Prosty pierścień - Simple ring

W algebrze abstrakcyjnej , gałęzi matematyki , pierścień prosty jest pierścieniem niezerowym , który nie ma ideału dwustronnego poza ideałem zerowym i sobą samym. W szczególności pierścień przemienny jest pierścieniem prostym wtedy i tylko wtedy, gdy jest polem .

Centrum prostego pierścienia musi polu. Wynika z tego, że prosty pierścień jest algebrą asocjacyjną nad tym ciałem. Tak więc prosta algebra i prosty pierścień są synonimami.

Kilka odniesień (np. Lang (2002) lub Bourbaki (2012)) wymaga dodatkowo, aby prosty pierścień był lewy lub prawy artyński (lub równoważnie półprosty ). W takiej terminologii niezerowy pierścień bez nietrywialnych dwustronnych ideałów nazywany jest quasi-prostym .

Pierścienie, które są proste jak pierścienie, ale nie są prostym modułem nad sobą, istnieją: pierścień pełnomacierzowy nad polem nie ma żadnych nietrywialnych ideałów (ponieważ każdy ideał M n ( R ) ma postać M n ( I ) z I ideał R ), ale ma nietrywialne ideały lewe (na przykład zbiory macierzy, które mają pewne kolumny z ustalonymi zerami).

Zgodnie z twierdzeniem Artina-Wedderburna każdy prosty pierścień, który jest lewy lub prawy artinian, jest pierścieniem macierzy nad pierścieniem podziału . W szczególności jedynymi prostymi pierścieniami, które są skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi, są pierścienie macierzy nad liczbami rzeczywistymi, liczbami zespolonymi lub kwaternionymi .

Przykładem prostego pierścienia, który nie jest pierścieniem macierzowym nad pierścieniem dzielącym, jest algebra Weyla .

Charakteryzacja

Pierścień jest prosta algebra, jeśli nie zawiera nietrywialne dwustronne ideałów .

Bezpośrednim przykładem prostych algebr są algebry dzielenia , w których każdy niezerowy element ma odwrotność multiplikatywną, na przykład rzeczywista algebra kwaternionów . Można również pokazać, że algebra macierzy n × n z wpisami w pierścieniu dzielenia jest prosta. W rzeczywistości charakteryzuje to wszystkie proste algebry skończenie wymiarowe aż do izomorfizmu , tj. każda prosta algebra, która jest skończenie wymiarowa nad swoim środkiem, jest izomorficzna z algebrą macierzy nad pewnym pierścieniem podziału. Udowodnił to w 1907 roku Joseph Wedderburn w swojej pracy doktorskiej O liczbach hiperkompleksowych , która ukazała się w Proceedings of the London Mathematical Society . Praca Wedderburna klasyfikowała algebry proste i półproste . Algebry proste są elementami składowymi algebr półprostych: każda skończenie wymiarowa algebra półprosta jest iloczynem kartezjańskim, w sensie algebr, prostych algebr.

Wynik Wedderburna został później uogólniony na półproste pierścienie w twierdzeniu Artina-Wedderburna .

Przykłady

Niech R być pole liczb rzeczywistych, C jest liczb zespolonych i H do quaternions .

Twierdzenie Wedderburna

Główny artykuł: twierdzenie Artina-Wedderburna

Twierdzenie Wedderburna charakteryzuje proste pierścienie z jednostką i minimalnym lewicowym ideałem. (Lewy warunek artyński jest uogólnieniem drugiego założenia.) Mianowicie mówi, że każdy taki pierścień jest, aż do izomorfizmu , pierścieniem n × n macierzy nad pierścieniem podziału.

Niech D będzie pierścieniem dzielenia , a M n ( D ) będzie pierścieniem macierzy z wpisami w D . Nietrudno wykazać, że każdy lewy ideał w M n ( D ) przyjmuje następującą postać:

{ M ∈ M n ( D ) | gdy n 1 , ..., n k -tej kolumny M mieć zero wpisy}

dla niektórych ustalonych { n 1 , ..., n k } ⊆ {1, ..., n }. Zatem minimalny ideał w M n ( D ) ma postać

{ M ∈ M n ( D ) | wszystkie oprócz k -tej kolumny mają zerowe wpisy},

dla danego k . Innymi słowy, jeśli I jest minimalnym lewostronnym ideałem, to I = M n ( D ) e , gdzie e jest macierzą idempotentną z 1 we wpisie ( k , k ) i zerem w innym miejscu. Ponadto D jest izomorficzne z e M n ( D ) e . Lewy ideał I może być postrzegany jako prawy moduł nad e M n ( D ) e , a pierścień M n ( D ) jest wyraźnie izomorficzny z algebrą homomorfizmów w tym module.

Powyższy przykład sugeruje następujący lemat:

Lemat. A jest pierścieniem o tożsamości 1 i idempotentnym elementem e, gdzie AeA = A . Niech ja będę lewym idealnym Ae , rozpatrywanym jako prawy moduł nad eAe . Wtedy A jest izomorficzne z algebrą homomorfizmów na I , oznaczaną przez Hom ( I ).

Dowód: Definiujemy „lewostronną reprezentację regularną” Φ : A → Hom ( I ) przez Φ( a ) m = am dla m ∈ I . Φ to za pomocą wstrzyknięć , ponieważ jeśli ⋅ I = aae = 0 , a następnie aA = aAeA = 0 , co oznacza, że = się ⋅ 1 = 0 .

Dla surjectivity , niech T ∈ Hom ( I ) . Ponieważ AeA = A , jednostka 1 może być wyrażona jako 1 = Σ a i eb i . Więc

T ( m ) = T (1 ⋅ m ) = T ( a i eb i m ) = Σ T ( a i ee i m ) = Σ T ( a i e ) eb i m = [Σ T ( a i e ) ) eb i ] m .

Ponieważ ekspresja [Σ T ( i e ) eb i ] nie zależą m , Φ jest suriekcją. To potwierdza lemat.

Twierdzenie Wedderburna łatwo wynika z tego lematu.

Twierdzenie ( Wedderburna ). Jeśli A jest prostym pierścieniem z jednostką 1 i minimalnym lewym ideałem I , to A jest izomorficzny z pierścieniem n × n macierzy nad pierścieniem podziału.

Wystarczy zweryfikować założenia lematu, tj. znaleźć idempotentne e takie, że I = Ae , a następnie pokazać, że eAe jest pierścieniem dzielenia. Założenie A = AeA wynika z prostoty A.

Zobacz też

Bibliografia

  • AA Albert , Struktura algebr , publikacje kolokwium 24 , American Mathematical Society , 2003, ISBN  0-8218-1024-3 . s.37.
  • Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
  • Henderson, DW (1965). „Krótki dowód twierdzenia Wedderburna”. Amer. Matematyka. Miesięcznie . 72 : 385–386. doi : 10.2307/2313499 .
  • Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 978-0-387-95325-0, MR  1838439
  • Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
  • Jacobson, Nathan (1989), algebra podstawowa II (2nd ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5