Symbol Schläfliego - Schläfli symbol
W geometrii , symbol Schläfli jest zapisem formy, który definiuje regularne politopy i teselacje .
Symbol Schläfli został nazwany na cześć XIX-wiecznego szwajcarskiego matematyka Ludwiga Schläfliego , który uogólnił geometrię euklidesową do ponad trzech wymiarów i odkrył wszystkie wypukłe, regularne politopy, w tym sześć występujących w czterech wymiarach.
Definicja
Symbol Schläfliego jest opisem rekurencyjnym , zaczynającym się od { p } dla p- stronnego wielokąta foremnego, który jest wypukły . Na przykład {3} to trójkąt równoboczny , {4} to kwadrat , {5} wypukły pięciokąt foremny i tak dalej.
Regularne wielokąty gwiazdowe nie są wypukłe, a ich Schläfli symbole { P / Q } zawierać nieredukowalnych frakcji p / q , gdzie p jest liczbą wierzchołków, a Q jest ich liczba toczenia . Równoważnie { p / q } jest tworzony z wierzchołków { p } połączonych co q . Na przykład { 5 ⁄ 2 } jest pentagramem ; { 5 ⁄ 1 } jest pięciokątem .
Regularne wielościan , który ma q regularne p -sided wielokąt twarze wokół siebie wierzchołek jest reprezentowany przez { p , q }. Na przykład sześcian ma 3 kwadraty wokół każdego wierzchołka i jest reprezentowany przez {4,3}.
Regularny 4-wymiarowy polytop , z r { p , q } regularnymi komórkami wielościennymi wokół każdej krawędzi jest reprezentowany przez { p , q , r }. Na przykład tesserakt {4,3,3} ma 3 kostki {4,3} wokół krawędzi.
Ogólnie rzecz biorąc, regularny wielotop { p , q , r ,..., y , z } ma fasetki z { p , q , r ,..., y } wokół każdego wierzchołka , gdzie wierzchołek jest wierzchołkiem wielościanu , krawędź w 4-politopie, ściana w 5-politopie, komórka w 6-politopie i ( n -3)-twarz w n- politopie.
Nieruchomości
Regularny polytope ma regularną figurę wierzchołkową . Figura wierzchołkowa foremnego wielotopu { p , q , r ,..., y , z } to { q , r ,..., y , z }.
Wielokąty regularne mogą mieć elementy wielokąta gwiaździste , takie jak pentagram , z symbolem { 5 ⁄ 2 }, reprezentowanym przez wierzchołki pięciokąta, ale połączonymi naprzemiennie.
Symbol schläfliego może przedstawiać skończoną wypukłego wielościanu , nieskończoną tesselację z przestrzeni euklidesowej lub nieskończonej teselacją hiperbolicznej powierzchni , w zależności od ubytku kątowej konstrukcji. Dodatni defekt kąta pozwala figurze wierzchołka zwinąć się do wyższego wymiaru i zapętlić się z powrotem jako wielokąt. Defekt kąta zerowego tworzy mozaikę przestrzeni o tym samym wymiarze co fasetki. Defekt kąta ujemnego nie może istnieć w zwykłej przestrzeni, ale może być skonstruowany w przestrzeni hiperbolicznej.
Zwykle przyjmuje się, że fasetka lub figura wierzchołkowa jest skończonym wielotopem, ale czasami może być uważana za teselację.
Regularny polytope ma również dual polytope , reprezentowany przez elementy symbolu Schläfli w odwrotnej kolejności. Samopodwójny politop regularny będzie miał symetryczny symbol Schläfliego.
Oprócz opisywania wielotopów euklidesowych, symbole Schläfli mogą być używane do opisywania wielokątów kulistych lub kulistych plastrów miodu.
Historia i wariacje
Twórczość Schläfliego była prawie nieznana za jego życia, a jego notacja opisująca wielokąty została niezależnie odkryta przez kilku innych. W szczególności Thorold Gosset na nowo odkrył symbol Schläfli, który napisał jako | p | q | r | ... | z | zamiast z nawiasami i przecinkami, jak zrobił to Schläfli.
Forma Gosseta ma większą symetrię, więc liczba wymiarów jest liczbą pionowych kresek, a symbol dokładnie zawiera podsymbole dla fasetki i figury wierzchołkowej. Gosset uważany | p jako operator, który można zastosować do | q | ... | z | aby wytworzyć politop o ścianach p- gonalnych, których figura wierzchołka wynosi | q | ... | z |.
