Funkcja eliptyczna - Elliptic function

W matematycznej dziedzinie analizy zespolonej funkcje eliptyczne są szczególnym rodzajem funkcji meromorficznych , które spełniają dwa warunki okresowości. Nazywa się je funkcjami eliptycznymi, ponieważ pochodzą od całek eliptycznych . Pierwotnie całki te występowały przy obliczaniu długości łuku elipsy .

Ważne funkcje eliptyczne są Jacobi eliptyczne funkcje i Weierstrassa -function${\displaystyle \wp}$ .

Dalszy rozwój tej teorii doprowadził do powstania funkcji hipereliptycznych i form modularnych .

Definicja

Funkcja meromorficzna nazywana jest funkcją eliptyczną, jeśli istnieją dwie - liniowe niezależne liczby zespolone takie, że ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ omega _ {2} \ w \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle f (z + \ omega _ {1}) = f (z)}$i .${\ Displaystyle f (z + \ omega _ {2}) = f (z), \ quad \ forall z \ w \ mathbb {C}}$

Tak więc funkcje eliptyczne mają dwa okresy i dlatego są również nazywane podwójnie okresowymi .

Krata okresu i domena podstawowa

Jeśli jest funkcją eliptyczną z kropkami, to również zawiera to ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ omega _ {2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma)=f(z)}$

dla każdej kombinacji liniowej z . ${\ Displaystyle \ gamma = m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle m, n \ w \ mathbb {Z}}$

Grupa abelowa

${\ Displaystyle \ Lambda : = \ langle \ omega _ {1} \ omega _ {2} \ rangle _ {\ mathbb {Z}}: = \ mathbb {Z} \ omega _ {1} + \ mathbb {Z } \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

nazywa się kratą okresu .

Równoległoboku generowane przez a${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\displaystyle \omega_{2}}$

${\ Displaystyle \ {\ mu \ omega _ {1} + \ nu \ omega _ {2} \ mid 0 \ równoważnik \ mu \ nu \ równoważnik 1 \}}$

nazywa się domeną podstawową.

Geometrycznie płaszczyzna złożona jest wyłożona równoległobokami. Wszystko, co dzieje się w sferze fundamentalnej, powtarza się we wszystkich innych. Z tego powodu możemy postrzegać funkcję eliptyczną jako funkcje, których domeną jest grupa ilorazowa . Tę grupę ilorazową można zobrazować jako równoległobok, w którym zidentyfikowane są przeciwległe boki, który topologicznie jest torusem . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Twierdzenia Liouville'a

Następujące trzy twierdzenia znane są jako twierdzenia Liouville'a (1847).

1. twierdzenie

Holomorficzna funkcja eliptyczna jest stała.

Jest to pierwotna forma twierdzenia Liouville'a i można z niej wyprowadzić. Holomorficzna funkcja eliptyczna jest ograniczona, ponieważ przyjmuje wszystkie swoje wartości w dziedzinie fundamentalnej, która jest zwarta. Więc jest stała według twierdzenia Liouville'a.

Drugie twierdzenie

Każda funkcja eliptyczna ma skończenie wiele biegunów, a suma jej reszt wynosi zero. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Twierdzenie to implikuje, że nie istnieje funkcja eliptyczna nie równa zeru z dokładnie jednym biegunem pierwszego rzędu lub dokładnie jednym zerem pierwszego rzędu w dziedzinie podstawowej.

trzecie twierdzenie

Niestała funkcja eliptyczna przyjmuje każdą wartość taką samą liczbę razy liczoną z wielokrotnością. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda}$

Weierstrassa -funkcja${\displaystyle \wp}$

Jedną z najważniejszych funkcji eliptycznych jest funkcja Weierstrassa . Dla danego okresu krata jest określona przez ${\displaystyle \wp}$${\ Displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle \ wp (z) = {\ Frac {1} {z ^ {2}}} + \ suma _ {\ Lambda \ w \ Lambda \ setminus \ {0 \}} \ lewo ({\ Frac {1 }{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Jest skonstruowany w taki sposób, że w każdym punkcie sieci ma biegun drugiego rzędu. Termin ma na celu zbieżność serii. ${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {\ lambda ^ {2}}}}$

