Lista regularnych politopów i związków - List of regular polytopes and compounds
Regularne (2D) wielokąty | |
---|---|
Wypukły | Gwiazda |
{5} |
{5/2} |
Wielościany regularne (3D) | |
Wypukły | Gwiazda |
{5,3} |
{5/2,5} |
Regularne teselacje 2D | |
Euklidesa | Hiperboliczny |
{4,4} |
{5,4} |
Regularne polytopy 4D | |
Wypukły | Gwiazda |
{5,3,3} |
{5/2,5,3} |
Regularne teselacje 3D | |
Euklidesa | Hiperboliczny |
{4,3,4} |
{5,3,4} |
W artykule wymieniono regularne politopy i regularne związki politopowe w przestrzeniach euklidesowych , sferycznych i hiperbolicznych .
Symbol schläfliego opisuje każdy stały tesselację z o n -sphere, euklidesowej i hiperbolicznych przestrzeni. Symbol Schläfliego opisujący n- politop równoważnie opisuje teselację ( n − 1)-sfery. Ponadto symetria regularnego politopu lub teselacji jest wyrażona jako grupa Coxetera , którą Coxeter wyrażał identycznie jak symbol Schläfliego, z wyjątkiem oddzielenia nawiasami kwadratowymi, notacji zwanej notacją Coxetera . Innym powiązanym symbolem jest diagram Coxetera-Dynkina, który reprezentuje grupę symetrii bez pierścieni, a reprezentuje regularny politop lub teselację z pierścieniem na pierwszym węźle. Na przykład sześcian ma symbol Schläfliego {4,3}, a wraz z jego symetrią oktaedryczną , [4,3] lub, jest reprezentowany przez diagram Coxetera .
Regularne politopy są pogrupowane według wymiaru i podgrupowane według form wypukłych, niewypukłych i nieskończonych. Formy niewypukłe używają tych samych wierzchołków co formy wypukłe, ale mają przecinające się ścianki . Formy nieskończone mozaikują jednowymiarową przestrzeń euklidesową.
Formy nieskończone mogą być rozszerzone tak, aby tworzyć teselację przestrzeni hiperbolicznej . Przestrzeń hiperboliczna jest jak normalna przestrzeń w małej skali, ale równoległe linie rozchodzą się na odległość. Dzięki temu figury wierzchołków mogą mieć defekty kąta ujemnego , takie jak tworzenie wierzchołków z siedmioma trójkątami równobocznymi i pozwalanie mu leżeć płasko. Nie można tego zrobić na zwykłej płaszczyźnie, ale można to zrobić w odpowiedniej skali płaszczyzny hiperbolicznej.
Bardziej ogólne określenie regularnych polytopes które nie mają prostych symbol schläfliego obejmuje regularne pochylać polytopes i regularne pochylać apeirotopes z nieplanarnych aspektów lub liczb wierzchołków .
Przegląd
Ta tabela przedstawia podsumowanie zwykłych zliczeń politopów według wymiaru.
Ciemny. | Skończone | Euklidesa | Hiperboliczny | Związki | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kompaktowy | Parakompaktowy | ||||||||
Wypukły | Gwiazda | Krzywy | Wypukły | Wypukły | Gwiazda | Wypukły | Wypukły | Gwiazda | |
1 | 1 | Żaden | Żaden | 1 | Żaden | Żaden | Żaden | Żaden | Żaden |
2 | 1 | 1 | Żaden | Żaden | |||||
3 | 5 | 4 | ? | 3 | 5 | Żaden | |||
4 | 6 | 10 | ? | 1 | 4 | Żaden | 11 | 26 | 20 |
5 | 3 | Żaden | ? | 3 | 5 | 4 | 2 | Żaden | Żaden |
6 | 3 | Żaden | ? | 1 | Żaden | Żaden | 5 | Żaden | Żaden |
7 | 3 | Żaden | ? | 1 | Żaden | Żaden | Żaden | 3 | Żaden |
8 | 3 | Żaden | ? | 1 | Żaden | Żaden | Żaden | 6 | Żaden |
9+ | 3 | Żaden | ? | 1 | Żaden | Żaden | Żaden | Żaden |
Nie ma regularnych teselacji gwiazd euklidesowych w dowolnej liczbie wymiarów.
Jeden wymiar
Coxeter schemat reprezentacji lustro „samoloty” jako węzły i umieszcza pierścień wokół węzła, jeżeli punkt jest nie w samolocie. Dionu {}, to punkt p i jego lustrzane odbicie punkt p' , oraz odcinek między nimi. |
Jednowymiarowy polytope lub 1-politope to zamknięty segment linii ograniczony dwoma punktami końcowymi. 1-politop jest z definicji regularny i jest reprezentowany przez symbol Schläfliego { } lub diagram Coxetera z pojedynczym węzłem pierścieniowym,. Norman Johnson nazywa go dionem i nadaje mu symbol Schläfliego { }.
Chociaż jako wielokąt jest trywialny, pojawia się jako krawędzie wielokątów i innych wielowymiarowych wielokątów. Jest używany w definicji pryzmatów jednorodnych, takich jak symbol Schläfliego { }×{p} lub diagram Coxeterajako iloczyn kartezjański odcinka linii i wielokąta foremnego.
Dwa wymiary (wielokąty)
Politopy dwuwymiarowe nazywane są wielokątami . Wielokąty foremne są równoboczne i cykliczne . Wielokąt foremny p-gonalny jest reprezentowany przez symbol Schläfliego {p}.
Zwykle tylko wielokąty wypukłe są uważane za regularne, ale wielokąty gwiaździste , takie jak pentagram , mogą być również uważane za regularne. Używają tych samych wierzchołków, co formy wypukłe, ale łączą się w alternatywnej łączności, która przechodzi wokół koła więcej niż raz, aby zostać ukończona.
Wielokąty gwiaździste powinny być nazywane niewypukłymi, a nie wklęsłymi, ponieważ przecinające się krawędzie nie generują nowych wierzchołków, a wszystkie wierzchołki znajdują się na granicy okręgu.
Wypukły
Symbol Schläfliego {p} reprezentuje regularny p- gon .
Nazwa |
Trójkąt ( 2-simplex ) |
Kwadrat ( 2-ortoplex ) ( 2-kostka ) |
Pięciokąt ( 2 pięciokątny politop ) |
Sześciokąt | Siedmiokąt | Ośmiokąt | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} | |
Symetria | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | D 8 , [8] | |
Coxeter | |||||||
Obraz | |||||||
Nazwa |
Nonagon (Enneagon) |
Dziesięciobok | Hendekagon | Dodekagon | Tridecagon | Tetradekagon | |
Schläfli | {9} | {10} | {11} | {12} | {13} | {14} | |
Symetria | D 9 , [9] | D 10 , [10] | D 11 , [11] | D 12 , [12] | D 13 , [13] | D 14 , [14] | |
Dynkin | |||||||
Obraz | |||||||
Nazwa | Pięciokąt | Sześciokąt | Heptadekagon | Oktadekagon | Enneadekagon | Ikosagon | ...p-gon |
Schläfli | {15} | {16} | {17} | {18} | {19} | {20} | { S } |
Symetria | D 15 , [15] | D 16 , [16] | D 17 , [17] | D 18 , [18] | D 19 , [19] | D 20 , [20] | D p , [p] |
Dynkin | |||||||
Obraz |
Kulisty
Regularne Digon {2} może być uważana za zdegenerowany wielokąt foremny. Może być realizowany w sposób niezdegenerowany w niektórych przestrzeniach nieeuklidesowych, np. na powierzchni kuli lub torusa .
Nazwa | Monogon | Digon |
---|---|---|
Symbol Schläfli | {1} | {2} |
Symetria | D 1 , [ ] | D 2 , [2] |
Schemat Coxetera | lub | |
Obraz |
Gwiazdy
Istnieje nieskończenie wiele politopów gwiazd regularnych w dwóch wymiarach, których symbole Schläfliego składają się z liczb wymiernych { n / m }. Nazywane są wielokątami gwiaździstymi i mają takie same układy wierzchołków jak wypukłe wielokąty regularne.
Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją n-ramienne gwiazdy wielokątne regularne z symbolami Schläfliego { n / m } dla wszystkich m takie, że m < n /2 (ściśle mówiąc { n / m }={ n /( n − m )}) oraz m i n są względnie pierwsze (w związku z tym wszystkie gwiazdozbiory wielokąta o liczbie pierwszej boków będą gwiazdami regularnymi). Przypadki, w których m i n nie są względnie pierwsze, nazywane są wielokątami złożonymi .
Nazwa | Pentagram | Heptagramy | Oktagram | Enneagramy | Dekagram | ... n-gramów | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { szt./kw. } |
Symetria | D 5 , [5] | D 7 , [7] | D 8 , [8] | D 9 , [9], | D 10 , [10] | D p , [ p ] | ||
Coxeter | ||||||||
Obraz |
Wielokąty gwiaździste, które mogą istnieć tylko jako kafelki sferyczne, podobnie jak monogon i digon, mogą istnieć (na przykład: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/ 5}), jednak wydaje się, że nie zostały one szczegółowo zbadane.
Istnieją również nieudane wielokąty gwiezdne, takie jak piangle , które nie pokrywają powierzchni koła skończenie wiele razy.
Pochyl wielokąty
W przestrzeni 3-wymiarowej, A regularny wielokąt skośny jest nazywany antiprismatic wielokąta , przy czym układ wierzchołka wystąpienia antygraniastosłup oraz podzbioru krawędzi zygzakiem od górnej i dolnej wielokątów.
Sześciokąt | Ośmiokąt | Dziesięciokąty | ||
D 3d , [2 + ,6] | D 4d , [2 + ,8] | D 5d , [2 + ,10] | ||
---|---|---|---|---|
{3}#{} | {4}#{} | {5}#{} | {5/2}#{} | {5/3}#{} |
W 4-wymiarach regularny wielokąt skośny może mieć wierzchołki na torusie Clifforda i powiązane przez przesunięcie Clifforda . W przeciwieństwie do antypryzmatycznych wielokątów skośnych, skośne wielokąty o podwójnych obrotach mogą zawierać nieparzystą liczbę boków.