Sprawy
Grupy symetrii
Symbole Schläfliego są blisko spokrewnione z (skończonymi) grupami symetrii odbicia , które odpowiadają dokładnie skończonym grupom Coxetera i są określone tymi samymi indeksami, ale zamiast tego nawiasami kwadratowymi [ p , q , r ,...]. Takie grupy są często nazywane przez regularne polytopy, które generują. Na przykład [3,3] to grupa Coxetera dla odblaskowej symetrii czworościennej , [3,4] to odblaskowa symetria oktaedryczna , a [3,5] to odblaskowa symetria dwudziestościenna .
Wielokąty regularne (płaszczyzna)
Symbol Schläfliego (wypukłego) wielokąta foremnego o p krawędzi to { p }. Na przykład pięciokąt foremny jest reprezentowany przez {5}.
W przypadku (niewypukłych) wielokątów gwiazdowych stosuje się notację konstruktywną { p ⁄ q }, gdzie p to liczba wierzchołków, a q- 1 to liczba wierzchołków pomijanych podczas rysowania każdej krawędzi gwiazdy. Na przykład { 5 ⁄ 2 } reprezentuje pentagram .
Wielościany regularne (3 wymiary)
Symbolem Schläfliego wielościanu foremnego jest { p , q } jeśli jego ściany są p -kątami, a każdy wierzchołek jest otoczony q ścianami ( figura wierzchołka to q -kąt).
Na przykład {5,3} to dwunastościan foremny . Ma pięciokątne (5 krawędzi) powierzchnie i 3 pięciokąty wokół każdego wierzchołka.
Zobacz 5 wypukłych brył platońskich , 4 niewypukłe wielościany Keplera-Poinsota .
Topologicznie regularną teselację dwuwymiarową można uznać za podobną do trójwymiarowego wielościanu, ale taką, że wada kątowa wynosi zero. W ten sposób, symbol schläfliego mogą również być zdefiniowane w regularnych teselacji w euklidesowej lub hiperbolicznej przestrzeni w podobny sposób jak dla wielościanów. Analogia obowiązuje dla wyższych wymiarów.
Na przykład kafelek sześciokątny jest reprezentowany przez {6,3}.
Regularne 4-politopy (4 wymiary)
Symbol Schläfliego regularnego 4-politopu ma postać { p , q , r }. Jego (dwuwymiarowe) ściany są regularnymi p- gonami ({ p }), komórki są regularnymi wielościanami typu { p , q } , figury wierzchołków są regularnymi wielościanami typu { q , r } , a figury krawędziowe są regularne r -gony (wpisz { r }).
Zobacz sześć wypukłych regularnych i 10 regularnych 4-politopów .
Na przykład komórka 120 jest reprezentowana przez {5,3,3}. Składa się z komórek dwunastościanu {5,3} i ma 3 komórki wokół każdej krawędzi.
Istnieje jedna regularna teselacja trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: sześcienny plaster miodu , z symbolem Schläfliego {4,3,4}, złożony z sześciennych komórek i 4 sześcianów wokół każdej krawędzi.
Istnieją również 4 regularne zwarte teselacje hiperboliczne, w tym {5,3,4}, hiperboliczny mały dwunastościan o strukturze plastra miodu , który wypełnia przestrzeń komórkami dwunastościanu .
Regularne n -politopy (większe wymiary)
Dla wielowymiarowych regularnych polytopes symbol Schläfliego jest definiowany rekurencyjnie jako { p 1 , p 2 ,..., p n − 1 } jeśli fasetki mają symbol Schläfliego { p 1 , p 2 ,..., p n − 2 } a figury wierzchołkowe mają symbol Schläfliego { p 2 , p 3 ,..., p n − 1 }.
Figura wierzchołkowa fasetki wielotopu i fasetka figury wierzchołkowej tego samego wielotopu są takie same: { p 2 , p 3 ,..., p n − 2 }.
Istnieją tylko 3 regularne polytopes w 5 wymiarach i wyższych: simplex , {3,3,3,...,3}; przekroju Polytope {3,3, ..., 3,4}; i hipersześcian {4,3,3,...,3}. Nie ma niewypukłych regularnych polytopes powyżej 4 wymiarów.
Podwójne politopy
Jeżeli wielotop o wymiarze n ≥ 2 ma symbol Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n − 1 } to jego dual ma symbol Schläfli { p n − 1 , ..., p 2 , p 1 }.
