Idempotentny (teoria pierścienia) - Idempotent (ring theory)

W teorii pierścieni (część algebry abstrakcyjnej ) idempotentny element , lub po prostu idempotentny , pierścienia jest elementem a takim, że a ² = a . Oznacza to, że element jest idempotentny pod mnożeniem pierścienia. Indukcyjnie zatem można również wywnioskować, że a = a ² = a ³ = a ⁴ = ... = a ⁿ dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n . Na przykład idempotentny element pierścienia macierzy jest dokładnie idempotentną macierzą .

W przypadku pierścieni ogólnych, elementy idempotentne podlegające mnożeniu biorą udział w dekompozycji modułów i są związane z homologicznymi właściwościami pierścienia. W algebrze Boole'a głównym przedmiotem badań są pierścienie, w których wszystkie elementy są idempotentne zarówno podczas dodawania, jak i mnożenia.

Przykłady

Iloraz Z

Można rozważyć pierścień liczb całkowitych mod n , gdzie n jest bezkwadratowe . Według chińskiego twierdzenia o resztach , pierścień ten rozkłada się na iloczyn bezpośredni pierścieni liczb całkowitych mod  p . Teraz każdy z tych czynników jest polem, więc jasne jest, że jedynymi idempotentami czynnika będą 0 i 1. Oznacza to, że każdy czynnik ma dwa idempotenty. Więc jeśli jest m czynników, będzie 2 ^m idempotentów.

Możemy to sprawdzić dla liczb całkowitych mod 6, R = Z /6 Z . Ponieważ 6 ma dwa czynniki (2 i 3), powinno mieć 2 ² idempotenty.

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

1 ² 1 1 (mod 6)

2 ² 4 ≡ 4 (mod 6)

3 ² 9 ≡ 3 (mod 6)

4 ² 16 ≡ 4 (mod 6)

5 ² 25 ≡ 1 (mod 6)

Z tych obliczeń 0, 1, 3 i 4 są idempotentami tego pierścienia, podczas gdy 2 i 5 nie. Świadczy to również o właściwościach rozkładu opisanych poniżej: ponieważ 3 + 4 = 1 (mod 6 ) , występuje rozkład pierścieniowy 3 Z /6 Z ⊕ 4 Z /6 Z . W 3 Z /6 Z identyczność wynosi 3+6 Z , aw 4 Z /6 Z identyczność wynosi 4+6 Z .

Iloraz pierścienia wielomianowego

Biorąc pod uwagę pierścień i element taki, że , to iloraz pierścienia ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle f \ w R}$${\ Displaystyle f ^ {2} \ neq 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {R} {(f ^ {2}-f)}}}$

ma idempotentnego . Na przykład można to zastosować do lub dowolnego wielomianu . ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {Z} [x]}$${\ Displaystyle f \ w k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

Idempotenty w dzielonych pierścieniach kwaternionowych

W rozszczepionym pierścieniu kwaternionowym znajduje się katenoida idempotentów .

Rodzaje idempotentów pierścieniowych

Częściowa lista ważnych typów idempotentów obejmuje:

• Dwa idempotenty a i b są nazywane ortogonalnymi, jeśli ab = ba = 0 . Jeśli a jest idempotentny w pierścieniu R (z jednością), to tak jest b = 1 − a ; Ponadto i b są ortogonalne.
• Idempotentny a w R jest nazywany centralnym idempotentnym, jeśli ax = xa dla wszystkich x w R .
• Trywialne idempotent odnosi się do jednego z elementów, 0 i 1, w których zawsze idempotent.
• Prymitywny idempotent pierścienia R jest różne od zera idempotent taki sposób, aR jest nierozkładalny jako prawo R -module; to znaczy takie, że aR nie jest bezpośrednią sumą dwóch niezerowych podmodułów. Równoważnie, a jest prymitywnym idempotentnym, jeśli nie można go zapisać jako a = e + f , gdzie e i f są niezerowymi ortogonalnymi idempotentami w R .
• Lokalny idempotent jest idempotent tak, że ARA jest pierścień lokalny . Oznacza to, że aR jest bezpośrednio nierozkładalny, więc lokalne idempotenty są również prymitywne.
• Prawo irreducible idempotent jest idempotent dla których aR jest modułem proste. Zgodnie z lematem Schura , End _R ( aR ) = aRa jest pierścieniem podziału, a zatem jest pierścieniem lokalnym, więc prawe (i lewe) nieredukowalne idempotenty są lokalne.
• Centralnie prymitywny idempotent jest centralnym idempotent że nie można zapisać jako sumę dwóch niezerowe prostopadłych idempotents centralnych.
• Mówi się, że idempotentny a + I w pierścieniu ilorazowym R / I podnosi modulo I, jeśli istnieje idempotentny b w R taki, że b + I = a + I .
• Idempotentny a z R nazywany jest pełnym idempotentnym, jeśli RaR = R .
• Idempotent rozdzielność ; zobacz algebra rozłączna .

Każdy nietrywialny idempotentny a jest dzielnikiem zera (ponieważ ab = 0, a ani a, ani b nie są zerem, gdzie b = 1 - a ). To pokazuje, że domeny całkowe i pierścienie podziału nie mają takich idempotentów. Lokalne pierścienie również nie mają takich idempotentów, ale z innego powodu. Jedynym idempotentnym zawartym w rodniku Jacobsona pierścienia jest 0.

Pierścienie charakteryzujące się idempotentami

• Pierścień, w którym wszystkie elementy są idempotentne, nazywany jest pierścieniem Boole'a . Niektórzy autorzy używają terminu „pierścień idempotentny” dla tego typu pierścienia. W takim pierścieniu mnożenie jest przemienne i każdy pierwiastek jest swoją własną addytywną odwrotnością .
• Pierścień jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy prawy (lub każdy lewy) ideał jest generowany przez idempotenta.
• Pierścień jest regularny von Neumanna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy skończenie wygenerowany prawy (lub każdy skończenie wygenerowany lewy) ideał jest generowany przez idempotenta.
• Pierścień na którym annihilator R .Ann ( S ) każdy podzbiór S z R jest generowany przez idempotentnych nazywa się pierścień Baer . Jeśli warunek jest spełniony tylko dla wszystkich pojedynczych podzbiorów R , to pierścień jest prawym pierścieniem Rickarta . Oba te rodzaje pierścieni są interesujące, nawet jeśli brakuje im tożsamości multiplikatywnej.
• Pierścień, w którym wszystkie idempotenty są centralne, nazywa się pierścieniem abelowym . Takie pierścienie nie muszą być przemienne.
• Pierścień jest bezpośrednio nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 i 1 są jedynymi centralnymi idempotentami.
• Pierścień R można zapisać jako e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n R z każdym e _i lokalnym idempotentnym wtedy i tylko wtedy , gdy R jest pierścieniem półdoskonałym .
• Pierścień nazywa się pierścieniem SBI lub pierścieniem Lift/rad , jeśli wszystkie idempotenty R lift modulo rodnik Jacobsona .
• Pierścień spełnia warunek łańcucha wznoszącego na prawoch prostych sumach wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień spełnia warunek łańcucha zstępującego na lewo prostych sumach wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zestaw parami ortogonalnych idempotentów jest skończony.
• Jeżeli a jest idempotentny w pierścieniu R , wtedy aRa jest znowu pierścieniem o tożsamości multiplikatywnej a . Pierścień ARA jest często nazywany pierścieniem narożnego z R . Pierścień narożny powstaje naturalnie, ponieważ pierścień endomorfizmów End _R ( aR ) ≅ aRa .

Rola w dekompozycjach

W idempotents z R ważną połączenia rozkładu R modułów . Jeśli M jest modułem R i E = End _R ( M ) jest jego pierścieniem endomorfizmów , to A ⊕ B = M wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje unikalny idempotentny e w E taki , że A = e ( M ) i B = ( 1 - e ) ( M ) . Jasne jest więc, że M jest bezpośrednio nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 i 1 są jedynymi idempotentami w E .

W przypadku, gdy M = R Endomorfizm pierścienia End _R ( R ) = R , gdzie każdy endomorfizm powstaje jako mnożenie lewego pierścienia przez nieruchomy element pierścienia. Z tą modyfikacją notacji, A ⊕ B = R jako właściwe moduły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje unikalny idempotentny e taki, że eR = A i (1 − e ) R = B . Tak więc każda bezpośrednia suma R jest generowana przez idempotenta.

Jeżeli a jest centralnym idempotentem, to pierścień narożny aRa = Ra jest pierścieniem o tożsamości multiplikatywnej a . Tak jak idempotenci określają bezpośrednie rozkłady R jako modułu, centralne idempotenty R określają rozkłady R jako bezpośrednią sumę pierścieni. Jeśli R jest sumą bezpośrednią pierścieni R ₁ ,..., R _n , to elementy identyczności pierścieni R _i są centralnymi idempotentami w R , parami ortogonalnymi, a ich suma wynosi 1. Odwrotnie, biorąc pod uwagę centralne idempotenty a ₁ ,..., a _n w R, które są parami ortogonalne i mają sumę 1, to R jest sumą prostą pierścieni Ra ₁ ,…, Ra _n . Tak więc w szczególności, każdy centralny idempotent a w R powoduje rozkład R jako sumy prostej pierścieni narożnych aRa i (1 − a ) R (1 − a ) . W rezultacie pierścień R jest bezpośrednio nierozkładalny jako pierścień wtedy i tylko wtedy, gdy tożsamość 1 jest centralnie prymitywna.