Można je zobaczyć w Wielokąt Petriego tych wypukłych regularnych 4-polytopes postrzegana jako regularnych wielokątów samolot w obwodzie Coxeter płaszczyzny projekcji:
Pięciokąt | Ośmiokąt | Dodekagon | Triakontagon |
---|---|---|---|
5-ogniwowy |
16-ogniwowy |
24-komorowy |
600-ogniwowy |
Trzy wymiary (wielościany)
W trzech wymiarach wielościany nazywane są wielościanami :
Wielościan foremny o symbolu Schläfliego {p,q}, diagramy Coxetera, ma regularną twarz {p} i regularną figurę wierzchołkową {q}.
Wierzchołek rysunku (o kształcie wielościanu) jest wielobok, patrząc poprzez połączenie tych wierzchołków, które są jedną krawędź od danego wierzchołka. W przypadku wielościanów foremnych ta figura wierzchołkowa jest zawsze wielokątem foremnym (i planarnym).
Istnienie wielościanu foremnego {p,q} jest ograniczone nierównością, związaną z defektem kątowym figury wierzchołka :
Wyliczając permutacje , znajdujemy pięć form wypukłych, cztery formy gwiaździste i trzy kafelki płaskie, wszystkie z wielokątami {p} i {q} ograniczonymi do: {3}, {4}, {5}, {5/2}, i {6}.
Poza przestrzenią euklidesową istnieje nieskończony zestaw regularnych kafelków hiperbolicznych.
Wypukły
Pięć wypukłych wielościanów foremnych nazywa się bryłami platońskimi . Liczba wierzchołków jest podawana przy każdej liczbie wierzchołków. Wszystkie te wielościany mają charakterystykę Eulera (χ) równą 2.
Nazwa |
Schläfli {p, q} |
Coxeter |
Obraz (jednolity) |
Obraz (sfera) |
Twarze {p} |
Krawędzie |
Wierzchołki {q} |
Symetria | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Czworościan ( 3-simplex ) |
{3,3} | 4 {3} |
6 | 4 {3} |
T d [3,3] (*332) |
(samego siebie) | |||
Pręt sześciokątny Cube ( 3-cube ) |
{4,3} | 6 {4} |
12 | 8 {3} |
O H [4,3] (* 432) |
Oktaedr | |||
Oktaedron ( 3-ortoplex ) |
{3,4} | 8 {3} |
12 | 6 {4} |
O H [4,3] (* 432) |
Sześcian | |||
Dwunastościan | {5,3} | 12 {5} |
30 | 20 {3} |
I H [5,3] (* 532) |
dwudziestościan | |||
dwudziestościan | {3,5} | 20 {3} |
30 | 12 {5} |
I H [5,3] (* 532) |
Dwunastościan |
Kulisty
W geometrii sferycznej , regularne wielościany kulisty ( tilings tej sferze ) istnieją, która normalnie byłaby zdegenerowany jak polytopes. Są to hosoedry {2,n} i ich podwójne dwuściany {n,2}. Coxeter nazywa te przypadki „niewłaściwymi” teselacjami.
Kilka pierwszych przypadków (n od 2 do 6) wymieniono poniżej.
Nazwa |
Schläfli {2,p} |
Schemat Coxetera |
Obraz (sfera) |
Twarze {2} π/p |
Krawędzie |
wierzchołki {p.} |
Symetria | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Dwuboczny dwuścian | {2,2} | 2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Samego siebie | ||
Trójścian trójkątny | {2,3} | 3 {2} π/3 |
3 | 2 {3} |
D 3h [2,3] (*322) |
Dwuścian trójkątny | ||
Kwadratowy hosohedron | {2,4} | 4 {2} π/4 |
4 | 2 {4} |
D 4h [2,4] (*422) |
Dwuścian kwadratowy | ||
Pięciokątny jednościan | {2,5} | 5 {2} π/5 |
5 | 2 {5} |
D 5h [2,5] (*522) |
Dwuścian pięciokątny | ||
Sześciościan sześciokątny | {2,6} | 6 {2} π/6 |
6 | 2 {6} |
D 6h [2,6] (*622) |
Sześciokątny dwuścian |
Nazwa |
Schläfli { s.2 } |
Schemat Coxetera |
Obraz (sfera) |
Twarze {p} |
Krawędzie |
Wierzchołki {2} |
Symetria | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Dwuścian dwuścianowy | {2,2} | 2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Samego siebie | ||
Dwuścian trójkątny | {3,2} | 2 {3} |
3 | 3 {2} π/3 |
D 3h [3,2] (*322) |
Trójścian trójkątny | ||
Dwuścian kwadratowy | {4,2} | 2 {4} |
4 | 4 {2} π/4 |
D 4h [4,2] (*422) |
Kwadratowy hosohedron | ||
Dwuścian pięciokątny | {5,2} | 2 {5} |
5 | 5 {2} π/5 |
D 5h [5,2] (*522) |
Pięciokątny jednościan | ||
Sześciokątny dwuścian | {6,2} | 2 {6} |
6 | 6 {2} π/6 |
D 6h [6,2] (*622) |
Sześciościan sześciokątny |
Gwiazda dwuścian i hosohedra { p / q ,2} i {2, p / q } również istnieją dla dowolnego wielokąta gwiazdy { p / q }.
Gwiazdy
Regularne gwiazda wielościany nazywane są wielościany Kepler-Poinsot i istnieją cztery z nich, na podstawie ustaleń wierzchołków z dwunastościanu {5,3} i icosahedron {3,5}:
Jako sferyczne kafelki , te formy gwiazd wielokrotnie nakładają się na sferę, zwaną jej gęstością , wynoszącą 3 lub 7 dla tych form. Obrazy kafelkowe pokazują pojedynczą kulistą ścianę wielokąta w kolorze żółtym.
Nazwa | Obraz (szkieletowy) |
Obraz (jednolity) |
Obraz (sfera) |
Schemat stelacji |
Schläfli {p,q} i Coxeter |
Twarze {p} |
Krawędzie | Wierzchołki {q} verf. |
χ | Gęstość | Symetria | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Mały dwunastościan gwiaździsty | {5/2,5} |
12 {5/2} |
30 | 12 {5} |
-6 | 3 | I H [5,3] (* 532) |
Świetny dwunastościan | ||||
Świetny dwunastościan | {5,5/2} |
12 {5} |
30 | 12 {5/2} |
-6 | 3 | I H [5,3] (* 532) |
Mały dwunastościan gwiaździsty | ||||
Świetny dwunastościan gwiaździsty | {5/2,3} |
12 {5/2} |
30 | 20 {3} |
2 | 7 | I H [5,3] (* 532) |
Wielki dwudziestościan | ||||
Wielki dwudziestościan | {3,5/2} |
20 {3} |
30 | 12 {5/2} |
2 | 7 | I H [5,3] (* 532) |
Świetny dwunastościan gwiaździsty |
Istnieje nieskończenie wiele nieudanych wielościanów gwiezdnych. Są to również kafelki sferyczne z wielokątami gwiazd w symbolach Schläfli, ale nie pokrywają one sfery skończenie wiele razy. Niektóre przykłady to {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4, 5/2} i {3,7/3}.
Pochyl wielościany
Wielościany skośne foremne to uogólnienia na zbiór wielościanów foremnych, które zawierają możliwość nieplanarnych figur wierzchołkowych .
W przypadku czterowymiarowych wielościanów skośnych Coxeter zaoferował zmodyfikowany symbol Schläfliego {l,m|n} dla tych figur, gdzie {l,m} oznacza figurę wierzchołkową , m l-kątów wokół wierzchołka i n- kątnych otworów. Ich figury wierzchołkowe są ukośnymi wielokątami , zygzakowatymi między dwiema płaszczyznami.
Wielościany regularne skośne, reprezentowane przez {l,m|n}, mają następujące równanie:
- 2 sin(π/l) sin(π/m) = cos(π/n)
Cztery z nich można zobaczyć w 4-wymiarach jako podzbiór ścian czterech regularnych 4-politopów , dzielących ten sam układ wierzchołków i krawędzi :
{4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
---|
Cztery wymiary
Regularne 4-politopy z symbolem Schläfliego mają komórki typu , twarze typu , figury krawędziowe i figury wierzchołkowe .
- Postać wierzchołka (z 4-Polytope) jest wielościanem, patrząc przez układ sąsiednich wierzchołków wokół jej wierzchołka. W przypadku regularnych 4-politopów ta figura wierzchołkowa jest foremnym wielościanem.
- Postać krawędzi jest wielobok, patrząc przez układ twarzy wokół krawędzi. W przypadku regularnych 4-politopów ta figura krawędzi zawsze będzie regularnym wielokątem.
Istnienie regularnego 4-politopu jest ograniczone przez istnienie regularnych wielościanów . Sugerowana nazwa 4-politopów to „polichoron”.
Każdy będzie istniał w przestrzeni zależnej od tego wyrażenia:
-
- : Hipersferyczny 3-miejscowy plaster miodu lub 4-politop
- : Euklidesowy plaster miodu z 3 przestrzeniami
- : Hiperboliczny 3-przestrzenny plaster miodu
Ograniczenia te pozwalają na 21 form: 6 jest wypukłych, 10 nie jest wypukłych, jeden to euklidesowy plaster miodu z 3 przestrzeniami, a 4 to hiperboliczny plaster miodu.
Charakterystyka Eulera dla 4-politopów wypukłych wynosi zero:
Wypukły
6 wypukłych regularnych 4-politopów pokazano w poniższej tabeli. Wszystkie te 4-politopy mają charakterystykę Eulera (χ) równą 0.
Nazwa |
Schläfli {p,q,r} |
Coxeter |
komórki {p,q} |
Twarze {p} |
Krawędzie {r} |
Wierzchołki {q,r} |
Podwójny {r,q,p} |
---|---|---|---|---|---|---|---|
5-ogniwowy ( 4-simplex ) |
{3,3,3} | 5 {3,3} |
10 {3} |
10 {3} |
5 {3,3} |
(samego siebie) | |
8-komorowy ( 4 kostka ) (Tesseract) |
{4,3,3} | 8 {4,3} |
24 {4} |
32 {3} |
16 {3,3} |
16-ogniwowy | |
16-komorowy ( 4-ortoplex ) |
{3,3,4} | 16 {3,3} |
32 {3} |
24 {4} |
8 {3,4} |
Teserakt | |
24-komorowy | {3,4,3} | 24 {3,4} |
96 {3} |
96 {3} |
24 {4,3} |
(samego siebie) | |
120-ogniwowy | {5,3,3} | 120 {5,3} |
720 {5} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
600-ogniwowy | |
600-ogniwowy | {3,3,5} | 600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {3,5} |
120-ogniwowy |
5-ogniwowy | 8-ogniwowy | 16-ogniwowy | 24-komorowy | 120-ogniwowy | 600-ogniwowy |
---|---|---|---|---|---|
{3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
Szkielet ( wielokąt Petriego ) pochylić rzuty ortogonalne | |||||
Solidne rzuty ortogonalne | |||||
czworościenna otoczka ( centrowana na komórce/ wierzchołku) |
sześcienna koperta (komórka) |
sześcienna koperta (komórka) |
koperta sześcienna (komórka) |
skrócona otoczka trójścianu rombowego (wyśrodkowana na komórce) |
Pentakis icosidodecahedral obwiedni (Vertex skoncentrowane) |
Diagramy szkieletowe Schlegla ( projekcja perspektywiczna ) | |||||
(skoncentrowany na komórkach) |
(skoncentrowany na komórkach) |
(skoncentrowany na komórkach) |
(skoncentrowany na komórkach) |
(skoncentrowany na komórkach) |
(wyśrodkowany na wierzchołku) |
Projekcje stereograficzne Wireframe ( hipersferyczne ) | |||||
Kulisty
Di-4- topes i hoso-4-topes istnieją jako regularne teselacje 3-sfery .
Regularne di-4-topy (2 fasetki) obejmują: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2 } P {2,2}, a ich Hoso-4-Tope bliźniacze (2 wierzchołki) = {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2, 3,5}, {2,5,3}, {2,2, s .}. 4-politopy postaci {2, p ,2} to to samo co {2,2, p }. Istnieją również przypadki { p , 2 , q } , w których występują komórki dwuścienne i figury wierzchołków hosoedrycznych.
Schläfli {2, p , q } |
Coxeter |
Komórki {2, p } π/ q |
Ściany {2} π/ p ,π/ q |
Krawędzie | Wierzchołki |
Figura wierzchołkowa { p , q } |
Symetria | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{2,3,3} | 4 {2,3} π/3 |
6 {2} π/3,π/3 |
4 | 2 | {3,3} |
[2,3,3] | {3,3,2} | |
{2,4,3} | 6 {2,4} π/3 |
12 {2} π/4,π/3 |
8 | 2 | {4,3} |
[2,4,3] | {3,4,2} | |
{2,3,4} | 8 {2,3} π/4 |
12 {2} π/3,π/4 |
6 | 2 | {3,4} |
[2,4,3] | {4,3,2} | |
{2,5,3} | 12 {2,5} π/3 |
30 {2} π/5,π/3 |
20 | 2 | {5,3} |
[2,5,3] | {3,5,2} | |
{2,3,5} | 20 {2,3} π/5 |
30 {2} π/3,π/5 |
12 | 2 | {3,5} |
[2,5,3] | {5,3,2} |
Gwiazdy
Istnieje dziesięć regularnych 4-politopów gwiazd , które są nazywane 4-politopami Schläfli-Hessa . Ich wierzchołki są oparte na wypukłych 120-komorowych {5,3,3} i 600-komorowych {3,3,5} .
Ludwig Schläfli znalazł cztery z nich i pominął ostatnie sześć, ponieważ nie dopuszczał form, które nie spełniały charakterystyki Eulera na komórkach lub figurach wierzchołków (dla tori z zerowym otworem: F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) uzupełnił pełną listę dziesięciu w swojej niemieckiej książce Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883) [1] .
Istnieją 4 unikalne układy krawędzi i 7 unikalnych układów ścian z tych 10 regularnych 4-politopów, pokazanych jako rzuty ortogonalne :
Nazwa |
Szkielet | Solidny |
Schläfli {p, q, r} Coxeter |
komórki {p, q} |
Twarze {p} |
Krawędzie {r} |
Wierzchołki {q, r} |
Gęstość | χ | Grupa symetrii | Podwójny {r, q, p} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Icosahedral 120-komorowy (fasetowany 600-komorowy) |
{3,5,5/2} |
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
4 | 480 |
H 4 [5,3,3] |
Mały gwiaździsty 120-ogniwowy | ||
Mały gwiaździsty 120-ogniwowy | {5/2,5,3} |
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
4 | −480 |
H 4 [5,3,3] |
Icosahedral 120-komorowy | ||
Świetny 120-ogniwowy | {5,5/2,5} |
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 |
H 4 [5,3,3] |
Samodzielność | ||
Wielki 120-ogniwowy | {5,3,5/2} |
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
20 | 0 |
H 4 [5,3,3] |
Świetny gwiaździsty 120-ogniwowy | ||
Świetny gwiaździsty 120-ogniwowy | {5/2,3,5} |
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
20 | 0 |
H 4 [5,3,3] |
Wielki 120-ogniwowy | ||
Wielki gwiaździsty 120-ogniwowy | {5/2,5,5/2} |
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 |
H 4 [5,3,3] |
Samodzielność | ||
Wielki wielki 120-ogniwowy | {5,5/2,3} |
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 |
H 4 [5,3,3] |
Świetna dwudziestościenna 120-komorowa | ||
Świetny ikozaedry 120-komorowy (świetny fasetowany 600-komorowy) |
{3,5/2,5} |
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 |
H 4 [5,3,3] |
Wielki wielki 120-ogniwowy | ||
Wielkie 600-ogniwowe | {3,3,5/2} |
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 |
H 4 [5,3,3] |
Wielki wielki gwiaździsty 120-ogniwowy | ||
Wielki wielki gwiaździsty 120-ogniwowy | {5/2,3,3} |
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 |
H 4 [5,3,3] |
Wielkie 600-ogniwowe |
Istnieją 4 nieudane potencjalne permutacje 4-politopów gwiazdy regularnej: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5 /2}. Ich komórki i figury wierzchołków istnieją, ale nie pokrywają hipersfery o skończonej liczbie powtórzeń.
Pięć i więcej wymiarów
W pięciu wymiarach regularny polytope może być nazwany tak, jak: gdzie jest typem 4-ścianowym, jest typem komórki, jest typem twarzy i jest figurą twarzy, jest figurą krawędzi i jest figurą wierzchołka.
- Postać wierzchołka (z 5-Polytope) jest 4-Polytope, patrząc przez układ sąsiednich wierzchołków każdego wierzchołka.
- Postać krawędzi (z 5-Polytope) jest wielościanem, patrząc przez układ twarzy wokół każdej krawędzi.
- Postać twarzy (z 5-Polytope) jest wielobok, patrząc przez układ komórek wokół każdej powierzchni.
Regularne 5-Polytope istnieje tylko wtedy, gdy i są regularne 4-polytopes.
Przestrzeń, w której się mieści, opiera się na wyrażeniu:
-
- : Teselacja sferyczna 4-przestrzenna lub politop 5-przestrzenny
- : Teselacja euklidesowa w 4 przestrzeniach
- : teselacja hiperboliczna 4-przestrzenna
Wyliczenie tych ograniczeń daje 3 politopy wypukłe, zero politopów niewypukłych, 3 teselacje 4-przestrzenne i 5 teselacji hiperbolicznych 4-przestrzennych. Nie ma niewypukłych regularnych polytopes w pięciu lub wyższych wymiarach.
Wypukły
W wymiarach 5 i wyższych występują tylko trzy rodzaje wypukłych politopów regularnych.
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p 1 ,...,p n −1 } |
Coxeter | k - twarze | Typ aspektu |
Figura wierzchołka |
Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|
n -simpleks | {3 n -1 } | ... | { 3n- 2 } | { 3n- 2 } | Samodzielność | |
n - kostka | {4,3 n- 2 } | ... | {4,3 n- 3 } | { 3n- 2 } | n -ortoplex | |
n -ortoplex | {3 n -2 ,4} | ... | { 3n- 2 } | {3 n −3 ,4} | n - kostka |
Istnieją również niewłaściwe przypadki, w których niektóre liczby w symbolu Schläfliego to 2. Na przykład {p,q,r,...2} jest niewłaściwym regularnym wielokątem sferycznym, gdy {p,q,r...} jest regularnym sferyczny polytop, a {2,...p,q,r} jest niewłaściwym regularnym polytopem sferycznym, gdy {...p,q,r} jest regularnym polytopem sferycznym. Takie politopy mogą być również używane jako fasetki, dając formy takie jak {p,q,...2...y,z}.