Jeśli kolejność jest palindromiczna , czyli te same przodu i do tyłu, Polytope jest self-podwójny . Każdy regularny polytope w 2 wymiarach (wielokąt) jest samo-dual.
Politopy pryzmatyczne
Jednolite pryzmatyczne wielościany można zdefiniować i nazwać jako iloczyn kartezjański (z operatorem „×”) regularnych wielowymiarowych wielowymiarowych.
- W 0D punkt jest reprezentowany przez ( ). Jego diagram Coxetera jest pusty. Jego symetria notacji Coxetera to ][.
- W 1D segment linii jest reprezentowany przez { }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [ ].
- W 2D prostokąt jest reprezentowany jako { } × { }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [2].
- W 3D pryzmat p- gonalny jest reprezentowany jako { } × { p }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [2, p ].
- W 4D jednostajny pryzmat { p , q }-hedral jest reprezentowany jako { } × { p , q }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [2, p , q ].
- W 4D jednolity duopryzm p - q jest reprezentowany jako { p } × { q }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [ p ,2, q ].
Podwójne pryzmatyczne lub bipiramidy mogą być reprezentowane jako symbole złożone, ale z operatorem dodawania „+”.
- W 2D romb jest reprezentowany jako { } + { }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [2].
- W 3D p- gonalna bipiramida jest reprezentowana jako { } + { p }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [2, p ].
- W 4D, bipiramida { p , q }-hedral jest reprezentowana jako { } + { p , q }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [ p , q ].
- W 4D duopiramida p - q jest reprezentowana jako { p } + { q }. Jego diagram Coxetera to. Jego symetria to [ p ,2, q ].
Politopy piramidalne zawierające wierzchołki przesunięte prostopadle mogą być reprezentowane za pomocą operatora łączenia „∨”. Każda para wierzchołków pomiędzy połączonymi figurami jest połączona krawędziami.
W 2D trójkąt równoramienny można przedstawić jako ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
W 3D:
- Digonal disphenoid może być przedstawiony jako {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
- P GONAL piramidy jest przedstawiony jako () ∨ { s }.
W 4D:
- PQ-Hedral piramidy jest przedstawiony jako () ∨ { p , q }.
- 5 komórek jest przedstawiony jako () ∨ [() ∨ {3}] lub [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
- Kwadratowa piramida ostrosłupowa jest reprezentowana jako ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] lub [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.
Podczas mieszania operatorów kolejność operacji od najwyższego do najniższego to ×, +, ∨.
Politopy osiowe zawierające wierzchołki na równoległych przesuniętych hiperpłaszczyznach mogą być reprezentowane przez || operator. Jednolita graniastosłupa wynosi { n } || { n } i antygraniastosłup { n } || r { n }.
Rozszerzenie symboli Schläfli
Wielokąty i kafelki okręgów
Obcięty wielokąt foremny podwaja się po bokach. Wielokąt foremny o równych bokach można podzielić na pół. Zmieniony równoboczny regularny 2n-gon generuje związek figury gwiazdy , 2{n}.
Formularz | Symbol Schläfli | Symetria | Schemat Coxetera | Przykład, {6} | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Regularny | {P} | [P] | Sześciokąt | ||||
Kadłubowy | t{p} = {2p} | [[p]] = [2p] | = |
Ścięty sześciokąt (Dodecagon) |
= | ||
Zmieniony i Holosnubbing |
a{2p} = β{p} | [2p] | = |
Zmieniony sześciokąt (Heksagram) |
= | ||
Połowa i zlekceważona |
h{2p} = s{p} = {p} | [1 + ,2p] = [p] | = = |
Pół sześciokąt (trójkąt) |
= = |
Wielościany i kafelki
Coxeter rozszerzył swoje użycie symbolu Schläfli do quasi-regularnych wielościanów , dodając wymiar pionowy do symbolu. Był to punkt wyjścia do bardziej ogólnego diagramu Coxetera . Norman Johnson uprościł notację symboli pionowych z przedrostkiem r . Notacja t jest najbardziej ogólna i bezpośrednio odpowiada pierścieniom diagramu Coxetera. Symbole mają odpowiednią alternatywę , zastąpienie pierścieni z otworami w schemacie Coxetera i prefiks h oznaczający połowę , konstrukcja ograniczona wymogiem, aby sąsiednie gałęzie były równo uporządkowane i przecina porządek symetrii o połowę. Powiązany operator, a for altered , pokazany z dwoma zagnieżdżonymi otworami, reprezentuje złożoną wielościan z obiema naprzemiennymi połówkami, zachowując oryginalną pełną symetrię. Zadarty jest formą połowa obcinania i holosnub to obie połówki zmiennym przycinania.
