Równania definiujące odmian Abelowych - Equations defining abelian varieties

W matematyce pojęcie Abelowych odmiany jest wyższy-wymiarowych uogólnienie krzywej eliptycznej . Te równania określające odmian Abelowych są tematem badań, ponieważ każda odmiana abelowa jest rzutowe różnorodność . W wymiarze d ≥ 2, jednak nie jest już tak proste do omówienia takich równań.

Istnieje duża klasyczna literatura na ten temat, które w przeformułowania jest na skomplikowanej geometrii algebraicznej , pytanie opisania relacji między theta funkcji . Nowoczesny zabieg geometryczny odnosi się do kilku podstawowych papierach David Mumford , od 1966 do 1967 roku, który zmienił tę teorię w zakresie od abstrakcyjnej geometrii algebraicznej ważnego na ogólnych dziedzinach .

Kompletny skrzyżowań

Jedynymi „proste” przypadki są te, dla d = 1, na krzywej eliptycznej rozstawie liniowym rzutowa samolotu lub rzutowa przestrzeni 3-wymiarowej. W samolocie, każda krzywa eliptyczna jest przez sześciennych krzywej. W P 3 , eliptyczna krzywa może być otrzymany jako przecięcie dwóch kwadryk .

W ogólnych odmian abelian nie są kompletne skrzyżowań . Algebra komputerowa techniki są teraz w stanie mieć pewien wpływ na bezpośrednią obsługę równań dla małych wartości d > 1.

powierzchnie Kummer

Zainteresowanie XIX geometrii wieku, w powierzchni Kummer był częściowo od sposobu, w jaki Quartic powierzchni reprezentowane iloraz z Abelowych odmianą , d = 2, grupa o uporządkowaniu 2 automorfizmy generowanych przez x → - x o różnych Abelowych.

przypadek ogólny

Mumford zdefiniowano grupę theta związanego do odwracania sygnału snopa L na Abelowych odmiany A . Jest to grupa samodzielnych automorfizmy z L i jest ograniczony analog grupy Heisenberga . Pierwotne wyniki są na działaniu w grupie theta na światowych odcinkach o L . Gdy L jest bardzo duży The przedstawienie liniowego można opisać za pomocą konstrukcji grupy theta. W rzeczywistości grupa theta jest abstrakcyjnie prosty typ Grupa Nilpotentna , wykorzystując centralny rozszerzenie grupy punktów skrętnych na A , a rozszerzenie jest znana (jest to w efekcie udzielonego przez parowanie Weil ). Jest wyjątkowość wynik dla reprezentacji nieprzywiedlnych liniowych grupy theta z danego głównego bohatera , czyli innymi słowy analogu do twierdzenia kamienny von Neumanna . (Przyjmuje się na to, że charakterystyka zakresie współczynników nie dzieli uporządkowanie grupy theta).

Mumford pokazał jak to abstrakcyjne sformułowanie algebraiczne może wyjaśnić klasycznej teorii funkcji theta z theta cech , jako przypadek, gdy grupa theta był przedłużeniem dwóch skręcenia A .

Innowacją w tej dziedzinie jest użycie transformaty Fouriera Mukai .

Pierścień współrzędnych

Celem tej teorii jest wykazanie wyników na jednorodne pierścieniem współrzędnych osadzonego abelowa odmiany A , czyli mieści się w przestrzeni rzutowej zgodnie z bardzo duży L i sekcji globalnych. Stopniowane pierścień przemienny , który powstaje w wyniku bezpośredniego suma globalnych części danej fazy

co oznacza, że n -krotnie produkt tensorowy o siebie, jest przedstawiony jako pierścień iloraz z wielomianu Algebra przez jednorodnej idealnego I . Nachylone części I były przedmiotem intensywnych badań.

Stosunki kwadratowe zostały dostarczone przez Bernharda Riemanna . Twierdzenie Koizumi stwierdza trzecia siła rozległym wiązki liniowej jest zwykle generowane . Twierdzenie Mumford-Kempf stwierdza, że czwarta władza rozległym wiązki liniowej jest kwadratowo zaprezentowane. Jako zasadę zakresie charakterystyki zero Giuseppe Pareschi wynik okazał się w tym te (w postaci przypadkach p = 0, 1), którą Przypuszcza przez Lazarsfelda niech L być wystarczająca linii wiązki na Abelowych odmiany A . Jeśli n ≥ P + 3, a następnie n -tego moc tensor L spełnia warunek N p . Dalsze wyniki zostały udowodnione przez Pareschi i Popa, w tym poprzednich prac w tej dziedzinie.

Zobacz też

Referencje

  • David Mumford , W równaniach określających Abelowych odmian I wymyślać. Math., 1 (1966), str. 287-354
  • ____, W równaniach określających Abelowych odmian II-III Invent. . Math, 3 (1967), strony 71-135.; 215-244
  • ____, abelowe odmiany (1974)
  • Cze-ichi Igusa , funkcje theta (1972)

Dalsza lektura

  • David Mumford , Wybrane dokumenty dotyczące klasyfikacji odmian i przestrzeni moduły , komentarzu redakcyjnym G. Kempf i H. Lange, ss. 293-5