Odległość euklidesowa - Euclidean distance

Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia dwuwymiarowej odległości euklidesowej

W matematyce , euklidesowa odległość między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej jest długość odcinka linii między dwoma punktami. Można ją obliczyć ze współrzędnych kartezjańskich punktów przy użyciu twierdzenia Pitagorasa , dlatego czasami nazywana jest odległością Pitagorasa . Nazwy te pochodzą od starożytnych greckich matematyków Euklidesa i Pitagorasa , chociaż Euklides nie przedstawiał odległości jako liczb, a związku z twierdzeniem Pitagorasa z obliczaniem odległości dokonano dopiero w XVIII wieku.

Odległość między dwoma obiektami, które nie są punktami, jest zwykle definiowana jako najmniejsza odległość między parami punktów od tych dwóch obiektów. Formuły są znane z obliczania odległości między różnymi typami obiektów, takich jak odległość od punktu do linii . W zaawansowanej matematyce pojęcie odległości zostało uogólnione na abstrakcyjne przestrzenie metryczne i badano odległości inne niż euklidesowe. W niektórych zastosowaniach w statystyce i optymalizacji kwadrat odległości euklidesowej jest używany zamiast samej odległości.

Wzory odległości

Jeden wymiar

Odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami na linii rzeczywistej jest wartością bezwzględną różnicy liczbowej ich współrzędnych. Zatem jeśli i są dwoma punktami na prostej rzeczywistej, to odległość między nimi jest dana wzorem: $p$ $q$

{\ Displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Bardziej skomplikowany wzór, dający tę samą wartość, ale łatwiej uogólniający się na wyższe wymiary, to:

{\ Displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(pq) ^ {2}}}.}

W tym wzorze, podniesienie do kwadratu, a następnie wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego pozostawia dowolną liczbę dodatnią bez zmian, ale zastępuje dowolną liczbę ujemną jej wartością bezwzględną.

Dwa wymiary

Na płaszczyźnie euklidesowej niech punkt ma współrzędne kartezjańskie i niech punkt ma współrzędne . Wtedy odległość między i jest wyrażona wzorem: $p$ $(p_{1},p_{2})$ $q$ $(q_{1},q_{2})$ $p$ $q$

{\ Displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(q_ {1}-p_ {1}) ^ {2} + (q_ {2}-p_ {2}) ^ {2}}}.}

Można to zobaczyć, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego o bokach poziomych i pionowych, gdzie odcinek od do jest przeciwprostokątną. Dwa wzory do kwadratu wewnątrz pierwiastka kwadratowego dają pola powierzchni kwadratów po bokach poziomych i pionowych, a zewnętrzny pierwiastek kwadratowy przekształca pole kwadratu na przeciwprostokątnej na długość przeciwprostokątnej.

p

q

Możliwe jest również obliczenie odległości dla punktów podanych przez współrzędne biegunowe . Jeżeli współrzędne biegunowe are i współrzędne biegunowe są , to ich odległość określa prawo cosinusów : $p$ $(r,\theta)$ $q$ $(s,\psi)$

{\ Displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {r ^ {2} + s ^ {2} -2rs \ cos (\ theta - \ psi)}}.}

Kiedy i są wyrażone liczbami zespolonymi w płaszczyźnie zespolonej , ten sam wzór punktów jednowymiarowych wyrażone jako rzeczywiste liczby mogą być stosowane: $p$ $q$

{\ Displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Wyższe wymiary

Wyprowadzenie -wymiarowego wzoru na odległość euklidesową przez wielokrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

{\ Displaystyle n}

W trzech wymiarach, dla punktów podanych przez ich współrzędne kartezjańskie, odległość wynosi

{\ Displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1}-q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2}-q_ {2}) ^ {2} + (p_ {3 }-q_{3})^{2}}}.}

Ogólnie rzecz biorąc, dla punktów podanych przez współrzędne kartezjańskie w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej odległość wynosi

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1}-q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2}-q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + ( p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}

Obiekty inne niż punkty

W przypadku par obiektów, które nie są dwoma punktami, odległość można najprościej zdefiniować jako najmniejszą odległość między dowolnymi dwoma punktami od dwóch obiektów, chociaż powszechnie stosuje się również bardziej skomplikowane uogólnienia z punktów do zbiorów, takie jak odległość Hausdorffa . Formuły obliczania odległości między różnymi typami obiektów obejmują:

Odległość punktu od prostej , w płaszczyźnie euklidesowej
Odległość od punktu do płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej
Odległość między dwiema liniami w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej

Nieruchomości

Odległość euklidesowa jest prototypowym przykładem odległości w przestrzeni metrycznej i jest zgodna ze wszystkimi definiującymi właściwościami przestrzeni metrycznej:

Jest symetryczny , co oznacza, że dla wszystkich punktów i , . Oznacza to (w przeciwieństwie do odległości drogowej z ulicami jednokierunkowymi) odległość między dwoma punktami nie zależy od tego, który z dwóch punktów jest punktem początkowym, a który docelowym. $p$ $q$ $d(p,q)=d(q,p)$
Jest dodatnia , co oznacza, że odległość między każdym z dwóch różnych punktów jest liczbą dodatnią , podczas gdy odległość od dowolnego punktu do niego wynosi zero.
Przestrzega nierówności trójkąta : dla każdych trzech punktów , , i , . Intuicyjnie podróż z do via nie może być krótsza niż podróż bezpośrednio z do . $p$ $q$ ${\ Displaystyle r}$ $d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)$ $p$ ${\ Displaystyle r}$ $q$ $p$ ${\ Displaystyle r}$

Inna własność, nierówność Ptolemeusza , dotyczy odległości euklidesowych między czterema punktami , , , i . Twierdzi, że $p$ $q$ ${\ Displaystyle r}$ $s$

{\ Displaystyle d (p, q) \ cdot d (r, s) + d (q, r) \ cdot d (p, s) \ geq d (p, r) \ cdot d (q, s).}

W przypadku punktów na płaszczyźnie można to przeformułować jako stwierdzenie, że dla każdego czworokąta iloczyny przeciwnych boków czworokąta sumują się do co najmniej tak dużej liczby, jak iloczyn jego przekątnych. Jednak nierówność Ptolemeusza odnosi się bardziej ogólnie do punktów w przestrzeniach euklidesowych o dowolnym wymiarze, bez względu na to, jak są one ułożone. Geometria odległości euklidesowych bada właściwości odległości euklidesowych, takie jak nierówność Ptolemeusza, oraz ich zastosowanie do testowania, czy dane zbiory odległości pochodzą od punktów w przestrzeni euklidesowej.

Kwadrat odległości euklidesowej

Stożek The wykres euklidesowej odległości od początku w płaszczyźnie

Paraboloid , wykres kwadrat odległości euklidesowej od pochodzenia

W wielu zastosowaniach, w szczególności przy porównywaniu odległości, wygodniejsze może być pominięcie końcowego pierwiastka kwadratowego przy obliczaniu odległości euklidesowych. Wartość wynikająca z tego pominięcia jest kwadratem odległości euklidesowej i jest nazywana kwadratem odległości euklidesowej . Jako równanie można je wyrazić jako sumę kwadratów :

d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +( p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.

Poza zastosowaniem do porównywania odległości, kwadrat odległości euklidesowej ma kluczowe znaczenie w statystyce , gdzie jest używany w metodzie najmniejszych kwadratów , standardowej metodzie dopasowywania statystycznych szacunków do danych poprzez minimalizację średniej kwadratów odległości między wartościami obserwowanymi i szacowanymi. . Dodawanie do siebie odległości do kwadratu, jak to ma miejsce w przypadku dopasowania metodą najmniejszych kwadratów, odpowiada operacji na odległościach (niepodniesionych do kwadratu) zwanej dodawaniem Pitagorasa . W analizie skupień odległości do kwadratu można wykorzystać do wzmocnienia efektu dłuższych odległości.

Kwadratowa odległość euklidesowa nie tworzy przestrzeni metrycznej, ponieważ nie spełnia nierówności trójkąta. Jest to jednak gładka, ściśle wypukła funkcja dwóch punktów, w przeciwieństwie do odległości, która jest niegładka (blisko par równych punktów) i wypukła, ale nie ściśle wypukła. Odległość kwadratowa jest zatem preferowana w teorii optymalizacji , ponieważ pozwala na zastosowanie analizy wypukłej . Ponieważ podniesienie do kwadratu jest funkcją monotoniczną wartości nieujemnych, minimalizacja odległości do kwadratu jest równoważna minimalizacji odległości euklidesowej, więc problem optymalizacji jest równoważny w obu przypadkach, ale łatwiejszy do rozwiązania przy użyciu odległości kwadratowej.