Formularz | Symbole Schläfli | Symetria | Schemat Coxetera | Przykład, {4,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regularny | {p, q} | t 0 {p,q} | [p,q] lub [(p,q,2)] |
Sześcian | |||||
Kadłubowy | t{p,q} | t 0,1 {p,q} | Obcięta kostka | ||||||
Bitruncation ( Obcięty podwójny) |
2t{p,q} | t 1,2 {p,q} | Ośmiościan ścięty | ||||||
Wyprostowanego ( Quasiregular ) |
r{p,q} | t 1 {P, Q} | sześcian sześcienny | ||||||
Birektyfikacja (Zwykły podwójny) |
2r{p,q} | T 2 {P, Q} | Oktaedr | ||||||
Kantelowany ( rektyfikowany rektyfikowany ) |
rr{p,q} | t 0,2 {p,q} | Rombikuboktaedr | ||||||
Cantitruncated (Skrócone sprostowane) |
tr{p,q} | t 0,1,2 {p,q} | Ścięty sześcian sześcienny |
Alternatywy, kwatery i afronty
Alternacje mają połowę symetrii grup Coxetera i są reprezentowane przez niewypełnione pierścienie. Istnieją dwie możliwości wyboru połowy wierzchołków, ale symbol nie wskazuje, który z nich. Ćwiartki są tutaj pokazane z + wewnątrz wydrążonego pierścienia, co oznacza, że są to dwie niezależne alternatywy.
Formularz | Symbole Schläfli | Symetria | Schemat Coxetera | Przykład, {4,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Naprzemienny (połowa) regularny | h{2p,q} | ht 0 {2p,q} | [1 + ,2p,q] | = | Demicube ( czworościan ) |
||||
Zrezygnuj regularnie | s{p,2q} | ht 0,1 {p,2q} | [p + ,2q] | ||||||
Snub podwójny regularny | s{q,2p} | ht 1,2 {2p,q} | [2p,q + ] | Ośmiościan Snub ( Dwudziestościan ) |
|||||
Naprzemienne rektyfikowane (p i q są parzyste) |
godz{p,q} | ht 1 {p, q} | [p,1 + ,q] | ||||||
Naprzemienne rektyfikowane rektyfikowane (p i q są parzyste) |
hrr{p,q} | ht 0,2 {p,q} | [(p,q,2 + )] | ||||||
Ćwiartka (p i q są parzyste) |
q{p,q} | ht 0 ht 2 {p,q} | [1 + ,p,q,1 + ] | ||||||
Snub rektyfikowany Snub quasi-regularny |
sr{p,q} | ht 0,1,2 {p,q} | [p,q] + |
Zadartym sześcio-ośmiościan (afront kostka) |
Zmienione i holosnubbingowane
Zmienione i holosnubbingowe formy mają pełną symetrię grupy Coxetera i są reprezentowane przez podwójne niewypełnione pierścienie, ale mogą być reprezentowane jako związki.
Formularz | Symbole Schläfli | Symetria | Schemat Coxetera | Przykład, {4,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zmienione regularne | a{p,q} | o 0 {p,q} | [p,q] | = ∪ | Ośmiościan gwiaździsty | ||||
Holosnub podwójny regularny | ß{ q , p } | ß{q,p} | przy 0,1 {q,p} | [p,q] | Związek dwóch icosahedrów |
Polychora i plastry miodu
Formularz | Symbol Schläfli | Schemat Coxetera | Przykład, {4,3,3} | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regularny | {p,q,r} | t 0 {p,q,r} | Teserakt | |||||
Kadłubowy | t{p,q,r} | t 0,1 {p,q,r} | Skrócony tesserakt | |||||
Sprostowane | r{p,q,r} | t 1 {p,q,r} | Teserakt rektyfikowany | = | ||||
Bitruncated | 2t{p,q,r} | t 1,2 {p,q,r} | Bitruncated tesseract | |||||
Birektyfikowany (rektyfikowany podwójny) |
2r{p,q,r} = r{r,q,p} | t 2 {p,q,r} | Rektyfikacja 16-ogniwowa | = | ||||
Obcięty ( Obcięty podwójny) |
3t{p,q,r} = t{r,q,p} | t 2,3 {p,q,r} | Bitruncated tesseract | |||||
Trirektyfikowany (podwójny) |
3r{p,q,r} = {r,q,p} | t 3 {p,q,r} = {r,q,p} | 16-ogniwowy | |||||
Kantelowany | rr{p,q,r} | t 0,2 {p,q,r} | Teserakt kantelowy | = | ||||
Obcięty | tr{p,q,r} | t 0,1,2 {p,q,r} | Cantitruncated tesseract | = | ||||
Runcinated ( rozwinięty ) |
e 3 {p, q, r} | t 0,3 {p,q,r} | Runcinated tesseract | |||||
Runciskrócony | t 0,1,3 {p,q,r} | Runcitruncated tesseract | ||||||
omniobcięty | t 0,1,2,3 {p,q,r} | omniobcięty tesserakt |
Alternatywy, kwatery i afronty
Formularz | Symbol Schläfli | Schemat Coxetera | Przykład, {4,3,3} | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Alternatywy | |||||||||
Połowa p nawet |
h{p,q,r} | ht 0 {p,q,r} | 16-ogniwowy | ||||||
Ćwierć p i r parzyste |
q{p,q,r} | ht 0 ht 3 {p,q,r} | |||||||
Odrzuć q nawet |
s{p,q,r} | ht 0,1 {p,q,r} | Snub 24-komorowy | ||||||
Snub skorygowany r nawet |
sr{p,q,r} | ht 0,1,2 {p,q,r} | Snub 24-komorowy | = | |||||
Naprzemienny duopryzm | s{p}s{q} | ht 0,1,2,3 {p,2,q} | Wielki duoantypryzm |
Rodziny rozwidlające się
Formularz | Rozszerzony symbol Schläfli | Schemat Coxetera | Przykłady | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
quasi-regularny | {p,q 1,1 } | t 0 {p,q 1,1 } | 16-ogniwowy | |||||
Kadłubowy | t{p,q 1,1 } | t 0,1 {p,q 1,1 } | Skrócona 16-ogniwowa | |||||
Sprostowane | r{p,q 1,1 } | t 1 {p,q 1,1 } | 24-komorowy | |||||
Kantelowany | rr{p,q 1,1 } | t 0,2,3 {p,q 1,1 } | Kantelowany 16-ogniwowy | |||||
Obcięty | tr{p,q 1,1 } | t 0,1,2,3 {p,q 1,1 } | Cantitruncated 16-komorowy | |||||
Sprostowano odrzucenie | sr{p,q 1,1 } | ht 0,1,2,3 {p,q 1,1 } | Snub 24-komorowy | |||||
quasi-regularny | {r,/q\,p} | t 0 {r,/q\,p} | ||||||
Kadłubowy | t{r,/q\,p} | t 0,1 {r,/q\,p} | ||||||
Sprostowane | r{r,/q\,p} | t 1 {r,/q\,p} | ||||||
Kantelowany | rr{r,/q\,p} | t 0,2,3 {r,/q\,p} | ||||||
Obcięty | tr{r,/q\,p} | t 0,1,2,3 {r,/q\,p} | ||||||
Sprostowano odrzucenie | sr{p,/q,\r} | ht 0,1,2,3 {p,/q\,r} |
Parkietaże
Regularny
Półregularne
Bibliografia
Źródła
-
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Regularne Polytopes (3rd ed.). Publikacje Dovera. s. 14 , 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003 .
Regularne Polytopy.
-
Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, wyd. (1995). Kalejdoskopy: wybrane pisma HSM Coxetera . Wileya. Numer ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Papier 22) s. 251-278 Coxeter, HSM (1940). „Regularne i Semi Regular Polytopes I”. Matematyka. Zeit . 46 : 380–407. doi : 10.1007/BF01181449 . Zbl 0022.38305 . 2,10
- ( Praca 23) s. 279–312 — (1985). „Regularne i półregularne Polytopes II”. Matematyka. Zeit . 188 (4): 559–591. doi : 10.1007/BF01161657 . Zbl 0547.52005 .
- ( Praca 24) s. 313–358 — (1988). „Regularne i półregularne Polytopes III”. Matematyka. Zeit . 200 (1): 3-45. doi : 10.1007/BF01161745 . Zbl 0633.52006 .
Linki zewnętrzne
- Weisstein, Eric W. "Symbol Schläfli" . MatematykaŚwiat . Źródło 28 grudnia 2019 .
- Starck, Maurice (13 kwietnia 2012). „Nazwy i zapisy wielościenne” . Przejażdżka przez świat wielościanów . Źródło 28 grudnia 2019 .