje się w połowie odległości między dwoma sąsiednimi równoległymi osiami odbicia.
  • Ta grupa dotyczy symetrycznie przesuniętych rzędów (tzn. występuje przesunięcie na rząd o połowę odległości przesunięcia wewnątrz rzędów) identycznych obiektów, które mają oś symetrii prostopadłą do rzędów.
Przykłady grupy cm

Grupa pm (*2222)

Przykład i schemat dla pmm
Struktura komórki dla pmm
Schemat grupy tapet pmm.svg
prostokątny 		Schemat grupy tapet pmm square.svg
kwadrat
  • Podpis Orbifold: *2222
  • Notacja Coxetera (prostokątna): [∞,2,∞] lub [∞]×[∞]
  • Notacja Coxetera (kwadrat): [4,1 + ,4] lub [1 + ,4,4,1 + ]
  • Krata: prostokątna
  • Grupa punktowa: D 2
  • Grupa pmm ma odbicia w dwóch prostopadłych kierunkach i cztery środki obrotu rzędu drugiego (180°) umieszczone na przecięciach osi odbić.
Przykłady grupy pmm
  • Obraz 2D ogrodzenia kratowego , USA (w 3D występuje dodatkowa symetria)
  • Etui z mumią przechowywane w Luwrze
  • Etui na mumię przechowywane w Luwrze . Byłby to typ p 4 m z wyjątkiem niedopasowanej kolorystyki

Grupa grupowa (22*)

Przykład i schemat dla pmg
Struktury komórkowe dla pmg
Schemat grupy tapet pmg.svg
Lustra poziome 		Schemat grupy tapet pmg obrócony.svg
Lustra pionowe
  • Sygnatura Orbifold: 22 *
  • Notacja Coxetera: [(∞,2) + ,∞] lub [∞,(2,∞) + ]
  • Krata: prostokątna
  • Grupa punktowa: D 2
  • Grupa pmg ma dwa centra rotacji rzędu drugiego (180°) i odbicia tylko w jednym kierunku. Ma odbicia poślizgu, których osie są prostopadłe do osi odbicia. Wszystkie centra rotacji leżą na osiach odbicia ślizgu.
Przykłady grup pmg

Grupa PGG (22 X)

Przykład i diagram dla pgg
Struktury komórek dla pgg według typu sieci
Schemat grupy tapet pgg.svg
Prostokątny 		Schemat grupy tapet pgg square.svg
Kwadrat
  • Sygnatura Orbifold: 22 ×
  • Notacja Coxetera (prostokątna): [((∞,2) + ,(∞,2) + )]
  • Notacja Coxetera (kwadrat): [4 + ,4 + ]
  • Krata: prostokątna
  • Grupa punktowa: D 2
  • Grupa pgg zawiera dwa centra rotacji rzędu drugiego (180°) oraz odbicia poślizgu w dwóch prostopadłych kierunkach. Środki obrotu nie znajdują się na osiach odbicia poślizgu. Nie ma odbić.
Przykłady grupy pgg

Grupa cmm (2*22)

Przykład i diagram dla cmm
Struktury komórkowe dla cmm według typu sieci
Schemat grupy tapet cmm.svg
Rombowy 		Schemat grupy tapet cmm square.svg
Kwadrat
  • Podpis Orbifold: 2 * 22
  • Notacja Coxetera (rombowa): [∞,2 + ,∞]
  • Notacja Coxetera (kwadrat): [(4,4,2 + )]
  • Krata: rombowa
  • Grupa punktowa: D 2
  • Grupa cmm ma odbicia w dwóch prostopadłych kierunkach i obrót rzędu drugiego (180°), którego środek nie znajduje się na osi odbicia. Posiada również dwa obroty, których środki znajdują się na osi odbicia.
  • Ta grupa jest często spotykana w życiu codziennym, gdyż najczęściej układanie cegieł w budynku murowanym ( wiązanie bieżne) wykorzystuje tę grupę (patrz przykład poniżej).

