Złożony kolektor - Complex manifold

Mapy holomorficzne

W różnicowego geometrii i złożonych geometrii , A kompleks kolektor jest kolektor z AN atlasu z wykresów do płyty urządzenia otwarta w taki sposób, że te mapy przejścioweholomorficzny .

Termin rozmaitość złożona jest różnie używany w znaczeniu rozmaitości zespolonej w powyższym znaczeniu (którą można określić jako rozmaitość złożoną całkowalną ) i rozmaitości prawie złożonej .

Implikacje złożonej struktury

Ponieważ funkcje holomorficzne są znacznie bardziej sztywne niż funkcje gładkie , teorie rozmaitości gładkich i zespolonych mają bardzo różne odmiany : zwarte rozmaitości zespolone są znacznie bliższe rozmaitościom algebraicznym niż rozmaitościom różniczkowalnym.

Na przykład, twierdzenie Whitneya o osadzeniu mówi nam, że każda gładka rozmaitość n- wymiarowa może być osadzona jako gładka podrozmaitość R 2 n , podczas gdy „rzadko” jest, aby złożona rozmaitość miała zanurzenie holomorficzne w C n . Rozważmy na przykład dowolną zwartą spójną rozmaitość zespoloną M : dowolna funkcja holomorficzna na niej jest stała według twierdzenia Liouville'a . Teraz, gdybyśmy mieli holomorficzne osadzenie M w C n , wtedy funkcje współrzędnych C n ograniczyłyby się do niestałych holomorficznych funkcji na M , co przeczy zwartości, z wyjątkiem przypadku, gdy M jest tylko punktem. Złożone rozmaitości, które mogą być osadzone w C n, nazywane są rozmaitościami Steina i tworzą bardzo specjalną klasę rozmaitości, w tym na przykład gładkie złożone rozmaitości algebraiczne afiniczne.

Klasyfikacja rozmaitości zespolonych jest znacznie bardziej subtelna niż rozmaitości różniczkowalnych. Na przykład, podczas gdy w wymiarach innych niż cztery dana rozmaitość topologiczna ma co najwyżej skończenie wiele gładkich struktur , to rozmaitość topologiczna wspierająca strukturę złożoną może i często obsługuje niezliczoną liczbę złożonych struktur. Ważnym przykładem tego zjawiska są powierzchnie Riemanna , dwuwymiarowe rozmaitości wyposażone w złożoną strukturę, które są topologicznie sklasyfikowane przez rodzaj . Zbiór złożonych struktur na danej orientowalnej powierzchni, równoważność modulo biholomorficzna, sam tworzy złożoną rozmaitość algebraiczną zwaną przestrzenią moduli , której struktura pozostaje obszarem aktywnych badań.

Ponieważ mapy przejść między wykresami są biholomorficzne, złożone rozmaitości są w szczególności gładkie i zorientowane kanonicznie (nie tylko orientowalne : mapa biholomorficzna do (podzbioru) C n daje orientację, ponieważ mapy biholomorficzne zachowują orientację).

Przykłady złożonych rozmaitości

Gładkie złożone rozmaitości algebraiczne

Gładkie złożone rozmaitości algebraiczne to złożone rozmaitości, w tym:

Podobnie, ich analogi czwartorzędowe są również złożonymi rozmaitościami.

Po prostu podłączony

Gdy tylko podłączony 1-wymiarowe złożone kolektory są izomorficzne albo:

  • Δ, płyta jednostki w C
  • C , płaszczyzna zespolona
  • Ĉ , sfera Riemanna

Zauważ, że są między nimi inkluzje jako Δ ⊆ CĈ , ale nie ma niestałych odwzorowań w przeciwnym kierunku, zgodnie z twierdzeniem Liouville'a .

Dysk vs. przestrzeń vs. polidysk

Następujące przestrzenie różnią się jako rozmaitości zespolone, wykazując bardziej sztywny charakter geometryczny rozmaitości zespolonych (w porównaniu z rozmaitościami gładkimi):

  • złożona przestrzeń .
  • dysk jednostki lub otwarta kula

Prawie skomplikowane konstrukcje

Prawie złożona struktura na rzeczywistym 2n kolektora GL ( n , C ) -structure (w sensie G struktur ) - to znaczy, że wiązka styczna jest wyposażone w liniowy złożonej strukturze .

Konkretnie, jest to endomorfizm z wiązki stycznej której kwadrat - I ; ten endomorfizm jest analogiczny do mnożenia przez liczbę urojoną i i jest oznaczony J (aby uniknąć pomyłki z macierzą tożsamości I ). Niemal złożona rozmaitość jest z konieczności równowymiarowa.

