Twierdzenie Hopkinsa – Levitzkiego - Hopkins–Levitzki theorem

W gałęzi algebry abstrakcyjnej zwanej teorią pierścieni , twierdzenie Akizuki-Hopkinsa-Levitzkiego łączy warunek łańcucha zstępującego i stan łańcucha wstępującego w modułach z pierścieniami półpierwotnymi. Pierścień R (z 1) nazywany jest półpierwotnym, jeśli R / J ( R ) jest półprosty, a J ( R ) jest zerowym ideałem , gdzie J ( R ) oznacza rodnik Jacobsona . Twierdzenie stwierdza, że ​​jeśli R jest pierścieniem półpierwotnym, a M jest modułem R , trzy warunki modułowe Noetherian , Artinian i „ma szereg składowy ” są równoważne. Bez warunku półpodstawowego jedyną prawdziwą implikacją jest to, że jeśli M ma serię kompozycji, to M jest zarówno Noetherian, jak i Artinian.

Twierdzenie to przyjmuje swoją obecną postać z artykułu Charlesa Hopkinsa i artykułu Jacoba Levitzkiego , oba z 1939 roku. Z tego powodu jest często cytowany jako twierdzenie Hopkinsa – Levitzkiego . Jednak Yasuo Akizuki jest czasami uwzględniany, ponieważ kilka lat wcześniej, w 1935 roku, udowodnił wynik dla pierścieni przemiennych .

Ponieważ wiadomo, że prawe pierścienie artynińskie są półpierwotne, bezpośrednim następstwem tego twierdzenia jest: prawy pierścień artynianu jest również prawy Noeterianem . Analogiczne stwierdzenie dla lewych pierścieni artyńskich jest również aktualne. Generalnie nie jest to prawdą w przypadku modułów artyńskich, ponieważ istnieją przykłady modułów artyńskich, które nie są Noetherian .

Innym bezpośrednim następstwem jest to, że jeśli R jest prawym artynianem, to R jest lewym artynianem wtedy i tylko wtedy, gdy pozostaje Noeterianem.

Szkic dowodu

Oto dowód na to, że: Niech R będzie półpierwotnym pierścieniem, a M lewym R- modułem. Jeśli M jest Artynianem lub Noetherianem, to M ma serię kompozycji. (Odwrotność tego dotyczy każdego pierścienia).

Niech J być rodnikiem R . Ustaw . R moduł może następnie być postrzegane jako -module ponieważ J znajduje się w Annihilatora o . Każdy jest półprostym modułem, ponieważ jest półprostym pierścieniem. Co więcej, ponieważ J jest zerowy , tylko ostatecznie wiele z nich jest niezerowych. Jeśli M jest Artynem (lub Noetherianem), to ma skończoną serię kompozycji. Układając szereg kompozycji od końca do końca, otrzymujemy cykl składu dla M . ${\ Displaystyle F_ {i} = J ^ {i-1} M / J ^ {i} M}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle R / J}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle F_ {i}}$

W kategoriach Grothendieck

Istnieje kilka uogólnień i rozszerzeń twierdzenia. Jedna dotyczy kategorii Grothendiecka : jeśli G jest kategorią Grothendiecka z generatorem artyńskim, to każdy obiekt artyniński w G jest Noetherian.

Zobacz też

• Moduł artyński
• Moduł Noetherian
• Seria kompozycji

Bibliografia

• Cohn, PM (2003), Podstawowa algebra: grupy, pierścienie i pola
• Charles Hopkins (1939) Pierścionki z minimalnym warunkiem dla lewicowych ideałów , Ann. matematyki. (2) 40, strony 712–730.
• TY Lam (2001) Pierwszy kurs nieprzemiennych pierścieni , Springer-Verlag. strona 55 ISBN   0-387-95183-0
• Jakob Levitzki (1939) O pierścieniach, które spełniają minimalny warunek ideałów prawej ręki , Compositio Mathematica, t. 7, s. 214–222.