Symetria obrotowa rzędu 2 ze środkami obrotu w środkach boków rombu jest konsekwencją innych właściwości.

Wzór odpowiada każdemu z poniższych:

  • symetrycznie ułożone rzędy identycznych podwójnie symetrycznych obiektów
  • wzór szachownicy z dwóch naprzemiennych prostokątnych płytek, z których każda jest podwójnie symetryczna
  • wzór szachownicy naprzemiennie 2-krotnej obrotowo symetrycznej prostokątnej płytki i jej lustrzane odbicie
Przykłady grupy cmm

Grupa p 4 (442)

Przykład i wykres dla p 4
Struktura komórki dla p 4
  • Sygnatura Orbifold: 442
  • Notacja Coxetera: [4,4] +
  • Krata: kwadrat
  • Grupa punktowa: C 4
  • Grupa p 4 ma dwa środki obrotu rzędu czwartego (90°) i jeden środek obrotu rzędu drugiego (180°). Nie ma odbić ani odbić poślizgu.
Przykłady grupy p 4

Wzór p 4 można traktować jako powtórzenie w rzędach i kolumnach równych kwadratowych płytek z 4-krotną symetrią obrotową. Można go również traktować jako szachownicę dwóch takich płytek, o czynnik mniejszym i obróconym o 45°.

Grupa p 4 m (*442)

Przykład i wykres dla p 4 m
Struktura komórki dla p 4 m
  • Podpis Orbifold: *442
  • notacja Coxetera: [4,4]
  • Krata: kwadrat
  • Grupa punktowa: D 4
  • Grupa p 4 m ma dwa centra rotacji rzędu czwartego (90°) i odbicia w czterech różnych kierunkach (poziomym, pionowym i ukośnym). Posiada dodatkowe odbicia poślizgu, których osie nie są osiami odbicia; obroty rzędu drugiego (180°) są wyśrodkowane na przecięciu osi odbicia poślizgu. Wszystkie centra obrotu leżą na osiach odbicia.

Odpowiada to prostej siatce rzędów i kolumn równych kwadratów z czterema osiami odbicia. Odpowiada również wzorowi szachownicy dwóch takich kwadratów.

Przykłady grupy p 4 m

Przykłady wyświetlane z najmniejszymi tłumaczeniami poziomymi i pionowymi (jak na diagramie):

Przykłady wyświetlane z najmniejszą przekątną tłumaczeń:

Grupa p 4 g (4 * 2)

Przykład i wykres dla p 4 g
Struktura komórki dla p 4 g
  • Sygnatura Orbifold: 4 *2
  • Notacja Coxetera: [4 + ,4]
  • Krata: kwadrat
  • Grupa punktowa: D 4
  • Grupa p 4 g ma dwa centra obrotu rzędu czwartego (90°), które są swoim lustrzanym odbiciem, ale ma odbicia tylko w dwóch kierunkach, które są prostopadłe. Istnieją obroty rzędu drugiego (180°), których środki znajdują się na przecięciach osi odbicia. Ma osie odbić poślizgu równoległe do osi odbić, pomiędzy nimi, a także pod kątem 45° z nimi.

Wzór p 4 g można traktować jako wzór szachownicy kopii kwadratowej płytki z 4-krotną symetrią obrotową i jej lustrzanym odbiciem. Alternatywnie można go postrzegać (przesuwając pół kafelka) jako wzór szachownicy kopii poziomo i pionowo symetrycznego kafelka i jego wersji obróconej o 90°. Należy zauważyć, że nie dotyczy to zwykłego wzoru szachownicy czarnych i białych płytek, jest to grupa p 4 m (z przekątnymi komórkami przesunięcia).

Przykłady grupy p 4 g

Grupa p 3 (333)

Przykład i wykres dla p 3
Struktura komórki dla p 3
  • Sygnatura Orbifold: 333
  • Notacja Coxetera: [(3,3,3)] + lub [3 [3] ] +
  • Krata: sześciokątna
  • Grupa punktowa: C 3
  • Grupa p 3 ma trzy różne centra rotacji rzędu trzeciego (120°), ale nie ma odbić ani odbić poślizgu.

Wyobraź sobie teselację płaszczyzny z trójkątami równobocznymi o jednakowej wielkości, z bokami odpowiadającymi najmniejszym przesunięciom. Wtedy połowa trójkątów jest w jednej orientacji, a druga połowa do góry nogami. Ta grupa tapet odpowiada przypadkowi, w którym wszystkie trójkąty o tej samej orientacji są równe, podczas gdy oba typy mają symetrię obrotową rzędu trzeciego, ale oba nie są równe, nie są ich lustrzanymi odbiciami i nie są symetryczne (jeśli oba są równe mamy p 6 , jeśli są one swoim lustrzanym odbiciem to mamy p 31 m , jeśli oba są symetryczne to mamy p 3 m 1 ; jeśli dwa z trzech mają zastosowanie, to także trzecia i mamy p 6 m ). Dla danego obrazu możliwe są trzy z tych teselacji, każda ze środkami obrotu jako wierzchołkami, tj. dla dowolnej teselacji możliwe są dwa przesunięcia. Jeśli chodzi o obraz: wierzchołkami mogą być czerwone, niebieskie lub zielone trójkąty.

Równoważnie wyobraźmy sobie teselację płaszczyzny z sześciokątami foremnymi o bokach równych najmniejszej odległości przesunięcia podzielonej przez √3. Wtedy ta grupa tapet odpowiada przypadkowi, w którym wszystkie sześciokąty są równe (i mają tę samą orientację) i mają symetrię obrotową rzędu trzeciego, podczas gdy nie mają symetrii odbicia lustrzanego (jeśli mają symetrię obrotową rzędu szóstego, mamy p 6 , jeśli są symetryczne względem głównych przekątnych mamy p 31 m , jeśli są symetryczne względem linii prostopadłych do boków to mamy p 3 m 1 ; jeśli stosujemy dwie z trzech to również trzecia i mamy p 6 m ). Dla danego obrazu możliwe są trzy z tych teselacji, z których każda ma jedną trzecią środków obrotu jako środki sześciokątów. W ujęciu obrazowym: środkiem sześciokątów mogą być trójkąty czerwony, niebieski lub zielony.

Przykłady grupy p 3
  • Wygenerowane komputerowo
  • jedna z 8 półregularnych teselacji (pomijając kolory: p 6 ); wektory translacji są obrócone nieco w prawo w porównaniu z kierunkami w leżącej poniżej sześciokątnej siatce obrazu
  • Chodnik uliczny w Zakopanem , Polska
  • Płytki ścienne w Alhambrze w Hiszpanii (i cała ściana ); ignorowanie wszystkich kolorów to p 3 (ignorowanie tylko kolorów gwiazd to p 1 )

Grupa p 3 m 1 (*333)

Przykład i wykres dla p 3 m 1
Struktura komórki dla p 3 m 1
  • Podpis Orbifold: *333
  • Notacja Coxetera: [(3,3,3)] lub [3 [3] ]
  • Krata: sześciokątna
  • Grupa punktowa: D 3
  • Grupa p 3 m 1 ma trzy różne środki obrotu rzędu trzeciego (120°). Ma odbicia w trzech bokach trójkąta równobocznego. Środek każdego obrotu leży na osi odbicia. Istnieją dodatkowe odbicia poślizgu w trzech różnych kierunkach, których osie znajdują się w połowie odległości między sąsiednimi równoległymi osiami odbicia.

Podobnie jak w przypadku p 3 , wyobraźmy sobie teselację płaszczyzny o równych trójkątach równobocznych, o bokach odpowiadających najmniejszym translacji. Wtedy połowa trójkątów jest w jednej orientacji, a druga połowa do góry nogami. Ta grupa tapet odpowiada przypadkowi, w którym wszystkie trójkąty o tej samej orientacji są równe, podczas gdy oba typy mają obrotową symetrię rzędu trzeciego i oba są symetryczne, ale oba nie są równe i nie są swoim lustrzanym odbiciem. Dla danego obrazu możliwe są trzy z tych teselacji, każda ze środkami obrotu jako wierzchołkami. Jeśli chodzi o obraz: wierzchołkami mogą być czerwone, ciemnoniebieskie lub zielone trójkąty.

Przykłady grupy p 3 m 1

Grupa p 31 m (3*3)

Przykład i wykres dla p 31 m
Struktura komórki dla p 31 m
  • Sygnatura Orbifold: 3 *3
  • notacja Coxetera: [6,3 + ]
  • Krata: sześciokątna
  • Grupa punktowa: D 3
  • Grupa p 31 m ma trzy różne środki obrotu rzędu trzeciego (120°), z których dwa są wzajemnie lustrzanymi odbiciami. Ma odbicia w trzech różnych kierunkach. Ma co najmniej jeden obrót, którego środek nie leży na osi odbicia. Istnieją dodatkowe odbicia poślizgu w trzech różnych kierunkach, których osie znajdują się w połowie odległości między sąsiednimi równoległymi osiami odbicia.

Podobnie jak w przypadku p 3 i p 3 m 1 , wyobraźmy sobie teselację płaszczyzny z trójkątami równobocznymi o równych rozmiarach, o bokach odpowiadających najmniejszym przesunięciom. Wtedy połowa trójkątów jest w jednej orientacji, a druga połowa do góry nogami. Ta grupa tapet odpowiada sytuacji, w której wszystkie trójkąty o tej samej orientacji są równe, podczas gdy oba typy mają symetrię obrotową trzeciego rzędu i są swoim lustrzanym odbiciem, ale same nie są symetryczne i nie są równe. Dla danego obrazu możliwa jest tylko jedna taka teselacja. Pod względem obrazu: wierzchołki nie mogą być ciemnoniebieskimi trójkątami.

Przykłady grupy p 31 m

Grupa str 6 (632)

Przykład i wykres dla p 6
Struktura komórki dla p 6
  • Sygnatura Orbifold: 632
  • Notacja Coxetera: [6,3] +
  • Krata: sześciokątna
  • Grupa punktowa: C 6
  • Grupa p 6 ma jeden środek obrotu rzędu sześć (60°); dwa centra obrotu trzeciego rzędu (120°), które są swoimi obrazami przy obrocie o 60°; oraz trzy centra obrotu rzędu drugiego (180°), które są również swoimi obrazami przy obrocie o 60°. Nie ma odbić ani odbić poślizgu.

Wzór ten symetrii może być traktowana jako teselacji płaszczyzny z równych trójkątnych płytek z C 3 symetrii lub równoważnie tesselację płaszczyzny z równych heksagonalnych płytek o C 6 symetrii (z krawędziami płytek niekoniecznie należą do wzoru).

Przykłady grupy p 6

Grupa p 6 m (*632)

Przykład i wykres dla p 6 m
Struktura komórki dla p 6 m
  • Podpis Orbifold: *632
  • notacja Coxetera: [6,3]
  • Krata: sześciokątna
  • Grupa punktowa: D 6
  • Grupa p 6 m ma jeden środek obrotu rzędu sześć (60°); ma dwa centra obrotu rzędu trzeciego, które różnią się tylko obrotem 60 ° (lub równoważnie 180 °) i trzy rzędu drugiego, które różnią się tylko obrotem 60 °. Posiada również odbicia w sześciu różnych kierunkach. Istnieją dodatkowe odbicia poślizgu w sześciu różnych kierunkach, których osie znajdują się w połowie odległości między sąsiednimi równoległymi osiami odbicia.

