Inwolucja (matematyka) - Involution (mathematics)

Inwolucja to funkcja, która po dwukrotnym zastosowaniu przywraca punkt wyjścia.

W matematyce An zanik , funkcja involutory lub funkcji samo odwrócony jest funkcja F to jej własny odwrotny ,

f ( f ( x )) = x

dla X w domenie z F . Równoważnie, dwukrotne zastosowanie f daje pierwotną wartość.

Termin antyinwolucja odnosi się do inwolucji opartych na antyhomomorfizmach (patrz § Algebra Quaternion, grupy, półgrupy poniżej)

f ( xy ) = f ( y ) f ( x )

takie, że

xy = f ( f ( xy ))= f ( f ( y ) f ( x ))= f ( f ( x )) f ( f ( y ))= xy .

Ogólne właściwości

Każda inwolucja jest bijekcją .

Mapa tożsamość jest trywialna przykładem inwolucji. Typowe przykłady w matematyce nietrywialnych inwolucji obejmują mnożenie przez -1 w arytmetyce , przyjmowanie odwrotności , uzupełnianie w teorii mnogości i sprzężenie zespolone . Inne przykłady obejmują odwrócenie koła , obrót o pół obrotu i szyfry odwrotne, takie jak transformacja ROT13 i szyfr polialfabetyczny Beauforta .

Liczba inwolucji, w tym inwolucji tożsamości, na zbiorze zawierającym n = 0, 1, 2, ... elementów jest dana przez relację rekurencyjną znalezioną przez Heinricha Augusta Rothe'a w 1800 roku:

i dla

Kilka pierwszych wyrazów tej sekwencji to 1 , 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (sekwencja A000085 w OEIS ); Liczby te nazywają się numerami telefonicznymi i liczą również liczbę Young tableaux o określonej liczbie komórek. Kompozycja gf dwóch Inwolucja f i g jest zanik wtedy i tylko wtedy, gdy dojeżdża: gf = Fg .

Każda inwolucja na nieparzystej liczbie elementów ma przynajmniej jeden punkt stały . Bardziej ogólnie, dla inwolucji na skończonym zbiorze elementów, liczba elementów i liczba punktów stałych mają tę samą parzystość .

Inwolucja na polach matematyki

Wstępny rachunek różniczkowy

Podstawowymi przykładami inwolucji są funkcje:

, lub   , a także ich skład

To nie jedyne inwolucje sprzed rachunku różniczkowego. Kolejny w pozytywnych rzeczywistościach to:

Wykres o inwolucji (na liczbach rzeczywistych) jest linia symetryczne na linii . Wynika to z faktu, że odwrotnością dowolnej funkcji ogólnej będzie jej odbicie nad linią 45° . Można to zobaczyć, „zamieniając się” z . Jeśli w szczególności funkcja jest inwolucją , będzie ona służyć jako własne odbicie.

Inne elementarne inwolucje są przydatne w rozwiązywaniu równań funkcyjnych .

Geometria euklidesowa

Prostym przykładem inwolucji trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest odbicie przez płaszczyznę . Dwukrotne wykonanie odbicia przywraca punktowi jego pierwotne współrzędne.

Inną inwolucją jest refleksja poprzez pochodzenie ; nie odbicie w powyższym sensie, a więc wyraźny przykład.

Te przekształcenia są przykładami afinicznych inwolucji .

Geometria rzutowa

Inwolucja to projekcyjność okresu 2, czyli projekcyjność, która zamienia pary punktów.

  • Każda rzutowość, która przeplata dwa punkty, jest inwolucją.
  • Trzy pary przeciwległych boków pełnego czworokąta spotykają się z dowolną linią (nie przez wierzchołek) w trzech parach inwolucji. Twierdzenie to nazwano twierdzeniem Desarguesa o inwolucji. Jego początki widać w lematu IV z lematów do Porisms Euklidesa w tomie VII Collection of Pappusa Aleksandrii .
  • Jeśli inwolucja ma jeden punkt stały , to ma inny i składa się z zgodności sprzężeń harmonicznych w odniesieniu do tych dwóch punktów. W tym przypadku inwolucja jest określana jako „hiperboliczna”, natomiast jeśli nie ma stałych punktów, jest „eliptyczna”. W kontekście rzutów punkty stałe nazywane są punktami podwójnymi .

Innym rodzajem inwolucji występującym w geometrii rzutowej jest biegunowość będąca korelacją okresu 2.

Algebra liniowa

W algebrze liniowej inwolucja jest operatorem liniowym T na przestrzeni wektorowej, takim, że . Z wyjątkiem cechy 2, takie operatory są diagonalizowalne dla danej bazy tylko z jedynkami i -1s na przekątnej odpowiedniej macierzy. Jeśli operator jest ortogonalny ( inwolucja ortogonalna ), jest ortonormalnie diagonalizowalny.

Załóżmy na przykład, że wybrano bazę dla przestrzeni wektorowej V i że e 1 i e 2 są elementami bazowymi. Istnieje transformacja liniowa f, która wysyła e 1 do e 2 i wysyła e 2 do e 1 , i która jest identycznością na wszystkich innych wektorach bazowych. Można sprawdzić, że f ( f ( x )) = x dla wszystkich x w V . Oznacza to, że f jest inwolucją V .

Dla określonej podstawy każdy operator liniowy może być reprezentowany przez macierz T . Każda macierz posiada transpozycję , uzyskaną przez zamianę wierszy na kolumny. Ta transpozycja jest inwolucją na zbiorze macierzy.

