Dzwonek lokalny - Local ring

W algebrze abstrakcyjnej , a dokładniej w teorii pierścieni , pierścienie lokalne są pewnymi pierścieniami, które są stosunkowo proste i służą do opisu tego, co nazywamy „zachowaniem lokalnym”, w sensie funkcji zdefiniowanych na rozmaitościach lub rozmaitościach , lub na polach liczb algebraicznych badanych w konkretne miejsce lub pierwsze miejsce. Algebra lokalna jest gałęzią algebry przemiennej, która bada przemienne pierścienie lokalne i ich moduły .

W praktyce, przemienny lokalny pierścień często powstaje w wyniku lokalizacji pierścienia w idealnym pierwszym ideale .

Koncepcja lokalnych pierścieni została wprowadzona przez Wolfganga Krulla w 1938 roku pod nazwą Stellenringe . Angielski termin local ring pochodzi od Zariski .

Definicja i pierwsze konsekwencje

Pierścień R jest pierścień lokalny , czy ma dowolną z następujących właściwości równoważne:

• R ma unikalny maksymalny lewy ideał .
• R ma unikalny maksymalny prawy ideał.
• 1 ≠ 0, a suma dwóch innych niż jednostki w R jest nie urządzenia.
• 1 ≠ 0 i jeśli x jest dowolnym elementem R , to x lub 1 − x jest jednostką.
• Jeśli skończona suma jest jednostką, to ma wyraz, który jest jednostką (mówi to w szczególności, że pusta suma nie może być jednostką, a więc implikuje 1 ≠ 0).

Jeśli te własności się utrzymają, to unikalny maksymalny ideał lewy pokrywa się z unikalnym maksymalnym ideałem prawej strony iz rodnikiem Jacobsona w pierścieniu . Trzecia z wymienionych powyżej własności mówi, że zbiór niejednostek w lokalnym pierścieniu tworzy (właściwy) ideał, koniecznie zawarty w rodniku Jacobsona. Czwartą własność można sparafrazować następująco: pierścień R jest lokalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieją dwa względnie pierwsze ideały właściwe ( główne ) (lewe), gdzie dwa ideały I ₁ , I ₂ są nazywane względnie pierwszymi, jeśli R = I ₁ + I ₂ .

W przypadku pierścieni przemiennych nie trzeba rozróżniać ideałów lewych, prawych i dwustronnych: pierścień przemienny jest lokalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma unikalny maksymalny ideał. Przed około 1960 r. wielu autorów wymagało, aby lokalny pierścień był (lewy i prawy) Noetherian i (prawdopodobnie nie-Noetherian) lokalne pierścienie nazywano quasi-lokalnymi pierścieniami . W tym artykule ten wymóg nie jest narzucany.

Pierścień lokalny, który jest domeną integralną, nazywany jest domeną lokalną .

Przykłady

• Wszystkie pola (i pola skośne ) są pierścieniami lokalnymi, ponieważ {0} jest jedynym maksymalnym ideałem w tych pierścieniach.
• Pierścień jest pierścieniem lokalnym ( p prim, n ≥ 1 ). Jedyny maksymalny ideał składa się ze wszystkich wielokrotności p .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$
• Mówiąc bardziej ogólnie, niezerowy pierścień, w którym każdy element jest jednostką lub nilpotentem, jest pierścieniem lokalnym.
• Ważną klasą lokalnych pierścieni są dyskretne pierścienie wartościujące , które są lokalnymi głównymi idealnymi domenami , które nie są polami.
• Pierścień , którego elementy są szeregami nieskończonymi, gdzie mnożenia są podane przez takie, że , jest lokalny. Jego wyjątkowy maksymalny ideał składa się ze wszystkich elementów, które nie są odwracalne. Innymi słowy, składa się ze wszystkich elementów o stałym członie zero.${\ Displaystyle \ mathbb {C} [[x]]}$${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i} )=\suma _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$${\textstyle c_{n}=\suma _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
• Mówiąc bardziej ogólnie, każdy pierścień formalnych szeregów potęgowych nad pierścieniem lokalnym jest lokalny; ideał maksymalny składa się z tych szeregów potęgowych o wyrazie stałym w ideale maksymalnym pierścienia podstawowego.
• Podobnie algebra liczb podwójnych nad dowolnym polem jest lokalna. Bardziej ogólnie, jeśli F jest pierścieniem lokalnym, a n jest liczbą całkowitą dodatnią, to pierścień ilorazowy F [ X ]/( X ⁿ ) jest lokalny z maksymalnym ideałem składającym się z klas wielomianów o stałym wyrazie należących do maksymalnego ideału F , ponieważ można użyć szeregu geometrycznego do odwrócenia wszystkich innych wielomianów modulo X ⁿ . Jeśli F jest polem, to elementy F [ X ]/( X ⁿ ) są nilpotentne lub odwracalne . (Liczby podwójne nad F odpowiadają przypadkowi n = 2 .)
• Niezerowe ilorazowe pierścienie lokalnych pierścieni są lokalne.
• Pierścień liczb wymiernych z nieparzystym mianownikiem jest lokalny; jego maksymalny ideał składa się z ułamków o parzystym liczniku i nieparzystym mianowniku. Są to liczby całkowite zlokalizowane na 2.
• Bardziej ogólnie, ponieważ każdy pierścienia przemiennego R i każdy ideałem P od R , do lokalizacji z R w P jest miejscowy; ideałem maksymalnym jest ideał generowany przez P w tej lokalizacji; to znaczy, maksymalny ideał składa się ze wszystkich elementów a/s z ∈ P i s ∈ R - P .