5 wymiarów
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r,s} Coxeter |
Aspekty {p,q,r} |
komórki {p,q} |
Twarze {p} |
Krawędzie | Wierzchołki | figura twarzy {s} |
Figura krawędzi {p, s} |
Figura wierzchołka {q,r,s} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5-simplex | {3,3,3,3} |
6 {3,3,3} |
15 {3,3} |
20 {3} |
15 | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
5-kostka | {4,3,3,3} |
10 {4,3,3} |
40 {4,3} |
80 {4} |
80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
5-ortopleks | {3,3,3,4} |
32 {3,3,3} |
80 {3,3} |
80 {3} |
40 | 10 | {4} | {3,4} | {3,3,4} |
5-simplex |
5-kostka |
5-ortopleks |
6 wymiarów
Nazwa | Schläfli | Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4 twarze | 5 twarzy | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6-simplex | {3,3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
6-kostek | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
6-ortopleks | {3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
6-simplex |
6-kostek |
6-ortopleks |
7 wymiarów
Nazwa | Schläfli | Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4 twarze | 5 twarzy | 6 twarzy | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7-simplex | {3,3,3,3,3,3} | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 2 |
7-kostka | {4,3,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 2 |
7-ortopleks | {3,3,3,3,3,4} | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
7-simplex |
7-kostka |
7-ortopleks |
8 wymiarów
Nazwa | Schläfli | Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4 twarze | 5 twarzy | 6 twarzy | 7 twarzy | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8-simplex | {3,3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
8-kostka | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
8-ortopleks | {3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
8-simplex |
8-kostka |
8-ortopleks |
9 wymiarów
Nazwa | Schläfli | Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4 twarze | 5 twarzy | 6 twarzy | 7 twarzy | 8 twarzy | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9-simplex | {3 8 } | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 2 |
9-kostka | {4,3 7 } | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 2 |
9-ortopleks | {3 7,4 } | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
9-simplex |
9-kostka |
9-ortopleks |
10 wymiarów
Nazwa | Schläfli | Wierzchołki | Krawędzie | Twarze | Komórki | 4 twarze | 5 twarzy | 6 twarzy | 7 twarzy | 8 twarzy | 9 twarzy | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
10-simplex | {3 9 } | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 0 |
10 kostek | {4,3 8 } | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 0 |
10-ortopleks | {3 8,4 } | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
10-simplex |
10 kostek |
10-ortopleks |
...
Niewypukły
Nie ma niewypukłych regularnych polytopów w pięciu lub wyższych wymiarach, z wyjątkiem hozotopów utworzonych z niższych wymiarów niewypukłych regularnych polytopów.
Regularne politopy rzutowe
Rzutowy regularny ( n +1)-politop istnieje, gdy oryginalna regularna teselacja n- sferyczna {p,q,...} jest centralnie symetryczna . Taki politop nazywa się hemi-{p,q,...} i zawiera o połowę mniej elementów. Coxeter podaje symbol {p,q,...}/2, podczas gdy McMullen zapisuje {p,q,...} h/2 z h jako liczbą Coxetera .
Nawet jednostronna foremnych wielokątów mają hemi 2n gon projekcyjne wielokątów {2P} / 2.
Istnieją 4 regularne wielościany rzutowe związane z 4 z 5 brył platońskich .
Hemi-Cube i hemi-ośmiościan uogólnienia jak hemi n -cubes i połud- niowej N - orthoplexes w dowolnych wymiarach.
Regularne wielościany rzutowe
Nazwa | Coxeter McMullen |
Obraz | Twarze | Krawędzie | Wierzchołki | χ |
---|---|---|---|---|---|---|
Półsześcian | {4,3}/2 {4,3} 3 |
3 | 6 | 4 | 1 | |
Hemi-oktaedr | {3,4}/2 {3,4} 3 |
4 | 6 | 3 | 1 | |
Półdwunastościan | {5,3}/2 {5,3} 5 |
6 | 15 | 10 | 1 | |
Hemi-icosahedron | {3,5}/2 {3,5} 5 |
10 | 15 | 6 | 1 |
Regularne 4-politopy rzutowe
W 4-wymiarach 5 z 6 wypukłych regularnych 4-politopów generuje 4-politopy rzutowe. 3 specjalne przypadki to hemi-24-cell, hemi-600-cell i hemi-120-cell.
Nazwa | Symbol Coxetera |
Symbol McMullen |
Komórki | Twarze | Krawędzie | Wierzchołki | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
hemi tesseract | {4,3,3}/2 | {4,3,3} 4 | 4 | 12 | 16 | 8 | 0 |
Hemi- 16-ogniwowy | {3,3,4}/2 | {3,3,4} 4 | 8 | 16 | 12 | 4 | 0 |
Hemi- 24-komorowy | {3,4,3}/2 | {3,4,3} 6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 |
Hemi- 120-ogniwowy | {5,3,3}/2 | {5,3,3} 15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 |
Hemi -600 komórek | {3,3,5}/2 | {3,3,5} 15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
Regularne 5-politopy rzutowe
Istnieją tylko 2 wypukłe regularne hemipolitopy o wymiarach 5 lub wyższych.
Nazwa | Schläfli | 4 twarze | Komórki | Twarze | Krawędzie | Wierzchołki | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
hemi penteract | {4,3,3,3}/2 | 5 | 20 | 40 | 40 | 16 | 1 |
hemi- pentacross | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | 20 | 5 | 1 |
Apeirotopes
Apeirotope lub nieskończony Polytope jest Polytope który ma nieskończenie wiele aspektów . N -apeirotope nieskończona n -polytope: 2-apeirotope lub apeirogon nieskończona wielokąta, 3-apeirotope lub apeirohedron nieskończona wielościan, etc.
Istnieją dwie główne klasy geometryczne apeirotopu:
- Regularne plastry miodu w n wymiarach, które całkowicie wypełniają n- wymiarową przestrzeń.
- Regularne apeirotopy skośne , zawierające n- wymiarową rozmaitość w wyższej przestrzeni.
Jeden wymiar (apeirogons)
Prosty apeirogon to regularna teselacja linii, dzieląca ją na nieskończenie wiele równych odcinków. Ma nieskończenie wiele wierzchołków i krawędzi. Jego symbolem Schläfli jest {∞}, a diagram Coxetera.
Istnieje jako granica p -gon, ponieważ p dąży do nieskończoności, jak następuje:
Nazwa | Monogon | Digon | Trójkąt | Kwadrat | Pięciokąt | Sześciokąt | Siedmiokąt | p-gon | Apeirogon |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {1} | {2} | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | { S } | {∞} |
Symetria | D 1 , [ ] | D 2 , [2] | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | [P] | |
Coxeter | lub | ||||||||
Obraz |
Apeirogons w hiperbolicznej płaszczyzną , przede wszystkim regularne apeirogon {∞}, mogą mieć krzywiznę tak jak skończonych wielokątów na płaszczyźnie euklidesowej, z wierzchołkami ograniczony przez horocycles lub hypercycles zamiast kół .
Regularne apeirogony, które są wyskalowane tak, aby zbiegać się w nieskończoności, mają symbol {∞} i występują na horocyklach, podczas gdy bardziej ogólnie mogą istnieć na hipercyklach.
{∞} | {πi/λ} |
---|---|
Apeirogon na horocycle |
Apeirogon na hipercyklu |
Powyżej znajdują się dwa regularne hiperboliczne apeirogony w modelu dysku Poincarégo , prawy pokazuje prostopadłe linie odbicia rozbieżnych domen fundamentalnych , oddzielone długością λ.
Pochyl apeirogony
Skośny apeirogon w dwóch wymiarach tworzy zygzakowatą linię w płaszczyźnie. Jeśli zygzak jest równy i symetryczny, to apeirogon jest regularny.
Skośne apeirogony mogą być konstruowane w dowolnej liczbie wymiarów. W trzech wymiarach regularny skośny apeirogon tworzy spiralną spiralę i może być leworęczny lub praworęczny.
2-wymiarowe | 3-wymiarowe |
---|---|
Zygzakowaty apeirogon |
Helix apeirogon |
Dwa wymiary (apeirohedra)
kafelki euklidesowe
Samolot ma trzy regularne teselacje. Wszystkie trzy mają charakterystykę Eulera (χ) równą 0.
Nazwa |
Płytki kwadratowe (kwadryle) |
Dachówka trójkątna (deltille) |
Płytki sześciokątne (hekstyl) |
---|---|---|---|
Symetria | p4m, [4,4], (*442) | p6m, [6,3], (*632) | |
Schläfli {p, q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
Schemat Coxetera | |||
Obraz |
Istnieją dwa niewłaściwe regularne kafelki: {∞,2}, dwuścian apeirogonalny , złożony z dwóch apeirogonów , z których każdy wypełnia połowę płaszczyzny; a po drugie, jego podwójna, {2,∞}, równoboczny równoboczny , widziany jako nieskończony zbiór równoległych linii.
{∞,2} , |
{2,∞} , |
euklidesowe kafelki gwiezdne
Nie ma regularnych kafelków płaszczyzn wielokątów gwiezdnych . Istnieje wiele wyliczeń, które mieszczą się w płaszczyźnie (1/ p + 1/ q = 1/2), np. {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12 /5,12} itd., ale żadna nie powtarza się okresowo.
Kafelki hiperboliczne
Teselacje hiperbolicznej 2-przestrzeni to kafelki hiperboliczne . W H 2 jest nieskończenie wiele regularnych kafli . Jak stwierdzono powyżej, każda dodatnia para liczb całkowitych { p , q } taka, że 1/ p + 1/ q < 1/2 daje kafelkowanie hiperboliczne. W rzeczywistości, dla ogólnego trójkąta Schwarza ( p , q , r ) to samo dotyczy 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.
Istnieje wiele różnych sposobów wyświetlania płaszczyzny hiperbolicznej, w tym model dysku Poincaré, który odwzorowuje płaszczyznę w okrąg, jak pokazano poniżej. Należy zauważyć, że wszystkie powierzchnie wielokątów na poniższych kafelkach są równej wielkości i wydają się zmniejszać tylko przy krawędziach z powodu zastosowanej projekcji, bardzo podobnej do efektu obiektywu typu rybie oko .
Istnieje nieskończenie wiele płaskich regularnych 3-apeirotopów (apeirohedra) jako regularnych kafelków płaszczyzny hiperbolicznej, postaci {p,q}, gdzie p+q<pq/2. (wcześniej wymienione powyżej jako teselacje)
- {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
- {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
- {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
- {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
- {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
- {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
- {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
- ...
- {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
Próbka:
Regularny hiperboliczny stół kafelkowy | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teselacje sferyczne (niewłaściwe / platońskie) / euklidesowe / hiperboliczne (dysk Poincaré: kompaktowy / parakompaktowy / niekompaktowy ) z ich symbolem Schläfli | |||||||||||
p \ q | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
2 |
{2 , 2} |
{2,3} |
{2,4} |
{2,5} |
{2,6} |
{2,7} |
{2,8} |
{2,∞} |
{2,iπ/λ} |
||
3 |
{3,2} |
( czworościan ) {3,3} |
( ośmiościan ) {3,4} |
( dwudziestościan ) {3,5} |
( deltille ) {3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3,∞} |
{3,iπ/λ} |
||
4 |
{4,2} |
( kostka ) {4,3} |
( kadryle ) {4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8} |
{4,∞} |
{4,iπ/λ} |
||
5 |
{5,2} |
( dwunastościan ) {5,3} |
{5,4} |
{5,5} |
{5,6} |
{5,7} |
{5,8} |
{5,∞} |
{5,iπ/λ} |
||
6 |
{6,2} |
( hekstyl ) {6,3} |
{6,4} |
{6,5} |
{6,6} |
{6,7} |
{6,8} |
{6,∞} |
{6,iπ/λ} |
||
7 |
{7,2} |
{7,3} |
{7,4} |
{7,5} |
{7,6} |
{7,7} |
{7,8} |
{7,∞} |
{7,iπ/λ} |
||
8 |
{8,2} |
{8,3} |
{8,4} |
{8,5} |
{8,6} |
{8,7} |
{8,8} |
{8,∞} |
{8,iπ/λ} |
||
... | |||||||||||
∞ |
{∞,2} |
{∞,3} |
{∞,4} |
{∞,5} |
{∞,6} |
{∞,7} |
{∞,8} |
{∞,∞} |
{∞,iπ/λ} |
||
... | |||||||||||
iπ/λ |
{iπ/λ,2} |
{iπ/λ,3} |
{iπ/λ,4} |
{iπ/λ,5} |
{iπ/λ,6} |
{iπ/λ,7} |
{iπ/λ,8} |
{iπ/λ,∞} |
{iπ/λ,iπ/λ} |
Hiperboliczne kafelki gwiezdne
Istnieją 2 nieskończone formy kafelków hiperbolicznych, których twarze lub figury wierzchołków są wielokątami gwiaździstymi: { m /2, m } i ich dualami { m , m /2} przy m = 7, 9, 11, .... { m / 2, m } tilings są stellacja płaszczyzny { m , 3} tilings a { m , m / 2} podwójne tilings są facetings tym, że {3, m } tilings i greatenings płaszczyzny { m , 3} tilings.
Wzory { m /2, m } i { m , m /2} są kontynuowane dla nieparzystego m < 7 jako wielościany : gdy m = 5 otrzymujemy mały dwunastościan gwiaździsty i wielki dwunastościan , a gdy m = 3 przypadek ulega degeneracji do czworościanu . Pozostałe dwa wielościany Keplera-Poinsota ( wielki dwunastościan gwiaździsty i dwudziestościan wielki ) nie mają regularnych hiperbolicznych analogów kafelkowania. Jeśli m jest parzyste, w zależności od tego, jak zdecydujemy się zdefiniować { m /2}, możemy uzyskać zdegenerowane podwójne pokrycie innych płytek lub płytek złożonych .
Nazwa | Schläfli | Schemat Coxetera | Obraz | typ twarzy {p} |
figura wierzchołkowa {q} |
Gęstość | Symetria | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zamówienie-7 heptagramiczne kafelki | {7/2,7} | {7/2} |
{7} |
3 | *732 [7,3] |
Siedmiokątne kafelki w porządku heptagramowym | ||
Siedmiokątne kafelki w porządku heptagramowym | {7,7/2} | {7} |
{7/2} |
3 | *732 [7,3] |
Zamówienie-7 heptagramiczne kafelki | ||
Zamówienie 9 enneagrammiczne kafelki | {9/2,9} | {9/2} |
{9} |
3 | *932 [9,3] |
Enneagonalne kafelki rzędu enneagramicznego | ||
Enneagonalne kafelki rzędu enneagramicznego | {9,9/2} | {9} |
{9/2} |
3 | *932 [9,3] |
Zamówienie 9 enneagrammiczne kafelki | ||
Zamówienie-11 kafelki hendekagrammiczne | {11/2,11} | {11/2} |
{11} |
3 | *11.3.2 [11,3] |
Hendekagramiczne kafelki w porządku hedekagonalnym | ||
Hendekagramiczne kafelki w porządku hedekagonalnym | {11,11/2} | {11} |
{11/2} |
3 | *11.3.2 [11,3] |
Zamówienie-11 kafelki hendekagrammiczne | ||
Zamówienie- p p - kafelki gramatyczne | { p /2, p } | { p /2} | { S } | 3 | * str 32 [p,3] |
p -porządek gramatyczny p -kafelkowanie w rogach | ||
p -porządek gramatyczny p -kafelkowanie w rogach | { p , p /2} | { S } | { p /2} | 3 | * str 32 [p,3] |
Zamówienie- p p - kafelki gramatyczne |
Pochyl apeirohedra w 3 spacjach euklidesowych
Istnieją trzy regularne skośne apeiroedry w euklidesowej trójprzestrzeni , z regularnymi skośnymi figurami wierzchołków wielokątów . Dzielą one ten sam układ wierzchołków i krawędzi 3 wypukłych, jednolitych plastrów miodu .
- 6 kwadratów wokół każdego wierzchołka: {4,6|4}
- 4 sześciokąty wokół każdego wierzchołka: {6,4|4}
- 6 sześciokątów wokół każdego wierzchołka: {6,6|3}
Wielościany regularne skośne | ||
---|---|---|
{4,6|4} |
{6,4|4} |
{6,6|3} |
W trójprzestrzeni euklidesowej występuje trzydzieści regularnych apeirohedr. Należą do nich te wymienione powyżej, a także 8 innych „czystych” apeirohedr, wszystkie związane z sześciennym plastrem miodu, {4,3,4}, z innymi o skośnych ścianach wielokątów: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6,4 , {∞,6} 4,4 , oraz {∞,6} 6,3 .
Skoś apeirohedra w hiperbolicznej 3-spacji
W hiperbolicznej przestrzeni trójdzielnej występuje 31 regularnych apeiroedrów skośnych :
- 14 są zwarte: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5 }, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} i {6,8|3}.
- 17 są parakompaktowe: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6 }, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} i {8,8|4}.
Trzy wymiary (4-apeirotopy)
Teselacje 3-przestrzeni euklidesowej
Istnieje tylko jedna niezdegenerowana regularna teselacja z 3 przestrzeniami ( plastry miodu ), {4, 3, 4}:
Nazwa |
Schläfli {p,q,r} |
Coxeter |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
rysunek krawędzi {r} |
Figura wierzchołka {q,r} |
χ | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sześcienny plaster miodu | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | 0 | Samodzielność |
Niewłaściwe teselacje 3-przestrzeni euklidesowej
Istnieje sześć niewłaściwych regularnych teselacji, par opartych na trzech regularnych kafelkach euklidesowych. Ich komórki i figury wierzchołków to regularne hozoedry {2,n}, dwuściany , {n,2} i kafelki euklidesowe. Te niewłaściwe regularne płytki są konstrukcyjnie związane z pryzmatycznymi jednolitymi plastrami miodu poprzez operacje przycinania. Są to wysokowymiarowe analogi kafelków apeirogonalnych rzędu 2 i hosohedron apeirogonalnych .
Schläfli {p,q,r} |
Schemat Coxetera |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
rysunek krawędzi {r} |
Figura wierzchołka {q,r} |
---|---|---|---|---|---|
{2,4,4} | {2,4} | {2} | {4} | {4,4} | |
{2,3,6} | {2,3} | {2} | {6} | {3,6} | |
{2,6,3} | {2,6} | {2} | {3} | {6,3} | |
{4,4,2} | {4,4} | {4} | {2} | {4,2} | |
{3,6,2} | {3,6} | {3} | {2} | {6,2} | |
{6,3,2} | {6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
Teselacje hiperbolicznej 3-przestrzeni
Istnieje dziesięć płaskich, regularnych plastrów miodu o hiperbolicznych 3 przestrzeniach: (wcześniej wymienionych powyżej jako teselacje)
- 4 są zwarte: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} i {5,3,5}
- podczas gdy 6 jest parakompaktowych: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} i {6,3,6}.
|
||||
|
Teselacje hiperbolicznej przestrzeni 3-przestrzennej można nazwać hiperbolicznymi plastrami miodu . W H 3 , 4 kompaktowych i 11 parakompaktowych znajduje się 15 hiperbolicznych plastrów miodu .
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r} |
Coxeter |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
rysunek krawędzi {r} |
Figura wierzchołka {q,r} |
χ | Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Plaster miodu dwudziestościennego | {3,5,3} | {3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | Samodzielność | |
Zamów-5 sześcienny plaster miodu | {4,3,5} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} | |
Zamówienie-4 dwunastościenny plaster miodu | {5,3,4} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | 0 | {4,3,5} | |
Zamów-5 dwunastościenny plaster miodu | {5,3,5} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | Samodzielność |
Istnieje również 11 parakompaktowych plastrów miodu H 3 (tych z nieskończoną liczbą komórek (euklidesowych) i/lub figurami wierzchołków): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4, 4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3, 5} i {6,3,6}.
Niezwarte rozwiązania istnieją jako grupy Lorentza Coxetera i mogą być wizualizowane z otwartymi domenami w przestrzeni hiperbolicznej (podstawowy czworościan mający niektóre części niedostępne poza nieskończonością). Wszystkie plastry miodu z komórkami hiperbolicznymi lub figurami wierzchołków, które nie mają 2 w symbolu Schläfliego, są niezwarte.
{ p ,3} \ r | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{2,3} |
{2,3,2} |
{2,3,3} | {2,3,4} | {2,3,5} | {2,3,6} | {2,3,7} | {2,3,8} | {2,3,∞} |
{3,3} |
{3,3,2} |
{3,3,3} |
{3,3,4} |
{3,3,5} |
{3,3,6} |
{3,3,7} |
{3,3,8} |
{3,3,∞} |
{4,3} |
{4,3,2} |
{4,3,3} |
{4,3,4} |
{4,3,5} |
{4,3,6} |
{4,3,7} |
{4,3,8} |
{4,3,∞} |
{5,3} |
{5,3,2} |
{5,3,3} |
{5,3,4} |
{5,3,5} |
{5,3,6} |
{5,3,7} |
{5,3,8} |
{5,3,∞} |
{6,3} |
{6,3,2} |
{6,3,3} |
{6,3,4} |
{6,3,5} |
{6,3,6} |
{6,3,7} |
{6,3,8} |
{6,3,∞} |
{7,3} |
{7,3,2} |
{7,3,3} |
{7,3,4} |
{7,3,5} |
{7,3,6} |
{7,3,7} |
{7,3,8} |
{7,3,∞} |
{8,3} |
{8,3,2} |
{8,3,3} |
{8,3,4} |
{8,3,5} |
{8,3,6} |
{8,3,7} |
{8,3,8} |
{8,3,∞} |
... {∞,3} |
{∞,3,2} |
{∞,3,3} |
{∞,3,4} |
{∞,3,5} |
{∞,3,6} |
{∞,3,7} |
{∞,3,8} |
{∞,3,∞} |
|
|
|
|
|
|
W H 3 nie ma regularnych hiperbolicznych plastrów miodu : wszystkie formy z regularnym wielościanem gwiaździstym jako komórką, figurą wierzchołkową lub obiema formami stają się sferyczne.
Cztery wymiary (5-apeirotopes)
Teselacje 4-przestrzeni euklidesowej
Istnieją trzy rodzaje nieskończonych regularnych teselacji ( plastrów miodu ), które mogą tworzyć teselację w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej:
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r,s} |
Typ aspektu {p,q,r} |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
figura twarzy {s} |
Figura krawędzi {p, s} |
Figura wierzchołka {q,r,s} |
Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tesseraktyczny plaster miodu | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | Samodzielność |
16-komórkowy plaster miodu | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
24-komórkowy plaster miodu | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
Przewidywana część {4,3,3,4} (plaster miodu Teseractic ) |
Przewidywana część {3,3,4,3} (16-komórkowy plaster miodu) |
Przewidywana część {3,4,3,3} (24-komórkowy plaster miodu) |
Są też dwa przypadki niewłaściwe {4,3,4,2} i {2,4,3,4}.
Istnieją trzy płaskie regularne plastry miodu z 4-przestrzeni euklidesowej:
- {4,3,3,4}, {3,3,4,3} i {3,4,3,3}.
Istnieje siedem płaskich, regularnych, wypukłych plastrów miodu o hiperbolicznej 4-przestrzeni:
- 5 są zwarte: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 ,5}
- 2 są parakompaktowe: {3,4,3,4} i {4,3,4,3}.
Istnieją cztery płaskie regularne plastry miodu o hiperbolicznej 4-przestrzeni:
- {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} i {5,5/2,5,3}.
Teselacje hiperbolicznej 4-przestrzeni
Istnieje siedem wypukłych regularne plastry miodu i cztery gwiazdki w plastrach-H 4 miejsca. Pięć wypukłych jest kompaktowych, a dwa parakompaktowe.
Pięć kompaktowych regularnych plastrów miodu w H 4 :
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r,s} |
Typ aspektu {p,q,r} |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
figura twarzy {s} |
Figura krawędzi {p, s} |
Figura wierzchołka {q,r,s} |
Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zamówienie-5 5-komorowy plaster miodu | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
120-komórkowy plaster miodu | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
Zamówienie-5 tesseraktyczny plaster miodu | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
Zamówienie-4 120-komórkowy plaster miodu | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
Zamówienie-5 120-komórkowy plaster miodu | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Samodzielność |
Dwa parazwartej regularne H 4 o strukturze plastra miodu są następujące: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r,s} |
Typ aspektu {p,q,r} |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
figura twarzy {s} |
Figura krawędzi {p, s} |
Figura wierzchołka {q,r,s} |
Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zamówienie-4 24-komorowy plaster miodu | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
Sześcienny plaster miodu o strukturze plastra miodu | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
Niezwarte rozwiązania istnieją jako grupy Lorentza Coxetera i mogą być wizualizowane z otwartymi domenami w przestrzeni hiperbolicznej (podstawowa 5-komórka, której niektóre części są niedostępne poza nieskończonością). Wszystkie plastry miodu, które nie są pokazane w poniższych tabelach i nie mają 2 w symbolu Schläfli, są niekompaktowe.
Sferyczne / euklidesowe / hiperboliczne ( kompaktowe / parakompaktowe / niezwarte ) plastry miodu {p,q,r,s} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Teselacje gwiazdy hiperbolicznej 4-przestrzeni
W przestrzeni H 4 znajdują się cztery zwykłe gwiaździste plastry miodu , wszystkie kompaktowe:
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r,s} |
Typ aspektu {p,q,r} |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
figura twarzy {s} |
Figura krawędzi {p, s} |
Figura wierzchołka {q,r,s} |
Podwójny | Gęstość |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Mały gwiaździsty 120-komórkowy plaster miodu | {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3} | {5/2,5} | {5/2} | {3} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
600-komórkowy plaster miodu w porządku pentagramowym | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5,5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
Zamów 5 icosahedral 120-komórkowy plaster miodu | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5,5/2,5,3} | 10 |
Świetny 120-komórkowy plaster miodu | {5,5/2,5,3} | {5,5/2,5} | {5,5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | 10 |
Pięć wymiarów (6-apeirotopów)
Jest tylko jeden płaski, regularny plaster miodu o euklidesowej 5-przestrzeni: (wcześniej wymieniony powyżej jako teselacje)
- {4,3,3,3,4}
Istnieje pięć płaskich, regularnych plastrów miodu o hiperbolicznej 5-przestrzeni, wszystkie parakompaktowe: (wcześniej wymienione jako teselacje)
- {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} i { 4,3,3,4,3}
Teselacje 5-przestrzeni euklidesowej
Hypercubic plastra miodu jest jedyną rodziną regularnych plastrów, które mogą tessellate każdy wymiar, pięć lub wyższym, utworzonych przez hipersześcianu aspektach, cztery wokół każdego grzbietu .
Nazwa |
Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n -1 } |
Typ aspektu |
Figura wierzchołka |
Podwójny |
---|---|---|---|---|
Kwadratowe kafelki | {4,4} | {4} | {4} | Samodzielność |
Sześcienny plaster miodu | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | Samodzielność |
Tesseraktyczny plaster miodu | {4,3 2 4} | {4,3 2 } | {3 2 , 4} | Samodzielność |
5-kostkowy plaster miodu | {4,3 3 , 4} | {4,3 3 } | {3 3 , 4} | Samodzielność |
6-kostkowy plaster miodu | {4,3 4 , 4} | {4,3 4 } | {3 4 4} | Samodzielność |
7-kostkowy plaster miodu | {4,3 5 4} | {4,3 5 } | {3 5 4} | Samodzielność |
8-kostkowy plaster miodu | {4,3 6 , 4} | {4,3 6 } | {3 6 , 4} | Samodzielność |
n- hipersześcienny plaster miodu | {4,3 n-2 ,4} | {4,3 n-2 } | {3 n-2 ,4} | Samodzielność |
W E 5 występują również przypadki niewłaściwe {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3 ,3,4,3}, {3,4,3,3,2} i {2,3,4,3,3}. W E n , {4,3 n−3 ,4,2} i {2,4,3 n−3 ,4} są zawsze niewłaściwymi teselacjami euklidesowymi.
Teselacje hiperbolicznej 5-przestrzeni
W H 5 jest 5 zwykłych plastrów miodu , wszystkie parakompaktowe, które zawierają nieskończone (euklidesowe) fasety lub figury wierzchołków: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3, 3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} i {4,3,3,4,3}.
Nie ma zwartych teselacji regularnych przestrzeni hiperbolicznej o wymiarze 5 lub wyższym ani parazwartych teselacji regularnych w przestrzeni hiperbolicznej o wymiarze 6 lub wyższym.
Nazwa |
Symbol Schläfliego {p,q,r,s,t} |
Typ aspektu {p,q,r,s} |
typ 4-ścianowy {p,q,r} |
Typ komórki {p,q} |
typ twarzy {p} |
liczba komórek {t} |
Figura twarzy {s,t} |
Figura krawędzi {r,s,t} |
Figura wierzchołka {q,r,s,t} |
Podwójny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5-ortopleksowy plaster miodu | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
24-komórkowy plaster miodu o strukturze plastra miodu | {3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
16-komórkowy plaster miodu | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | samodzielność |
Zamów-4 24-komórkowy plaster miodu o strukturze plastra miodu | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {4} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,4} | {4,3,3,4,3} |
Tesseractic o strukturze plastra miodu | {4,3,3,4,3} | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {4} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
Ponieważ nie ma regularnych gwiazdowych n- politopów dla n ≥ 5, które mogłyby być potencjalnymi komórkami lub figurami wierzchołków, nie ma więcej hiperbolicznych gwiaździstych plastrów miodu w H n dla n ≥ 5.
6 wymiarów i więcej (7-apeirotopes+)
Teselacje hiperbolicznej 6-przestrzeni i wyższej
Nie ma regularnych zwartych lub parazwartych teselacji przestrzeni hiperbolicznej o wymiarze 6 lub wyższym. Jednak każdy symbol Schläfliego o postaci {p,q,r,s,...} nie omówiony powyżej (p,q,r,s,... liczby naturalne powyżej 2 lub nieskończoność) utworzy niezwartą teselację hiperboliczny n -przestrzeń.
Politopy złożone
Związki dwuwymiarowe
Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją n-ramienne gwiazdy wielokątne regularne z symbolami Schläfliego {n/m} dla wszystkich m takie, że m < n/2 (ściśle mówiąc {n/m}={n/(n−m) }) oraz m i n są względnie pierwsze . Gdy m i n nie są względnie pierwsze, otrzymany wielokąt gwiaździsty będzie wielokątem foremnym o n / m bokach. Nową figurę uzyskuje się przez obrócenie tych regularnych n / m- kątów o jeden wierzchołek w lewo od pierwotnego wielokąta, aż liczba obróconych wierzchołków wyniesie n / m minus jeden, i połączenie tych cyfr. Skrajnym przypadkiem jest sytuacja, w której n / m wynosi 2, tworząc figurę składającą się z n /2 prostych odcinków; nazywa się to zdegenerowanym wielokątem gwiazdy .
