Półprosty moduł - Semisimple module

W matematyce , zwłaszcza w obszarze algebry abstrakcyjnej zwanej teorią modułów , moduł półprosty lub moduł całkowicie redukowalny to typ modułu, który można łatwo zrozumieć z jego części. Pierścień , który jest półprosty moduł na siebie jest znany jako Artinian półprosty pierścienia . Kilka ważnych pierścienie, takie jak pierścienie grupowych z grup skończonych ponad pól charakterystycznych zera, są półprosty pierścienie. Pierścień artyniański jest początkowo rozumiany przez jego największy półprosty iloraz. Struktura Artinian półprosty pierścieni jest dobrze zrozumiałe dla twierdzenia Artin-Wedderburn , wykazującego te pierścienie skończonych bezpośrednie produkty z pierścieni matrycy .

Aby zapoznać się z analogiem teorii grup tego samego pojęcia, zobacz Reprezentacja półprosta .

Definicja

Moduł na (nie koniecznie przemiennego) pierścienia mówi się półprosty (lub całkowicie sprowadzić ), jeżeli jest to bezpośredni suma z prostych (nieredukowalnych) podmodułów.

W przypadku modułu M następujące są równoważne:

1. M jest półproste; tj. bezpośrednia suma nieredukowalnych modułów.
2. M jest sumą jego nieredukowalnych podmodułów.
3. Każdy z modułem M to bezpośredni do składnika : dla każdego submodule N z M , jest uzupełnieniem P takie, że M = N ⊕ P .

Aby zapoznać się z dowodami równoważności, patrz Reprezentacja półprosta § Charakterystyka równoważna .

Najbardziej podstawowym przykładem modułu półprostego jest moduł nad polem, tj . Przestrzenią wektorową . Z drugiej strony pierścień Z liczb całkowitych nie jest sam w sobie półprostym modułem, ponieważ podmoduł 2 Z nie jest sumą bezpośrednią.

Półprosty jest silniejsza niż całkowicie rozkładowi , który jest bezpośrednim suma od nierozkładalnych submodułów .

Niech być algebra nad ciałem K . Następnie lewy moduł M na A jest uważane za całkowicie półprosty jeśli każdego rozszerzenia pola F do K , K ⊗ _K K jest półprosty modułem przez F ⊗ _K A .

Nieruchomości

• Jeśli M jest półproste, a N jest podmodułem , to N i M / N są również półproste.
• Dowolna, bezpośrednia suma modułów półprostych jest półprosta.
• Moduł M jest generowany w sposób skończony i półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest artynianem, a jego rodnik wynosi zero.

Pierścienie endomorfizmu

• Półprosty moduł M na pierścieniu B mogą być również traktowane jako homomorfizmu pierścienia z R w pierścieniu grupa przemienna endomorfizm z M . Obraz tego homomorfizmu jest półprymitywnym pierścieniem , a każdy półprymitywny pierścień jest izomorficzny z takim obrazem.
• Pierścień endomorfizmów modułu półprosty jest nie tylko semiprimitive, ale również von Neumann regularny ( Lam 2001 , str. 62).

Półproste pierścienie

Mówi się, że pierścień jest (lewy) - półprosty, jeśli jest półprosty jak lewy moduł nad sobą. Co zaskakujące, lewy półprosty pierścień jest również prawy półprosty i odwrotnie. Dlatego rozróżnienie lewy / prawy jest niepotrzebne i można mówić o półprostych pierścieniach bez dwuznaczności.

Półprosty pierścień można scharakteryzować w kategoriach algebry homologicznej: mianowicie pierścień R jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy rozdziela się jakaś krótka dokładna sekwencja lewego (lub prawego) modułu R. To jest dla krótkiej, dokładnej sekwencji

${\ displaystyle 0 \ do A \ xrightarrow {f} B \ xrightarrow {g} C \ do 0}$

istnieje s  : C → B takie, że kompozycja g ∘ s  : C → C jest tożsamością. Mapa s znany jest jako sekcja. Z tego wynika, że

${\ Displaystyle B \ cong A \ oplus C}$

lub dokładniej

${\ Displaystyle B \ cong f (A) \ oplus s (C)}$

W szczególności każdy moduł nad półprostym pierścieniem jest iniekcyjny i rzutowy . Ponieważ „rzutowy” oznacza „płaski”, półprosty pierścień jest regularnym pierścieniem von Neumanna .

