Pierścień wyceny - Valuation ring

W abstrakcyjnej Algebra , A pierścień wartość jest integralną domeny D tak, że dla każdego elementu x jego zakresu frakcji F , co najmniej jeden z X lub x  ^-1 należy do D .

Biorąc pod uwagę pole F , czy D jest podpierścień z F, tak, że zarówno x i x  ^-1 należy do D, dla każdego niezerowe x w F , wówczas D mówi się, że pierścień wartość w polu F lub miejsce z F . Ponieważ w tym przypadku F jest rzeczywiście polem ułamków D , pierścień wartościujący dla pola jest pierścieniem wartościującym. Innym sposobem scharakteryzowania pierścieni wartościujących pola F jest to, że pierścienie wartościujące D z F mają F jako swoje pole ułamków, a ich ideały są całkowicie uporządkowane przez włączenie; lub równoważnie ich główne ideały są całkowicie uporządkowane przez inkluzję. W szczególności każdy pierścień wyceny jest pierścieniem lokalnym .

Pierścienie wartościujące pola są maksymalnymi elementami zbioru lokalnych podpierścieni w polu częściowo uporządkowanym według dominacji lub uściślenia , gdzie

${\ Displaystyle (A {\ mathfrak {m}} _ {A})}$dominuje jeśli i .${\ Displaystyle (B {\ mathfrak {m}} _ {B})}$${\ Displaystyle A \ supseteq B}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {A} \ czapka B = {\ mathfrak {m}} _ {B}}$

Każdy pierścień lokalny w polu K jest zdominowany przez jakiś pierścień wartościujący K .

Domena integralna, której lokalizacja w dowolnym idealnym ideale jest pierścieniem wyceny, nazywana jest domeną Prüfera .

Definicje

Istnieje kilka równoważnych definicji kręgu wartościującego (patrz poniżej charakterystyka pod względem dominacji). Dla dziedziny całkowej D i jej pola ułamków K , następujące są równoważne:

1. Dla każdego niezerowego x in K , albo x in D , albo x ⁻¹ in D .
2. Ideały D są całkowicie uporządkowane przez włączenie.
3. Główne ideały D są całkowicie uporządkowane przez inkluzję (tj. elementy w D są całkowicie uporządkowane przez podzielność ).
4. Istnieje całkowicie uporządkowana grupa abelowa Γ (zwana grupą wartości ) i wartościowanie ν: K → Γ ∪ {∞} gdzie D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0}.

Równoważność pierwszych trzech definicji jest łatwa. Twierdzenie o ( Krull 1939 ) wynika, że każdy pierścień spełniający trzy pierwsze warunki spełnia czwarte: wziąć y jako iloraz K ^x / D ^x z grupy jednostek o K przez grupę jednostkę D , i podjąć ν być naturalna projekcja. Możemy przekształcić Γ w całkowicie uporządkowaną grupę , deklarując klasy pozostałości elementów D jako „dodatnie”.

Co więcej, biorąc pod uwagę każdą całkowicie uporządkowaną grupę abelową Γ, istnieje pierścień wartościujący D z grupą wartości Γ (patrz seria Hahna ).

Z faktu, że ideały pierścienia wartościującego są całkowicie uporządkowane, można wywnioskować, że pierścień wartościujący jest domeną lokalną i że każdy skończenie wygenerowany ideał pierścienia wartościującego jest głównym (tj. pierścień wartościujący jest domeną Bézout ). W rzeczywistości jest to twierdzenie Krulla, że ​​domena integralna jest pierścieniem wartościującym wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalną domeną Bézout. Wynika z tego również, że pierścień wartościujący jest noetheryjski wtedy i tylko wtedy, gdy jest główną idealną domeną . W tym przypadku jest to albo pole, albo ma dokładnie jeden niezerowy ideał pierwszy; w tym drugim przypadku jest to tzw . pierścień wyceny dyskretnej . (Umownie, pole nie jest dyskretnym pierścieniem wyceny).