W innych przypadkach, w których n i m mają wspólny dzielnik, uzyskuje się wielokąt gwiazdy dla niższego n , a wersje obrócone można łączyć. Figury te nazywane są figurami gwiazd , niewłaściwymi wielokątami gwiaździstymi lub wielokątami złożonymi . Często stosuje się dla nich ten sam zapis { n / m }, chociaż autorytety takie jak Grünbaum (1994) uważają (z pewnym uzasadnieniem) formę k { n } za bardziej poprawną, gdzie zwykle k = m .
Kolejna komplikacja pojawia się, gdy połączymy dwa lub więcej wielokątów gwiezdnych, jak na przykład dwa pentagramy różniące się obrotem 36°, wpisane w dziesięciokąt. Jest to poprawnie zapisane w postaci k { n / m }, jako 2{5/2}, a nie powszechnie używanej {10/4}.
Rozszerzona notacja Coxetera dla związków ma postać c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, co wskazuje, że d różne { p , q ,...} razem pokrywają wierzchołki { m , n ,...} c razy i ścianki { s , t ,...} e razy. Jeśli nie istnieje regularne { m , n ,...}, pierwsza część notacji jest usuwana, pozostawiając [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}; przeciwieństwo zachodzi, jeśli nie istnieje regularne { s , t ,...}. Podwójna liczba c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} to e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Jeśli c lub e wynosi 1, można je pominąć. W przypadku wielokątów złożonych zapis ten redukuje się do { nk } [ k { n / m }] { nk }: na przykład heksagram można zapisać w ten sposób jako {6}[2{3}]{6}.
2{2} |
3{2} |
4{2} |
5{2} |
6{2} |
7{2} |
8{2} |
9{2} |
10{2} |
11{2} |
12{2} |
13{2} |
14{2} |
15{2} |
|
2{3} |
3{3} |
4{3} |
5{3} |
6{3} |
7{3} |
8{3} |
9{3} |
10{3} |
2{4} |
3{4} |
4{4} |
5{4} |
6{4} |
7{4} |
2{5} |
3{5} |
4{5} |
5{5} |
6{5} |
2{5/2} |
3{5/2} |
4{5/2} |
5{5/2} |
6{5/2} |
2{6} |
3{6} |
4{6} |
5{6} |
|
2{7} |
3{7} |
4{7} |
2{7/2} |
3{7/2} |
4{7/2} |
2{7/3} |
3{7/3} |
4{7/3} |
2{8} |
3{8} |
2{8/3} |
3{8/3} |
||
2{9} |
3{9} |
2{9/2} |
3{9/2} |
2{9/4} |
3{9/4} |
2{10} |
3{10} |
2{10/3} |
3{10/3} |
|||||
2{11} |
2{11/2} |
2{11/3} |
2{11/4} |
2{11/5} |
2{12} |
2{12/5} |
2{13} |
2{13/2} |
2{13/3} |
2{13/4} |
2{13/5} |
2{13/6} |
||
2{14} |
2{14/3} |
2{14/5} |
2{15} |
2{15/2} |
2{15/4} |
2{15/7} |
Regularne skośne wielokąty również tworzą związki, widoczne na krawędziach pryzmatycznego związku antypryzmatów , na przykład:
Złożone kwadraty skośne |
Sześciokąty złożone skośne |
Złożone dziesięciokąty skośne |
|
Dwa {2}#{ } | Trzy {2}#{ } | Dwa {3}#{ } | Dwa {5/3}#{ } |
Związki trójwymiarowe
Regularne związek wielościan można zdefiniować jako związek, który, jak zwykły wielościanu jest wierzchołek-przechodni , krawędzi przechodni , a twarzą przechodnia . W tej definicji istnieje 5 regularnych związków.
Symetria | [4,3], O H | [5,3] + , I | [5,3], ja h | ||
---|---|---|---|---|---|
Dwoistość | Samodzielność | Podwójne pary | |||
Obraz | |||||
Kulisty | |||||
Wielościany | 2 {3,3} | 5 {3,3} | 10 {3,3} | 5 {4,3} | 5 {3,4} |
Coxeter | {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} | {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} | 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} | 2 {5,3} [5 {4,3} ] | [5 {3,4} ]2 {3,5} |
Notacja Coxetera dla regularnych związków jest podana w powyższej tabeli, zawierające symbole Schläfliego . Materiał wewnątrz nawiasów kwadratowych, [ d { p , q }], oznacza składniki związku: d oddzielne { p , q }'s. Materiał przed nawiasami kwadratowymi oznacza układ wierzchołków związku: c { m , n } [ d { p , q }] jest związkiem d { p , q } dzielącym wierzchołki { m , n } liczone c razy. Materiał za nawiasami kwadratowymi oznacza układ fasetek związku: [ d { p , q } ] e { s , t } jest związkiem d { p , q } dzielącym ściany { s , t } e razy. Można je łączyć: zatem c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } jest związkiem d { p , q } dzielącym wierzchołki { m , n } liczonym c razy a ściany { s , t } liczone e razy. Ten zapis można uogólnić na związki w dowolnej liczbie wymiarów.
Związki płaszczyzny euklidesowej i hiperbolicznej
Istnieje osiemnaście dwuparametrowych rodzin regularnych teselacji złożonych płaszczyzny euklidesowej. W płaszczyźnie hiperbolicznej znanych jest pięć rodzin jednoparametrowych i siedemnaście pojedynczych przypadków, ale kompletność tej listy nie została jeszcze udowodniona.
Rodziny związków euklidesowych i hiperbolicznych 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p liczba całkowita) są analogiczne do sferycznej stella octagula , 2 {3,3}.
Samodzielność | Podwójny | Samodzielność | |
---|---|---|---|
2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
{{4,4}} lub {4,4} lub {4,4}[2{4,4}]{4,4} + lub |
[2{6,3}]{3,6} | {6,3} lub {6,3}[2{3,6}] + lub |
{{∞,∞}} lub a{∞,∞} lub {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} + lub |
3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
2{3,6}[3{6,3}]{6,3} | {3,6}[3{3,6}]2{6,3} + + |
+ + |
Związki czterowymiarowe
75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
---|
Coxeter wymienia 32 regularne związki regularnych 4-politopów w swojej książce Regular Polytopes . McMullen dodaje sześć w swoim artykule Nowe regularne związki 4-politopów . W poniższych tabelach indeks górny (var) wskazuje, że znakowane związki różnią się od innych związków o tych samych symbolach.
Pogarszać | Składnik | Symetria | Układ wierzchołków | Układ komórek |
---|---|---|---|---|
120 {3,3,3} | 5-ogniwowy | [5,3,3], zamówienie 14400 | {5,3,3} | {3,3,5} |
120 {3,3,3} (zmienna) | 5-ogniwowy | zamów 1200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
720 {3,3,3} | 5-ogniwowy | [5,3,3], zamówienie 14400 | 6{5,3,3} | 6{3,3,5} |
5 {3,4,3} | 24-komorowy | [5,3,3], zamówienie 14400 | {3,3,5} | {5,3,3} |
Związek 1 | Związek 2 | Symetria | Układ wierzchołków (1) | Układ komórek (1) | Układ wierzchołków (2) | Układ komórek (2) |
---|---|---|---|---|---|---|
3 {3,3,4} | 3 {4,3,3} | [3,4,3], rząd 1152 | {3,4,3} | 2{3,4,3} | 2{3,4,3} | {3,4,3} |
15 {3,3,4} | 15 {4,3,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 | {3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | {5,3,3} |
75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 5{3,3,5} | 10{5,3,3} | 10{3,3,5} | 5{5,3,3} |
75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 | {5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | {3,3,5} |
75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | zamów 600 | {5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | {3,3,5} |
300 {3,3,4} | 300 {4,3,3} | [5,3,3] + , zamów 7200 | 4{5,3,3} | 8{3,3,5} | 8{5,3,3} | 4{3,3,5} |
600 {3,3,4} | 600 {4,3,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 8{5,3,3} | 16{3,3,5} | 16{5,3,3} | 8{3,3,5} |
25 {3,4,3} | 25 {3,4,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 | {5,3,3} | 5{5,3,3} | 5{3,3,5} | {3,3,5} |
Istnieją dwa różne związki składające się z 75 teseraktów: jeden dzieli wierzchołki 120-komórki, a drugi dzieli wierzchołki 600-komórki. Wynika stąd natychmiast, że odpowiednie podwójne związki 75 komórek 16 również są różne.
Pogarszać | Symetria | Układ wierzchołków | Układ komórek |
---|---|---|---|
5 {5,5/2,5} | [5,3,3] + , zamów 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5,5/2,5} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , zamów 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
Związek 1 | Związek 2 | Symetria | Układ wierzchołków (1) | Układ komórek (1) | Układ wierzchołków (2) | Układ komórek (2) |
---|---|---|---|---|---|---|
5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3] + , zamów 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3] + , zamów 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , zamów 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], zamówienie 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
Istnieje również czternaście częściowo regularnych związków, które są albo wierzchołkowo przechodnie albo komórkowo przechodnie, ale nie oba. Siedem przechodnich do wierzchołków częściowo regularnych związków jest bliźniakami siedmiu przechodnich do komórek częściowo regularnych związków.