Prawie złożona struktura jest słabsza niż złożona struktura: każda złożona rozmaitość ma prawie złożoną strukturę, ale nie każda prawie złożona struktura pochodzi ze złożonej struktury. Zauważ, że każdy parzystowymiarowy rzeczywisty rozmaitość ma prawie złożoną strukturę, zdefiniowaną lokalnie na podstawie lokalnego wykresu współrzędnych. Pytanie brzmi, czy tę złożoną strukturę można zdefiniować globalnie. Niemal złożona struktura, która pochodzi ze złożonej struktury, nazywa się integrowalną , a gdy ktoś chce określić złożoną strukturę w przeciwieństwie do prawie złożonej struktury, mówi się całkowalną strukturę złożoną. W przypadku całkowalnych struktur złożonych znika tzw. tensor Nijenhuisa . Tensor ten jest zdefiniowany na parach pól wektorowych, X , Y przez

Na przykład, 6-wymiarowej kuli S 6 ma naturalną prawie złożoną budowę wynikającą z faktu, że jest prostopadły dopełniacza z I w sferze jednostkowej octonions , ale nie jest to złożona struktura. (Pytanie, czy ma złożoną strukturę, jest znane jako problem Hopfa, za Heinzem Hopfem .) Używając prawie złożonej struktury, możemy zrozumieć mapy holomorficzne i zapytać o istnienie współrzędnych holomorficznych na rozmaitości. Istnienie współrzędnych holomorficznych jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że rozmaitość jest złożona (co mówi definicja wykresu).

Tensując wiązkę styczną z liczbami zespolonymi otrzymujemy zespoloną wiązkę styczną, na której mnożenie przez liczby zespolone ma sens (nawet jeśli zaczęliśmy od rzeczywistej rozmaitości). Wartości własne prawie złożonej struktury wynoszą ± i, a przestrzenie własne tworzą podwiązki oznaczone jako T 0,1 M i T 1,0 M . W Newlander-Nirenberg twierdzenie pokazuje, że prawie złożona struktura jest rzeczywiście skomplikowana struktura dokładnie kiedy te subbundles są involutive , czyli zamknięte pod wspornikiem Lie pól wektorowych i tak prawie złożona struktura nazywana jest całkowalna .

Rozmaitości Kählera i Calabiego–Yau

Można zdefiniować analogię metryki riemannowskiej dla rozmaitości zespolonych, zwaną metryką hermitowską . Podobnie jak metryka Riemanna, metryka hermitowska składa się z płynnie zmieniającego się dodatnio określonego iloczynu wewnętrznego na wiązce stycznej, który jest hermitowski w odniesieniu do złożonej struktury na przestrzeni stycznej w każdym punkcie. Podobnie jak w przypadku Riemanna, takie metryki zawsze istnieją w obfitości w każdej złożonej rozmaitości. Jeśli skośno-symetryczna część takiej metryki jest symplektyczna , czyli zamknięta i niezdegenerowana, wówczas metryka nazywa się Kähler . Konstrukcje Kählera są znacznie trudniejsze do zdobycia i są znacznie sztywniejsze.

Przykłady rozmaitości Kählera obejmują gładkie rozmaitości rzutowe i bardziej ogólnie dowolne złożone podrozmaitości rozmaitości Kählera. Te kolektory Hopf przykłady złożonych rur rozgałęźnych, które nie są KäHLER. Aby je skonstruować, weź złożoną przestrzeń wektorów minus początek i rozważ działanie grupy liczb całkowitych na tej przestrzeni przez pomnożenie przez exp( n ). Iloraz jest rozmaitością zespoloną, której pierwsza liczba Bettiego jest jeden, więc według teorii Hodge'a nie może to być Kähler.

Calabiego-Yau kolektora może być zdefiniowana jako zwarty Ricci płaskim Kähler kolektora lub równoważnie jeden którego pierwszy Cherna klasy znika.

Zobacz też

Przypisy

  1. ^ Należy użyć dysku otwartej jednostkijako przestrzeni modelu zamiast tego,ponieważ nie są one izomorficzne, w przeciwieństwie do rzeczywistych rozmaitości.
  2. ^ Oznacza to, że wszystkie złożone przestrzenie rzutowe są orientowalne , w przeciwieństwie do przypadku rzeczywistego
  3. ^ Agrykola, Ilka ; Bazzoniego, Giovanniego; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sonke (2018). „O historii problemu Hopfa”. Geometria różniczkowa i jej zastosowania . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014 . S2CID  119297359 .

Bibliografia