Wzór ten symetrii może być traktowana jako teselacji płaszczyzny z równych trójkątnych płytek o D 3 symetrii lub równoważnie tesselację płaszczyzny z równych heksagonalnych płytek o D 6 symetrii (z krawędziami płytek niekoniecznie należą do wzoru). Tak więc najprostsze przykłady to trójkątna krata z lub bez linii łączących oraz sześciokątna płytka z jednym kolorem do obrysowania sześciokątów i jednym do tła.

Przykłady grupy p 6 m

Rodzaje krat

Istnieje pięć kratowe typy lub ogrodzenia Bravais odpowiadające pięciu możliwych grup tapety samej sieci krystalicznej. Grupa tapet wzoru z tą siatką symetrii translacyjnej nie może mieć więcej, ale może mieć mniejszą symetrię niż sama sieć.

  • W 5 przypadkach symetrii obrotowej rzędu 3 lub 6 komórka elementarna składa się z dwóch równobocznych trójkątów (sieci heksagonalnej, która sama p 6 m ). Tworzą romb o kątach 60° i 120°.
  • W 3 przypadkach symetrii obrotowej rzędu 4 komórka jest kwadratem (sieć kwadratowa, sama p 4 m ).
  • W 5 przypadkach odbicia lub poślizgu, ale nie obu, komórka jest prostokątem (siecią prostokątną, sama pmm ). Można go również interpretować jako wyśrodkowaną rombową kratę. Przypadki specjalne: kwadrat.
  • W 2 przypadkach odbicia połączonego z odbiciem poślizgowym, komórka jest rombem (sieć rombowa, sama cmm ). Może być również interpretowany jako wyśrodkowana krata prostokątna. Przypadki specjalne: kwadratowa, sześciokątna komórka elementarna.
  • W przypadku tylko symetrii obrotowej rzędu 2, a w przypadku symetrii nie innej niż translacyjna, komórka jest na ogół równoległobokiem (równoległoboczna lub ukośna, sama p 2 ). Przypadki szczególne: prostokąt, kwadrat, romb, sześciokątna komórka elementarna.

Grupy symetrii

Rzeczywistą grupę symetrii należy odróżnić od grupy tapet. Grupy tapet to kolekcje grup symetrii. Jest 17 takich kolekcji, ale dla każdej kolekcji jest nieskończenie wiele grup symetrii, w sensie rzeczywistych grup izometrii. Zależą one, poza grupą tapet, od szeregu parametrów wektorów translacji, orientacji i położenia osi odbicia oraz środków obrotu.

Liczby stopni swobody to:

  • 6 dla s 2
  • 5 dla pmm , pmg , pgg i cmm
  • 4 do reszty.

Jednak w każdej grupie tapet wszystkie grupy symetrii są algebraicznie izomorficzne.

Niektóre izomorfizmy grup symetrii:

  • p 1 : Z 2
  • pm : Z × D ∞
  • PMM : D ∞ x D ∞ .

Zależność grup tapet od przekształceń

  • Grupa tapet wzoru jest niezmienna w przypadku izometrii i jednolitego skalowania ( przekształcenia podobieństwa ).
  • Symetria translacyjna jest zachowana dzięki arbitralnym bijektywnym przekształceniom afinicznym .
  • Symetria obrotowa rzędu drugiego jw.; oznacza to również, że 4- i 6-krotne centra rotacji zachowują co najmniej 2-krotną symetrię obrotową.
  • Odbicie w linii i odbicie poślizgu są zachowywane przy rozszerzaniu/kurczeniu wzdłuż lub prostopadle do osi odbicia i odbicia poślizgu. Zamienia p 6 m , p 4 g i p 3 m 1 na cmm , p 3 m 1 na cm i p 4 m , w zależności od kierunku rozszerzania/kurczenia się na pmm lub cmm . Wzór symetrycznie ułożonych naprzemiennie rzędów punktów jest szczególny, ponieważ może się zmieniać przez rozszerzanie/kurczenie z p 6 m na p 4 m .

