Własność dystrybucyjna - Distributive property

Wizualizacja prawa rozdzielności dla liczb dodatnich

W matematyce , rozdzielność od operacji binarnych uogólnia prawo dystrybucyjny z algebry elementarnej , która twierdzi, że jeden ma zawsze

Na przykład jeden ma
Jeden mówi, że mnożenie rozkłada się na dodawanie .

Ta podstawowa właściwość liczb jest zakładana w definicji większości struktur algebraicznych, które mają dwie operacje zwane dodawaniem i mnożeniem, takie jak liczby zespolone , wielomiany , macierze , pierścienie i pola . Występuje również w algebrze Boole'a i logice matematycznej , gdzie każde z logicznych i (oznaczonych ) i logicznego lub (oznaczone ) rozkłada się na drugie.

Definicja

Biorąc pod uwagę zestaw i dwóch operatorów binarnych i na działania na *:

jest lewy rozdzielcze na (lub w odniesieniu do) +, jeśli podano żadnych elementów z

jest tuż-rozdzielcze nad + jeżeli, biorąc pod uwagę wszystkie elementy z
i jest dystrybutywna nad +, jeśli jest dystrybutywna lewo- i prawostronna.

Kiedy jest

przemienny , powyższe trzy warunki są logicznie równoważne .

Oznaczający

Operatory użyte w przykładach w tej sekcji to operatory zwykłego dodawania i

mnożenia

Jeśli operacja oznaczona jako nie jest przemienna, istnieje rozróżnienie między lewostronną i prawostronną dystrybucyjnością:

W obu przypadkach własność rozdzielności można opisać słowami jako:

Aby pomnożyć sumę (lub różnicę ) przez czynnik, każda suma (lub odjemna i odjemna ) jest mnożona przez ten czynnik, a otrzymane iloczyny są dodawane (lub odejmowane).

Jeśli operacja poza nawiasem (w tym przypadku mnożenie) jest przemienna, to lewicowa dystrybucja implikuje prawicową dystrybucję i odwrotnie, i mówi się po prostu o rozdzielności .

Jednym z przykładów operacji, która jest „tylko” prawostronna, jest dzielenie, które nie jest przemienne:

W tym przypadku lewostronna dystrybucja nie ma zastosowania:

Prawa rozdzielcze znajdują się wśród aksjomatów dla pierścieni (takich jak pierścień liczb całkowitych ) i pól (takich jak ciało liczb wymiernych ). Tutaj mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie nie jest rozdzielne względem mnożenia. Przykładami struktur z dwiema operacjami, z których każda jest rozdzielcza względem drugiej, są algebry Boole'a, takie jak algebra zbiorów lub algebra przełączania .

Mnożenie sum można wyrazić słowami w następujący sposób: Gdy suma jest pomnożona przez sumę, pomnóż każdą sumę sumy przez każdą sumę innej sumy (śledząc znaki), a następnie zsumuj wszystkie otrzymane iloczyny.

Przykłady

Liczby rzeczywiste

W poniższych przykładach zilustrowano zastosowanie prawa rozdzielności na zbiorze liczb rzeczywistych . Kiedy mnożenie jest wspominane w elementarnej matematyce, zwykle odnosi się do tego rodzaju mnożenia. Z punktu widzenia algebry liczby rzeczywiste tworzą pole , które zapewnia ważność prawa rozdzielności.

Pierwszy przykład (mnożenie mentalne i pisane)
Podczas arytmetyki mentalnej rozdzielność jest często używana nieświadomie:
Dlatego, aby obliczyć w głowie, jedna pierwsza mnoży i dodać wyniki pośrednie. Mnożenie pisemne jest również oparte na prawie rozdzielczym.
Drugi przykład (ze zmiennymi)
Trzeci przykład (z dwiema sumami)
Tutaj prawo podziału zostało zastosowane dwukrotnie i nie ma znaczenia, który nawias zostanie pomnożony jako pierwszy.
Czwarty przykład
Tutaj prawo dystrybucji jest stosowane odwrotnie niż w poprzednich przykładach. Rozważać
Ponieważ czynnik występuje we wszystkich sumach, można go wykluczyć. Oznacza to, że dzięki prawu podziału uzyskuje się

Matryce

Prawo rozdzielenia obowiązuje dla mnożenia macierzy . Dokładniej,

dla wszystkich -matryc i -matryc oraz
dla wszystkich -macierze i -macierze Ponieważ własność przemienności nie obowiązuje dla mnożenia macierzy, drugie prawo nie wynika z pierwszego prawa. W tym przypadku są to dwa różne prawa.

Inne przykłady

  • Mnożenie z liczb porządkowych , w przeciwieństwie do tego, pozostało tylko-rozdzielcze, a nie prawo-rozdzielcze.
  • Produkt krzyż jest lewo- i prawo-rozdzielcze na dodawanie wektorów , choć nie przemienne.
  • Unia zestawów jest rozdzielcze na skrzyżowaniu , a skrzyżowanie jest rozdzielcze nad Unią.
  • Dysjunkcja logiczna („lub”) jest dystrybutywna w stosunku do logicznej koniunkcji („i”) i na odwrót.
  • Dla liczb rzeczywistych (i dla każdego całkowicie uporządkowanego zbioru ) maksymalna operacja jest rozdzielona przez minimalną operację i na odwrót:
  • Dla liczb całkowitych The największy wspólny dzielnik jest rozdzielcze nad najmniejszej wspólnej wielokrotności i vice versa:
  • W przypadku liczb rzeczywistych dodawanie rozkłada się na operację maksymalną, a także na operację minimalną:
  • W przypadku mnożenia dwumianowego , dystrybucja jest czasami określana jako metoda FOIL (pierwsze terminy Outer Inner i Last ), na przykład:
  • We wszystkich półpierścieniach , w tym liczbach zespolonych , kwaternionach , wielomianach i macierzach , mnożenie rozkłada się na dodawanie:
  • We wszystkich algebrach nad ciałem , łącznie z oktonionami i innymi algebrami nieskojarzeniowymi , mnożenie rozkłada się na dodawanie.

Logika zdań

Zasada wymiany

W standardowej logice zdaniowej prawdziwościowo-funkcjonalnej, dystrybucja w dowodach logicznych wykorzystuje dwie ważne reguły zastępowania, aby rozszerzyć poszczególne wystąpienia pewnych spójników logicznych , w ramach pewnej formuły , na oddzielne zastosowania tych spójników w podformułach danej formuły. Zasady są

gdzie " ", również napisane jest symbolem metalicznym reprezentującym "może być zastąpiony w dowodzie przez" lub "jest logicznie równoważny ".

Prawda funkcjonalne spójniki

Dystrybucyjność jest właściwością niektórych spójników logiki prawdziwościowo-funkcjonalnej

logiki zdań . Poniższe logiczne równoważności pokazują, że dystrybucyjność jest właściwością poszczególnych spójników. Poniżej przedstawiono tautologie prawdziwościowo-funkcjonalne .
Podwójna dystrybucja

Dystrybucja i zaokrąglanie

W arytmetyce przybliżonej, takiej jak arytmetyka zmiennoprzecinkowa , właściwość rozdzielcza mnożenia (i dzielenia) w stosunku do dodawania może się nie powieść z powodu ograniczeń precyzji arytmetycznej . Na przykład tożsamość nie powiedzie się w

arytmetyce dziesiętnej , niezależnie od liczby cyfr znaczących . W niektórych przypadkach pomocne mogą być takie metody, jak zaokrąglanie bankierskie , co może zwiększyć precyzję, ale ostatecznie pewne błędy obliczeniowe są nieuniknione.

W pierścieniach i innych strukturach

Dystrybucyjność najczęściej występuje w pierścieniach i sieciach rozdzielczych .

Pierścień ma dwa binarne operacji, często oznaczane i jeden z warunków pierścienia jest to, że musi się rozprowadzić

Kratownica jest inny rodzaj algebraiczne struktury z dwóch operacji binarnych Jeżeli którakolwiek z tych operacji dystrybuuje ponad drugą (słownie dystrybuuje ponad ), posiada również wtedy odwrotne ( dystrybuuje ponad ) i krata jest nazywany rozdzielcze. Zobacz także

Dystrybucja (teoria porządku) .

Boole'a mogą być interpretowane, jako specjalny rodzaj pierścień (a logiczny pierścień ) lub specjalny rodzaj kraty rozdzielczej (A logiczne sieci krystalicznej ). Każda interpretacja odpowiada za różne prawa dystrybucji w algebrze Boole'a.

Niespełnienie jednego z dwóch praw rozdzielczych powoduje powstanie bliży pierścieni i pól bliższych zamiast odpowiednio pierścieni i pierścieni podziału . Operacje są zwykle skonfigurowane tak, aby dystrybucja bliskiego pierścienia lub bliskiego pola znajdowała się po prawej stronie, ale nie po lewej stronie.

Pierścienie i kraty rozdzielcze są specjalnymi rodzajami rigów , które są uogólnieniem pierścieni, które mają właściwość rozdzielczą. Na przykład liczby naturalne tworzą platformę.

Uogólnienia

W kilku obszarach matematycznych rozważane są uogólnione prawa dystrybucji. Może to wiązać się z osłabieniem powyższych warunków lub rozszerzeniem na operacje nieskończone. Zwłaszcza w teorii porządku można znaleźć wiele ważnych wariantów rozdzielności, z których niektóre obejmują operacje nieskończone, takie jak nieskończone prawo dystrybucji ; inne są definiowane w obecności tylko jednej operacji binarnej, takie jak odpowiednie definicje i ich relacje są podane w artykule dystrybucyjność (teoria porządku) . Obejmuje to również pojęcie sieci całkowicie rozdzielczej .

W obecności relacji porządkującej można również osłabić powyższe równości przez zastąpienie przez albo lub. Naturalnie doprowadzi to do sensownych pojęć tylko w niektórych sytuacjach. Zastosowaniem tej zasady jest pojęcie

subrozdzielalności wyjaśnione w artykule o arytmetyce przedziałowej .

W teorii kategorii , jeśli i są

monady na kategorii prawo rozdzielcze jest naturalna transformacja taka, że jest to mapa lax z monad i jest mapa colax z monad to jest dokładnie dane potrzebne do zdefiniowania struktury monady na : mapa mnożenie jest a mapa jednostek to Patrz: prawo podziału między monadami .

W obszarze

teorii informacji zaproponowano również uogólnione prawo dystrybucji .

Antydystrybucja

Wszechobecna tożsamość, która odnosi się odwrotnie do operacji binarnej w dowolnej grupie , a mianowicie, która jest traktowana jako aksjomat w bardziej ogólnym kontekście

półgrupy z inwolucją , była czasami nazywana właściwością antydystrybucyjną (inwersji jako operacji jednoargumentowej ).

W kontekście bliskiego pierścienia , który usuwa przemienność grupy addytywnej pisanej i zakłada tylko jednostronną rozdzielność, można mówić o (dwustronnych) elementach dystrybutywnych, ale także o elementach antydystrybucyjnych . Te ostatnie odwracają kolejność (nieprzemiennego) dodawania; zakładając lewy bliski (tzn. taki, w którym wszystkie elementy rozprowadzają się po mnożeniu z lewej strony), to element antydystrybucyjny odwraca kolejność dodawania po mnożeniu w prawo:

W badaniach nad logiką zdań i algebrą Boole'a termin prawo antydystrybucyjne jest czasami używany do oznaczenia wymiany między koniunkcją i alternatywą, gdy implikacje są nad nimi:

Te dwie tautologie są bezpośrednią konsekwencją dwoistości praw De Morgana .

Uwagi

Zewnętrzne linki