Symbol Schläfliego - Schläfli symbol

Dwunastościan jest regularny wielościanu z symbol schläfliego {5,3}, z 3 pięciokąty wokół każdego wierzchołka .

W geometrii , symbol Schläfli jest zapisem formy, który definiuje regularne politopy i teselacje .

Symbol Schläfli został nazwany na cześć XIX-wiecznego szwajcarskiego matematyka Ludwiga Schläfliego , który uogólnił geometrię euklidesową do ponad trzech wymiarów i odkrył wszystkie wypukłe, regularne politopy, w tym sześć występujących w czterech wymiarach.

Definicja

Symbol Schläfliego jest opisem rekurencyjnym , zaczynającym się od { p } dla p- stronnego wielokąta foremnego, który jest wypukły . Na przykład {3} to trójkąt równoboczny , {4} to kwadrat , {5} wypukły pięciokąt foremny i tak dalej.

Regularne wielokąty gwiazdowe nie są wypukłe, a ich Schläfli symbole { P / Q } zawierać nieredukowalnych frakcji p / q , gdzie p jest liczbą wierzchołków, a Q jest ich liczba toczenia . Równoważnie { p / q } jest tworzony z wierzchołków { p } połączonych co q . Na przykład { 52 } jest pentagramem ; { 51 } jest pięciokątem .

Regularne wielościan , który ma q regularne p -sided wielokąt twarze wokół siebie wierzchołek jest reprezentowany przez { p , q }. Na przykład sześcian ma 3 kwadraty wokół każdego wierzchołka i jest reprezentowany przez {4,3}.

Regularny 4-wymiarowy polytop , z r { p , q } regularnymi komórkami wielościennymi wokół każdej krawędzi jest reprezentowany przez { p , q , r }. Na przykład tesserakt {4,3,3} ma 3 kostki {4,3} wokół krawędzi.

Ogólnie rzecz biorąc, regularny wielotop { p , q , r ,..., y , z } ma fasetki z { p , q , r ,..., y } wokół każdego wierzchołka , gdzie wierzchołek jest wierzchołkiem wielościanu , krawędź w 4-politopie, ściana w 5-politopie, komórka w 6-politopie i ( n -3)-twarz w n- politopie.

Nieruchomości

Regularny polytope ma regularną figurę wierzchołkową . Figura wierzchołkowa foremnego wielotopu { p , q , r ,..., y , z } to { q , r ,..., y , z }.

Wielokąty regularne mogą mieć elementy wielokąta gwiaździste , takie jak pentagram , z symbolem { 52 }, reprezentowanym przez wierzchołki pięciokąta, ale połączonymi naprzemiennie.

Symbol schläfliego może przedstawiać skończoną wypukłego wielościanu , nieskończoną tesselację z przestrzeni euklidesowej lub nieskończonej teselacją hiperbolicznej powierzchni , w zależności od ubytku kątowej konstrukcji. Dodatni defekt kąta pozwala figurze wierzchołka zwinąć się do wyższego wymiaru i zapętlić się z powrotem jako wielokąt. Defekt kąta zerowego tworzy mozaikę przestrzeni o tym samym wymiarze co fasetki. Defekt kąta ujemnego nie może istnieć w zwykłej przestrzeni, ale może być skonstruowany w przestrzeni hiperbolicznej.

Zwykle przyjmuje się, że fasetka lub figura wierzchołkowa jest skończonym wielotopem, ale czasami może być uważana za teselację.

Regularny polytope ma również dual polytope , reprezentowany przez elementy symbolu Schläfli w odwrotnej kolejności. Samopodwójny politop regularny będzie miał symetryczny symbol Schläfliego.

Oprócz opisywania wielotopów euklidesowych, symbole Schläfli mogą być używane do opisywania wielokątów kulistych lub kulistych plastrów miodu.

Historia i wariacje

Twórczość Schläfliego była prawie nieznana za jego życia, a jego notacja opisująca wielokąty została niezależnie odkryta przez kilku innych. W szczególności Thorold Gosset na nowo odkrył symbol Schläfli, który napisał jako | p | q | r | ... | z | zamiast z nawiasami i przecinkami, jak zrobił to Schläfli.

Forma Gosseta ma większą symetrię, więc liczba wymiarów jest liczbą pionowych kresek, a symbol dokładnie zawiera podsymbole dla fasetki i figury wierzchołkowej. Gosset uważany | p jako operator, który można zastosować do | q | ... | z | aby wytworzyć politop o ścianach p- gonalnych, których figura wierzchołka wynosi | q | ... | z |.

Sprawy

Grupy symetrii

Symbole Schläfliego są blisko spokrewnione z (skończonymi) grupami symetrii odbicia , które odpowiadają dokładnie skończonym grupom Coxetera i są określone tymi samymi indeksami, ale zamiast tego nawiasami kwadratowymi [ p , q , r ,...]. Takie grupy są często nazywane przez regularne polytopy, które generują. Na przykład [3,3] to grupa Coxetera dla odblaskowej symetrii czworościennej , [3,4] to odblaskowa symetria oktaedryczna , a [3,5] to odblaskowa symetria dwudziestościenna .

Wielokąty regularne (płaszczyzna)

Regularne wielokąty wypukłe i gwiaździste z 3 do 12 wierzchołkami oznaczonymi symbolami Schläfliego

Symbol Schläfliego (wypukłego) wielokąta foremnego o p krawędzi to { p }. Na przykład pięciokąt foremny jest reprezentowany przez {5}.

W przypadku (niewypukłych) wielokątów gwiazdowych stosuje się notację konstruktywną { pq }, gdzie p to liczba wierzchołków, a q- 1 to liczba wierzchołków pomijanych podczas rysowania każdej krawędzi gwiazdy. Na przykład { 52 } reprezentuje pentagram .

Wielościany regularne (3 wymiary)

Symbolem Schläfliego wielościanu foremnego jest { p , q } jeśli jego ścianyp -kątami, a każdy wierzchołek jest otoczony q ścianami ( figura wierzchołka to q -kąt).

Na przykład {5,3} to dwunastościan foremny . Ma pięciokątne (5 krawędzi) powierzchnie i 3 pięciokąty wokół każdego wierzchołka.

Zobacz 5 wypukłych brył platońskich , 4 niewypukłe wielościany Keplera-Poinsota .

Topologicznie regularną teselację dwuwymiarową można uznać za podobną do trójwymiarowego wielościanu, ale taką, że wada kątowa wynosi zero. W ten sposób, symbol schläfliego mogą również być zdefiniowane w regularnych teselacji w euklidesowej lub hiperbolicznej przestrzeni w podobny sposób jak dla wielościanów. Analogia obowiązuje dla wyższych wymiarów.

Na przykład kafelek sześciokątny jest reprezentowany przez {6,3}.

Regularne 4-politopy (4 wymiary)

Symbol Schläfliego regularnego 4-politopu ma postać { p , q , r }. Jego (dwuwymiarowe) ściany są regularnymi p- gonami ({ p }), komórki są regularnymi wielościanami typu { p , q } , figury wierzchołków są regularnymi wielościanami typu { q , r } , a figury krawędziowe są regularne r -gony (wpisz { r }).

Zobacz sześć wypukłych regularnych i 10 regularnych 4-politopów .

Na przykład komórka 120 jest reprezentowana przez {5,3,3}. Składa się z komórek dwunastościanu {5,3} i ma 3 komórki wokół każdej krawędzi.

Istnieje jedna regularna teselacja trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: sześcienny plaster miodu , z symbolem Schläfliego {4,3,4}, złożony z sześciennych komórek i 4 sześcianów wokół każdej krawędzi.

Istnieją również 4 regularne zwarte teselacje hiperboliczne, w tym {5,3,4}, hiperboliczny mały dwunastościan o strukturze plastra miodu , który wypełnia przestrzeń komórkami dwunastościanu .

Regularne n -politopy (większe wymiary)

Dla wielowymiarowych regularnych polytopes symbol Schläfliego jest definiowany rekurencyjnie jako { p 1 , p 2 ,..., p n  − 1 } jeśli fasetki mają symbol Schläfliego { p 1 , p 2 ,..., p n  − 2 } a figury wierzchołkowe mają symbol Schläfliego { p 2 , p 3 ,..., p n  − 1 }.

Figura wierzchołkowa fasetki wielotopu i fasetka figury wierzchołkowej tego samego wielotopu są takie same: { p 2 , p 3 ,..., p n  − 2 }.