Grupa wartości jest nazywana dyskretną, jeśli jest izomorficzna z addytywną grupą liczb całkowitych, a pierścień wyceny ma dyskretną grupę wyceny wtedy i tylko wtedy, gdy jest to dyskretny pierścień wyceny.

Bardzo rzadko, wycena pierścionek może odnosić się do pierścionka, który spełnia drugi lub trzeci warunek, ale niekoniecznie jest domeną. Bardziej powszechnym określeniem tego typu pierścienia jest „ uniserial ring ”.

Przykłady

• Każde pole to pierścień wyceny. Na przykład pierścień funkcji wymiernych na rozmaitości algebraicznej .${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} (X)}$${\ Displaystyle X}$
• Prostym nieprzykładem jest domena całkowa, ponieważ odwrotnością generycznego jest${\ Displaystyle \ mathbb {C} [X]}$${\ Displaystyle f / g \ w \ mathbb {C} (X)}$${\ Displaystyle g / f \ nie \ w \ mathbb {C} [X]}$
• Dziedzina serii mocy:

${\ Displaystyle \ mathbb {F} ((X)) = \ lewo \ {f (X) = \ suma _ {i> - \ infty} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i} \ prawej \ }}$

posiada wycenę . Podpierścień jest również pierścieniem wyceny.${\ Displaystyle v (f) = \ inf \ no limity _ {a_ {n} \ neq 0} n}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} [[X]]}$

• ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}}$lokalizacja liczb całkowitych w ideałem ( s ), składającą się wskaźniki, gdzie licznik jest dowolną liczbą całkowitą, a mianownik nie jest podzielna przez p . Ciało ułamków jest ciałem liczb wymiernych${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$
• Pierścień funkcji meromorficznych na całej płaszczyźnie zespolonej, które mają szereg Maclaurina ( rozwinięcie szeregu Taylora na zero) jest pierścieniem wartościującym. Pole ułamków to funkcje meromorficzne na całej płaszczyźnie. Jeśli f nie ma szeregu Maclaurina, to 1/ f ma.
• Każdy pierścień p-adyczne liczb dla danego głównego p jest pierścień lokalny , z pola frakcjach p liczb -adic . Integralną zamknięcia z p -adic liczb jest lokalna pierścień z pola frakcji (algebraiczną zamknięcie p liczb -adic). Oba i są pierścieniami wyceny.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ tekst {cl}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ tekst {cl}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ tekst {cl}}}$
• Niech k będzie polem uporządkowanym . Element k nazywamy skończonym, jeśli leży między dwiema liczbami całkowitymi n < x < m ; inaczej nazywa się to nieskończonym. Zbiór D elementów skończonych k jest pierścieniem wartościującym. Zestaw elementów x w taki sposób, x ∈ D i x ^-1 ∉ D jest zestaw nieskończenie elementów; oraz element x tak, że x ∉ D i x ^-1 ∈ D nazywa nieskończoności.
• Pierścień F elementów skończonych pola hiperrzeczywistego * R (pole uporządkowane zawierające liczby rzeczywiste) jest pierścieniem wartościującym * R . F składa się ze wszystkich liczb hiperrzeczywistych różniących się od standardowej liczby rzeczywistej o nieskończenie małą ilość, co jest równoważne powiedzeniu liczby hiperrzeczywistej x takiej, że − n < x < n dla pewnej standardowej liczby całkowitej n . Pole pozostałość skończonej liczby Hiperrzeczywista modulo ideał nieskończenie numerów Hiperrzeczywista jest izomorficzny liczb rzeczywistych.
• Typowy przykład geometryczny pochodzi z algebraicznych krzywych płaskich . Rozważmy pierścień wielomianowy i wielomian nierozkładalny w tym pierścieniu. Wtedy pierścień jest pierścieniem funkcji wielomianowych na krzywej . Wybierz punkt taki, że i to jest stałym punktem na krzywej; tj. lokalny pierścień R w punkcie jest regularnym lokalnym pierścieniem o wymiarze 1 Krulla lub dyskretnym pierścieniem wartościującym .${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (f)}$${\ Displaystyle \ {(x, y): f (x, y) = 0 \}}$${\ Displaystyle P = (P_ {x}, P_ {y}) \ w \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ Displaystyle f (P) = 0}$
• Rozważmy na przykład włączenie . Są to wszystkie podpierścienie w zakresie szeregów potęgowych o wartości ograniczonej poniżej .${\ Displaystyle (\ mathbb {C} [[X ^ {2}]], (X ^ {2})) \ hookrightarrow (\ mathbb {C} [[X]], (X))}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((X))}$

