Macierz kwadratowa - Square matrix

Macierz kwadratowa rzędu 4. Wpisy tworzą główną przekątną macierzy kwadratowej. Na przykład główna przekątna powyższej macierzy 4×4 zawiera elementy a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 .${\displaystyle a_{ii}}$

W matematyce , A kwadratowy matrycy jest matryca o takiej samej liczby wierszy i kolumn. An n -by- n macierzy jest znana jako macierzy kwadratowej porządku . Można dodawać i mnożyć dowolne dwie macierze kwadratowe tego samego rzędu. ${\ Displaystyle n}$

Macierze kwadratowe są często używane do przedstawiania prostych przekształceń liniowych , takich jak ścinanie lub obrót . Na przykład, jeśli jest macierzą kwadratową reprezentującą obrót ( macierz obrotu ) i jest wektorem kolumnowym opisującym położenie punktu w przestrzeni, iloczyn daje inny wektor kolumnowy opisujący położenie tego punktu po tym obrocie. Jeśli jest to wektor wiersza , tej samej transformacji można uzyskać stosując , gdzie jest transpozycją z .${\ Displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\ Displaystyle R \ mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle R}$

Główna przekątna

Wpisy ( i = 1, …, n ) tworzą główną przekątną macierzy kwadratowej. Leżą na wyimaginowanej linii, która biegnie od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu matrycy. Na przykład główna przekątna powyższej macierzy 4×4 zawiera elementy a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

Przekątnej macierzy kwadratowej z prawego górnego do dolnego lewego rogu nazywa antidiagonal lub counterdiagonal .

Specjalne rodzaje

Nazwa	Przykład z n = 3
Macierz przekątna	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} a_ {11} i 0 i 0 \ \ 0 i a_ {22} i 0 \ \ 0 i 0 i a_ {33} \ koniec {bmatrix}}}$
Dolna trójkątna matryca	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} a_ {11} i 0 i 0 \ \ a_ {21} i a_ {22} i 0 \ \ a_ {31} i a_ {32} i a_ {33} \ koniec {bmatrix}}}$
Górna trójkątna matryca	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \ \ 0 i a_ {22} i a_ {23} \ \ 0 i 0 i a_ {33} \ koniec {bmatrix}}}$

Matryca ukośna lub trójkątna

Jeśli wszystkie wpisy poza główną przekątną wynoszą zero, nazywamy macierzą diagonalną . Jeśli tylko wszystkie wpisy powyżej (lub poniżej) głównej przekątnej wynoszą zero, nazywa się górną (lub dolną) macierzą trójkątną . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową wielkości to macierz, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1, a wszystkie inne elementy są równe 0, na przykład ${\ Displaystyle I_ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n\razy n}$

${\ Displaystyle I_ {1} = {\ zacząć {bmatrix} 1 \ koniec {bmatrix}}, \ I_ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}, \ \ ldots \ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vpunkty &\vpunkty &\ddots &\vpunkty \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Jest to kwadratowa macierz porządku , a także specjalny rodzaj macierzy diagonalnej . Nazywa się macierzą jednostkową, ponieważ mnożenie z nią pozostawia macierz niezmienioną: ${\ Displaystyle n}$

AI _n = I _m A = A dla dowolnejmacierzy m -by- n .${\ Displaystyle A}$

Macierz odwracalna i jej odwrotność

Macierz kwadratowa nazywana jest odwracalną lub nieosobliwą, jeśli istnieje macierz taka, że ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle AB = BA = I_ {n}.}$

Jeśli występuje, jest unikalny i jest nazywana macierz odwrotna od , oznaczonej .${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {-1}}$

Symetryczna lub skośno-symetryczna macierz

Macierz kwadratowa, która jest równa jej transpozycji, czyli , jest macierzą symetryczną . Jeśli natomiast , następnie nazywany jest skośna symetrycznych macierzy . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} = A}$${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {T}} = - A}$${\ Displaystyle A}$

