Darmowy idealny pierścionek - Free ideal ring

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie teorii pierścieni , (po prawej) wolny idealny pierścień lub jodła to pierścień, w którym wszystkie właściwe ideały są wolnymi modułami o unikalnej randze . Pierścień, w którym wszystkie właściwe ideały z co najwyżej n generatorów są wolne i mają unikalną rangę, nazywa się n-jodłą . Semifir jest pierścień, w którym wszystkie skończenie generowane prawo ideały są darmowe moduły wyjątkowej rangi. (Zatem pierścień jest semifir, jeśli jest n -fir dla wszystkich n ≥ 0). Właściwość semifir jest symetryczna lewo-prawo, ale właściwość jodła nie.

Właściwości i przykłady

Okazuje się, że jodła lewa i prawa to domena . Co więcej, przemienna jodła jest dokładnie główną domeną idealną , podczas gdy przemienna semifir jest właśnie domeną Bézouta . Te ostatnie fakty nie dotyczą jednak generalnie pierścieni nieprzemiennych ( Cohn 1971 ).

Każdy główny prawy idealna domena R jest słuszną jodła, ponieważ każdy niezerowy ideał główny prawo do domeny jest izomorficzna R . W ten sam sposób prawidłowa domena Bézout jest półfirem.

Ponieważ wszystkie właściwe ideały właściwej jodły są darmowe, są one rzutujące. Zatem każda właściwa jodła jest właściwym pierścieniem dziedzicznym , podobnie jak prawy semifir jest prawym półdziedzicznym pierścieniem . Ponieważ moduły rzutowe nad pierścieniami lokalnymi są dowolne, a pierścienie lokalne mają niezmienną liczbę podstawową , wynika z tego, że lokalny, prawy pierścień dziedziczny to właściwa jodła, a lokalny, prawy pierścień półdziedziczny jest prawidłowy.

W przeciwieństwie do głównej idealnej domeny prawa, jodła niekoniecznie jest prawą Noetherian , jednak w przypadku przemienności R jest domeną Dedekinda, ponieważ jest dziedziczną domeną, a więc koniecznie jest Noetherian.

Innym ważnym i motywującym przykładem swobodnego pierścienia idealnego są wolne asocjacyjne (jedne) k -algebry dla pierścieni dzielących k , zwane także nieprzemiennymi pierścieniami wielomianowymi ( Cohn 2000 , §5.4).

Semifirs mają niezmienną liczbę bazową, a każdy semifir jest domeną Sylvester .

Bibliografia

  • Cohn, PM (1971), „Free ideal rings and free products of rings”, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nicea, 1970) , 1 , Gauthier-Villars, str. 273–278, MR  0506389 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 2017-11-25 , odzyskane 2010-11-26
  • Cohn, PM (2006), Free ideal ring and localization in general rings , New Mathematical Monographs, 3 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85337-8, MR  2246388
  • Cohn, PM (1985), Free rings and their relations , London Mathematical Society Monographs, 19 (wyd. 2), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-179152-0, MR  0800091
  • Cohn, PM (2000), Wprowadzenie do teorii pierścieni , Springer Undergraduate Mathematics Series, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-206-8, Nr MR  1732101
  • „Free ideal ring” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

Dalsza lektura