Dominacja i integralne zamknięcie

Te urządzenia , lub elementy odwracalna z pierścienia aktualizujące tworzone są elementy x tak, że x  ^-1 jest członkiem D. inne elementy D , zwane nonunits nie mają odwrotny i stanowią one idealny M . Ten idealny jest maksymalna spośród (uporządkowany) idei D. Ponieważ M jest ilość idealnym The pierścień iloraz D / M jest pole, zwane pole pozostałość z D .

Ogólnie mówimy, że lokalny pierścień dominuje nad lokalnym, jeśli i ; innymi słowy, inkluzja jest lokalnym homomorfizmem pierścienia . Każdy pierścień lokalny w polu K jest zdominowany przez jakiś pierścień wartościujący K . Rzeczywiście, zbiór składający się ze wszystkich podpierścieni R od K zawierających A i jest niepusty i jest indukcyjny; w związku z tym ma maksymalny element lematu Zorna. Twierdzimy, że R to pierścień wyceny. R to lokalny pierścień z maksymalnym ideałem zawierającym przez maksimum . Znowu przez maksymalizację jest on również całkowicie zamknięty. Teraz, jeśli , to przez maksymalizację i tak możemy napisać: ${\ Displaystyle (S, {\ mathfrak {m}} _ {S})}$${\ Displaystyle (R {\ mathfrak {m}} _ {R})}$${\ Displaystyle S \ supseteq R}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {S} \ czapka R = {\ mathfrak {m}} _ {R}}$${\displaystyle R\subseteq S}$${\ Displaystyle (A {\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle 1 \ nie \ w {\ mathfrak {p}} R}$${\ Displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$${\ Displaystyle x \ nie \ w R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$

${\ Displaystyle 1 = r_ {0}+ r_ {1} x + \ cdots + r_ {n} x ^ {n} \ quad R_ {i} \ w {\ mathfrak {p}} R}$.

Ponieważ jest elementem jednostkowym, oznacza to, że jest całka nad R ; tak jest w R . To dowodzi, że R jest pierścieniem wyceny. ( R dominuje nad A, ponieważ jego maksymalny ideał zawiera w konstrukcji.) ${\displaystyle 1-r_{0}}$${\ Displaystyle x ^ {-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Pierścień lokalny R w polu K jest pierścieniem wartościującym wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalnym elementem zbioru wszystkich pierścieni lokalnych zawartych w K częściowo uporządkowanych dominacją. To łatwo wynika z powyższego.

Niech A będzie podpierścieniem ciała K i homomorfizmem pierścienia w algebraicznie domknięte ciało k . Wtedy f rozciąga się na homomorfizm pierścienia , D pewien pierścień wartościujący K zawierający A . (Dowód: Niech będzie maksymalnym rozszerzeniem, które wyraźnie istnieje na podstawie lematu Zorna. Przez maksymalizację R jest pierścieniem lokalnym z maksymalnym ideałem zawierającym jądro f . Jeśli S jest pierścieniem lokalnym z dominacją R , to S jest algebraiczne nad R ; jeśli nie, zawiera pierścień wielomianowy, do którego rozciąga się g , co jest sprzecznością z maksymalnością. Wynika z tego rozszerzenie pola algebraicznego .Tak więc rozciąga się g ; stąd S = R .) ${\displaystyle f:A\do k}$ ${\displaystyle g:D\do k}$${\displaystyle g:R\do k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R[x]}$${\ Displaystyle S/{\ mathfrak {m}} _ {S}}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}} _ {R}}$${\ Displaystyle S \ do S / {\ mathfrak {m}} _ {S} \ hookrightarrow k}$

Jeżeli podpierścień R pola K zawiera pierścień wartościujący D z K , to sprawdzając definicję 1, R jest również pierścieniem wartościującym z K . W szczególności, R jest lokalne, a jego ideał maksymalny kurczy się z jakimś ideałem pierwszym D , powiedzmy, . Wtedy dominuje odkąd , co jest wartością pierścienia, ponieważ ideały są całkowicie uporządkowane. Ta obserwacja sprowadza się do następującego: istnieje bijektywna korespondencja zbioru wszystkich podpierścieni K zawierających D . W szczególności, D jest integralnie zamknięte, a wymiar Krull z D jest liczbą odpowiednich subrings o K zawierającego D . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R = D_ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle D_ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto D_ {\ mathfrak {p}}, \ operatorname {spec} (D) \ do}$

W rzeczywistości całkowite zamknięcie domeny całkowej A w polu ułamków K z A jest przecięciem wszystkich pierścieni wartościujących K zawierających A . Rzeczywiście, całkowite zamknięcie jest zawarte w przecięciu, ponieważ pierścienie wartościujące są integralnie zamknięte. I odwrotnie, niech x będzie w K, ale nie będzie całkowitym przez A . Ponieważ ideału nie ma, zawiera się on w maksymalnym ideale . Następnie istnieje pierścień wartościujący R, który dominuje w lokalizacji at . Ponieważ , . ${\ Displaystyle x ^ {-1} A [x ^ {-1}]}$${\ Displaystyle A [x ^ {-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle A [x ^ {-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle x ^ {-1} \ w {\ mathfrak {m}} _ {R}}$${\ Displaystyle x \ nie \ w R}$

Dominacja jest używana w geometrii algebraicznej. Niech X będzie rozmaitością algebraiczną nad ciałem k . Następnie mówimy, że pierścień wartościujący R w ma "środek x na X ", jeśli dominuje w lokalnym pierścieniu snopa struktury w x . ${\ Displaystyle k (X)}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} _ {x, X}}$

Ideały w pierścieniach wyceny

Możemy opisać ideały w pierścieniu wartościującym za pomocą jego grupy wartości.

Niech Γ będzie całkowicie uporządkowaną grupą abelową . Podzbiór Δ z Γ nazywany jest segmentem, jeśli jest niepusty, a dla dowolnego α w Δ, dowolny element pomiędzy -α i α jest również w Δ (włączając punkty końcowe). Podgrupa Γ nazywana jest izolowaną podgrupą, jeśli jest segmentem i jest właściwą podgrupą.

Niech D będzie pierścieniem wartościującym z wartościowaniem v i grupą wartości Γ. Dla każdego podzbioru A do D , pozwól nam być dopełnieniem unii i in . Jeśli ja jest właściwym ideałem, to jest to segment . W rzeczywistości odwzorowanie definiuje bijekcję odwracającą inkluzję między zbiorem właściwych ideałów D a zbiorem segmentów . W ramach tej korespondencji niezerowe ideały pierwsze D odpowiadają bijektywnie izolowanym podgrupom Γ. ${\ Displaystyle \ Gamma _ {A}}$${\displaystyle v(A-0)}$${\displaystyle -v(A-0)}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {I}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle I \ mapsto \ Gamma _ {I}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Przykład: Pierścień p -adycznych liczb całkowitych jest pierścieniem wyceny z grupą wartości . Zerowa podgrupa odpowiada jedynemu maksymalnemu ideałowi, a cała grupa zerowemu ideałowi. Maksymalny ideał jest jedyną izolowaną podgrupą . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (p) \ subseteq \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Zestaw izolowanych podgrup jest całkowicie uporządkowany przez włączenie. Wysokość lub stopień R (Γ) z gamma jest określana jako liczność zbioru pojedyncze podgrupy y. Ponieważ niezerowe ideały pierwsze są całkowicie uporządkowane i odpowiadają izolowanym podgrupom Γ, wysokość Γ jest równa wymiarowi Krulla pierścienia wartościującego D związanego z Γ.

Najważniejszym szczególnym przypadkiem jest wysokość, co jest równoznaczne z Γ będącym podgrupą liczb rzeczywistych ℝ pod dodawaniem (lub równoważnie dodatnich liczb rzeczywistych ℝ ⁺ pod mnożeniem). odpowiednia wartość bezwzględna określająca miejsce ultrametryczne . Szczególnym przypadkiem są wspomniane wcześniej dyskretne pierścienie wyceny .

Racjonalnej Rank rr (Γ) jest zdefiniowana jako stopień grupy wartości jak grupa przemienna,

${\ Displaystyle \ mathrm {słabe} _ {\ mathbb {Q}} (\ Gamma \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}).}$

Miejsca

Ogólna definicja

Miejsce na polu K oznacza pierścień homomorfizm P z pierścieniem wartość D do K w pewnym zakresie, że dla dowolnego , . Obraz miejsca jest pole nazywa się pole pozostałość z p . Na przykład mapa kanoniczna to miejsce. ${\ Displaystyle x \ nie \ w D}$${\ Displaystyle p (1/x) = 0}$${\ Displaystyle D \ do D / {\ mathfrak {m}} _ {D}}$

Przykład

Niech A będzie domeną Dedekinda i ideałem pierwszym. Wtedy mapa kanoniczna to miejsce. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle A_ {\ mathfrak {p}} \ do k ({\ mathfrak {p}})}$

Specjalizacja miejsc

Mówimy, że miejsce p specjalizuje się w miejscu p ' , oznaczonym przez , jeśli pierścień wartościujący p zawiera pierścień wartościujący p ' . W geometrii algebraicznej mówimy, że ideał pierwszy specjalizuje się w if . Te dwa pojęcia są zbieżne: wtedy i tylko wtedy, gdy ideał pierwszy odpowiadający p jest związany z ideałem pierwszym odpowiadającym p ' w jakimś pierścieniu wartościującym (przypomnij sobie, że jeśli są pierścieniami wartościującymi tego samego pola, to D odpowiada ideałowi pierwszemu równemu ). ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$${\ Displaystyle D \ supseteq D'}$${\displaystyle D'}$

Przykład

Na przykład w polu funkcyjnym jakiejś rozmaitości algebraicznej każdy ideał pierwszy zawarty w ideale maksymalnym daje specjalizację . ${\ Displaystyle \ mathbb {F} (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ w {\ tekst {spec}} (R)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}}$

Uwagi

Można wykazać: jeśli , a następnie przez pewien miejsce Q pola pozostałości z p . (Obserwacja jest pierścieniem wartościującym i niech q będzie odpowiednim miejscem; reszta jest mechaniczna.) Jeśli D jest pierścieniem wartościującym p , to jego wymiarem Krulla jest liczność specjalizacji innych niż p do p . Zatem dla dowolnego miejsca p z pierścieniem wartościującym D pola K nad polem k mamy: ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$${\displaystyle p'=q\circ p|_{D'}}$${\ Displaystyle k(p)}$${\displaystyle p(D')}$${\ Displaystyle k(p)}$

${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K}$.

Jeśli p jest miejsce i jest podpierścień pierścienia wartości o P , to nazywa się środek o p w A . ${\ Displaystyle \ operatorname {ker} (p) \ czapka A}$

Miejsca w nieskończoności

Dla pola funkcji na odmianie afinicznej istnieją wyceny, które nie są związane z żadną z liczb pierwszych . Wyceny te nazywane są miejscami w nieskończoności . [1] Na przykład linia afiniczna ma pole funkcji . Miejsce związane z lokalizacją${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {1}}$${\displaystyle k(x)}$

${\ Displaystyle k \ lewo [{\ Frac {1} {x}} \ prawo]}$

przy maksymalnym ideale

${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = \ lewo ({\ Frac {1} {x}} \ prawej)}$

to miejsce w nieskończoności.

Uwagi

Cytaty

Źródła