Pole lokalne - Local field

W matematyce , A pole K nazywa się obszar lokalny , czy jest pełna względem topologią przez dyskretną wyceny V i, jeżeli jego reszta pola K jest skończona. Równoważnie, pole lokalne jest lokalnie zwartym polem topologicznym w odniesieniu do topologii niedyskretnej . Mając takie pole, zdefiniowana na nim wycena może być jednego z dwóch typów, z których każdy odpowiada jednemu z dwóch podstawowych typów pól lokalnych: tym, w których wycena jest archimedesowa i tym, w których nie jest. W pierwszym przypadku pole lokalne nazywa się polem lokalnym Archimedesa , w drugim przypadku pole lokalne niearchimedesowe . Pola lokalne powstają naturalnie w teorii liczb jako uzupełnienia pól globalnych .

Podczas gdy ciała lokalne Archimedesa są dość dobrze znane w matematyce od co najmniej 250 lat, pierwsze przykłady niearchimedesowych ciał lokalnych, ciał liczb p-adycznych dla dodatnich liczb pierwszych p , zostały wprowadzone przez Kurta Hensela pod koniec 19 wiek.

Każde pole lokalne jest izomorficzne (jako pole topologiczne) do jednego z następujących:

• Pola lokalne Archimedesa ( charakterystyka zero): liczby rzeczywiste R , i liczby zespolone C .
• Non-Archimedesa lokalne pola charakterystycznym zera: skończone rozszerzenia o p numery -adic Q _p (gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą ).
• Non-Archimedesa lokalne pola charakterystycznym p (dla p dana liczba pierwsza): w zakresie formalnym Laurent serii F _q (( T )) nad skończonego F _q , gdzie q jest moc od p .

W szczególności, co ma znaczenie w teorii liczb, klasy ciał lokalnych ukazują się jako uzupełnienia ciał liczb algebraicznych w odniesieniu do ich wartościowania dyskretnego odpowiadającego jednemu z ich maksymalnych ideałów. Prace badawcze we współczesnej teorii liczb często rozważają bardziej ogólne pojęcie, wymagające jedynie, aby pole pozostałości było doskonałe o dodatniej charakterystyce, niekoniecznie skończone. W tym artykule zastosowano poprzednią definicję.

Indukowana wartość bezwzględna

Mając taką wartość bezwzględną na polu K , można zdefiniować następującą topologię na K : dla dodatniej liczby rzeczywistej m , zdefiniuj podzbiór B _m z K przez

${\ Displaystyle B_ {m}: = \ {a \ w K: | a | \ leq m \}.}$

Wtedy b+B _m tworzą bazę sąsiedztwa b w K .

I odwrotnie, pole topologiczne z niedyskretną, lokalnie zwartą topologią ma wartość bezwzględną definiującą jego topologię. Może ona być wykonana za pomocą środka Haar w dodatku grupę pola.

Podstawowe cechy niearchimedesowych pól lokalnych

Dla niearchimedesowego pola lokalnego F (o wartości bezwzględnej oznaczonej przez |·|) ważne są następujące obiekty:

• jego pierścień liczb całkowitych , która jest dyskretna wartość pierścień jest zamknięty zespół kulki z F , i jest zwarte ;${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {a \ w F: | a | \ leq 1 \}}$
• te jednostki w pierścieniu liczb całkowitych , która tworzy grupę i że jest kula urządzenie z F ;${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ razy} = \ {a \ w F: | a | = 1 \}}$
• unikalny niezerowy ideał liczby pierwszej w jego pierścieniu liczb całkowitych, który jest jego otwartą kulą jednostkową ;${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle \ {a \ w F: | a | <1 \}}$
• generator z nazywana uniformizer z ;${\displaystyle \varpi}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle F}$
• jego pole pozostałości, które jest skończone (ponieważ jest zwarte i dyskretne ).${\ Displaystyle k = {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}}}$

Każdy niezerowy element a z F można zapisać jako a = ϖ ⁿ u z u jednostką, a n unikalną liczbą całkowitą. Znormalizowana wartość od F jest suriekcją funkcja V  : K → Z ∪ {∞} zdefiniowano wysyłając niezerowych do wyjątkowego całkowitą N w taki sposób, = π ⁿ u o u jednostki, i wysyłając 0 do ∞. Jeżeli q jest licznością pola pozostałości, wartość bezwzględna F indukowana przez jego strukturę jako pole lokalne jest dana wzorem:

${\ Displaystyle | a | = q ^ {-v (a)}.}$

Równoważną i bardzo ważną definicją niearchimedesowego pola lokalnego jest to, że jest to pole, które jest kompletne pod względem wyceny dyskretnej i którego pole pozostałości jest skończone.

Przykłady

1. S numery -adic : pierścień liczb całkowitych Q _p jest pierścień P -adic całkowite Z _P . Jego ideałem pierwszym jest p Z _{p ,} a polem pozostałości jest Z / p Z . Każdy niezerowy element Q _p można zapisać u p ⁿ , gdzie U jest jednostka Z _p i n jest liczbą całkowitą, a V ( U s ⁿ ) = n dla znormalizowanego wyceny.
2. Formalny szereg Laurenta nad ciałem skończonym : pierścień liczb całkowitych F _q (( T )) jest pierścieniem formalnego szeregu potęgowego F _q [[ T ]]. Jego maksymalnym ideałem jest ( T ) (tj. szereg potęgowy, którego człon stały wynosi zero), a jego pole resztkowe to F _q . Jego znormalizowana wycena jest powiązana z (niższym) stopniem formalnego szeregu Laurenta w następujący sposób:

   ${\ Displaystyle V \ lewo (\ suma _ {i = - m} ^ {\ infty} a_ {i} T ^ {i} \ prawej) = - m}$(gdzie a _{− m} jest niezerowe).

3. Formalny szereg Laurenta po liczbach zespolonych nie jest ciałem lokalnym. Na przykład jego pole resztowe to C [[ T ]]/( T ) = C , które nie jest skończone.

Wyższe grupy jednostek

N ^p wyższym grupy jednostek nie-Archimedesa obszarze lokalnym F jest

${\ Displaystyle U ^ {(n)} = 1 + {\ mathfrak {m}} ^ {n} = \ lewo \ {u \ w {\ mathcal {O}} ^ {\ razy}: u \ równoważne 1 \ ,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}$

dla n  ≥ 1. Grupę U ⁽¹⁾ nazywamy grupą jednostek głównych , a każdy jej element nazywamy jednostką główną . Pełna grupa jednostek jest oznaczona U ⁽⁰⁾ . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ razy}}$

Wyższe grupy jednostek tworzą malejącą filtrację grupy jednostek

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ razy} \ supseteq U ^ {(1)} \ supseteq U ^ {(2)} \ supseteq \ cdots}$

których iloraz podano przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ razy} / U ^ {(n)} \ cong \ lewo ({\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}} ^ {n} \ prawej) ^{\times }{\text{ i }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\ok {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

dla n  ≥ 1. (Tutaj " " oznacza izomorfizm niekanoniczny.) ${\displaystyle \ok}$

Struktura grupy jednostek

Multiplikatywna grupa niezerowych elementów niearchimedesowego pola lokalnego F jest izomorficzna do

${\ Displaystyle F ^ {\ razy} \ cong (\ varpi) \ razy \ mu _ {q-1} \ razy U ^ {(1)}}$

gdzie q jest rzędem pola pozostałości, a μ _{q -1} jest grupą ( q -1) pierwiastków jedności (w F ). Jego struktura jako grupy abelowej zależy od jej cech charakterystycznych :

• Jeżeli F ma dodatnią charakterystykę p , to

${\ Displaystyle F ^ {\ razy} \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / {(q-1)} \ oplus \ mathbf {Z} _ {p} ^ {\ mathbf {N}} }$

gdzie N oznacza liczby naturalne ;

• Jeśli F ma charakterystykę zero (tzn. jest skończonym rozszerzeniem Q _p stopnia d ), to

${\ Displaystyle F ^ {\ razy} \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / (Q-1) \ oplus \ mathbf {Z} / p ^ {a} \ oplus \ mathbf {Z} _ {p}^{d}}$

gdzie a  ≥ 0 jest zdefiniowane tak, że grupa pierwiastków p- mocy jedności w F jest .${\ Displaystyle \ mu _ {p ^ {a}}}$

Teoria pól lokalnych

Teoria ta obejmuje badanie typów pól lokalnych, rozszerzenia pól lokalnych za pomocą lematu Hensela , rozszerzenia Galois pól lokalnych, filtracje grup rozgałęzień grup Galois pól lokalnych, zachowanie mapy norm na polach lokalnych, homomorfizm lokalnej wzajemności i twierdzenie o istnieniu w lokalnej teorii pola klas , lokalna korespondencja Langlandsa , teoria Hodge'a-Tate'a (zwana również p-adiczną teorią Hodge'a ), jawne wzory na symbol Hilberta w lokalnej teorii pola klas, patrz np.

Wysokowymiarowe pola lokalne

Pole lokalne jest czasami nazywane jednowymiarowym polem lokalnym .

Niearchimedesowe pole lokalne może być postrzegane jako pole ułamków uzupełnienia lokalnego pierścienia jednowymiarowego schematu arytmetycznego rzędu 1 w jego nieosobliwym punkcie.

Dla nieujemnej liczby całkowitej n , n- wymiarowe pole lokalne jest pełną dyskretną zmienną wartościującą, której pole reszty jest ( n − 1)-wymiarowym polem lokalnym. W zależności od definicji pola lokalnego, zerowymiarowe pole lokalne jest wtedy albo ciałem skończonym (z definicją użytą w tym artykule), albo ciałem idealnym o dodatniej charakterystyce.

Z geometrycznego punktu widzenia n- wymiarowe pola lokalne z ostatnim skończonym polem resztowym są naturalnie związane z pełną flagą podschematów n- wymiarowego schematu arytmetycznego.

Zobacz też

• Lemat Hensela
• Grupa rozgałęzienia
• Lokalna teoria pola klasy
• Wyższe pole lokalne

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Pole lokalne” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]