Półproste pierścienie są szczególnie interesujące dla algebraistów. Na przykład, jeśli podstawowy pierścień R jest półprosty, wówczas wszystkie R -moduły będą automatycznie półproste. Co więcej, każdy prosty (lewy) moduł R jest izomorficzny z minimalnym lewym ideałem R , to znaczy R jest lewym pierścieniem Kascha .

Półprosty pierścienie są zarówno Artinian i Noetherian . Z powyższych właściwości wynika, że ​​pierścień jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest artynianem, a jego rodnik Jacobsona wynosi zero.

Jeśli półprosty pierścień artyniański zawiera pole jako centralny element pomocniczy , nazywa się to algebrą półprostą .

Przykłady

• Przemienny pierścień półprosty jest skończonym, bezpośrednim iloczynem pól. Pierścień przemienny jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest artyński i zredukowany .
• Jeżeli K jest to pole, a G jest skończoną grupa celu N , wówczas pierścień grupy K [ G ] oznacza półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka z K nie dzieli n . To jest twierdzenie Maschkego , ważny wynik teorii reprezentacji grup .
• Zgodnie z twierdzeniem Artina – Wedderburna jednowymiarowy pierścień artyński R jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest (izomorficzny do) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , przy czym każda D _i jest pierścień podział a każdy n _i jest dodatnią liczbą całkowitą, zaś M _n ( D ) oznacza pierścień n -by- n matryc z wpisami D .
• Przykładem półprosty nie unital pierścienia wynosi M _∞ ( K ), przy czym rząd skończone, kolumna skończone, nieskończone matryce po polu K .

Proste pierścienie

Należy mieć na uwadze, że wbrew terminologii nie wszystkie proste pierścienie są półproste . Problem w tym, że pierścień może być „za duży”, czyli nie (lewy / prawy) artyniński. W rzeczywistości, jeśli R jest prostym pierścieniem z minimalnym ideałem lewej / prawej strony, to R jest półprostym.

Klasycznymi przykładami prostych, ale nie półprostych pierścieni są algebry Weyla , takie jak -algebra ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle A = \ mathbb {Q} {\ lewo [x, y \ prawej]} / \ langle xy-yx-1 \ rangle \,}$

która jest prostą domeną nieprzemienną . Te i wiele innych ciekawych przykładów omówiono bardziej szczegółowo w kilku nieprzemiennych tekstach teorii pierścieni, w tym w rozdziale 3 tekstu Lama, w którym opisano je jako nieartyńskie pierścienie proste. Teorii moduł do algebrach Weyl, jest dobrze zbadane i różni się znacznie od półprosty pierścieni.

Jacobson semisimple

Pierścień nazywany jest półprostym Jacobsona (lub półprostym J lub półprymitywem ), jeśli przecięcie maksymalnych lewych ideałów wynosi zero, to znaczy, jeśli rodnik Jacobsona wynosi zero. Każdy pierścień, który jest półprosty jako moduł nad sobą, ma zerowy rodnik Jacobsona, ale nie każdy pierścień z zerowym rodnikiem Jacobsona jest półprosty jako moduł nad sobą. Półprosty pierścień J jest półprosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierścieniem artyńskim , więc półproste pierścienie są często nazywane artyńskimi półprostymi pierścieniami, aby uniknąć nieporozumień.

Na przykład pierścień liczb całkowitych Z jest półprostym J, ale nie półprostym artyńskim.

Zobacz też

• Cokół
• Algebra półprosta

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-35315-7
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), WH Freeman, ISBN   978-0-7167-1933-5
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings , Graduate Texts in Mathematics , 131 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN   978-0-387-95325-0 , MR   1838439
• Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-0387953854
• Pierce, RS (1982), Associative Algebras , Graduate Texts in Mathematics , Springer-Verlag , ISBN   978-1-4757-0165-4
• Sengupta, Ambar (2012). Reprezentowanie skończonych grup: półproste wprowadzenie . Nowy Jork. doi : 10.1007 / 978-1-4614-1231-1_8 . ISBN   9781461412311 . OCLC   769756134 .