Istnieją tylko 3 regularne polytopes w 5 wymiarach i wyższych: simplex , {3,3,3,...,3}; przekroju Polytope {3,3, ..., 3,4}; i hipersześcian {4,3,3,...,3}. Nie ma niewypukłych regularnych polytopes powyżej 4 wymiarów.

Podwójne politopy

Jeżeli wielotop o wymiarze n ≥ 2 ma symbol Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n  − 1 } to jego dual ma symbol Schläfli { p n  − 1 , ..., p 2 , p 1 }.

Jeśli kolejność jest palindromiczna , czyli te same przodu i do tyłu, Polytope jest self-podwójny . Każdy regularny polytope w 2 wymiarach (wielokąt) jest samo-dual.

Politopy pryzmatyczne

Jednolite pryzmatyczne wielościany można zdefiniować i nazwać jako iloczyn kartezjański (z operatorem „×”) regularnych wielowymiarowych wielowymiarowych.

  • W 0D punkt jest reprezentowany przez ( ). Jego diagram Coxetera jest pusty. Jego symetria notacji Coxetera to ][.
  • W 1D segment linii jest reprezentowany przez { }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel 1.png. Jego symetria to [ ].
  • W 2D prostokąt jest reprezentowany jako { } × { }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.png. Jego symetria to [2].
  • W 3D pryzmat p- gonalny jest reprezentowany jako { } × { p }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png. Jego symetria to [2, p ].
  • W 4D jednostajny pryzmat { p , q }-hedral jest reprezentowany jako { } × { p , q }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Jego symetria to [2, p , q ].
  • W 4D jednolity duopryzm p - q jest reprezentowany jako { p } × { q }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png. Jego symetria to [ p ,2, q ].

Podwójne pryzmatyczne lub bipiramidy mogą być reprezentowane jako symbole złożone, ale z operatorem dodawania „+”.

  • W 2D romb jest reprezentowany jako { } + { }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.png. Jego symetria to [2].
  • W 3D p- gonalna bipiramida jest reprezentowana jako { } + { p }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel p.pngCDel node.png. Jego symetria to [2, p ].
  • W 4D, bipiramida { p , q }-hedral jest reprezentowana jako { } + { p , q }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel f1.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png. Jego symetria to [ p , q ].
  • W 4D duopiramida p - q jest reprezentowana jako { p } + { q }. Jego diagram Coxetera toWęzeł CDel f1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel f1.pngCDel q.pngCDel node.png. Jego symetria to [ p ,2, q ].

Politopy piramidalne zawierające wierzchołki przesunięte prostopadle mogą być reprezentowane za pomocą operatora łączenia „∨”. Każda para wierzchołków pomiędzy połączonymi figurami jest połączona krawędziami.

W 2D trójkąt równoramienny można przedstawić jako ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].

W 3D:

W 4D:

  • PQ-Hedral piramidy jest przedstawiony jako () ∨ { p , q }.
  • 5 komórek jest przedstawiony jako () ∨ [() ∨ {3}] lub [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
  • Kwadratowa piramida ostrosłupowa jest reprezentowana jako ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] lub [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.

Podczas mieszania operatorów kolejność operacji od najwyższego do najniższego to ×, +, ∨.

Politopy osiowe zawierające wierzchołki na równoległych przesuniętych hiperpłaszczyznach mogą być reprezentowane przez || operator. Jednolita graniastosłupa wynosi { n } || { n } i antygraniastosłup { n } || r { n }.

Rozszerzenie symboli Schläfli

Wielokąty i kafelki okręgów

Obcięty wielokąt foremny podwaja się po bokach. Wielokąt foremny o równych bokach można podzielić na pół. Zmieniony równoboczny regularny 2n-gon generuje związek figury gwiazdy , 2{n}.