Związek 1 wierzchołek przechodni |
Związek 2 przechodni wobec komórek |
Symetria |
---|---|---|
2 16-ogniwowe | 2 teseraty | [4,3,3], rząd 384 |
25 24-ogniwowy (var) | 25 24-ogniwowy (var) | zamów 600 |
100 24-ogniwowych | 100 24-ogniwowych | [5,3,3] + , zamów 7200 |
200 24-ogniwowych | 200 24-ogniwowych | [5,3,3], zamówienie 14400 |
5 600 komórek | 5 120-komorowy | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 600 komórek | 10 120-ogniwowych | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Związek 1 wierzchołek przechodni |
Związek 2 przechodni wobec komórek |
Symetria |
---|---|---|
5 {3,3,5/2} | 5 {5/2,3,3} | [5,3,3] + , zamów 7200 |
10 {3,3,5/2} | 10 {5/2,3,3} | [5,3,3], zamówienie 14400 |
Chociaż 5-komorowy i 24-komorowy są dwoiste, ich podwójne związki ( związek dwóch 5-komórek i związek dwóch 24-komorowych ) nie są uważane za regularne, w przeciwieństwie do związku dwóch czworościanów i różnych związki dual wielokątne, ponieważ nie są one ani regularne ani wierzchołkowe, ani komórkowe: nie są fasetkami ani stelacjami żadnego regularnego 4-politopu.
Związki euklidesowe 3-przestrzenne
Jedyne regularne złożone plastry miodu euklidesowego to nieskończona rodzina związków sześciennych plastrów miodu , które mają wspólne wierzchołki i powierzchnie z innym sześciennym plastrem miodu. Ten związek może mieć dowolną liczbę sześciennych plastrów miodu. Notacja Coxetera to {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.
Pięć wymiarów i wyższe związki
Nie ma regularnych związków w pięciu czy sześciu wymiarach. Znane są trzy związki siedmiowymiarowe (16, 240 lub 480 7-simplices ) i sześć znanych ośmiowymiarowych (16, 240 lub 480 8-kostek lub 8-ortopleksów ). W przestrzeni n -wymiarowej istnieje również jeden związek złożony z n -sprostatów pod warunkiem, że n jest mniejsze od potęgi dwójki, a także dwa związki (jeden z n -sześcianów i podwójny z n -ortopleksów) w przestrzeni n -wymiarowej jeśli n jest potęgą dwójki.
Notacja Coxetera dla tych związków to (przy użyciu α n = {3 n -1 }, β n = {3 n -2 ,4}, γ n = {4,3 n -2 }:
- 7-simpleksów: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , gdzie c = 1, 15 lub 30
- 8-ortopleksy: c γ 8 [16 c β 8 ]
- 8-kostek: [16 c γ 8 ] c β 8
Ogólne przypadki (gdzie n = 2 k i d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):
- Simpleksy: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1
- Ortopleksy: γ n [ d β n ]
- Hipersześciany: [ d γ n ]β n
Związki euklidesowe o strukturze plastra miodu
Znana rodzina zwykłych plastrów euklidesowych złożonych z pięciu lub więcej wymiarów jest nieskończoną rodziną plastrów hipersześciennych , z których wszystkie mają takie same wierzchołki i ścianki, co inny hipersześcienny plaster miodu. Ten związek może mieć dowolną liczbę hipersześciennych plastrów miodu. Notacja Coxetera to δ n [ d δ n ]δ n gdzie δ n = {∞} kiedy n = 2 i {4,3 n −3 ,4} kiedy n ≥ 3.
Streszczenie polytopes
Te abstrakcyjne polytopes powstał z próbą zbadania polytopes oprócz przestrzeni geometrycznej są osadzone w. Obejmują one TESELACJE o kulistym, euklidesowej i hiperbolicznej przestrzeni, TESELACJE innych rozmaitości i wiele innych obiektów, które nie mają dobrze zdefiniowane topologii, ale zamiast tego mogą być scharakteryzowane przez ich „lokalną” topologię. W każdym wymiarze jest ich nieskończenie wiele. Zobacz ten atlas dla próbki. Niektóre godne uwagi przykłady abstrakcyjnych regularnych wielościanów, które nie pojawiają się nigdzie indziej na tej liście, to 11-komorowy {3,5,3} i 57-komorowy {5,3,5}, które mają regularne wielościany rzutowe jako komórki i figury wierzchołków.
Elementami abstrakcyjnego wielościanu są jego ciało (element maksymalny), jego ściany, krawędzie, wierzchołki oraz wielościan zerowy lub zbiór pusty. Te abstrakcyjne elementy można odwzorować w zwykłej przestrzeni lub zrealizować jako figury geometryczne. Niektóre abstrakcyjne wielościany mają dobrze ukształtowane lub wierne realizacje, inne nie. Flaga jest połączony zestaw elementów każdego wymiaru - dla bryły, która jest ciałem, twarz, krawędź twarzy, wierzchołek ostrza i zerowy Polytope. Mówi się, że abstrakcyjny wielotop jest regularny, jeśli jego kombinatoryczne symetrie są przechodnie na jego flagach - to znaczy, że każda flaga może być odwzorowana na dowolną inną pod symetrią wielościanu. Abstrakcyjne politopy regularne pozostają aktywnym obszarem badań.
Pięć takich abstrakcyjnych wielościanów regularnych, których nie można wiernie zrealizować, zostały zidentyfikowane przez HSM Coxetera w jego książce Regular Polytopes (1977) i ponownie przez JM Willsa w pracy „The kombinatorycznie regularne wielościany o indeksie 2” (1987). Wszystkie są topologicznie równoważne toroidom . Ich konstrukcja, poprzez rozmieszczenie n ścian wokół każdego wierzchołka, może być powtarzana w nieskończoność jako kafelki płaszczyzny hiperbolicznej . Na poniższych diagramach hiperboliczne obrazy kafelkowe mają kolory odpowiadające kolorom obrazów wielościanów.
Wielościan
Przyśrodkowy rombowy triacontahedron
Dwunastodwunastościan
Przyśrodkowy triambic dwudziestościan
Dwunastokątny dwuspadowy dwunastościan
Odkopany dwunastościanFigura wierzchołka {5}, {5/2}
(5,5/2) 2
{5}, {5/2}
(5,5/3) 3
Twarze 30 rombów
12 pięciokątów
12 pentagramów
20 sześciokątów
12 pięciokątów
12 pentagramów
20 heksagramów
Dekarstwo
{4, 5}
{5, 4}
{6, 5}
{5, 6}
{6, 6}χ -6 -6 −16 −16 -20
Występują one jako pary podwójne w następujący sposób:
- Przyśrodkowej trzydziestościan rombowy i dodecadodecahedron są podwójnym siebie.
- Przyśrodkowej triambic dwudziestościan i ditrigonal dodecadodecahedron są podwójnym siebie.
- Wydobyty dwunastościan jest samo-dualny.
Zobacz też
- Wielokąt
-
Wielościan
- Wielościan regularny (5 regularnych brył platońskich i 4 bryły Keplera-Poinsota )
-
4-politop
- Regularny 4-politop (16 regularnych 4-politopów, 4 wypukłe i 10 gwiazdowe (Schläfli-Hess))
- Jednolity 4-politop
- Teselacja
- Zwykły polytope
- Mapa regularna (teoria grafów)
Uwagi
Bibliografia
-
Coxeter, HSM (1999), "Rozdział 10: Regularne plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej", piękno geometrii: dwanaście esejów , Mineola, NY: Dover Publications, Inc., s. 199-214, ISBN 0-486-40919-8, LCCN 99035678 , MR 1717154. Patrz w szczególności Tabele podsumowujące II,III,IV,V, s. 212–213.
- Pierwotnie opublikowane w Coxeter, HSM (1956), „Regular honeycombs in hyperbolic space” (PDF) , Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam , III , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., s. 155-169, MR 0087114 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) dnia 2015-04-02.
- Coxeter, HSM (1973) [1948]. Regularne Polytopes (wyd. trzecie). Nowy Jork: Dover Publikacje. Numer ISBN 0-486-61480-8. MR 0370327 . OCLC 798003 . Patrz w szczególności Tabele I i II: Regular polytopes and honeycombs, s. 294-296.
- Johnson, Norman W. (2012), „Regular inversive polytopes” (PDF) , Międzynarodowa Konferencja Matematyki Odległości i Zastosowań (2-5 lipca 2012 r., Warna, Bułgaria) , s. 85-95 Papier 27
- McMullen, Piotr ; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes , Encyklopedia Matematyki i jej Zastosowania, 92 , Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511546686 , ISBN 0-521-81496-0, MR 1965665
- McMullen, Peter (2018), „New Regular Compounds of 4-Polytopes”, Nowe trendy w intuicyjnej geometrii , 27 : 307-320, doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12.
- Nelson, Roice; Segerman, Henry (2015). „Wizualizacja hiperbolicznych plastrów miodu”. arXiv : 1511.02851 . hiperbolichoneycombs.org/
- Sommerville, DMY (1958), Wprowadzenie do geometrii n wymiarów , New York: Dover Publications, Inc., MR 0100239. Przedruk z 1930 ed., opublikowany przez EP Dutton. Zobacz w szczególności rozdział X: Regularne wielotopy.
Zewnętrzne linki
- Bryły platońskie
- Wielościany Keplera-Poinsota
- Regularne rozkładane 4d Polytope
- Słownik wielowymiarowy (Wyszukaj Hexacosichoron i Hecatonicosachoron )
- Przeglądarka Polytope
- Politopy i optymalne upakowanie punktów p w n sferach wymiarowych
- Atlas małych regularnych polytopes
- Wielościany regularne w czasie I. Hubard, Polytopes, Mapy i ich symetrie
- Regularne Polytopes , Nan Ma
Przestrzeń | Rodzina | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Jednolite kafelki | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Sześciokątny |
E 3 | Jednolity wypukły plaster miodu | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Jednolity 4-plaster miodu | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-komórkowy plaster miodu |
E 5 | Jednolity 5-plaster miodu | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Jednolity 6-plaster miodu | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Jednolite 7-plaster miodu | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Jednolite 8-plaster miodu | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Jednolite 9-plaster miodu | {3 [10] } | δ 10 | godz. 10 | qδ 10 | |
E 10 | Jednolite 10-plaster miodu | {3 [11] } | δ 11 | godz. 11 | qδ 11 | |
P n -1 | Jednolity ( n -1)- plaster miodu | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |