Pierwotny element - Prime element

W matematyce , zwłaszcza w abstrakcyjnej Algebra , A element pierwszy z pierścienia przemiennego celem zaspokojenia określonych właściwości podobne do liczb w całkowitych oraz do nieredukowalnych wielomianów . Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pierwiastków pierwszych od pierwiastków nieredukowalnych , koncepcja, która jest taka sama w UFD, ale ogólnie nie taka sama.

Definicja

Element $P$ przemiennej pierścienia $R$ mówi się pierwsza jeśli nie jest elementem zera lub jednostka a gdy $p$ dzieli $AB$ jakiegoś $A$ i $B$ w $R$ , a następnie $p$ podziałów lub $p$ dzieli $b$ . W tej definicji lemat Euklidesa jest twierdzeniem, że liczby pierwsze są elementami pierwszymi w pierścieniu liczb całkowitych . Równoważnie element $p$ jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ideał główny $($ $p$ $)$ generowany przez $p$ jest niezerowym ideałem pierwszym . (Zauważ, że w dziedzinie integralnej ideał $(0)$ jest ideałem pierwszym , ale $0$ jest wyjątkiem w definicji „elementu pierwszego”.)

Zainteresowanie elementami pierwszymi pochodzi z podstawowego twierdzenia arytmetyki , które twierdzi, że każdą niezerową liczbę całkowitą można zapisać w zasadzie tylko w jeden sposób jako 1 lub -1 pomnożone przez iloczyn dodatnich liczb pierwszych. Doprowadziło to do zbadania unikalnych domen faktoryzacji , które uogólniają to, co właśnie zilustrowano w liczbach całkowitych.

Bycie pierwszym jest zależne od tego, w którym pierścieniu element jest uważany za; na przykład 2 jest elementem pierwszym w $Z,$ ale nie znajduje się w $Z [i]$ , pierścieniu liczb całkowitych Gaussa , ponieważ $2 = (1 + i)(1 - i)$ i 2 nie dzieli żadnego czynnika po prawej stronie.

Połączenie z ideałami naczelnymi

Idealny $I$ w pierścieniu $R$ (z jednością) jest liczbą pierwszą, jeśli czynnik pierścień $R / I$ jest domeną integralną .

Niezerowy ideał główny jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jest generowany przez element pierwszy.

Pierwiastki nieredukowalne

Pierwiastków pierwszych nie należy mylić z pierwiastkami nieredukowalnymi . W domenie integralnej każda liczba pierwsza jest nieredukowalna, ale odwrotność nie jest generalnie prawdziwa. Jednak w unikalnych domenach faktoryzacji lub bardziej ogólnie w domenach GCD liczby pierwsze i nieredukowalne są takie same.

Przykłady

Oto przykłady pierwiastków pierwszych w pierścieniach:

Liczby $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... w pierścieniu liczb całkowitych $Z$
liczby zespolone $(1 + i)$ , $19$ , oraz $(2 + 3 i)$ w pierścieniu liczb całkowitych Gaussa $Z [i]$
wielomiany $x 2 - 2$ i $x 2 + 1$ w $Z [x]$ , pierścień wielomianów nad $Z$ .
2 w pierścieniu ilorazu $Z /6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ jest liczbą pierwszą, ale nie nieredukowalną w pierścieniu $Q [x]/(x 2 + x)$
W pierścieniu $Z 2$ par liczb całkowitych $(1, 0)$ jest liczbą pierwszą, ale nie nieredukowalną (jeden ma $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
W pierścieniu liczb algebraicznych element $3$ jest nierozkładalny, ale nie jest liczbą pierwszą (jak ). ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-5}}],}$ ${\ Displaystyle 9 = (2+ {\ sqrt {-5}}) (2-{\ sqrt {-5}})}$

Bibliografia

Uwagi

Źródła

Sekcja III.3 Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 73 (Przedruk z 1974 ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90518-1, numer MR 0600654
Jacobson, Nathan (1989), Algebra podstawowa. II (2 wyd.), Nowy Jork: WH Freeman and Company, s. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Pierścienie przemienne , Boston, Massachusetts: Allyn and Bacon Inc., str. x+180, MR 0254021

Languages

In other projects