Zauważ, że kiedy transformacja zmniejsza symetrię, transformacja tego samego rodzaju (odwrotność) oczywiście dla niektórych wzorców zwiększa symetrię. Taka specjalna właściwość wzoru (np. rozwinięcie w jednym kierunku daje wzór o 4-krotnej symetrii) nie jest liczona jako forma dodatkowej symetrii.

Zmiana kolorów nie ma wpływu na grupę tapet, jeśli dowolne dwa punkty, które mają ten sam kolor przed zmianą, mają również ten sam kolor po zmianie, a dowolne dwa punkty, które mają różne kolory przed zmianą, mają również różne kolory po zmianie .

Jeśli dotyczy to pierwsze, ale nie drugie, na przykład podczas konwersji obrazu kolorowego na czarno-biały, symetrie są zachowywane, ale mogą się zwiększać, aby grupa tapet mogła się zmienić.

Demo internetowe i oprogramowanie

Kilka graficznych narzędzi programowych umożliwia tworzenie wzorów 2D przy użyciu grup symetrii tapet. Zazwyczaj można edytować oryginalną płytkę, a jej kopie w całym wzorze są automatycznie aktualizowane.

  • MadPattern , bezpłatny zestaw szablonów Adobe Illustrator obsługujący 17 grup tapet
  • Tess , program teselacji shareware dla wielu platform, obsługuje wszystkie grupy tapet, fryzów i rozet, a także kafelki Heesch.
  • Wallpaper Symmetry to darmowe narzędzie do rysowania w języku JavaScript, które obsługuje 17 grup. Strona główna ma wyjaśnienie grup tapety, jak również narzędzi do rysowania oraz wyjaśnienia dotyczące innych grup płaska symetrii , jak również.
  • TALES GAME , darmowe oprogramowanie przeznaczone do celów edukacyjnych, które zawiera funkcję teselacji.
  • Kali , graficzny edytor symetrii online Aplet Java (domyślnie nieobsługiwany w przeglądarkach).
  • Kali , bezpłatna aplikacja Kali do pobrania dla systemów Windows i Mac Classic.
  • Inkscape , darmowy edytor grafiki wektorowej , obsługuje wszystkie 17 grup oraz dowolne skale, przesunięcia, obroty i zmiany kolorów na wiersz lub na kolumnę, opcjonalnie losowo do określonego stopnia. (Patrz [1] )
  • SymmetryWorks to komercyjna wtyczka do programu Adobe Illustrator , obsługuje wszystkie 17 grup.
  • EscherSketch to darmowe narzędzie do rysowania w języku JavaScript, które obsługuje 17 grup.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Gramatyka ornamentu (1856), Owena Jonesa . Wiele obrazów w tym artykule pochodzi z tej książki; zawiera o wiele więcej.
  • Johna H. Conwaya (1992). „The Orbifold Notation dla grup powierzchniowych”. W: MW Liebeck i J. Saxl (red.), Groups, Combinatorics and Geometry , Proceedings of the LMS Durham Symposium, 5–15 lipca, Durham, Wielka Brytania, 1990; Londyn Matematyka. Soc. Notatki do wykładów Seria 165 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge, Cambridge. s. 438-447
  • John H. Conway , Heidi Burgiel i Chaim Goodman-Strauss (2008): Symetrie rzeczy . Worcester MA: AK Peters. ISBN  1-56881-220-5 .
  • Branko Grünbaum i GC Shephard (1987): Kafelki i wzory . Nowy Jork: Freeman. ISBN  0-7167-1193-1 .
  • Projektowanie wzorów, Lewis F. Day

Linki zewnętrzne