Pierścionek Von Neumanna regularny - Von Neumann regular ring

W matematyce , A von Neumann regularny pierścień jest pierścieniem R (łączność z 1, niekoniecznie przemienne) tak, że dla każdego elementu A w B istnieje X w R z a = AXA . Można myśleć o x jako o „słabej odwrotności” elementu a; ogólnie x nie jest jednoznacznie określony przez a . Pierścienie regularne Von Neumanna nazywane są również pierścieniami absolutnie płaskimi , ponieważ pierścienie te charakteryzują się tym, że każdy lewy moduł R jest płaski .

Pierścienie regularne von Neumanna zostały wprowadzone przez von Neumanna  ( 1936 ) pod nazwą „pierścienie regularne” w trakcie jego badań nad algebrami von Neumanna i geometrią ciągłą . Von Neumann regularne pierścienie nie powinny być mylone z niepowiązanych regularnych pierścieni i regularnych lokalnych pierścieni o przemiennej algebry .

Element pierścienia nazywany jest von Neumann stałym elementem jeśli istnieje X tak, że = axa . Idealnym nazywa się (von Neumann) regularne idealny , jeśli dla każdego elementu A w istnieje element X w taki sposób, że = Axa . ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

Przykłady

Każde pole (i każde pole skośne ) jest regularne von Neumanna: dla a ≠ 0 możemy przyjąć x = a ⁻¹ . Integralną domena jest von Neumann regularny wtedy i tylko wtedy, gdy jest to pole. Każdy bezpośredni produkt regularnych pierścieni von Neumanna jest znowu regularny von Neumanna.

Inną ważną klasą przykładów regularnych pierścieni von Neumanna są pierścienie M _n ( K ) z n -by- n macierzy kwadratowych z wpisami z jakiegoś pola K . Jeśli R jest pozycja z A ∈ M _n ( K ) , eliminacji Gaussa daje odwracalne macierz U i V , tak że

${\ Displaystyle A = U {\ zacząć {pmatrix} I_ {r} i 0 \ \ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} V}$

(gdzie I _r jest macierzą jednostkową r -by- r ). Jeśli ustawimy X = V ⁻¹ U ⁻¹ , to

${\ Displaystyle AXA = U {\ zacznij {pmatrix} I_ {r} i 0 \ \ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} {\ zacznij {pmatrix} I_ {r} i 0 \ \ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} V = U { \begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

Bardziej ogólnie, pierścień macierzy nxn nad dowolnym regularnym pierścieniem von Neumanna jest znowu regularny von Neumanna.

Jeśli V jest przestrzenią wektorową nad polem (lub polem skośnym ) K , to pierścień endomorfizmu End _K ( V ) jest regularny według von Neumanna, nawet jeśli V nie jest skończenie wymiarowe.

Pierścień operatorów stowarzyszonych skończonej algebry von Neumanna jest regularny von Neumanna.

Logiczny pierścień oznacza pierścień, w którym każdy spełnia elementu ² = . Każdy pierścień Boole'a jest regularny von Neumanna.

Fakty

Następujące stwierdzenia są równoważne dla pierścienia R :

• R jest regularne von Neumanna
• każdy główny lewy ideał jest generowany przez idempotentny element
• każdy skończony lewy ideał jest generowany przez idempotenta
• każdy główny lewy ideał jest bezpośrednim sumą lewego R -modułu R
• każdy skończenie generowane lewej idealnie jest bezpośrednio do składnika z lewej R -module R
• każdy skończenie generowane modułem z rzutowej lewej R -module P jest bezpośrednio do składnika z P
• każdy lewy moduł R jest płaski : jest to również znane jako R jest absolutnie płaskie lub R ma słaby wymiar 0.
• każda krótka dokładna sekwencja lewych modułów R jest czysto dokładna

Odpowiednie stwierdzenia dla prawych modułów są również równoważne R będącemu regularnością von Neumanna.

W przemiennym regularnym pierścieniu von Neumanna dla każdego elementu x istnieje unikalny element y taki, że xyx = x i yxy = y , więc istnieje kanoniczny sposób wyboru „słabej odwrotności” x . Poniższe stwierdzenia są równoważne dla pierścienia przemiennego R :

• R jest regularne von Neumanna
• R ma wymiar Krulla 0 i jest zmniejszony
• Każda lokalizacja z R przy maksymalnej ideału jest polem
• R jest podpierścieniem iloczynu pól zamkniętych przy „słabych odwrotnościach” x ∈ R (jednoznaczny element y taki, że xyx = x i yxy = y ).
• R to pierścień V .

Równoważne są również: dla pierścienia przemiennego A

• R = A / zero ( A ) jest regularnością von Neumanna.
• Widmo z A jest Hausdorff (w topologii Zariski ).
• Konstruowalne topologii i topologia Zariski do spec ( A ) są zbieżne.

Uogólniając powyższe przykład, przypuśćmy, że S jest część pierścieniowa i M oznacza S -module taki sposób, że każdy submoduł z M jest bezpośrednio do składnika o M (takie moduły M nazywane półprosty ). Wtedy pierścień endomorfizmu End _S ( M ) jest regularny von Neumanna. W szczególności każdy półprosty pierścionek jest regularny von Neumanna. Rzeczywiście, półproste pierścienie są dokładnie regularnymi pierścieniami Noetherian von Neumann.

Każdy regularny pierścień von Neumanna ma pierwiastek Jacobsona {0}, a zatem jest półprymitywny (zwany także „półprostym Jacobsona”).

Generalizacje i specjalizacje

Specjalne typy regularnych pierścieni von Neumanna obejmują jednostkowe pierścienie regularne oraz silnie von Neumanna regularne pierścienie i pierścienie szeregowe .

Pierścień R jest nazywany jednostką regularną, jeśli dla każdego a w R istnieje jednostka u w R taka, że a = aua . Każdy półprosty pierścień jest jednostką regularną, a regularne pierścienie jednostkowe są bezpośrednio pierścieniami skończonymi . Zwykły regularny pierścień von Neumanna nie musi być bezpośrednio skończony.

Pierścień R jest nazywany silnie regularnym von Neumanna, jeśli dla każdego a w R jest jakieś x w R z a = aax . Warunek jest symetryczny od lewej do prawej. Silnie regularne pierścienie von Neumanna są jednostkami regularnymi. Każdy silnie von Neumann regularny pierścień jest subdirect produkt o pierścień z dzieleniem . W pewnym sensie, to bardziej naśladuje własności przemiennych regularnych pierścieni von Neumanna, które są pośrednimi produktami pól. Oczywiście dla pierścieni przemiennych regularny von Neumanna i silnie regularny von Neumanna są równoważne. Ogólnie rzecz biorąc, następujące są równoważne pierścieniowi R :

• R jest silnie regularne von Neumanna
• R jest regularne i zredukowane von Neumanna
• R jest regularnością von Neumanna, a każdy idempotent w R jest centralny
• Każdy główny lewy ideał R jest generowany przez centralny idempotent

Uogólnienia regularnych pierścieni von Neumanna obejmują π -pierścienie regularne , lewe/prawe pierścienie półdziedziczne , lewe/prawe pierścienie nieosobliwe i pierścienie półprymitywne .

Zobacz też

• Półgrupa regularna
• Słaby odwrotny

Uwagi

Bibliografia

• Kaplansky, Irving (1972), Pola i pierścienie , wykłady Chicago z matematyki (druga red.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl  1001,16500
• LA Skornyakov (2001) [1994], "Zwykły pierścień (w sensie von Neumanna)" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press

Dalsza lektura

• Goodearl, KR (1991), pierścienie regularne von Neumanna (2 wyd.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., s. xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X, MR  1150975 , Zbl  0749.16001
• von Neumann, John (1936), "O regularnych pierścieniach", Proc. Natl. Acad. Nauka. USA , 22 (12) : 707-712 , doi : 10.1073/pnas.22.12.707 , JFM  62.1103.03 , PMC  1076849 , PMID  16577757 , Zbl  0015.38802
• von Neumann, John (1960), Geometrie ciągłe , Princeton University Press , Zbl  0171.28003