Formularz Symbol Schläfli Symetria Schemat Coxetera Przykład, {6}
Regularny {P} [P] Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png Wielokąt foremny 6 z adnotacjami.svg Sześciokąt Węzeł CDel 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
Kadłubowy t{p} = {2p} [[p]] = [2p] Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.png = Węzeł CDel 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png Wielokąt foremny 12 z adnotacjami.svg
Ścięty sześciokąt (Dodecagon)
Węzeł CDel 1.pngCDel 6.pngWęzeł CDel 1.png = Węzeł CDel 1.pngCDel 12.pngCDel node.png
Zmieniony i
Holosnubbing
a{2p} = β{p} [2p] Węzeł CDel h3.pngCDel p.pngWęzeł CDel h3.png = Węzeł CDel h3.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png Heksagram.svg Zmieniony sześciokąt
(Heksagram)
Węzeł CDel h3.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h3.png = Węzeł CDel h3.pngCDel 6.pngCDel node.png
Połowa i
zlekceważona
h{2p} = s{p} = {p} [1 + ,2p] = [p] Węzeł CDel h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png = Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.png = Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png Wielokąt regularny 3 z adnotacjami.svg Pół sześciokąt
(trójkąt)
Węzeł CDel h.pngCDel 6.pngCDel node.png = Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png = Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

Wielościany i kafelki

Coxeter rozszerzył swoje użycie symbolu Schläfli do quasi-regularnych wielościanów , dodając wymiar pionowy do symbolu. Był to punkt wyjścia do bardziej ogólnego diagramu Coxetera . Norman Johnson uprościł notację symboli pionowych z przedrostkiem r . Notacja t jest najbardziej ogólna i bezpośrednio odpowiada pierścieniom diagramu Coxetera. Symbole mają odpowiednią alternatywę , zastąpienie pierścieni z otworami w schemacie Coxetera i prefiks h oznaczający połowę , konstrukcja ograniczona wymogiem, aby sąsiednie gałęzie były równo uporządkowane i przecina porządek symetrii o połowę. Powiązany operator, a for altered , pokazany z dwoma zagnieżdżonymi otworami, reprezentuje złożoną wielościan z obiema naprzemiennymi połówkami, zachowując oryginalną pełną symetrię. Zadarty jest formą połowa obcinania i holosnub to obie połówki zmiennym przycinania.

Formularz Symbole Schläfli Symetria Schemat Coxetera Przykład, {4,3}
Regularny {p, q} t 0 {p,q} [p,q]
lub
[(p,q,2)]
Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Sześcian.png Sześcian Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Kadłubowy t{p,q} t 0,1 {p,q} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png Ścięty sześcian.png Obcięta kostka Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Bitruncation
( Obcięty podwójny)
2t{p,q} t 1,2 {p,q} Węzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Ścięty ośmiościan.png Ośmiościan ścięty CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Wyprostowanego
( Quasiregular )
r{p,q} t 1 {P, Q} Węzeł CDel 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png Sześcian.png sześcian sześcienny CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birektyfikacja
(Zwykły podwójny)
2r{p,q} T 2 {P, Q} Węzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Oktaedron.png Oktaedr CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Kantelowany
( rektyfikowany rektyfikowany )
rr{p,q} t 0,2 {p,q} CDel node.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel 11.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Mały rombikoboktahedron.png Rombikuboktaedr Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Cantitruncated
(Skrócone sprostowane)
tr{p,q} t 0,1,2 {p,q} Węzeł CDel 1.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel 11.png Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.png Wielki rombikubaktahedron.png Ścięty sześcian sześcienny Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png

Alternatywy, kwatery i afronty

Alternacje mają połowę symetrii grup Coxetera i są reprezentowane przez niewypełnione pierścienie. Istnieją dwie możliwości wyboru połowy wierzchołków, ale symbol nie wskazuje, który z nich. Ćwiartki są tutaj pokazane z + wewnątrz wydrążonego pierścienia, co oznacza, że ​​są to dwie niezależne alternatywy.

