Moduł iniekcyjny - Injective module
W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry abstrakcyjnej znanej jako teoria modułów , moduł iniekcyjny to moduł Q, który ma pewne pożądane własności z modułem Z Q wszystkich liczb wymiernych . W szczególności, jeśli Q jest podmodułem jakiegoś innego modułu, to jest już bezpośrednim sumą tego modułu; również, mając podmoduł modułu Y , to każdy homomorfizm modułu z tego submodułu do Q może być rozszerzony do homomorfizmu od wszystkich od Y do Q . Ta koncepcja jest podwójna w stosunku do modułów projekcyjnych . Moduły iniekcyjne zostały wprowadzone w ( Baer 1940 ) i są szczegółowo omówione w podręczniku ( Lam 1999 , §3).
Moduły iniektywne zostały dokładnie przestudiowane i pod ich kątem zdefiniowano wiele dodatkowych pojęć: Kogeneratory iniektywne to moduły iniektywne, które wiernie reprezentują całą kategorię modułów. Rezolucje iniekcyjne mierzą, jak daleko od iniektywnego modułu jest pod względem wymiaru iniektywnego i reprezentują moduły w kategorii pochodnej . Kadłuby iniekcyjne są maksymalnymi niezbędnymi rozszerzeniami i okazują się być minimalnymi rozszerzeniami iniekcyjnymi. W pierścieniu Noetherian każdy moduł iniekcyjny jest jednoznacznie bezpośrednią sumą nierozkładalnych modułów, a ich struktura jest dobrze poznana. Moduł iniekcyjny w jednym pierścieniu może nie być iniektywny w stosunku do drugiego, ale istnieją dobrze poznane metody zmiany pierścieni, które radzą sobie ze szczególnymi przypadkami. Pierścieni, które same są moduły injective mają szereg interesujących właściwości i obejmuje pierścienie takie jak pierścienie grupy z grup skończonych powyżej dziedzinach . Moduły iniektywne obejmują podzielne grupy i są uogólnione przez pojęcie obiektów iniektywnych w teorii kategorii .
Definicja
Lewy moduł Q nad pierścieniem R jest iniekcyjny, jeśli spełnia jeden (a zatem wszystkie) z następujących równoważnych warunków:
- Jeśli P jest modułem z innego lewej R -module M , to istnieje jeszcze submodule K z M tak, że K jest wewnętrzny bezpośredni suma z Q i K , tzn Q + K = M i Q ∩ k = {0}.
- Dowolna krótka dokładna sekwencja 0 → Q → M → K → 0 lewych modułów R dzieli się .
- Jeżeli X i Y są w lewo R -modules, f : X → Y jest różnowartościową moduł homomorfizm i g : X → Q jest dowolna moduł homomorfizmem, to istnieje moduł Homomorfizm h : T → P tak, że HF = g , tj tak, że następujący wykres komutuje :
- Kontrawariantny hom funktor hom (-, P ) od kategorii lewej R -modules do kategorii grupy abelian jest dokładny .
Injective right R -moduły są zdefiniowane w pełnej analogii.
Przykłady
Pierwsze przykłady
Trywialnie moduł zerowy {0} jest iniekcyjny.
Biorąc pod uwagę pole k , każda k - wektorowa przestrzeń Q jest iniektywnym k -modułem. Powód: jeżeli Q jest podprzestrzenią V , możemy znaleźć podstawę z Q i rozszerzyć go na podstawie V . Nowe rozszerzające się wektory bazowe obejmują podprzestrzeń K od V i V jest wewnętrzną sumą bezpośrednią Q i K . Należy zauważyć, że bezpośrednie uzupełnienie K z Q nie jest jednoznacznie określone przez Q i podobnie rozciągająca się mapa h w powyższej definicji zazwyczaj nie jest unikalna.
Wymierne wymierne Q (z dodawaniem) tworzą iniektywną grupę abelową (tzn. iniekcyjny moduł Z ). Grupa czynnikowa Q / Z i grupa kołowa są również iniektywnymi modułami Z. Grupa czynników Z / n Z dla n > 1 jest iniektywna jako moduł Z / n Z , ale nie iniektywna jako grupa abelowa.
