Pole funkcyjne rozmaitości algebraicznej - Function field of an algebraic variety

W geometrii algebraicznej The field funkcja o algebraicznych odmiany V składa się z obiektów, które są interpretowane jako funkcji wymiernych na V . W klasycznej geometrii algebraicznej są to stosunki wielomianów ; w złożonej geometrii algebraicznej są to funkcje meromorficzne i ich analogi o wyższych wymiarach; we współczesnej geometrii algebraicznej są one elementami ciała ułamków pewnego pierścienia ilorazowego .

Definicja rozmaitości złożonych

W złożonej geometrii algebraicznej przedmiotem badań są złożone rozmaitości analityczne , dla których mamy lokalne pojęcie analizy zespolonej , za pomocą którego możemy zdefiniować funkcje meromorficzne. Pole funkcyjne odmiany jest więc zbiorem wszystkich funkcji meromorficznych odmiany. (Podobnie jak wszystkie funkcje meromorficzne, te przyjmują swoje wartości w .) Razem z operacjami dodawania i mnożenia funkcji jest to pole w sensie algebry. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ filiżanka \ infty}$

Dla sfery Riemanna , która jest rozmaitością po liczbach zespolonych, globalne funkcje meromorficzne są dokładnie funkcjami wymiernymi (to znaczy stosunkami złożonych funkcji wielomianowych). ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Konstrukcje w geometrii algebraicznej

W klasycznej geometrii algebraicznej uogólniamy drugi punkt widzenia. Dla sfery Riemanna, powyżej, pojęcie wielomianu nie jest zdefiniowane globalnie, ale po prostu w odniesieniu do afinicznego wykresu współrzędnych, to znaczy składającego się z płaszczyzny zespolonej (wszystko oprócz bieguna północnego sfery). Na ogólnym odmiany V , to znaczy, że funkcja wymierna w otwartym afinicznej podzbiór U definiuje się jako stosunek dwu wielomianów w afinicznej współrzędnych pierścień z U i że funkcja wymierna na wszystkich V składa się z takich lokalnych danych, zgodni na skrzyżowaniach otwartych afinów. Możemy zdefiniować pole funkcji V jako pole frakcji afinicznego pierścienia współrzędnych dowolnego otwartego podzbioru afinicznego, ponieważ wszystkie takie podzbiory są gęste.

Uogólnienie na dowolny schemat

W najbardziej ogólnym ujęciu , jakim jest współczesna teoria schematów , przyjmujemy ten ostatni punkt widzenia jako punkt wyjścia. Mianowicie, jeśli jest integralny system , a następnie dla każdej otwartej afinicznej podzbioru z pierścieniem sekcji na to integralną domeny, a tym samym ma pola o frakcjach. Ponadto, może być sprawdzane, czy są one takie same, i są równa lokalnej pierścienia z punktu rodzajowego o . Zatem pole funkcyjne o jest tylko lokalnym pierścieniem jego punktu generycznego. Ten punkt widzenia jest dalej rozwijany w dziedzinie funkcji (teoria schematów) . Zobacz Robin Hartshorne  ( 1977 ). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Geometria pola funkcyjnego

Jeżeli V jest odmianą zdefiniowaną nad ciałem K , to pole funkcyjne K ( V ) jest skończenie generowanym rozszerzeniem pola podłoża K ; jej stopień transcendencji jest równy wymiarowi odmiany. Wszystkie rozszerzenia K, które są skończenie generowane jako ciała nad K, powstają w ten sposób z pewnej rozmaitości algebraicznej. Te rozszerzenia pól są również znane jako pola funkcji algebraicznych nad K .

W geometrii biracjonalnej badane są właściwości odmiany V, które zależą tylko od pola funkcji .

Przykłady

Pole funkcyjne punktu nad K to K .

Pole funkcyjne linii afinicznej nad K jest izomorficzne z polem K ( t ) funkcji wymiernych w jednej zmiennej. Jest to również pole funkcyjne linii rzutowej .

Rozważmy krzywą płaszczyzny afinicznej określoną równaniem . Jego pole funkcyjne to pole K ( x , y ), generowane przez elementy x i y, które są transcendentalne względem K i spełniają relację algebraiczną . ${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} + 1}$${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} + 1}$

Zobacz też

• Pole funkcyjne (teoria schematów) : uogólnienie
• Pole funkcji algebraicznej
• Dzielnik Cartiera

Bibliografia

• David M. Goldschmidt (2002). Funkcje algebraiczne i krzywe rzutowe . Teksty magisterskie z matematyki . 215 . Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-95432-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052, sekcja II.3 Pierwsze właściwości schematów ćwiczenie 3.6