Definicja inwolucji łatwo rozciąga się na moduły . Mając moduł M nad pierścieniem R , R endomorfizm f z M nazywamy inwolucją, jeśli f  2 jest homomorfizmem tożsamości na M .

Inwolucje są związane z idempotentami ; jeśli 2 jest odwracalne, to odpowiadają one w sposób jeden do jednego.

Algebra kwaternionów, grupy, półgrupy

W algebrze kwaternionów (anty-)inwolucja jest zdefiniowana przez następujące aksjomaty: jeśli weźmiemy pod uwagę transformację, to jest ona inwolucją, jeśli

  • (to jego odwrotność)
  • i (jest liniowy)

Antyinwolucja nie jest posłuszna ostatniemu aksjomatowi, ale zamiast tego

To dawne prawo jest czasami nazywane antydystrybucyjnym . Pojawia się również w grupach jako ( xy ) -1 = y -1 x -1 . Przyjęty jako aksjomat, prowadzi do pojęcia półgrupy z inwolucją , którego naturalne przykłady nie są grupami, np. mnożenie macierzy kwadratowej (czyli pełnego monoidu liniowego ) z transpozycją jako inwolucją.

Teoria pierścieni

W teorii pierścieni zwyczajowo przyjmuje się , że słowo inwolucja oznacza antyhomomorfizm, który jest jego własną funkcją odwrotną. Przykłady inwolucji w zwykłych pierścieniach:

Teoria grup

W teorii grup element grupy jest inwolucją, jeśli ma rząd 2; tj zanik jest elementem tak, że ≠ e i 2 = E , gdzie E jest element neutralny .

Pierwotnie definicja ta zgadzała się z pierwszą definicją powyżej, ponieważ członkowie grup zawsze byli bijektami z zestawu do siebie; tj. grupa została uznana za średnią grupę permutacyjną . Pod koniec XIX w. grupa została zdefiniowana szerzej, podobnie jak inwolucja .

Permutacji jest zanik precyzyjnie, czy może być zapisane jako produkt jednej lub więcej nie nakładających transpozycji .

Inwolucje grupy mają duży wpływ na strukturę grupy. Badanie inwolucji odegrało zasadniczą rolę w klasyfikacji skończonych grup prostych .

Element x grupy G nazywamy silnie rzeczywistym, jeśli istnieje inwolucja t z x t = x -1 (gdzie x t = t -1xt ).

Grupy Coxetera to grupy generowane przez inwolucje, których relacje wyznaczają tylko relacje podane dla par tworzących inwolucji. Grupy Coxetera mogą służyć między innymi do opisu możliwych wielościanów foremnych i ich uogólnień na wyższe wymiary .

Logika matematyczna

Działanie dopełnienia w algebrach Boole'a jest inwolucją. W związku z tym negacja w logice klasycznej spełnia prawo podwójnej negacji: ¬¬ A jest równoważne A .

Generalnie w logikach nieklasycznych negacja, która spełnia prawo podwójnej negacji, nazywana jest inwolutywną. W semantyce algebraicznej taka negacja jest realizowana jako inwolucja na algebrze wartości prawdziwościowych . Przykłady logiki, które mają involutive negacji są Kleene i Bochvar trójwartościowym logiki , Łukasiewicz wielu wartościach logicznych , logika rozmyta IMTL itp Involutive negacja czasami dodaje się jako dodatkowe łącznej, logiki z nie involutive negacji; jest to zwykle na przykład w t-normach logiki rozmytej .

Inwolucyjność negacji jest ważną właściwością charakteryzacyjną logiki i odpowiadających jej odmian algebr . Na przykład negacja ewolwentowa charakteryzuje algebry Boole'a wśród algebr Heytinga . Odpowiednio, klasyczna logika Boole'a powstaje przez dodanie prawa podwójnej negacji do logiki intuicjonistycznej . Ten sam związek zachodzi również między algebrami MV i BL-algebrami (a więc odpowiednio między logiką Łukasiewicza a logiką rozmytą BL ), IMTL i MTL oraz innymi parami ważnych odmian algebr (odpowiednimi logikami).

W badaniu relacji binarnych każda relacja ma relację odwrotną . Ponieważ odwrotność odwrotności jest relacją pierwotną, operacja konwersji jest inwolucją w kategorii relacji . Relacje binarne są uporządkowane przez inkluzję . Podczas gdy ta kolejność jest odwrócona wraz z inwolucją komplementacji , zostaje zachowana podczas konwersji.

Informatyka

Operacja bitowa XOR z podaną wartością jednego parametru jest inwolucją. Maski XOR były kiedyś używane do rysowania grafiki na obrazach w taki sposób, że dwukrotne ich narysowanie na tle przywraca tło do pierwotnego stanu. Operacja NOT bitowa jest również inwolucją i jest szczególnym przypadkiem operacji XOR, w której jeden parametr ma wszystkie bity ustawione na 1.

Innym przykładem jest maska ​​bitowa i funkcja przesunięcia działająca na wartościach kolorów przechowywanych jako liczby całkowite, powiedzmy w postaci RGB, która zamienia R i B, co daje w wyniku postać BGR. f(f(RGB))=RGB, f(f(BGR))=BGR.

RC4 szyfr kryptograficzna jest inwolucji, jak operacje szyfrowania i deszyfrowania wykorzystywać tę samą funkcję.

Praktycznie wszystkie mechaniczne maszyny szyfrujące implementują szyfr odwrotny , czyli inwolucję na każdej wpisanej literze. Zamiast projektować dwa rodzaje maszyn, jedną do szyfrowania, a drugą do odszyfrowywania, wszystkie maszyny mogą być identyczne i można je skonfigurować (z kluczami) w ten sam sposób.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura