Model dysku Poincare - Poincaré disk model

Dysk Poincare z hiperbolicznymi równoległymi liniami

Model krążka Poincaré ściętego trójkątnego kafelka .

W geometrii model dysku Poincaré , zwany również modelem dysku konforemnego , jest modelem dwuwymiarowej geometrii hiperbolicznej, w której punkty geometrii znajdują się wewnątrz dysku jednostkowego , a linie proste składają się ze wszystkich łuków kołowych zawartych w tym dysku które są prostopadłe do granicy dysku, plus wszystkie średnice dysku.

Grupę izometrii zachowujących orientację modelu dysku określa specjalna grupa unitarna SU(1,1) .

Wraz z modelem Kleina i modelem półprzestrzeni Poincarégo , został on zaproponowany przez Eugenio Beltramiego, który wykorzystał te modele do wykazania, że ​​geometria hiperboliczna była równospójna z geometrią euklidesową . Jego nazwa pochodzi od Henri Poincaré , ponieważ jego ponowne odkrycie czternaście lat później stało się bardziej znane niż oryginalne dzieło Beltramiego.

Modelu kulki Poincaré jest podobny wzór 3 lub N wymiarową hiperboliczny geometria, w której punkty geometrii są w n -wymiarowej kuli jednostkowej .

Nieruchomości

Linie

Dysk Poincare z 3 ultrarównoległymi (hiperbolicznymi) liniami prostymi

Hiperboliczne linie proste składają się ze wszystkich łuków okręgów euklidesowych zawartych w dysku, które są prostopadłe do granicy dysku, plus wszystkie średnice dysku.

Konstrukcja kompasu i liniału

Niepowtarzalną linię hiperboliczną przechodzącą przez dwa punkty P i Q nie znajdujące się na średnicy okręgu granicznego można zbudować przez:

• niech P' będzie inwersją w okręgu granicznym punktu P
• niech Q' będzie inwersją w okręgu granicznym punktu Q
• niech M będzie środkiem odcinka PP'
• niech N będzie środkiem odcinka QQ'
• Narysuj linię m przez M prostopadle do odcinka PP'
• Narysuj linię n przez N prostopadłą do odcinka QQ'
• niech C będzie tam, gdzie prosta m i prosta n przecinają się.
• Narysuj okrąg c ze środkiem C i przechodząc przez P (i Q).
• Część koła c znajdująca się wewnątrz dysku to linia hiperboliczna.

Jeśli P i Q leżą na średnicy okręgu granicznego, ta średnica jest linią hiperboliczną.

Inny sposób to:

• niech M będzie środkiem odcinka PQ
• Narysuj linię m przez M prostopadłą do odcinka PQ
• niech P' będzie inwersją w okręgu granicznym punktu P
• niech N będzie środkiem odcinka PP'
• Narysuj linię n przez N prostopadłą do odcinka PP'
• niech C będzie tam, gdzie prosta m i prosta n przecinają się.
• Narysuj okrąg c ze środkiem C i przechodząc przez P (i Q).
• Część koła c znajdująca się wewnątrz dysku to linia hiperboliczna.

Dystans

Odległości w tym modelu to metryki Cayleya-Kleina . Mając dwa różne punkty p i q wewnątrz dysku, unikalna linia hiperboliczna łącząca je przecina granicę w dwóch idealnych punktach , a i b , oznacz je tak, że punkty są kolejno a , p , q , b i | aq | > | ap | i | pb | > | qb | .

Hiperboliczna odległość między p i q wynosi wtedy . ${\ Displaystyle d (p, q) = \ ln {\ Frac {\ lewy | aq \ prawy | \ \ lewy | pb \ prawy | {\ lewy | ap \ prawy | \ \ lewy | qb \ prawy | }}}$

Pionowe słupki wskazują euklidesową długość odcinka łączącego punkty między nimi w modelu (nie wzdłuż łuku koła), ln jest logarytmem naturalnym .

Innym sposobem obliczenia odległości hiperbolicznej między dwoma punktami jest ${\ Displaystyle \ Operatorname {arcosh} \ lewo (1 + {\ Frac {2 | pq | ^ {2} | r | ^ {2}} {(| r | ^ {2} - | op | ^ {2} )(|r|^{2}-|oq|^{2})}}\right)}$

gdzie a jest Odległości p odpowiednim Q do środka dysku, odległość pomiędzy p i q , promień granicznej kręgu dysku i jest odwrotnością funkcji hiperboliczny o hiperbolicznej cosinus . ${\displaystyle |op|}$${\displaystyle |oq|}$${\displaystyle |pq|}$${\displaystyle |r|}$${\displaystyle \operatorname {arcosh}}$

Gdy dysk stosowany jest otwarty dyskowym i jednym z punktów jest początkiem, a odległość euklidesowa pomiędzy punktami jest R to odległość jest hiperboliczny: gdzie jest odwrotnością funkcji hiperboliczny z tangens hiperboliczny . ${\ Displaystyle \ ln \ lewo ({\ Frac {1 + R} {1-r}} \ po prawej) = 2 \ operatorname {artanh} r}$${\displaystyle \operatorname {artanh}}$

Gdy używany dysk jest dyskiem jednostki otwartej, a punkt leży między początkiem a punktem (tj. oba punkty mają ten sam promień, mają ten sam kąt biegunowy i ), ich odległość hiperboliczna wynosi . Sprowadza się to do poprzedniej formuły, jeśli . ${\displaystyle x'=(r',\theta)}$${\displaystyle x=(r\theta)}$${\displaystyle 1>r>r'>0}$${\ Displaystyle \ ln \ lewo ({\ Frac {1 + R} {1-r}} \ cdot {\ Frac {1-R '}{1 + R}}} \ prawej) = 2 (\ Operator {Artanh } r-\nazwa operatora {artanh} r')}$${\displaystyle r'=0}$

Kręgi

Koło (zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są w pewnym odstępie od danego punktu jego środku) jest całkowicie wewnątrz okręgu tarczy nie dotykając lub przecinające jego brzegu. Środek hiperboliczny okręgu w modelu zasadniczo nie odpowiada euklidesowemu środkowi okręgu, ale są one na tym samym promieniu okręgu granicznego.

Hipercykle

Hypercycle (zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które znajdują się na jednej stronie, a przy danej odległości od danej linii, jej osi) jest euklidesowa łuk lub okrąg cięciwa okręgu granicznego, który przecina okrąg granica na niebędącego prawo kąt . Jej osią jest linia hiperboliczna, która dzieli te same dwa idealne punkty . Jest to również znane jako krzywa równoodległa.

Horocykle

Horocycle (krzywa którego normalna lub prostopadła geodezyjne asymptotycznie zbiegają się w tym samym kierunku), jest kołem wewnątrz dysku, który styka się z granicznej kręgu dysku. Punkt, w którym dotyka koła granicznego, nie jest częścią horocykla. Jest to idealny punkt i hiperboliczne centrum horocykla.

Streszczenie Euklidesa

Koło euklidesowe:

• który jest całkowicie wewnątrz dysku jest hiperbolicznym kołem .

(Gdy środek dysku nie znajduje się wewnątrz okręgu, środek euklidesowy jest zawsze bliżej środka dysku niż to, co jest, tj . utrzymuje , centrum hiperboliczne ).${\displaystyle t_{e}<t_{h}}$

• który znajduje się wewnątrz dysku i dotyka granicy jest horocyklem ;
• która przecina granicę prostopadle jest linią hiperboliczną ; i
• który przecina granicę nieortogonalnie jest hipercyklem .

Akord euklidesowy koła granicznego:

• przechodząca przez środek jest linią hiperboliczną; i
• który nie przechodzi przez środek to hipercykl.

Metryczne i krzywizny

Widok modelu ' kuli ' Poincaré hiperbolicznego regularnego icosahedrycznego plastra miodu , {3,5,3}

Jeśli u i v są dwoma wektorami w rzeczywistej n- wymiarowej przestrzeni wektorowej R ⁿ ze zwykłą normą euklidesową, z których obie mają normę mniejszą niż 1, to możemy zdefiniować niezmiennik izometryczny przez

${\ Displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ Frac {\ l Vert uv \ r Vert ^ {2}} {(1-\ l Vert u \ r Vert ^ {2}) (1- \ l Vert v \ r Vert ^ { 2})}}\,,}$

gdzie oznacza zwykłą normę euklidesową. Wtedy funkcja odległości to ${\ Displaystyle \ l Vert \ cdot \ r Vert}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} d (u, v) & = \ nazwa operatora {arcosh} (1+ \ delta (u, v)) \ \ & = 2 \ nazwa operatora {arsinh} {\ sqrt {\ frac { \delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end {wyrównany}}}$

Taka funkcja odległości jest zdefiniowana dla dowolnych dwóch wektorów o normie mniejszej niż jeden i czyni zbiór takich wektorów przestrzenią metryczną, która jest modelem przestrzeni hiperbolicznej o stałej krzywiźnie -1. Model ma tę właściwość, że kąt między dwiema przecinającymi się krzywymi w przestrzeni hiperbolicznej jest taki sam jak kąt w modelu.

Powiązany tensor metryczny modelu dysku Poincarégo jest podany przez

${\ Displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ Frac {\ suma _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {\ lewo (1- \ suma _ {i} x_ {i} ^ {2} \ po prawej)^{2}}}={\frac {4\lVert d\mathbf {x} \rVert ^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2} {\duży )}^{2}}}}$

gdzie x _i są współrzędnymi kartezjańskimi otaczającej przestrzeni euklidesowej. W geodezyjne modelu dysku kółka są prostopadłe do kuli graniczna S ^{n -1} .

Układ ortonormalny w odniesieniu do tej metryki Riemanna jest określony wzorem

${\ Displaystyle e_ {i} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (1- | \ mathbf {x} | ^ {2} \ prawej) {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ { ja}}},}$

z podwójną ramą 1-formową

${\ Displaystyle \ theta ^ {i} = {\ Frac {2} {1-| \ mathbf {x} | ^ {2}}} \ dx ^ {i}}.$

W dwóch wymiarach

W dwóch wymiarach, w odniesieniu do tych ram i połączenia Levi-Civita, formy połączenia są określone przez unikalną skośno-symetryczną macierz 1-form, która jest wolna od skręcania, tj. spełnia równanie macierzowe . Rozwiązywanie tego równania dla plonów ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle 0 = d \ theta + \ omega \ klin \ teta}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2 (y \ dx-x \ dy)} {1-| \ mathbf {x} | ^ {2}}} {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 0 \end{pmacierz}},}$

gdzie jest macierz krzywizny

${\ Displaystyle \ Omega = d \ omega + \ omega \ klin \ omega = d \ omega + 0 = {\ Frac {-4 \ dx \ klin dy} {(1-| \ mathbf {x} | ^ {2 })^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Dlatego krzywizna dysku hiperbolicznego jest

${\ Displaystyle K = \ Omega _ {2} ^ {1} (e_ {1}, e_ {2}) = -1.}$

Związek z innymi modelami geometrii hiperbolicznej

model dysku Poincarégo (linia P ) i ich relacje z innymi modelami

Związek z modelem dysku Kleina

Model dysku Kleina (znany również jako model Beltramiego-Kleina) i model dysku Poincarégo to modele, które rzutują całą płaszczyznę hiperboliczną na dysk . Oba modele są powiązane poprzez projekcję na lub z modelu półkuli . Model dysku Kleina jest rzutem prostokątnym na model półkuli, podczas gdy model dysku Poincarégo jest rzutem stereograficznym .

Zaletą modelu dysku Kleina jest to, że linie w tym modelu to proste cięciwy euklidesowe . Wadą jest to, że model dysku Kleina nie jest konforemny (koła i kąty są zniekształcone).

Podczas rzutowania tych samych linii w obu modelach na jeden dysk obie linie przechodzą przez te same dwa idealne punkty . (idealne punkty pozostają w tym samym miejscu) również biegun cięciwy w modelu dysku Kleina jest środkiem okręgu zawierającego łuk w modelu dysku Poincarégo.

Punkt ( x , y ) w modelu dysku Poincaré odwzorowuje się w modelu Kleina. ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {2x} {1 + x ^ {2} + Y ^ {2}}} \ \ {\ Frac {2y} {1 + x ^ {2} + Y ^ {2} }}}\dobrze)}$

Punkt ( x , y ) w modelu Kleina odwzorowuje się w modelu dysku Poincarégo. ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}-y ^ {2}}}}} \ \ \ \ {\ Frac {y} {1+ { \sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}$

Dla idealnych punktów i formuły stają się tak, że punkty są ustalone. ${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} = 1}$${\displaystyle x=x\ ,\ y=y}$

Jeżeli jest wektorem normy mniejszym niż jeden, reprezentującym punkt modelu dysku Poincarégo, to odpowiadający mu punkt modelu dysku Kleina jest określony wzorem: ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ Frac {2u} {1 + U \ cdot u}}.}$

Odwrotnie, z wektora normy mniejszego niż jeden reprezentującego punkt modelu Beltramiego-Kleina, odpowiedni punkt modelu dysku Poincarégo jest określony wzorem: ${\displaystyle s}$

${\ Displaystyle u = {\ Frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ Frac {\ lewo (1-{\ sqrt {1-s \ cdot s}} \right)s}{s\cdot s}}.}$

Stosunek do modelu półpłaszczyznowego Poincaré

Model dysku Poincaré i model półpłaszczyznowy Poincaré noszą nazwy Henri Poincaré .

Jeżeli jest wektorem normy mniejszym niż jeden, reprezentującym punkt modelu dysku Poincarégo, to odpowiadający mu punkt modelu półpłaszczyznowego jest określony wzorem: ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ Frac {u + i} {iu + 1}}.}$

Punkt (x,y) w modelu dysku odwzorowuje się w modelu półpłaszczyznowym. ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {2x} {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} \ , \ {\ Frac {1-x ^ {2}-y ^ {2} }{x^{2}+(1-y)^{2}}}\prawo)\,}$

Punkt (x,y) w modelu półpłaszczyznowym odwzorowuje się w modelu dysku. ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {2x} {x ^ {2} + (1 + Y) ^ {2}}} \ \ {\ Frac {x ^ {2} + Y ^ {2} -1 }{x^{2}+(1+y)^{2}}}\prawo)\,}$

Związek z modelem hiperboloidalnym

Model hiperboloidy można przedstawić równaniem t ² =x ₁ ² +x ₂ ² +1, t>1. Można go wykorzystać do skonstruowania modelu dysku Poincarégo jako projekcji oglądanej z (t=-1,x ₁ =0,x ₂ =0), rzutującej górną połowę hiperboloidy na dysk jednostkowy w t=0. Czerwona geodezja w modelu dysku Poincarégo rzutuje na brązową geodezę na zielonej hiperboloidzie.

Odtwórz multimedia

Animacja częściowego {7,3} hiperbolicznego kafelkowania hiperboloidu obrócona do perspektywy Poincare.

Model dysku Poincarégo, a także model Kleina , są rzutowo powiązane z modelem hiperboloidalnym . Jeśli mamy punkt [ t ,  x ₁ , ...,  x _n ] na górnym arkuszu hiperboloidu modelu hiperboloidu, definiując w ten sposób punkt w modelu hiperboloidu, możemy rzutować go na hiperpłaszczyznę t  = 0 przez przecinając ją linią poprowadzoną przez [−1, 0, ..., 0]. Wynikiem jest odpowiedni punkt modelu dysku Poincarégo.

Dla współrzędnych kartezjańskich ( t ,  x _i ) na hiperboloidzie oraz ( y _i ) na płaszczyźnie wzory konwersji to:

${\ Displaystyle y_ {i} = {\ Frac {x_ {i}} {1 + t}}}$

${\ Displaystyle (t, x_ {i}) = {\ Frac {\ lewo (1+ \ suma {y_ {i} ^ {2}}, \ 2y_ {i} \ prawej) {1-\ suma { y_{i}^{2}}}}\,.}$

Porównaj wzory na rzut stereograficzny między sferą a płaszczyzną.

Konstrukcje geometrii analitycznej w płaszczyźnie hiperbolicznej

Podstawową konstrukcją geometrii analitycznej jest znalezienie prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty. W modelu dysku Poincaré linie w płaszczyźnie są określone przez fragmenty okręgów o równaniach postaci

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} + topór + przez + 1 = 0 \ ,,}$

która jest ogólną formą okręgu prostopadłego do okręgu jednostkowego lub według średnic. Mając dwa punkty u i v na dysku, które nie leżą na średnicy, możemy obliczyć okrąg tej postaci przechodzący przez oba punkty i otrzymać

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x ^ {2} + Y ^ {2} i {} + {\ Frac {v_ {1} (u_ {2} ^ {2} + V_ {2} ^ {2} +1)-z_{2}(u_{1}^{2}+z_{1}^{2}+1)}{u_{1}z_{2}-u_{2}z_{1}}} x\\[8pt]&{}+{\frac {u_{2}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+1)-u_{1}(u_{2}^ {2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{wyrównany}} }$

Jeżeli punkty u i v są punktami na granicy tarczy nie leżącymi w punktach końcowych średnicy, powyższe upraszcza się do

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} + {\ Frac {2 (v_ {1}-v_ {2})} {u_ {1} v_ {2}-u_ {2} v_ {1} }}x-{\frac {2(u_{2}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}$

Kąty

Możemy obliczyć kąt pomiędzy łukiem kołowym, którego końce ( punkty idealne ) są podane przez wektory jednostkowe u i v , a łukiem, którego końce są s i t , korzystając ze wzoru. Ponieważ idealne punkty są takie same w modelu Kleina i modelu dysku Poincarégo, wzory są identyczne dla każdego modelu.

Jeśli linie obu modeli są średnicami, tak że v = − u i t = − s , to po prostu znajdujemy kąt między dwoma wersorami jednostkowymi, a wzór na kąt θ to

${\displaystyle \cos(\theta)=u\cdot s\,.}$

Jeśli v = − u ale nie t = − s , wzór staje się, w postaci iloczynu klina ( ), ${\ Displaystyle \ klin}$

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ Frac {P ^ {2}} {QR}}}$

gdzie

${\ Displaystyle P = u \ cdot (st) \ ,,}$

${\displaystyle Q=u\cdot u\,,}$

${\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ klin t) \ cdot (s \ klin t) \ ,.}$

Jeżeli oba cięciwy nie są średnicami, otrzymujemy wzór ogólny

${\ Displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ Frac {P ^ {2}} {QR}} \ ,,}$

gdzie

${\ Displaystyle P = (uv) \ cdot (st) - (u \ v klina) \ cdot (s \ t klina) \ ,,}$

${\ Displaystyle Q = (uv) \ cdot (uv) - (u \ v klina) \ cdot (u \ v klina) \ ,,}$

${\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ klin t) \ cdot (s \ klin t) \ ,.}$

Korzystając z tożsamości Bineta-Cauchy'ego i faktu, że są to wektory jednostkowe, możemy przepisać powyższe wyrażenia wyłącznie w kategoriach iloczynu skalarnego , jako

${\ Displaystyle P = (uv) \ cdot (st) + (u \ cdot t) (v \ cdot s) - (u \ cdot s) (v \ cdot t) \ ,.}$

${\ Displaystyle Q = (1-u \ cdot v) ^ {2} \ ,,}$

${\ Displaystyle R = (1-s \ cdot t) ^ {2} \,.}$

Realizacje artystyczne

(6,4,2) trójkątne hiperboliczne kafelki, które zainspirowały MC Escher

MC Escher zbadał koncepcję przedstawiania nieskończoności na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Dyskusje z kanadyjskim matematykiem HSM Coxeterem około 1956 roku zainspirowały Eschera teselacjami hiperbolicznymi , które są regularnymi kafelkami płaszczyzny hiperbolicznej. Drewniane ryciny Eschera Granica okręgu I–IV demonstrują tę koncepcję między 1958 a 1960 r., Ostatnią z nich jest Granica okręgu IV: Niebo i piekło w 1960 r. Według Bruno Ernsta najlepszą z nich jest Granica koła III .

Zobacz też

• Geometria hiperboliczna
• Model Beltramiego-Kleina
• Model półpłaszczyzny Poincare
• Metryka Poincarecar
• Pseudosfera
• Model hiperboloidalny
• Geometria odwrotna
• Jednolite kafelki w płaszczyźnie hiperbolicznej

Bibliografia

Dalsza lektura

• James W. Anderson, Geometria hiperboliczna , wydanie drugie, Springer, 2005.
• Eugenio Beltrami, fundacja Teoria archipelagu krzywizny krzywizny, Annali . di Mat., ser II 2 (1868), 232–255.
• Saul Stahl, Półpłat Poincaré , Jones i Bartlett, 1993.

Linki zewnętrzne

• Multimedia związane z modelami dysków Poincaré w Wikimedia Commons