Alternatywy
Formularz Symbole Schläfli Symetria Schemat Coxetera Przykład, {4,3}
Naprzemienny (połowa) regularny h{2p,q} ht 0 {2p,q} [1 + ,2p,q] Węzeł CDel h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel labelp.pngOddział CDel 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png Czworościan.png Demicube
( czworościan )
Węzeł CDel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Zrezygnuj regularnie s{p,2q} ht 0,1 {p,2q} [p + ,2q] Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png
Snub podwójny regularny s{q,2p} ht 1,2 {2p,q} [2p,q + ] Węzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png Jednolite wielościan-43-h01.svg Ośmiościan Snub
( Dwudziestościan )
CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png
Naprzemienne rektyfikowane
(p i q są parzyste)
godz{p,q} ht 1 {p, q} [p,1 + ,q] Węzeł CDel h1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel h1.pngCDel q.pngCDel node.png
Naprzemienne rektyfikowane rektyfikowane
(p i q są parzyste)
hrr{p,q} ht 0,2 {p,q} [(p,q,2 + )] CDel node.pngCDel split1-pq.pngOddział CDel hh.pngEtykieta CDel2.png Węzeł CDel h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png
Ćwiartka
(p i q są parzyste)
q{p,q} ht 0 ht 2 {p,q} [1 + ,p,q,1 + ] CDel node.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel h1h1.png Węzeł CDel h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel h1.png
Snub rektyfikowany
Snub quasi-regularny
sr{p,q} ht 0,1,2 {p,q} [p,q] + Węzeł CDel h.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel hh.png Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png Snub sześcian.png Zadartym sześcio-ośmiościan
(afront kostka)
Węzeł CDel h.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png

Zmienione i holosnubbingowane

Zmienione i holosnubbingowe formy mają pełną symetrię grupy Coxetera i są reprezentowane przez podwójne niewypełnione pierścienie, ale mogą być reprezentowane jako związki.

Zmienione i holosnubbingowane
Formularz Symbole Schläfli Symetria Schemat Coxetera Przykład, {4,3}
Zmienione regularne a{p,q} o 0 {p,q} [p,q] Węzeł CDel h3.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png = CDel labelp-2.pngOddział CDel 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.pngCDel labelp-2.pngOddział CDel 01rd.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png Związek dwóch czworościanów.png Ośmiościan gwiaździsty Węzeł CDel h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Holosnub podwójny regularny ß{ q , p } ß{q,p} przy 0,1 {q,p} [p,q] Węzeł CDel h3.pngCDel q.pngWęzeł CDel h3.pngCDel p.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel h3.pngCDel q.pngWęzeł CDel h3.png UC46-2 icosahedra.png Związek dwóch icosahedrów CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h3.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h3.png
ß , wyglądająca podobnie do greckiej litery beta (β), to niemiecka litera eszett .

Polychora i plastry miodu

Rodziny liniowe
Formularz Symbol Schläfli Schemat Coxetera Przykład, {4,3,3}
Regularny {p,q,r} t 0 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel model szkieletowy 8-cell.png Teserakt Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Kadłubowy t{p,q,r} t 0,1 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel półstały obcięty tesseract.png Skrócony tesserakt Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Sprostowane r{p,q,r} t 1 {p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel półstały rektyfikowany 8-cell.png Teserakt rektyfikowany CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = Węzeł CDel 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Bitruncated 2t{p,q,r} t 1,2 {p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel półstały bitruncated 16-cell.png Bitruncated tesseract CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Birektyfikowany
(rektyfikowany podwójny)
2r{p,q,r} = r{r,q,p} t 2 {p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel półstały rektyfikowany 16-cell.png Rektyfikacja 16-ogniwowa CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = Węzeł CDel 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Obcięty
( Obcięty podwójny)
3t{p,q,r} = t{r,q,p} t 2,3 {p,q,r} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png Schlegel półstały obcięty 16-cell.png Bitruncated tesseract CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Trirektyfikowany
(podwójny)
3r{p,q,r} = {r,q,p} t 3 {p,q,r} = {r,q,p} CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png Schlegel model szkieletowy 16-cell.png 16-ogniwowy CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Kantelowany rr{p,q,r} t 0,2 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel półstały kantelowany 8-cell.png Teserakt kantelowy Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-43.pngWęzły CDel 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Obcięty tr{p,q,r} t 0,1,2 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel półstały cantitruncated 8-cell.png Cantitruncated tesseract Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = Węzeł CDel 1.pngCDel split1-43.pngWęzły CDel 11.pngCDel 3b.pngCDel nodeb.png
Runcinated
( rozwinięty )
e 3 {p, q, r} t 0,3 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png Schlegel półstały runcinated 8-cell.png Runcinated tesseract Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Runciskrócony t 0,1,3 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png Schlegel półstały runcitruncated 8-cell.png Runcitruncated tesseract Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
omniobcięty t 0,1,2,3 {p,q,r} Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel q.pngWęzeł CDel 1.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.png Schlegel półstały omnitruncated 8-cell.png omniobcięty tesserakt Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png