Pierścień zarazków

Aby uzasadnić nazwę „lokalne” dla tych pierścieni, rozważymy funkcje ciągłe o wartościach rzeczywistych zdefiniowane na pewnym otwartym przedziale wokół 0 linii rzeczywistej . Interesuje nas tylko zachowanie tych funkcji w pobliżu 0 (ich "zachowanie lokalne") i dlatego zidentyfikujemy dwie funkcje, jeśli zgadzają się one w pewnym (prawdopodobnie bardzo małym) przedziale otwartym wokół 0. Ta identyfikacja definiuje relację równoważności , a klasy równoważności to tak zwane „ zarodki funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych w punkcie 0”. Te zarazki mogą być dodawane i namnażane i tworzą pierścień przemienny.

Aby zobaczyć, że ten pierścień zarazków jest lokalny, musimy scharakteryzować jego elementy odwracalne. Zarodek f jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy f (0) ≠ 0 . Powód: jeśli f (0) ≠ 0 , to przez ciągłość istnieje otwarty przedział wokół 0, gdzie f jest niezerowe, i możemy na tym przedziale utworzyć funkcję g ( x ) = 1/ f ( x ) . Funkcja g daje początek zarodkowi, a iloczyn fg jest równy 1. (Odwrotnie, jeśli f jest odwracalne, to istnieje takie g , że f (0) g (0) = 1, stąd f (0) 0. )

Dzięki tej charakterystyce jest jasne, że suma dowolnych dwóch nieodwracalnych zarazków jest znowu nieodwracalna i mamy przemienny lokalny pierścień. Maksymalny ideał tego pierścienia składa się właśnie z tych zarodków f z f (0) = 0 .

Dokładnie te same argumenty działają w przypadku pierścienia zarodków ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych w dowolnej przestrzeni topologicznej w danym punkcie, pierścienia zarodków funkcji różniczkowalnych na dowolnej rozmaitości różniczkowej w danym punkcie lub pierścienia zarodków funkcji wymiernych na dowolnej rozmaitości algebraicznej w danym punkcie. Wszystkie te pierścienie są więc lokalne. Te przykłady pomagają wyjaśnić, dlaczego schematy , uogólnienia odmian, są definiowane jako specjalne lokalnie obrączkowane przestrzenie .

Teoria wyceny

Pierścienie lokalne odgrywają główną rolę w teorii wyceny. Z definicji, pierścień wartość w polu K jest podpierścień R tak, że dla każdej niezerowej elementów x w K , przy czym co najmniej jeden z x i x ^-1 jest R . Każdy taki podpierścień będzie pierścieniem lokalnym. Na przykład pierścień liczb wymiernych z nieparzystym mianownikiem (wspomniany powyżej) jest pierścieniem wartościującym w . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Mając pole K , które może, ale nie musi być polem funkcyjnym , możemy w nim szukać lokalnych pierścieni. Gdyby K rzeczywiście było ciałem funkcyjnym rozmaitości algebraicznej V , to dla każdego punktu P z V moglibyśmy spróbować zdefiniować pierścień wartościujący R funkcji "zdefiniowanych w" P . W przypadkach, w których V ma wymiar 2 lub więcej, trudność jest postrzegana w ten sposób: jeśli F i G są funkcjami wymiernymi na V z

F ( P ) = G ( P ) = 0,

funkcja

F / G

jest formą nieokreśloną w P . Biorąc pod uwagę prosty przykład, taki jak

Y / X ,

zbliżył się wzdłuż linii

Y = tX ,

widać, że wartość w P jest pojęciem bez prostej definicji. Zastępuje to stosowanie wycen.

Nieprzemienne

Nieprzemienne pierścienie lokalne powstają naturalnie jako pierścienie endomorficzne w badaniu bezpośredniego rozkładu sum modułów nad niektórymi innymi pierścieniami. W szczególności, jeśli pierścień endomorfizmu modułu M jest lokalny, wtedy M jest nierozkładalny ; odwrotnie, jeśli moduł M ma skończoną długość i jest nierozkładalny, to jego pierścień endomorfizmu jest lokalny.

Jeśli k jest pole z charakterystycznym p > 0 a G jest skończoną P -group , wówczas grupa Algebra kG jest lokalnym.

