Arytmetyka odmian abelowych - Arithmetic of abelian varieties
W matematyce , arytmetyka odmian abelian jest studium teorii liczb wystąpienia Abelowych odmiany lub odmian rodziny abelian. Wraca do badań Pierre'a de Fermata nad tym, co obecnie uznaje się za krzywe eliptyczne ; i stał się bardzo istotną dziedziną geometrii arytmetycznej zarówno pod względem wyników, jak i przypuszczeń. Większość z nich może być postawiona dla odmiany abelowej A nad polem liczbowym K ; lub bardziej ogólnie (dla pól globalnych lub bardziej ogólnych skończenie generowanych pierścieni lub pól).
Punkty całkowite na odmianach abelowych
Istnieje tu pewne napięcie między pojęciami: punkt całkowity należy w pewnym sensie do geometrii afinicznej , podczas gdy różnorodność abelowa jest nieodłącznie zdefiniowana w geometrii rzutowej . Podstawowe wyniki, takie jak twierdzenie Siegela o punktach całkowych , pochodzą z teorii aproksymacji diofantycznej .
Punkty wymierne na odmianach abelowych
Podstawowy wynik, twierdzenie Mordella-Weila w geometrii diofantycznej , mówi, że A ( K ), grupa punktów na A nad K , jest skończenie generowaną grupą abelową . Znana jest duża ilość informacji o możliwych podgrupach skręcania , przynajmniej gdy A jest krzywą eliptyczną. Uważa się, że kwestia rangi jest związana z funkcjami L (patrz niżej).
Torsor teorii tutaj prowadzi do grupy Selmer i grupy Tate-Shafarevich , drugi (conjecturally skończonych) za trudne do badania.
Wysokości
Teoria wysokości odgrywa znaczącą rolę w arytmetyce odmian abelowych. Na przykład kanoniczna wysokość Nerona-Tate jest formą kwadratową o niezwykłych właściwościach, które pojawiają się w stwierdzeniu hipotezy Bircha i Swinnertona-Dyera .
Mod redukcji p
Redukcja Abelowych odmiany A modulo jest ideałem pierwszym z liczb całkowitych (OF) K - powiedzmy, liczba pierwsza p - aby uzyskać Abelowych odmiana A str nad skończonego , jest możliwe dla niemal wszystkich p . Wiadomo, że „złe” liczby pierwsze, dla których redukcja degeneruje się poprzez uzyskanie punktów osobliwych , ujawniają bardzo interesujące informacje. Jak to często bywa w teorii liczb, „złe” liczby pierwsze odgrywają w tej teorii dość aktywną rolę.
Tutaj nie zawsze da się uniknąć wyrafinowanej teorii (w efekcie) właściwego sprzężenia z redukcją mod p — modelu Nerona . W przypadku krzywej eliptycznej istnieje opisujący ją algorytm Johna Tate'a .
Funkcje L
Dla odmian abelowych, takich jak Ap , dostępna jest definicja lokalnej funkcji zeta . Aby otrzymać funkcję L dla samego A, bierze się odpowiedni iloczyn Eulera takich funkcji lokalnych; aby zrozumieć skończoną liczbę czynników dla „złych” liczb pierwszych, należy odwołać się do modułu Tate A, który jest (podwójny) grupy kohomologii etalnej H 1 (A) i działania na niej grupy Galois . W ten sposób otrzymuje się szanowaną definicję funkcji L Hassego-Weila dla A. Ogólnie jej własności, takie jak równanie funkcyjne , są nadal przypuszczenia – hipoteza Taniyamy-Shimury (która została udowodniona w 2001 r.) była tylko przypadkiem szczególnym, więc trudno się temu dziwić.
To właśnie w kategoriach tej funkcji L postawione jest przypuszczenie Bircha i Swinnertona-Dyera . Jest to tylko jeden szczególnie interesujący aspekt ogólnej teorii o wartościach L-funkcji L( s ) przy wartościach całkowitych s i jest na to wiele dowodów empirycznych.
Złożone mnożenie
Od czasów Carla Friedricha Gaussa (który znał przypadek funkcji lemniskatowej ) szczególna rola była znana z tych odmian abelowych z dodatkowymi automorfizmami, a ogólniej endomorfizmami. Jeśli chodzi o pierścień , istnieje definicja abelowej odmiany typu CM, która wyróżnia najbogatszą klasę. Są one wyjątkowe w swojej arytmetyce. Widać to w ich funkcjach L w dość korzystnych terminach – wymagana analiza harmoniczna jest w całości typu dualności Pontriagina , a nie wymaga bardziej ogólnych reprezentacji automorficznych . Odzwierciedla to dobre zrozumienie ich modułów Tate jako modułów Galois . To również sprawia, im trudniejsze do czynienia w odniesieniu do hipotetycznej geometrii algebraicznej ( Hodge przypuszczeń i Tate przypuszczenie ). W tych problemach sytuacja szczególna jest bardziej wymagająca niż generał.
W przypadku krzywych eliptycznych, Kronecker Jugendtraum był programem zaproponowanym przez Leopolda Kroneckera , aby użyć krzywych eliptycznych typu CM do tworzenia klasowej teorii pola wprost dla urojonych pól kwadratowych – w sposób, w jaki pierwiastki jedności pozwalają to zrobić dla krzywych eliptycznych. pole liczb wymiernych. To uogólnia, ale w pewnym sensie z utratą jawnej informacji (co jest typowe dla kilku złożonych zmiennych ).
przypuszczenie Manina-Mumforda
Hipoteza Manina-Mumforda Yuri Manina i Davida Mumforda , udowodniona przez Michela Raynauda , stwierdza, że krzywa C w swojej odmianie jakobijskiej J może zawierać tylko skończoną liczbę punktów, które są skończonego porządku ( punkt skręcania ) w J , chyba że C = J . Istnieją inne bardziej ogólne wersje, takie jak przypuszczenie Bogomołowa, które uogólnia stwierdzenie na punkty nieskręcające.