Pracując indukcyjnie, można próbować rozłożyć 1 na sumę centralnie prymitywnych elementów. Jeśli 1 jest centralnie prymitywny, to koniec. Jeśli nie, jest to suma centralnych ortogonalnych idempotentów, które z kolei są prymitywne lub sumy bardziej centralnych idempotentów i tak dalej. Problem, który może się pojawić, polega na tym, że może to trwać bez końca, tworząc nieskończoną rodzinę centralnych ortogonalnych idempotentów. Warunek „ R nie zawiera nieskończonych zbiorów centralnych ortogonalnych idempotentów ” jest rodzajem warunku skończoności na pierścieniu. Można to osiągnąć na wiele sposobów, na przykład wymagając, aby pierścień był właściwy Noetherian . Jeśli rozkład R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕ c _n R istnieje z każdym c _i centralnie prymitywnym idempotentem, wtedy R jest bezpośrednią sumą pierścieni narożnych c _i Rc _i , z których każdy jest pierścieniem nieskracalny.

W przypadku algebr asocjacyjnych lub algebr Jordana nad ciałem rozkład Peirce'a jest rozkładem algebry jako sumy przestrzeni własnych przemiennych elementów idempotentnych.

Związek z inwolucjami

Jeśli a jest idempotentem End _R ( M ) pierścienia endomorfizmu , to endomorfizm f = 1 - 2 a jest inwolucją modułu R w M . To znaczy, f jest homomorfizmem R takim, że f ² jest endomorfizmem tożsamości M .  

Element idempotent z R wraz z towarzyszącym inwolucji F powoduje powstanie dwóch Inwolucja modułu do R , w zależności od oglądania R w lewo lub w prawo modułu. Jeśli r reprezentuje dowolny element R , f może być postrzegane jako prawy R- homomorfizm r ↦ fr , tak że ffr = r , lub f może być również postrzegane jako homomorfizm lewego modułu R r ↦ rf , gdzie rff = r .

Proces ten może być odwrócony, gdy 2 jest odwracalna elementem z R : jeżeli b jest zanik, a następnie 2 ^-1 (1 - b) i 2 ^-1 (1 + B) są prostopadłe idempotents, odpowiadające i 1 - . Tak więc dla pierścienia, w którym 2 jest odwracalny, elementy idempotentne odpowiadają inwolucjom w sposób jeden do jednego.

Kategoria modułów R

Idempotents podnoszenia ma również poważne konsekwencje dla kategorii R modułów . Wszystkie idempotents podnieść modulo I wtedy i tylko wtedy, gdy każdy R bezpośredni do składnika z R / I ma rzutowe pokrywę jako R modułu. Idempotenty zawsze podnoszą ideały modulo nil i pierścienie, dla których R jest i-adycznie kompletne .

Podnosząca jest najważniejsze przy I = J ( R ) , z Jacobson rodnik o R . Jeszcze inną charakterystyką pierścieni półdoskonałych jest to, że są to pierścienie półlokalne, których idempotenty podnoszą modulo J( R ).

Krata idempotentów

Można zdefiniować porządek częściowy na idempotents pierścienia w następujący sposób: jeśli i b są idempotents, napisać w ≤ B , wtedy i tylko wtedy, gdy AB = BA = . W odniesieniu do tej kolejności 0 jest najmniejszym, a 1 największym idempotentnym. Dla ortogonalnych idempotentów a i b , a + b jest również idempotentny i mamy a ≤ a + b i b ≤ a + b . Te atomy tego częściowego celu są dokładnie pierwotne idempotents. ( Lam 2001 , s. 323) błąd harv: brak celu: CITEREFLam2001 ( pomoc )

Gdy powyższy porządek częściowy jest ograniczony do centralnych idempotentów R , można podać strukturę kratową lub nawet strukturę algebry Boole'a. Dla dwóch głównych idempotents E i F w uzupełnieniu Kontakty E = 1 - e i dołączyć i spotykają są przez

e ∨ F = E + F - ef

oraz

e ∧ f = EF .

Porządkowanie staje się teraz po prostu e ≤ f wtedy i tylko wtedy, gdy eR ⊆ fR , a połączenie i spotkanie spełniają ( e ∨ f ) R = eR + fR i ( e ∧ f ) R = eR ∩ fR = ( eR )( fR ) . Jest ono pokazane w ( Goodearl 1991 , s. 99) , że jeśli R jest von Neumann regularny i prawo self-injective , wówczas kratownica jest pełna krata . błąd harv: brak celu: CITEREFGoodearl1991 ( pomoc )

Uwagi

Bibliografia