Kilka faktów i definicji

Sprawa przemienna

Piszemy również ( R , m ) dla przemiennego lokalnego pierścienia R z maksymalnym idealnym m . Każdy taki pierścień staje się pierścieniem topologicznym w naturalny sposób, jeśli weźmie się potęgi m jako podstawę sąsiedztwa wynoszącą 0. Jest to topologia m- adyczna na R . Jeżeli ( R , m ) jest przemiennym lokalnym pierścieniem Noetherian , wtedy

${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} m ^ {i} = \ {0 \}}$

( Twierdzenie Krulla o przecięciu ) i wynika z tego, że R z topologią m- adyczną jest przestrzenią Hausdorffa . Twierdzenie jest konsekwencją lematu Artina-Reesa wraz z lematem Nakayamy i jako takie, założenie „Noetherian” jest kluczowe. Rzeczywiście, niech R będzie pierścieniem zarodków funkcji nieskończenie różniczkowalnych w punkcie 0 w linii rzeczywistej, a m będzie maksymalnym ideałem . Wtedy funkcja niezerowa należy do for any n , ponieważ ta funkcja podzielona przez jest nadal gładka. ${\ Displaystyle (x)}$${\ Displaystyle e ^ {- {1 \ ponad x ^ {2}}}}$${\ Displaystyle m ^ {n}}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$

W przypadku każdego pierścienia topologicznego można zapytać, czy ( R , m ) jest zupełny (jako przestrzeń jednostajna ); jeśli tak nie jest, uważa się, że jego dopełnienie , znowu lokalny pierścień. Kompletne pierścienie lokalne noetherów są klasyfikowane przez twierdzenie Cohena o strukturze .

W geometrii algebraicznej, zwłaszcza gdy R jest lokalnym pierścieniem schematu w pewnym punkcie P , R / m jest nazywane polem resztowym lokalnego pierścienia lub polem resztkowym punktu P .

Jeśli ( R , m ) i ( S , n ) są pierścieniami lokalnymi, to lokalny homomorfizm pierścieniowy od R do S jest homomorfizmem pierścieniowym f  : R → S o własności f ( m ) ⊆ n . Są to dokładnie homomorfizmy pierścieni, które są ciągłe w odniesieniu do danych topologii na R i S . Rozważmy na przykład wysyłanie morfizmu pierścienia . Przedobrazem jest . Inny przykład lokalnego morfizmu pierścienia podaje . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) \ do \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {4 })}$${\displaystyle x\mapsto x}$${\displaystyle (x,y)}$${\ Displaystyle (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {3}) \ do \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}$

Sprawa ogólna

Jacobson rodnik m miejscowego pierścienia R (która jest równa maksymalnej unikalny lewo idealny, a także unikalną maksymalnej idealnego prawa) składa się dokładnie z nie-jednostek pierścieniu; co więcej, jest to jedyny maksymalny dwustronny ideał R . Jednak w przypadku nieprzemiennym posiadanie unikalnego maksymalnego ideału dwustronnego nie jest równoznaczne z byciem lokalnym.

Dla elementu x pierścienia lokalnego R , następujące są równoważne:

• x ma lewą odwrotność
• x ma prawo odwrotne
• x jest odwracalny
• x nie jest w m .

Jeśli ( R , m ) jest lokalne, to współczynnik pierścienia R / m jest polem skośnym . Jeśli J ≠ R jest dowolnym dwustronnym ideałem w R , to czynnik pierścieniowy R / J jest znowu lokalny, z maksymalnym ideałem m / J .

Głębokie twierdzenie przez Irvinga Kaplansky mówi, że każdy rzutowe moduł nad lokalnym pierścienia jest wolny , choć w przypadku, gdy moduł jest skończenie generowany jest prostą konsekwencją lematu Nakayama jest . Ma to interesującą konsekwencję pod względem równoważności Morita . Mianowicie, jeśli P jest skończenie generowanym projekcyjnym modułem R , to P jest izomorficzny z modułem swobodnym R ⁿ , a zatem pierścień endomorfizmów jest izomorficzny z pełnym pierścieniem macierzy . Ponieważ każdy pierścień Morita równoważny lokalnemu pierścieniowi R ma postać takiego P , wniosek jest taki, że jedyne pierścienie Morita równoważne lokalnemu pierścieniowi R są (izomorficzne z) pierścieniami macierzy nad R . ${\ Displaystyle \ operatorname {koniec} _ {R} (P)}$${\ Displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (R)}$${\ Displaystyle \ operatorname {koniec} _ {R} (P)}$

Uwagi

Bibliografia

• Lam, TY (2001). Pierwszy kurs w pierścieniach nieprzemiennych . Teksty magisterskie z matematyki (wyd. 2). Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-95183-0.
• Jacobson, Nathan (2009). Algebra podstawowa . 2 (wyd. 2). Dover. Numer ISBN 978-0-486-47187-7.

Zobacz też

• Dyskretny pierścień wyceny
• Pierścień półlokalny
• Pierścień wyceny

Zewnętrzne linki

• Filozofia lokalnych kręgów