Alternatywy, kwatery i afronty

Alternatywy
Formularz Symbol Schläfli Schemat Coxetera Przykład, {4,3,3}
Alternatywy
Połowa
p nawet
h{p,q,r} ht 0 {p,q,r} Węzeł CDel h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Schlegel model szkieletowy 16-cell.png 16-ogniwowy Węzeł CDel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Ćwierć
p i r parzyste
q{p,q,r} ht 0 ht 3 {p,q,r} Węzeł CDel h1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel h1.png
Odrzuć
q nawet
s{p,q,r} ht 0,1 {p,q,r} Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png Ortho solid 969-jednolita polichoron 343-snub.png Snub 24-komorowy Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Snub skorygowany
r nawet
sr{p,q,r} ht 0,1,2 {p,q,r} Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.pngCDel r.pngCDel node.png Ortho solid 969-jednolita polichoron 343-snub.png Snub 24-komorowy Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png = Węzeł CDel h.pngCDel split1.pngWęzły CDel hh.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
Naprzemienny duopryzm s{p}s{q} ht 0,1,2,3 {p,2,q} Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h.pngCDel q.pngWęzeł CDel h.png Wielki duoantypryzm.png Wielki duoantypryzm Węzeł CDel h.pngCDel 5.pngWęzeł CDel h.pngCDel 2x.pngWęzeł CDel h.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngWęzeł CDel h.png

Rodziny rozwidlające się

Rodziny rozwidlające się
Formularz Rozszerzony symbol Schläfli Schemat Coxetera Przykłady
quasi-regularny {p,q 1,1 } t 0 {p,q 1,1 } Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel model szkieletowy 16-cell.png 16-ogniwowy Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Kadłubowy t{p,q 1,1 } t 0,1 {p,q 1,1 } Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Schlegel półstały obcięty 16-cell.png Skrócona 16-ogniwowa Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Sprostowane r{p,q 1,1 } t 1 {p,q 1,1 } CDel node.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-qq.pngCDel nodes.png Szkielet Schlegel 24-cell.png 24-komorowy CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Kantelowany rr{p,q 1,1 } t 0,2,3 {p,q 1,1 } Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel split1-qq.pngWęzły CDel 11.png Schlegel półstały kantelowany 16-cell.png Kantelowany 16-ogniwowy Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngWęzły CDel 11.png
Obcięty tr{p,q 1,1 } t 0,1,2,3 {p,q 1,1 } Węzeł CDel 1.pngCDel p.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-qq.pngWęzły CDel 11.png Schlegel półstały cantitruncated 16-cell.png Cantitruncated 16-komorowy Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1.pngWęzły CDel 11.png
Sprostowano odrzucenie sr{p,q 1,1 } ht 0,1,2,3 {p,q 1,1 } Węzeł CDel h.pngCDel p.pngWęzeł CDel h.pngCDel split1-qq.pngWęzły CDel hh.png Ortho solid 969-jednolita polichoron 343-snub.png Snub 24-komorowy Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel split1.pngWęzły CDel hh.png
quasi-regularny {r,/q\,p} t 0 {r,/q\,p} Węzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Kadłubowy t{r,/q\,p} t 0,1 {r,/q\,p} Węzeł CDel 1.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Sprostowane r{r,/q\,p} t 1 {r,/q\,p} CDel node.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png
Kantelowany rr{r,/q\,p} t 0,2,3 {r,/q\,p} Węzeł CDel 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel 11.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngWęzły CDel 11.png
Obcięty tr{r,/q\,p} t 0,1,2,3 {r,/q\,p} Węzeł CDel 1.pngCDel r.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel 11.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel split1-43.pngWęzły CDel 11.png
Sprostowano odrzucenie sr{p,/q,\r} ht 0,1,2,3 {p,/q\,r} Węzeł CDel h.pngCDel r.pngWęzeł CDel h.pngCDel split1-pq.pngWęzły CDel hh.png Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel split1-43.pngWęzły CDel hh.png

Parkietaże

Kulisty

Regularny

Półregularne

Hiperboliczny

Bibliografia

Źródła

Linki zewnętrzne