${\displaystyle \wp}$jest parzystą funkcją eliptyczną, co oznacza . ${\ Displaystyle \ wp (-z) = \ wp (z)}$

Jego pochodna

${\ Displaystyle \ wp '(z) = -2 \ suma _ {\ lambda \ w \ lambda} {\ Frac {1} {(z-\ lambda) ^ {3}}}}$

jest funkcją nieparzystą, tj. ${\ Displaystyle \ wp '(-z) = - \ wp '(z).}$

Jeden z głównych wyników teorii funkcji eliptycznych jest następujący: Każdą funkcję eliptyczną w odniesieniu do danej sieci okresu można wyrazić jako funkcję wymierną w postaci i . ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\displaystyle \wp}$${\ Displaystyle \ wp '}$

Funkcja - spełnia równanie różniczkowe${\displaystyle \wp}$

${\ Displaystyle \ wp '^ {2} (z) = 4 \ wp (z) ^ {3}-g_ {2} \ wp (z) - g_ {3}.}$

${\displaystyle g_{2}}$i są stałymi, które zależą od . Dokładniej i , gdzie i są tak zwane serie Eisensteina . ${\displaystyle g_{3}}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle g_ {2} (\ omega _ {1} \ omega _ {2}) = 60 G_ {4} (\ omega _ {1} \ omega _ {2})}$${\ Displaystyle g_ {3} (\ omega _ {1} \ omega _ {2}) = 140 G_ {6} (\ omega _ {1} \ omega _ {2})}$${\displaystyle G_{4}}$${\ Displaystyle G_ {6}}$

W języku algebraicznym: pole funkcji eliptycznych jest izomorficzne z ciałem

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (X) [Y] / (Y ^ {2}-4X ^ {3} + g_ {2} X + g_ {3})}$,

gdzie izomorfizm mapuje do i do .${\displaystyle \wp}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ wp '}$${\ Displaystyle Y}$

• 

  Weierstrassa -funkcja z kratą okresu${\displaystyle \wp}$${\ Displaystyle \ Lambda = \ mathbb {Z} + e ^ {2 \ pi i/6} \ mathbb {Z}}$

• 

  Pochodną -function ${\displaystyle \wp}$

Związek z całkami eliptycznymi

Związek z całkami eliptycznymi ma głównie podłoże historyczne. Całki eliptyczne były badane przez Legendre'a , którego prace przejęli Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jacobi .

Abel odkrył funkcje eliptyczne, biorąc odwrotną funkcję całki eliptycznej ${\displaystyle \varphi}$

${\ Displaystyle \ alfa (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {dt} {\ sqrt {(1-c ^ {2} t ^ {2}) (1 + e ^ {2}) }t^{2})}}}}$

z . ${\displaystyle x=\varphi (\alfa )}$

Dodatkowo zdefiniował funkcje

${\ Displaystyle f (\ alfa ) = {\ sqrt {1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} (\ alfa)}}}$

oraz

${\ Displaystyle F (\ alfa) = {\ sqrt {1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} (\ alfa)}}}$.

Po przejściu na płaszczyznę zespoloną okazały się one podwójnie okresowe i znane są jako funkcje eliptyczne Abela .

Funkcje eliptyczne Jacobiego otrzymuje się podobnie jak funkcje odwrotne całek eliptycznych.

Jacobi rozważał funkcję całkową

${\ Displaystyle \ xi (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {dt} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2}) })}}}}$

i odwrócił to: . oznacza sinus amplitudinis i jest nazwą nowej funkcji. Następnie wprowadził funkcje cosinus amplitudinis i delta amplitudinis , które definiuje się następująco: ${\displaystyle x=\operator {sn} (\xi)}$${\displaystyle \operatorname {sn}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cn} (\ xi): = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {dn} (\ XI): = {\ sqrt {1-k ^ {2} x ^ {2}}}}$.

Tylko wykonując ten krok, Jacobi mógł udowodnić swoją ogólną formułę transformacji całek eliptycznych w 1827 roku.

Historia

Niedługo po opracowaniu rachunku nieskończenie małych, włoski matematyk Giulio di Fagnano i szwajcarski matematyk Leonhard Euler zapoczątkowali teorię funkcji eliptycznych . Gdy próbowali obliczyć długość łuku lemniskatu, napotkali problemy z całkami zawierającymi pierwiastek kwadratowy z wielomianów stopnia 3 i 4. Było jasne, że tak zwane całki eliptyczne nie mogą być rozwiązane za pomocą funkcji elementarnych. Fagnano zaobserwował związek algebraiczny między całkami eliptycznymi, co opublikował w 1750 roku. Euler natychmiast uogólnił wyniki Fagnano i przedstawił swoje twierdzenie o dodawaniu algebraicznym dla całek eliptycznych.

Z wyjątkiem komentarza Landena jego pomysły nie były realizowane aż do 1786 roku, kiedy Legendre opublikował swój artykuł Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . Legendre następnie zbadał całki eliptyczne i nazwał je funkcjami eliptycznymi . Legendre wprowadził potrójną klasyfikację – trzy rodzaje – co było istotnym uproszczeniem dość skomplikowanej teorii w tamtych czasach. Inne ważne dzieła Legendre'a to: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792), Exercices de calcul intégral (1811-1817), Traité des fonctions elliptiques (1825-1832). Dzieło Legendre'a pozostało w większości nietknięte przez matematyków do 1826 roku.

Następnie Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jacobi wznowili badania i szybko odkryli nowe wyniki. Najpierw odwrócili funkcję całki eliptycznej. Zgodnie z sugestią Jacobiego z 1829 roku te funkcje odwrotne są obecnie nazywane funkcjami eliptycznymi . Jednym z najważniejszych dzieł Jacobiego jest Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, które ukazało się w 1829 roku. Twierdzenie o addycji, które odnalazł Euler, zostało postawione i udowodnione w jego ogólnej formie przez Abla w 1829 roku. Zauważmy, że w tamtych czasach teoria funkcji eliptycznych i teoria podwójnie Funkcje okresowe uważano za różne teorie. Zostały one połączone przez Briouta i Bouqueta w 1856 roku. Gauss odkrył wiele właściwości funkcji eliptycznych 30 lat wcześniej, ale nigdy nie opublikował niczego na ten temat.

Zobacz też

• Całka eliptyczna
• Grupa modułowa
• Funkcja teta Ramanujan

Bibliografia

Literatura

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 16” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria matematyki stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginalnego druku z poprawkami (grudzień 1972); wyd. pierwsze). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Krajowe Biuro Standardów; Publikacje Dovera. s. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 . Zobacz także rozdział 18 . (uwzględnia tylko przypadek rzeczywistych niezmienników).
• NI Akhiezer , Elements of the Theory of Elliptic Functions , (1970) Moskwa, przetłumaczone na angielski jako AMS Translations of Mathematical Monographs Tom 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN  0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Funkcje modułowe i seria Dirichleta w teorii liczb , Springer-Verlag, New York, 1976. ISBN  0-387-97127-0 (patrz rozdział 1.)
• ET Whittaker i GN Watson . Kurs współczesnej analizy , Cambridge University Press, 1952

Zewnętrzne linki

• „Funkcja eliptyczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Tłumaczenie pracy Abla na temat funkcji eliptycznych.
• Funkcje eliptyczne i całki eliptyczne na YouTube , wykład Williama A. Schwalma (4 godz.)
• Johansson, Fredrik (2018). „Numeryczna ocena funkcji eliptycznych, całki eliptyczne i formy modułowe”. arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].