Dla złożonych macierzy kwadratowej , często odpowiedni analog transpozycję jest sprzężony transpozycji , zdefiniowany jako transpozycję w sprzężoną liczbę zespoloną o . Złożona macierz kwadratowa spełniająca wymagania nazywana jest macierzą hermitowską . Jeśli natomiast , następnie nazywany jest skośna-hermitowskie matrycy . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A ^ {*}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {*} = A}$${\ Displaystyle A ^ {*} = - A}$${\ Displaystyle A}$

Według twierdzenia spektralnego rzeczywiste symetryczne (lub zespolone hermitowskie) macierze mają ortogonalną (lub unitarną) podstawę własną ; tj. każdy wektor można wyrazić jako liniową kombinację wektorów własnych. W obu przypadkach wszystkie wartości własne są rzeczywiste.

Określona macierz

Pozytywna definitywna	Nieokreślony
${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1/4 i 0 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1/4 i 0 \ \ 0 i -1/4 \ koniec {bmatrix}}}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + y 2	Q ( x , y ) = 1/4 x 2 − 1/4 y 2
Punkty takie, że Q ( x , y ) = 1 ( Elipsa ).	Punkty takie, że Q ( x , y ) = 1 ( Hiperbola ).

Symetryczna macierz n × n nazywana jest dodatnio określoną (odpowiednio ujemnie określoną; nieokreśloną), jeśli dla wszystkich niezerowych wektorów skojarzona forma kwadratowa dana przez ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$

Q ( x ) = x ^T A x

przyjmuje tylko wartości dodatnie (odpowiednio tylko wartości ujemne; zarówno niektóre wartości ujemne, jak i niektóre wartości dodatnie). Jeśli forma kwadratowa przyjmuje tylko wartości nieujemne (odpowiednio tylko niedodatnie), macierz symetryczną nazywa się dodatnio-półokreśloną (odpowiednio ujemno-półokreśloną); stąd macierz jest nieokreślona właśnie wtedy, gdy nie jest ani dodatnio-półokreślona, ​​ani ujemna-półokreślona.

Symetryczna macierz jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wartości własne są dodatnie. Tabela po prawej pokazuje dwie możliwości dla macierzy 2×2.

Dopuszczenie dwóch różnych wektorów jako danych wejściowych zamiast tego daje dwuliniową formę związaną z A :

B _A ( x , y ) = x ^T A y .

Macierz ortogonalna

Prostopadłe macierz jest macierzą kwadratową z rzeczywistych pozycji których kolumny i rzędy są ortogonalne wektor jednostkowy (tj ortonormalne wektory). Równoważnie macierz A jest ortogonalna, jeśli jej transpozycja jest równa jej odwrotności :

${\ Displaystyle A ^ {\ textsf {T}} = A ^ {-1}}$

co pociąga za sobą

${\ Displaystyle A ^ {\ textsf {T}} A = AA ^ {\ textsf {T}} = ja,}$

gdzie I jest macierzą tożsamości .

Macierzą ortogonalną jest zawsze odwracalna (z odwrotną A ^-1 = ^T ) jednostkowy ( ^-1 = * ), a normalne ( * = AA * ). Determinantą każdej prostopadłym matrycy jest albo +1 lub -1. Specjalną grupę prostopadłe składa się z n x n macierzy ortogonalnych z determinantą +1. ${\ Displaystyle \ Operatorname {SO} (n)}$

Kompleks analogu prostopadłym matrycy jest macierzą jednostkową .

Normalna macierz

Rzeczywista lub złożona macierz kwadratowa nazywana jest normalną if . Jeśli rzeczywista macierz kwadratowa jest symetryczna, skośno-symetryczna lub ortogonalna, to jest normalna. Jeśli złożona macierz kwadratowa jest hermitowska, skośno-hermitowska lub unitarna, to jest normalna. Macierze normalne są interesujące głównie dlatego, że zawierają wymienione właśnie typy macierzy i tworzą najszerszą klasę macierzy, dla której zachodzi twierdzenie spektralne . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {*} A = AA ^ {*}}$

Operacje

Ślad

Śladowych , TR ( ) macierzy kwadratowej A jest sumą przekątnej pozycji. Chociaż mnożenie macierzy nie jest przemienne, ślad iloczynu dwóch macierzy jest niezależny od kolejności czynników:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA).}$

Wynika to bezpośrednio z definicji mnożenia macierzy:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ suma _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} B_ {ji} = \ operatorname {tr} (studia licencjackie).}$

Również ślad macierzy jest równy śladowi jej transpozycji, tj.