Zbiór wszystkich kwadratów odległości między parami punktów ze skończonego zbioru może być przechowywany w euklidesowej macierzy odległości i jest używany w tej postaci w geometrii odległości.

Uogólnienia

W bardziej zaawansowanych dziedzinach matematyki, patrząc na przestrzeń euklidesową jako przestrzeń wektorową , jej odległość jest powiązana z normą zwaną normą euklidesową , definiowaną jako odległość każdego wektora od początku . Jedną z ważnych właściwości tej normy, w porównaniu z innymi normami, jest to, że pozostaje ona niezmieniona przy arbitralnych obrotach przestrzeni wokół początku. Zgodnie z twierdzeniem Dvoretzky'ego każda skończenie wymiarowa znormalizowana przestrzeń wektorowa ma podprzestrzeń wysokowymiarową, na której norma jest w przybliżeniu euklidesowa; norma euklidesowa jest jedyną normą z tą właściwością. To może być rozszerzony na nieskończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej jako L ² normy lub L ² odległość.

Inne wspólne odległości w przestrzeniach euklidesowych i niskowymiarowych przestrzeniach wektorowych obejmują:

Odległość Czebyszewa , która mierzy odległość przy założeniu, że istotny jest tylko najbardziej znaczący wymiar.
Odległość Manhattan , która mierzy odległość tylko w kierunkach zgodnych z osią.
Odległość Minkowskiego , uogólnienie łączące odległość euklidesową, odległość Manhattanu i odległość Czebyszewa.

W przypadku punktów na powierzchniach w trzech wymiarach odległość euklidesową należy odróżnić od odległości geodezyjnej , czyli długości najkrótszej krzywej należącej do powierzchni. W szczególności, do pomiaru odległości po wielkim kręgu na Ziemi lub innych powierzchniach kulistych lub zbliżonych do kuli, odległości, które zostały użyte, obejmują odległość po wielkim okręgu, dającą odległości po wielkim okręgu między dwoma punktami na kuli z ich długości i szerokości geograficznej oraz wzory Vincenty'ego. znany również jako „odległość Vincenta” dla odległości na sferoidzie.

Historia

Odległość euklidesowa to odległość w przestrzeni euklidesowej ; oba pojęcia zostały nazwane na cześć starożytnego greckiego matematyka Euklidesa , którego Elementy stały się standardowym podręcznikiem geometrii na wiele stuleci. Koncepcje długości i odległości są szeroko rozpowszechnione w różnych kulturach, można je datować na najwcześniejsze zachowane „protoliteracyjne” dokumenty biurokratyczne z Sumeru w czwartym tysiącleciu pne (znacznie przed Euklidesem) i wysunięto hipotezę, że rozwiną się u dzieci wcześniej niż związane z nimi koncepcje prędkości. i czas. Ale pojęcie odległości, jako liczby zdefiniowanej z dwóch punktów, w rzeczywistości nie pojawia się w Elementach Euklidesa . Zamiast tego Euclid podchodzi do tego pojęcia w sposób dorozumiany, poprzez zgodność odcinków linii, przez porównanie długości odcinków linii i poprzez koncepcję proporcjonalności .

Twierdzenie Pitagorasa jest również stare, ale to może potrwać tylko swoją główną rolę w pomiarze odległości po wynalezieniu współrzędnych kartezjańskich przez Kartezjusza w 1637 roku Formuła dystansuje się po raz pierwszy opublikowana w 1731 roku przez Alexis Clairaut . Z powodu tego wzoru odległość euklidesowa jest również czasami nazywana odległością pitagorejską. Chociaż dokładne pomiary długich odległości na powierzchni Ziemi, które nie są euklidesowe, były ponownie badane w wielu kulturach od czasów starożytnych (patrz historia geodezji ), idea, że odległość euklidesowa może nie być jedynym sposobem pomiaru odległości między punktami w przestrzenie matematyczne pojawiły się jeszcze później, wraz z XIX-wiecznym sformułowaniem geometrii nieeuklidesowej . Definicja normy euklidesowej i odległości euklidesowej dla geometrii więcej niż trzech wymiarów pojawiła się również po raz pierwszy w XIX wieku w pracy Augustyna-Louisa Cauchy'ego .

Zobacz też

Topologia euklidesowa — topologia naturalna indukowana przez metrykę euklidesową

Languages

In other projects