Przykłady przemienne
Mówiąc ogólniej, dla każdego integralną domeny B z pola z frakcji K The R -module K to za pomocą wstrzyknięć R -module, a nawet najmniejsze różnowartościową R -module zawierający R . Dla każdej domeny DEDEKIND The iloraz modułu K / R jest za pomocą wstrzyknięć, a jego nierozkładalny summands są lokalizacje dla niezerowych głównych idei . Zerowy idealny jest również podstawowym i odpowiada injective K . W ten sposób między ideałami pierwszymi a nierozkładalnymi modułami iniektywnymi istnieje 1-1 korespondencja.
Szczególnie bogata teoria jest dostępna dla przemiennych pierścieni noetherian dzięki Eben Matlis ( Lam 1999 , §3I). Każdy moduł iniekcyjny jest jednoznacznie bezpośrednią sumą nierozkładalnych modułów iniekcyjnych, a nierozkładalne moduły iniektywne są jednoznacznie identyfikowane jako iniektywne kadłuby ilorazów R / P, gdzie P zmienia się w pierwszym widmie pierścienia. Różnowartościową kadłub R / P , jako R -module jest kanonicznej R P modułu i jest R P -injective kadłub R / P . Innymi słowy, wystarczy wziąć pod uwagę pierścienie lokalne . Pierścień endomorfizm z injective kadłuba R / P jest zakończenie z R w P .
Dwa przykłady są różnowartościową kadłub Z -module Z / p Z (The grupy Prüfer ), a za pomocą wstrzyknięć kadłub k [ x ] -module k (pierścień odwrotnych wielomianów). To ostatnie można łatwo opisać jako k [ x , x −1 ]/ xk [ x ]. Moduł ten ma bazę składającą się z „odwrotnych jednomianów”, czyli x − n dla n = 0, 1, 2, …. Mnożenie przez skalary jest zgodne z oczekiwaniami, a mnożenie przez x zachowuje się normalnie, z wyjątkiem tego, że x ·1 = 0. Pierścień endomorfizmu jest po prostu pierścieniem formalnego szeregu potęgowego .
Przykłady artyńskie
Jeśli G jest ograniczony grupa a k pola o charakterystycznej 0, jeden pokazuje w teorii reprezentacji grup że każdy subrepresentation danego taka już bezpośrednio do składnika z danego. W tłumaczeniu na język modułów oznacza to, że wszystkie moduły w algebrze grup kG są injektowane. Jeśli charakterystyka k nie jest równa zeru, pomocny może być poniższy przykład.
Jeśli A jest algebrą asocjacyjną z jedynką nad ciałem k o skończonym wymiarze nad k , to Hom k (−, k ) jest dwoistością między skończenie generowanymi lewymi modułami A i skończenie generowanymi prawymi modułami A. Dlatego skończenie wygenerowane injekcyjne lewe moduły A są dokładnie modułami postaci Hom k ( P , k ), gdzie P jest skończenie generowanym prawym modułem rzutowym A. W przypadku algebr symetrycznych dwoistość jest szczególnie dobrze zachowana, a moduły projekcyjne i iniektywne pokrywają się.
Dla każdego pierścienia Artinian , tak jak dla pierścieni przemiennych , istnieje 1-1 korelacja między ideałami pierwszymi a nierozkładalnymi modułami iniekcyjnymi. Korespondencja w tym przypadku jest być może jeszcze prostsza: ideałem pierwszym jest anihilator unikalnego prostego modułu, a odpowiadający mu nierozkładalny moduł iniekcyjny jest jego iniektywnym kadłubem . W przypadku algebr skończenie wymiarowych nad ciałami te kadłuby iniektywne są skończenie generowanymi modułami ( Lam 1999 , §3G, §3J).
Obliczanie kadłubów iniekcyjnych
Jeśli jest pierścieniem Noetherian i jest idealnym ideałem, ustawiony jako kadłub iniekcyjny. Iniekcyjny kadłub pierścienia Artinian można obliczyć jako moduł . Jest to moduł o tej samej długości co . W szczególności, dla standardowego stopniowanego pierścienia i , jest modułem iniekcyjnym, dającym narzędzia do obliczania nierozkładalnych modułów iniektywnych dla pierścieni artinianowych na .
Własna wstrzykiwanie
Lokalny pierścień Artina jest iniekcyjny nad sobą wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednowymiarową przestrzenią wektorową nad . Oznacza to, że każdy lokalny pierścień Gorensteina, który jest również Artinem, jest iniekcyjny nad sobą, ponieważ ma jednowymiarową podstawę. Prostym nieprzykładem jest pierścień, który ma maksymalne pole ideału i pozostałości . Jego cokół to , który jest dwuwymiarowy. Pole pozostałości ma kadłub iniekcyjny .
Moduły nad algebrami Liego
W przypadku algebry Liego nad ciałem o charakterystyce 0 kategoria modułów ma stosunkowo prosty opis swoich modułów iniekcyjnych. Używając uniwersalnej algebry obwieszczenia, każdy iniekcyjny -moduł może być skonstruowany z -modułu
dla niektórych -wektorowych przestrzeni . Zauważ, że ta przestrzeń wektorowa ma strukturę -modułową z wstrzyknięcia
W rzeczywistości każdy -moduł ma wstrzyknięcie do niektórych, a każdy moduł iniekcyjny jest bezpośrednim sumą niektórych .
Teoria
Twierdzenie o strukturze dla przemiennych pierścieni Noetherian
W przemiennym pierścieniu noetherowskim każdy moduł iniekcyjny jest bezpośrednią sumą nierozkładalnych modułów iniektywnych, a każdy nierozkładalny moduł iniekcyjny jest iniekcyjną powłoką pola resztkowego w liczbie pierwszej . Oznacza to, że dla injective istnieje izomorfizm
gdzie są kadłuby iniekcyjne modułów . Ponadto, jeśli jest iniektywnym kadłubem jakiegoś modułu, to są to powiązane liczby pierwsze z .
Podmoduły, ilorazy, iloczyny i sumy
Każdy produkt (nawet nieskończenie wielu) modułów iniekcyjnych jest iniekcyjny; odwrotnie, jeśli bezpośredni iloczyn modułów jest iniekcyjny, to każdy moduł jest iniekcyjny ( Lam 1999 , s. 61). Każda bezpośrednia suma skończenie wielu modułów iniekcyjnych jest iniektywna. Ogólnie rzecz biorąc, submoduły, moduły czynnikowe lub nieskończone sumy bezpośrednie modułów iniektywnych nie muszą być iniektywne. Każdy modułem każdego modułu injective jest injective wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień jest Artinian półprosty ( Golan & Głowa 1991 , str 152).; każdy moduł czynnikowy każdego modułu iniektywnego jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień jest dziedziczny ( Lam 1999 , Th. 3.22); każda nieskończona bezpośrednia suma modułów iniekcyjnych jest iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień jest noetherian ( Lam 1999 , Th 3.46).
Kryterium Baera
W oryginalnej pracy Baera udowodnił użyteczny wynik, zwykle znany jako Kryterium Baera, do sprawdzania, czy moduł jest injektywny: lewy moduł R Q jest iniektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jakikolwiek homomorfizm g : I → Q zdefiniowany na lewym ideale I z R można rozszerzyć na cały R .
Stosując to kryterium, można pokazać, że Q jest iniektywną grupą abelową (tj. modułem iniektywnym nad Z ). Bardziej ogólnie, grupa abelowa jest iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna . Jeszcze bardziej ogólnie: moduł nad główną dziedziną idealną jest iniektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielny (przypadek przestrzeni wektorowych jest przykładem tego twierdzenia, ponieważ każde pole jest główną dziedziną idealną, a każda przestrzeń wektorowa jest podzielna). W ogólnej dziedzinie całkowej nadal mamy jedną implikację: każdy moduł iniekcyjny w dziedzinie całkowej jest podzielny.
Kryterium Baera zostało udoskonalone na wiele sposobów ( Golan i Head 1991 , s. 119), w tym w wyniku ( Smith 1981 ) i ( Vamos 1983 ), że dla przemiennego pierścienia Noetherian wystarczy brać pod uwagę tylko ideały pierwsze I . Dualne kryterium Baera, które dałoby test na rzutowość, jest generalnie fałszywe. Na przykład moduł Z Q spełnia podwójne kryterium Baera, ale nie jest rzutowy.
Kogeneratory iniektywne
Być może najważniejszym modułem iniekcyjnym jest grupa abelowa Q / Z . Jest to kogenerator iniekcyjny w kategorii grup abelowych , co oznacza, że jest iniektywny i każdy inny moduł jest zawarty w odpowiednio dużym iloczynie kopii Q / Z . Tak więc w szczególności każda grupa abelowa jest podgrupą grupy iniektywnej. Jest dość znaczące, że dotyczy to również każdego pierścienia: każdy moduł jest submodułem modułu iniektywnego lub „kategoria lewych modułów R ma wystarczająco dużo iniektywów”. Aby to udowodnić, używa się szczególnych właściwości grupy abelowej Q / Z do skonstruowania kogeneratora iniektywnego w kategorii lewych modułów R.
Dla lewego modułu R M , tak zwany „moduł znakowy” M + = Hom Z ( M , Q / Z ) jest prawym modułem R, który wykazuje interesującą dwoistość, nie między modułami iniekcyjnymi i projekcyjnymi , ale między moduły iniekcyjne i moduły płaskie ( Enochs i Jenda 2001 , s. 78–80) . Dla dowolnego pierścienia R lewy moduł R jest płaski wtedy i tylko wtedy, gdy jego moduł znakowy jest iniekcyjny. Jeśli R jest lewostronne, to lewy moduł R jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jego moduł znakowy jest płaski.
kadłuby wtryskowe
Różnowartościową kadłuba modułu jest najmniejsza różnowartościową moduł zawierający zadanego i został opisany w ( Eckmann i Shopf 1953 ) .
Można użyć kadłubów iniekcyjnych, aby określić minimalną rozdzielczość iniekcyjną (patrz poniżej). Jeśli każdy wyraz rozdzielczości iniektywnej jest iniektywnym kadłubem kokernela z poprzedniej mapy, to rozdzielczość iniekcyjna ma minimalną długość.
Uchwały iniekcyjne
Każdy moduł M ma również rozdzielczość iniekcyjną : dokładną sekwencję formy
- 0 → M → W 0 → W 1 → W 2 → ...
gdzie I j są modułami iniekcyjnymi. Rozdzielczość iniekcyjna może służyć do definiowania pochodnych funktorów, takich jak funktor Ext .
Długość skończonego injective rozmiar jest pierwszy indeks n taki sposób, że n nie jest zerem i I I = 0 I większe niż n . Jeśli moduł M dopuszcza skończoną rozdzielczość iniektywną, minimalna długość spośród wszystkich skończonych rozdzielczości iniektywnych M nazywana jest jego wymiarem iniektywnym i oznaczana jako id( M ). Jeśli M nie dopuszcza skończonej rozdzielczości iniektywnej, to umownie mówi się, że wymiar iniekcyjny jest nieskończony. ( Lam 1999 , §5C) Jako przykład rozważmy moduł M taki, że id( M ) = 0. W tej sytuacji dokładność sekwencji 0 → M → I 0 → 0 wskazuje, że strzałka w środku jest izomorfizm, a zatem samo M jest iniektywne.
Równoważnie wymiar iniekcyjny M jest minimalną liczbą całkowitą (jeśli taka istnieje, w przeciwnym razie ∞) n taka, że ExtN
A(–, M ) = 0 dla wszystkich N > n .
Nierozkładalne
Każdy submoduł iniekcyjny modułu iniektywnego jest sumą bezpośrednią, dlatego ważne jest, aby zrozumieć nierozkładalne moduły iniektywne ( Lam 1999 , §3F).
Każdy nierozkładalny moduł iniekcyjny ma lokalny pierścień endomorfizmu . Moduł nazywany jest modułem uniform, jeśli każde dwa niezerowe podmoduły mają niezerowe przecięcie. Dla modułu iniektywnego M poniższe są równoważne:
- M jest nierozkładalny
- M jest niezerowe i jest iniektywnym kadłubem każdego niezerowego submodułu
- M jest jednolite
- M jest iniekcyjnym kadłubem jednolitego modułu
- M jest kadłubem iniekcyjnym jednolitego modułu cyklicznego
- M ma lokalny pierścień endomorfizmu
W pierścieniu Noetherian każdy moduł iniekcyjny jest bezpośrednią sumą (jednoznacznie określonych) nierozkładalnych modułów iniekcyjnych. W przypadku przemiennego pierścienia Noetherian, daje to szczególnie dobre zrozumienie wszystkich modułów iniekcyjnych, opisanych w ( Matlis 1958 ). W nierozkładalny moduły injective to za pomocą wstrzyknięć kadłuby modułów R / P ™ dla p jest ideałem pierścienia R . Co więcej, kadłub iniekcyjny M z R / p ma rosnącą filtrację przez moduły M n daną przez anihilatory ideałów p n , a M n + 1 / M n jest izomorficzny jako skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad polem ilorazu k ( p ) z R / p do Hom R / p ( p n / p n +1 , k ( p )).
Zmiana pierścieni
Ważne jest , aby móc rozważyć moduły nad podpierścieniami lub pierścieniami ilorazowymi , zwłaszcza na przykład pierścienie wielomianowe . Ogólnie jest to trudne, ale znanych jest wiele wyników ( Lam 1999 , s. 62).
Niech S i R będą pierścieniami, a P będzie lewo- R , prawy- S bimodułem, który jest płaski jak lewy- R moduł. Dla dowolnego iniektywnego prawego modułu S M , zbiór homomorfizmów modułu Hom S ( P , M ) jest prawym iniektywnym modułem R. Na przykład, jeśli R jest podpierścieniem S takim, że S jest płaskim modułem R , to każdy iniekcyjny moduł S jest iniektywnym modułem R. W szczególności, jeśli R jest domeną całkową, a S jej polem ułamków , to każda przestrzeń wektorowa nad S jest iniektywnym modułem R. Podobnie, każdy iniekcyjny R [ x ]-moduł jest iniektywnym R- modułem.
Dla pierścieni ilorazowych R / I zmiana pierścieni jest również bardzo wyraźna. Moduł R jest modułem R / I dokładnie wtedy, gdy jest anihilowany przez I . Modułem Ann I ( M ) = { m W M : im = 0 dla wszystkich I w I } jest lewy modułem lewej R -module M i jest największą modułem z M , która to R / I -module. Jeśli M jest iniektywnym lewym modułem R , to ann I ( M ) jest iniektywnym lewym modułem R / I. Stosując to do R = Z , I = n Z i M = Q / Z , otrzymujemy znajomy fakt, że Z / n Z jest iniektywna jako moduł nad sobą. Chociaż łatwo jest przekształcić iniektywne moduły R w iniektywne moduły R / I , proces ten nie powoduje konwersji iniektywnych R w rozdzielczości iniektywne R / I , a homologia powstałego kompleksu jest jednym z wczesnych i podstawowych obszarów badania względnej algebry homologicznej.
Podręcznik ( Rotman 1979 , s. 103) zawiera błędny dowód na to, że lokalizacja zachowuje iniekty, ale kontrprzykład podano w ( Dade 1981 ).
Pierścienie samoiniekcyjne
Każdy pierścień z jednością jest wolnym modułem, a zatem jest rzutem jako moduł nad sobą, ale rzadziej pierścień jest iniekcyjny jako moduł nad sobą ( Lam 1999 , §3B). Jeśli pierścień jest wstrzykiwany nad sobą jako prawy moduł, wówczas nazywa się go prawym pierścieniem samoiniekcyjnym . Każdy Frobenius algebra jest self-injective, ale nie dziedzina całkowitości , że nie jest to pole jest self-injective. Każda właściwa iloraz z DEDEKIND domeny jest self-injective.
Prawy Noetherian , prawy pierścień samoiniekcyjny nazywany jest pierścieniem quasi-Frobeniusa i jest dwustronnym artyńskim i dwustronnym iniekcyjnym ( Lam 1999 , Th. 15.1). Ważną właściwością teoretyczną modułów pierścieni quasi-Frobeniusa jest to, że moduły rzutowe są dokładnie modułami iniekcyjnymi.
Generalizacje i specjalizacje
Obiekty iniekcyjne
Mówi się też o obiektach iniektywnych w kategoriach bardziej ogólnych niż modułowe, na przykład w kategoriach funktorów lub w kategoriach snopów modułów O X nad pewną przestrzenią obrączkowaną ( X , O X ). Stosuje się następującą ogólną definicję: obiekt Q kategorii C jest injektywny, jeśli dla dowolnego monomorfizmu f : X → Y w C i dowolnego morfizmu g : X → Q istnieje morfizm h : Y → Q z hf = g .
Grupy podzielne
Pojęcie obiektu iniektywnego w kategorii grup abelowych było badane nieco niezależnie od modułów iniektywnych pod pojęciem grupy podzielnej . Tutaj moduł Z M jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy n ⋅ M = M dla każdej niezerowej liczby całkowitej n . Tutaj relacje między modułami płaskimi , czystymi submodułami i modułami iniekcyjnymi są bardziej przejrzyste, ponieważ po prostu odnoszą się do pewnych właściwości podzielności elementów modułu przez liczby całkowite.
Czyste zastrzyki
We względnej algebrze homologicznej właściwość rozszerzenia homomorfizmów może być wymagana tylko dla niektórych submodułów, a nie dla wszystkich. Na przykład, czysty moduł iniekcyjny to moduł, w którym homomorfizm z czystego podmodułu można rozszerzyć na cały moduł.
Bibliografia
Uwagi
Podręczniki
- Andersona, Franka Wyliego; Fuller, Kent R (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1, pobrano 30 lipca 2016
- Enochs, Edgar E.; Jenda, Overtoun MG (2000), Względna algebra homologiczna , de Gruyter Expositions in Mathematics, 30 , Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515/9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, MR 1753146
- Golan, Jonathan S.; Head, Tom (1991), Moduły i struktura pierścieni , Monografie i podręczniki z matematyki czystej i stosowanej, 147 , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, MR 1201818
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady na modułach i pierścieniach , Teksty magisterskie z matematyki nr 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Rotman, Joseph J. (1979), Wprowadzenie do algebry homologicznej , Matematyka czysta i stosowana, 85 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, numer MR 0538169
Podstawowe źródła
- Baer, Reinhold (1940), „grupy abelowe, które są bezpośrednimi sumami każdej zawierającej grupy abelowej”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 46 (10): 800-807, doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07306-9 , MR 0002886 , Zbl 0024.14902
- Chase, Stephen U. (1960), „Bezpośrednie produkty modułów”, Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, tom. 97, nr 3, 97 (3): 457-473, doi : 10.2307/1993382 , JSTOR 1993382 , MR 0120260
- Dade, Everett C. (1981), "Lokalizacja modułów iniekcji", Journal of Algebra , 69 (2): 416-425, doi : 10.1016/0021-8693 (81) 90213-1 , MR 0617087
- Eckmann, B .; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75-78, doi : 10.1007/BF01899665 , MR 0055978
- Lambek, Joachim (1963), „O pierścieniu ilorazów Utumi” , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363-370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , MR 0147509
- Matlis, Eben (1958), "Moduły wtryskowe nad pierścieniami noetherian ", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511-528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360
- Osofsky, BL (1964), „O właściwościach pierścieni kadłubów wtryskowych”, kanadyjski Biuletyn Matematyczny , 7 : 405-413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0166227
- Papp, Zoltán (1959), „Na algebraicznie zamkniętych modułach”, Publicationes Mathematicae Debrecen , 6 : 311-327, ISSN 0033-3883 , MR 0121390
- Smith, PF (1981), „ Injective Modules and prime ideas ”, Communications in Algebra , 9 (9): 989-999, doi : 10.1080/00927878108822627 , MR 0614468
- Utumi, Yuzo (1956), "Na pierścieniach ilorazowych", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1-18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966
- Vámos, P. (1983), „Ideały i moduły testujące injektywność”, Communications in Algebra , 11 (22): 2495-2505, doi : 10.1080/00927878308822975 , MR 0733337