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (A) = \ operatorname {tr} (A ^ {\ operator {T}}).}$

Wyznacznik

Przekształcenie liniowe na zadane przez wskazaną macierz. Wyznacznikiem tej macierzy jest -1, ponieważ powierzchnia zielonego równoległoboku po prawej stronie wynosi 1, ale mapa odwraca orientację , ponieważ zmienia orientację wektorów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do kierunku zgodnego z ruchem wskazówek zegara.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Determinantą lub kwadratowej macierzy jest liczbą kodujący określone właściwości matrycy. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy. Jego wartość bezwzględna jest równa powierzchni (w ) lub objętości (w ) obrazu jednostkowego kwadratu (lub sześcianu), natomiast jego znak odpowiada orientacji odpowiedniego odwzorowania liniowego: wyznacznik jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy orientacja jest zachowane. ${\displaystyle \det(A)}$${\displaystyle |A|}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Wyznacznikiem macierzy 2×2 jest

${\displaystyle \det {\rozpocząć{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc}$

Wyznacznik macierzy 3×3 obejmuje 6 wyrazów ( reguła Sarrusa ). Im dłuższa wzór Leibniza uogólnia te dwa wzory do wszystkich wymiarach.

Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi ich wyznaczników:

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ cdot \ det (B)}$

Dodanie wielokrotności dowolnego wiersza do innego wiersza lub wielokrotności dowolnej kolumny do innej kolumny nie zmienia wyznacznika. Zamiana dwóch wierszy lub dwóch kolumn wpływa na wyznacznik, mnożąc go przez -1. Za pomocą tych operacji dowolną macierz można przekształcić w dolną (lub górną) macierz trójkątną, a dla takich macierzy wyznacznik jest równy iloczynowi wpisów na głównej przekątnej; zapewnia to metodę obliczania wyznacznika dowolnej macierzy. Wreszcie rozszerzenie Laplace'a wyraża determinantę w kategoriach drugorzędnych , tj. determinanty mniejszych macierzy. Rozwinięcie to może być użyte do rekurencyjnej definicji wyznaczników (przyjmując za przypadek wyjściowy wyznacznik macierzy 1×1, czyli jej unikalny wpis, lub nawet wyznacznik macierzy 0×0, czyli 1), które mogą być postrzegane jako równoważne z formułą Leibniza. Wyznaczników można używać do rozwiązywania układów liniowych za pomocą reguły Cramera , gdzie podział wyznaczników dwóch powiązanych macierzy kwadratowych równa się wartości każdej ze zmiennych układu.

Wartości własne i wektory własne

Liczba λ i niezerowy wektor spełniający ${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$

nazywa się wartość własną oraz wektor własny o , odpowiednio. Liczba λ jest wartością własną się z n x n -Matrix A , wtedy i tylko wtedy, gdy A - λ , że _n nie jest odwracalny, co jest równoznaczne z ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ det (A-\ Lambda I) = 0.}$

Wielomian P w nieokreślony X podanym przez ocenę wyznacznika det ( XI _n - A ) zwany jest charakterystyczny wielomianu o A . Jest monic wielomian od stopnia n . Dlatego równanie wielomianowe p _A (λ) = 0 ma co najwyżej n różnych rozwiązań, tj. wartości własne macierzy. Mogą być złożone, nawet jeśli wpisy A są prawdziwe. Zgodnie z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona , p _A ( A ) = 0 , czyli wynik podstawienia samej macierzy do jej własnego wielomianu charakterystycznego daje macierz zerową .

Zobacz też

• Matryca kartanowa

Uwagi

Bibliografia

• Brown, William C. (1991), Macierze i przestrzenie wektorowe , New York, NY: Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Róg, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Analiza macierzy , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), Wprowadzenie do algebry liniowej , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Linki zewnętrzne

• Multimedia związane z matrycami kwadratowymi w Wikimedia Commons