Algebra Azumaya - Azumaya algebra

W matematyce An Algebra Azumaya uogólnieniem centralnych prostych algebrach do R -algebras gdzie R konieczności nie być pola . Takie pojęcie zostało wprowadzone w artykule Goro Azumaya z 1951 roku , dla przypadku, gdy R jest przemiennym pierścieniem lokalnym . Pojęcie to było dalej rozwijane w teorii pierścieni i geometrii algebraicznej , gdzie Alexander Grothendieck uczynił z niego podstawę swojej geometrycznej teorii grupy Brauera w seminariach Bourbaki w latach 1964–65. Obecnie istnieje kilka punktów dostępu do podstawowych definicji.

Na pierścieniu

Algebra Azumayi na pierścieniu przemiennym jest -algebrą, która jest skończenie generowana, wierna i rzutująca jako -moduł, tak że iloczyn tensora (gdzie jest algebra przeciwna ) jest izomorficzny z algebrą macierzy poprzez mapę wysyłaną do endomorfizmu z . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} A ^ {\ circ}}$${\ displaystyle A ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {koniec}} _ {R} (A) \ cong M_ {r} (R)}$${\ displaystyle a \ otimes b}$${\ displaystyle x \ mapsto axb}$${\ displaystyle A}$

Przykłady na polu

W polu algebry Azumayi są całkowicie klasyfikowane według twierdzenia Artina-Wedderburna, ponieważ są takie same jak centralne algebry proste . Są algebrami izomorficzne z pierścieniem matrycy pewnego podziału Algebra na . Na przykład algebry kwaternionów dostarczają przykładów centralnych prostych algebr. ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle M_ {n} (D)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle k}$

Przykłady na lokalnych pierścieniach

Biorąc pod uwagę lokalny pierścień przemienny , -algebra jest Azumaya wtedy i tylko wtedy, gdy A jest wolne od dodatniej skończonej rangi jako moduł R, a algebra jest centralną prostą algebrą , stąd wszystkie przykłady pochodzą z centralnych prostych algebr . ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m.}})}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} (R / {\ mathfrak {m.}})}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m.}}}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m.}}}$

Algebry cykliczne

Istnieje klasa algebr Azumaya zwana algebrami cyklicznymi, które generują wszystkie klasy podobieństwa algebr Azumaya na polu , stąd wszystkie elementy w grupie Brauera (zdefiniowanej poniżej). Biorąc pod uwagę skończone cykliczne rozszerzenie stopnia pola Galois , dla każdego generatora istnieje skręcony pierścień wielomianowy , również oznaczony , generowany przez element taki, że ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ text {br}} (K)}$${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b \ in K ^ {*}}$${\ Displaystyle \ sigma \ in {\ tekst {Gal}} (L / K)}$${\ Displaystyle L [x] _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle A (\ sigma, b)}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle x ^ {n} = b}$

a następująca własność komutacyjna posiada:

${\ Displaystyle l \ cdot x = \ sigma (x) \ cdot l.}$

Ponieważ przestrzeń wektorowa jest zakończona , ma podstawę z pomnożeniem przez ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle L [x] _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle 1, x, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle x ^ {i} \ cdot x ^ {j} = {\ rozpocząć {przypadków} x ^ {i + j} & {\ tekst {if}} i + j <n \\ x ^ {i + jn } b & {\ text {if}} i + j \ geq n \\\ end {sprawy}}}$

Zauważ, że daje to geometrycznie całkową różnorodność , istnieje również powiązana algebra cykliczna dla ilorazowego rozszerzenia pola . ${\ displaystyle X / K}$${\ Displaystyle {\ tekst {Frac}} (X_ {L}) / {\ tekst {Frac}} (X)}$

Grupa Brauera pierścienia

W przypadku pól istnieje klasyfikacja kohomologiczna algebr Azumaya przy użyciu kohomologii Étale . W rzeczywistości ta grupa, zwana grupą Brauera , może być również zdefiniowana jako klasy podobieństwa algebr Azumaya na pierścieniu , gdzie pierścienie są podobne, jeśli istnieje izomorfizm ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A, A '}$

${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} M_ {n} (R) \ cong A '\ otimes _ {R} M_ {m.} (R)}$

pierścieni dla niektórych liczb naturalnych . Następnie równoważność ta jest w istocie relacją równoważności, a jeśli , , a następnie , pokazując ${\ displaystyle n, m}$${\ displaystyle A_ {1} \ sim A_ {1} '}$${\ displaystyle A_ {2} \ sim A_ {2} '}$${\ Displaystyle A_ {1} \ otimes _ {R} A_ {2} \ sim A_ {1} '\ otimes _ {R} A_ {2}'}$

${\ Displaystyle [A_ {1}] \ otimes [A_ {2}] = [A_ {1} \ otimes _ {R} A_ {2}]}$

jest dobrze zdefiniowaną operacją. Tworzy to strukturę grupową na zbiorze takich klas równoważności zwanych grupą Brauera , oznaczoną . Inną definicję podaje podgrupa skrętna w grupie etale kohomologii ${\ displaystyle {\ text {br}} (R)}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Br}} _ {coh} (R): = {\ tekst {H}} _ {et} ^ {2} ({\ tekst {Spec}} (R), \ mathbb {G } _ {m.}) _ {tors}}$

która nazywa się kohomologiczną grupą Brauera . Te dwie definicje są zgodne, kiedy jest polem. ${\ displaystyle R}$

Grupa Brauera wykorzystująca kohomologię Galois

Istnieje inna równoważna definicja grupy Brauera wykorzystująca kohomologię Galois . Dla rozszerzenia pola istnieje kohomologiczna grupa Brauera zdefiniowana jako ${\ displaystyle E / F}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Br}} ^ {coh} (E / F): = H _ {\ tekst {Gal}} ^ {2} ({\ tekst {Gal}} (E / F), E ^ { \ times})}$

a kohomologiczna grupa Brauera dla jest zdefiniowana jako ${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle {\ text {Br}} ^ {coh} (F) = {\ underset {E / F} {\ tekst {colim}}} H _ {\ tekst {Gal}} ^ {2} ({\ tekst {Gal}} (E / F), E ^ {\ times})}$

gdzie colimit jest przejmowany przez wszystkie skończone rozszerzenia pola Galois.

Obliczenia dla pola lokalnego

Na lokalnym niearchimedesowym polu , takim jak liczby p-adyczne , lokalna teoria pola klas podaje izomorfizm grup abelowych: ^{pg 193}${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Br}} ^ {Coh} (F) \ cong \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}.}$

Dzieje się tak, ponieważ biorąc pod uwagę abelowe rozszerzenia pól, istnieje krótka dokładna sekwencja grup Galois ${\ Displaystyle E_ {2} / E_ {1} / F}$

${\ Displaystyle 0 \ do {\ tekst {Gal}} (E_ {2} / E_ {1}) \ do {\ tekst {Gal}} (E_ {2} / F) \ do {\ tekst {Gal}} (E_ {1} / F) \ do 0}$

a z teorii pola klasy lokalnej jest następujący diagram przemienny:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} H _ {\ tekst {Gal}} ^ {2} ({\ tekst {Gal}} (E_ {2} / F), E_ {1} ^ {\ razy}) & \ to & H _ {\ text {Gal}} ^ {2} ({\ text {Gal}} (E_ {1} / F), E_ {1} ^ {\ times}) \\\ downarrow && \ downarrow \\\ left ({\ frac {1} {[E_ {2}: E_ {1}]}} \ mathbb {Z} \ right) / \ mathbb {Z} & \ to & \ left ({\ frac {1} { [E_ {1}: F]}} \ mathbb {Z} \ right) / \ mathbb {Z} \ end {matrix}}}$

gdzie mapy pionowe to izomorfizmy, a mapy poziome to iniekcje.

n-skręcanie dla pola

Przypomnijmy, że istnieje sekwencja Kummera

${\ Displaystyle 1 \ do \ mu _ {n} \ do \ mathbb {G} _ {m} \ xrightarrow {\ cdot n} \ mathbb {G} _ {m} \ do 1}$

podając długą, dokładną sekwencję w kohomologii dla danej dziedziny . Ponieważ twierdzenie Hilberta 90 implikuje , istnieje powiązana krótka dokładna sekwencja ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle H ^ {1} (F, \ mathbb {G} _ {m.}) = 0}$

${\ Displaystyle 0 \ do H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n}) \ do {\ tekst {Br}} (F) \ xrightarrow {\ cdot n} {\ tekst {Br}} (F) \ do 0}$

pokazując drugą etale grupę kohomologiczną ze współczynnikami w n-tym pierwiastku jedności jest ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$

${\ Displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n}) = {\ tekst {Br}} (F) _ {n-tors}.}$

Generatory klas n-skrętnych w grupie Brauera nad polem

Symbolu Galois lub norma pozostałości symbol jest mapa z n-skręcanie Milnor Teoria K grupy do Etale kohomologii grupy , oznaczonej ${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (F) \ otimes \ mathbb {Z} / n}$${\ Displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n} ^ {\ otimes 2})}$

${\ Displaystyle R_ {n, F}: K_ {2} ^ {M} (F) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ do H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n} ^ {\ otimes 2})}$

Pochodzi ze składu produktu kubkowego w kohomologii etale z izomorfizmem twierdzenia Hilberta 90

${\ Displaystyle \ chi _ {n, F}: F ^ {*} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n \ do H_ {et} ^ {1} (F, \ mu _ {n})}$

W związku z tym

${\ Displaystyle R_ {n, F} (\ {a, b \}) = \ chi _ {n, F} (a) \ kubek \ chi _ {n, F} (b)}$

Okazuje się, że ta mapa uwzględnia czynniki przez , których klasę reprezentuje algebra cykliczna . Dla rozszerzenia Kummer, w którym weź generator grupy cyklicznej i skonstruuj . Istnieje alternatywna, ale równoważna konstrukcja poprzez kohomologię Galois i kohomologię etale. Rozważ krótką dokładną sekwencję trywialnych -modułów ${\ Displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n}) = {\ tekst {Br}} (F) _ {n-tors}}$${\ displaystyle \ {a, b \}}$${\ Displaystyle [A (\ sigma, b)]}$ ${\ displaystyle E / F}$${\ Displaystyle E = F ({\ sqrt [{n}] {a}})}$${\ Displaystyle \ sigma \ in {\ tekst {Gal}} (E / F)}$${\ Displaystyle [A (\ sigma, b)]}$${\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {F}} / F)}$

${\ Displaystyle 0 \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} / n \ do 0}$

Długa dokładna sekwencja daje mapę

${\ Displaystyle H_ {Gal} ^ {1} (F, \ mathbb {Z} / n) \ xrightarrow {\ delta} H_ {Gal} ^ {2} (F, \ mathbb {Z})}$

Za niepowtarzalny charakter

${\ Displaystyle \ chi: {\ tekst {Gal}} (E / F) \ do \ mathbb {Z} / n}$

z , jest wyjątkowa winda ${\ displaystyle \ chi (\ sigma) = 1}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ chi}}: {\ tekst {Gal}} ({\ overline {F}} / F) \ do \ mathbb {Z} / n}$

i

${\ Displaystyle \ delta ({\ overline {\ chi}}) \ puchar (b) = [A (\ sigma, b)] \ w {\ tekst {Br}} (F)}$

zauważ, że klasa pochodzi z mapy twierdzenia Hilbertsa 90 . Zatem, skoro istnieje prymitywny korzeń jedności , istnieje również klasa ${\ displaystyle (b)}$${\ displaystyle \ chi _ {n, F} (b)}$${\ Displaystyle \ zeta \ in \ mu _ {n} \ podzbiór F}$

${\ Displaystyle \ delta ({\ overline {\ chi}}) \ cup (b) \ cup (\ zeta) \ in H_ {et} ^ {2} (F, \ mu _ {n} ^ {\ otimes 2 })}$

Okazuje się, że to właśnie ta klasa . Ze względu na twierdzenie o izomorfizmie reszt norm , jest izomorfizmem, a klasy -torów w są generowane przez algebry cykliczne . ${\ Displaystyle R_ {n, F} (\ {a, b \})}$${\ displaystyle R_ {n, F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ text {br}} (F) _ {n-tors}}$${\ Displaystyle [A (\ sigma, b)]}$

Twierdzenie Skolema-Noethera

Jednym z ważnych wyników struktury algebr Azumayi jest twierdzenie Skolema-Noether : biorąc pod uwagę lokalny pierścień przemienny i algebrę Azumayi , jedyne automorfizmy są wewnętrzne. Oznacza to, że poniższa mapa jest surjektywna: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R \ do A}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} A ^ {*} \ do {\ tekst {Aut}} (A) \\ a \ mapsto (x \ mapsto a ^ {- 1} xa) \ koniec {przypadków}}}$

gdzie jest grupa jednostek w To jest ważne, ponieważ bezpośrednio odnosi się do kohomologicznej klasyfikacji klas podobieństwa algebr Azumaya na schemacie. W szczególności oznacza to, że algebra Azumaya ma dla niektórych grupę struktur , a grupa kohomologiczna Čecha${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ Displaystyle A.}$${\ displaystyle {\ text {PGL}} _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ sprawdzić {H}} ^ {1} ((X) _ {et}, {\ tekst {PGL}} _ {n})}$

podaje klasyfikację kohomologiczną takich wiązek. Następnie można to powiązać z użyciem dokładnej sekwencji ${\ Displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, \ mathbb {G} _ {m.})}$

${\ Displaystyle 1 \ do \ mathbb {G} _ {m} \ do {\ tekst {GL}} _ {n} \ do {\ tekst {PGL}} _ {n} \ do 1}$

Okazuje się, że obraz jest podgrupą podgrupy skrętnej . ${\ displaystyle H ^ {1}}$${\ Displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, \ mathbb {G} _ {m.}) _ {tors}}$

Na schemacie

Azumaya Algebra na schemacie X o strukturze wiązce , w zależności od oryginalnej seminarium Grothendieck, to wiązka ze -algebras to Etale lokalnie izomorficzna matrycy Algebra wiązka; należy jednak dodać warunek, że każdy snop algebry macierzy ma rangę dodatnią. Ta definicja sprawia, że ​​algebra Azumayi staje się „skręconą formą” snopa . Milne, Etale cohomology rozpoczyna zamiast z definicji, że jest to snop z -algebras którego łodyga w każdym punkcie jest algebra Azumaya nad lokalnym ringu w znaczeniu podanym powyżej. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ Displaystyle M_ {n} ({\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x}}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

Dwie algebry Azumaya i są równoważne, jeśli istnieją lokalnie wolne snopy io skończonej dodatniej randze w każdym punkcie, tak że ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {2}}$

${\ Displaystyle A_ {1} \ otimes \ mathrm {koniec} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}} _ {1}) \ simeq A_ {2} \ otimes \ mathrm {End} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}} _ {2}),}$

gdzie jest snop endomorfizmu . Grupa Brauer z X (analogiem grupy Brauer pola) jest zestaw klas równoważności algebrach Azumaya. Operacja grupowa jest określona iloczynem tensorowym, a odwrotność - algebrą przeciwną. Należy zauważyć, że jest to odmienne od kohomologicznej grupy Brauera, która jest zdefiniowana jako . ${\ displaystyle \ mathrm {koniec} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ({\ mathcal {E}} _ {i})}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {i}}$${\ Displaystyle B (X)}$${\ Displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, \ mathbb {G} _ {m.})}$

Przykład ponad Spec (Z [1 / n])

Konstrukcję algebry kwaternionów nad ciałem można zglobalizować , biorąc pod uwagę nieprzemienną -algebrę ${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z} [1 / n])}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / n]}$

${\ Displaystyle A_ {a, b} = {\ Frac {\ mathbb {Z} [1 / n] \ langle i, j, k \ rangle} {i ^ {2} -a, j ^ {2} -b , ij-k, ji + k}}}$

wtedy, jako snop -algebr, ma strukturę algebry Azumaya. Powodem ograniczenia do otwartego zbioru afinicznego jest to, że algebra kwaternionów jest algebrą dzielenia na punktach i tylko wtedy, gdy symbol Hilberta${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a, b}}$${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z} [1 / n]) \ hookrightarrow {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle (p)}$

${\ Displaystyle (a, b) _ {p} = 1}$

co jest prawdą, ale ostatecznie wiele liczb pierwszych.

Przykład nad P ⁿ

Ponad algebry Azumaya mogą być skonstruowane jako na algebrze Azumaya nad polem . Na przykład snop endomorfizmu jest snopem macierzy ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {koniec}} _ {k} ({\ mathcal {E}}) \ otimes _ {k} A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle {\ mathcal {o}} (a) \ oplus {\ mathcal {o}} (b)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {koniec}} _ {k} ({\ mathcal {O}} (a) \ oplus {\ mathcal {O}} (b)) = {\ początek {pmatrix} {\ mathcal {O }} & {\ mathcal {O}} (ba) \\ {\ mathcal {O}} (ab) & {\ mathcal {O}} \ end {pmatrix}}}$

tak algebrą Azumaya się może być wykonany z tej wiązce tensored z Algebra Azumaya powyżej , takiego jak Algebra kwaternionów. ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Aplikacje

Odnotowano znaczące zastosowania algebr Azumaya w geometrii diofantycznej , po pracy Jurija Manina . Manin przeszkoda w zasadzie Hasse określa się za pomocą grupy Brauer systemów.

Zobacz też

• Gerbe
• Klasowa teoria pola
• Algebraiczna teoria K.
• Kohomologia motywacyjna
• Twierdzenie o izomorfizmie reszt normowych

Bibliografia

Grupa Brauera i algebry Azumaya

• Milne, John. Etale cohomology . Ch IV
• Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974), Théorie de la descente et algèbres d'Azumaya , Lecture Notes in Mathematics, 389 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0057799 , MR   0417149 , Zbl   0284.13002
• Mathoverflow Wątek na temat „ Jawne przykłady algebr Azumaya ”

Algebry działowe

• Knus, Max-Albert (1991), Kwadratowe i hermitowskie formy nad pierścieniami , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294 , Berlin itp .: Springer-Verlag , ISBN   3-540-52117-8 , Zbl   0756.11008
• Saltman, David J. (1999). Wykład z algebr dzielenia . Seria konferencji regionalnych z matematyki. 94 . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN   0-8218-0979-2 . Zbl   0934.16013 .