Charakterystyka Eulera - Euler characteristic

W matematyce , a dokładniej w topologii algebraicznej i kombinatoryce wielościennej , charakterystyka Eulera (lub liczba Eulera lub charakterystyka Eulera-Poincarégo ) jest niezmiennikiem topologicznym , liczbą opisującą kształt lub strukturę przestrzeni topologicznej, niezależnie od tego, jak jest ona zgięty. Jest powszechnie oznaczany ( grecką małą literą chi ).

Charakterystyka Eulera została pierwotnie zdefiniowana dla wielościanów i wykorzystana do udowodnienia różnych twierdzeń na ich temat, w tym klasyfikacji brył platońskich . Stwierdzono dla brył platońskich w 1537 r. w niepublikowanym rękopisie Francesco Maurolico . Leonhard Euler , od którego pochodzi nazwa tego pojęcia, wprowadził go dla wielościanów wypukłych bardziej ogólnie, ale nie udowodnił rygorystycznie, że jest niezmiennikiem. We współczesnej matematyce charakterystyka Eulera wynika z homologii i, bardziej abstrakcyjnie, algebry homologicznej .

Wielościany

Wierzchołek, krawędź i ściana sześcianu

Charakterystykę Eulera zdefiniowano klasycznie dla powierzchni wielościanów według wzoru

gdzie V , E i F są odpowiednio liczbą wierzchołków (rogów), krawędzi i ścian w danym wielościanie. Każda wypukła powierzchnia wielościanu ma charakterystykę Eulera

Równanie to, sformułowane przez Leonharda Eulera w 1758 roku, znane jest jako wzór wielościanu Eulera . Odpowiada to charakterystyce Eulera kuli (tj. χ = 2) i dotyczy identycznie wielościanów kulistych . Ilustracja wzoru na wszystkich wielościanów platońskich jest podana poniżej.

Nazwa Obraz Wierzchołki
V
Krawędzie
E
Twarze
F
Charakterystyka Eulera:
VE + F
Czworościan Czworościan.png 4 6 4 2
Pręt sześciokątny lub kostka Sześcian.png 8 12 6 2
Oktaedr Oktaedron.png 6 12 8 2
Dwunastościan Dwunastościan.png 20 30 12 2
dwudziestościan Dwudziestościan.png 12 30 20 2

Powierzchnie wielościanów niewypukłych mogą mieć różne cechy Eulera:

Nazwa Obraz Wierzchołki
V
Krawędzie
E
Twarze
F
Charakterystyka Eulera:
VE + F
Tetrahemihexahedron Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Oktahemioktaedr Oktahemioctahedron.png 12 24 12 0
Kubohemioctahedron Kubohemioctahedron.png 12 24 10 -2
Mały dwunastościan gwiaździsty Mały dwunastościan gwiaździsty.png 12 30 12 -6
Świetny dwunastościan gwiaździsty Świetny dwunastościan gwiaździsty.png 20 30 12 2

W przypadku wielościanów foremnych Arthur Cayley wyprowadził zmodyfikowaną formę wzoru Eulera, wykorzystując gęstość D , gęstość figur wierzchołkowych d v i gęstość powierzchni :

Ta wersja dotyczy zarówno wielościanów wypukłych (gdzie wszystkie gęstości wynoszą 1), jak i niewypukłych wielościanów Keplera-Poinsota .

Wszystkie wielościany rzutowe mają charakterystykę Eulera 1, podobnie jak rzeczywista płaszczyzna rzutowa , podczas gdy wszystkie powierzchnie wielościanów toroidalnych mają charakterystykę Eulera 0, podobnie jak torus .

Wykresy płaskie

Charakterystykę Eulera można zdefiniować dla połączonych wykresów płaskich za pomocą tego samego wzoru, jak dla powierzchni wielościennych, gdzie F jest liczbą ścian na wykresie, w tym ścianą zewnętrzną.

Cechą Eulera każdego grafu związanego z płaszczyzną G jest 2. Można to łatwo udowodnić indukując liczbę ścian wyznaczoną przez G, zaczynając od drzewa jako przypadku bazowego. Dla drzew i . Jeśli G ma składowe C (rozłączone wykresy), ten sam argument indukcji na F pokazuje, że . Jeden z nielicznych artykułów Cauchy'ego poświęcony teorii grafów również potwierdza ten wynik.

Poprzez projekcję stereograficzną płaszczyzna odwzorowuje się na 2-sferę, tak że połączony wykres odwzorowuje wielokątny rozkład sfery, który ma charakterystykę Eulera 2. Ten punkt widzenia jest ukryty w dowodzie Cauchy'ego na wzór Eulera podany poniżej.

Dowód wzoru Eulera

Pierwsze kroki dowodu w przypadku kostki

Istnieje wiele dowodów na wzór Eulera. Jeden podał Cauchy w 1811 r., jak następuje. Odnosi się do każdego wielościanu wypukłego, a bardziej ogólnie do każdego wielościanu, którego granica jest topologicznie równoważna sferze i której ściany są topologicznie równoważne dyskom.

Usuń jedną powierzchnię wielościennej powierzchni. Odciągając krawędzie brakującej ściany od siebie, zdeformuj całą resztę w płaski wykres punktów i krzywych w taki sposób, aby obwód brakującej ściany był umieszczony na zewnątrz, otaczając uzyskany wykres, jak pokazano na pierwszy z trzech wykresów dla szczególnego przypadku sześcianu. (Umożliwia to założenie, że powierzchnia wielościenna jest na początku homeomorficzna ze sferą.) Po tej deformacji regularne ściany na ogół nie są już regularne. Liczba wierzchołków i krawędzi pozostała taka sama, ale liczba ścian została zmniejszona o 1. Dlatego udowodnienie wzoru Eulera na wielościan sprowadza się do udowodnienia VE + F =1 dla tego zdeformowanego, płaskiego obiektu.

Jeśli istnieje ściana o więcej niż trzech bokach, narysuj przekątną — czyli krzywą przechodzącą przez ścianę łączącą dwa wierzchołki, które nie są jeszcze połączone. Dodaje to jedną krawędź i jedną ścianę i nie zmienia liczby wierzchołków, więc nie zmienia ilości VE + F . (Założenie, że wszystkie ściany są dyskami jest tutaj potrzebne, aby pokazać za pomocą twierdzenia o krzywej Jordana, że ta operacja zwiększa liczbę ścian o jeden.) Kontynuuj dodawanie krawędzi w ten sposób, aż wszystkie ściany będą trójkątne.

Zastosuj wielokrotnie jedną z następujących dwóch transformacji, zachowując niezmiennik, że zewnętrzna granica jest zawsze prostym cyklem :

  1. Usuń trójkąt z tylko jedną krawędzią przylegającą do zewnętrznej strony, jak pokazano na drugim wykresie. Zmniejsza to liczbę krawędzi i ścian o jeden i nie zmienia liczby wierzchołków, więc zachowuje VE + F .
  2. Usuń trójkąt z dwiema krawędziami wspólnymi dla zewnętrznej części sieci, jak pokazano na trzecim wykresie. Każde usunięcie trójkąta usuwa wierzchołek, dwie krawędzie i jedną ścianę, więc zachowuje VE + F .

Te przekształcenia ostatecznie redukują graf planarny do pojedynczego trójkąta. (Bez niezmiennika prostego cyklu, usunięcie trójkąta może rozłączyć pozostałe trójkąty, unieważniając resztę argumentu. Poprawna kolejność usuwania jest elementarnym przykładem łuskania ).

W tym momencie samotny trójkąt ma V = 3, E = 3 i F = 1, więc V - E + F = 1. Ponieważ każdy z dwóch powyższych etapów transformacji zachował tę wielkość, pokazaliśmy V - E + F = 1 dla zdeformowanego, płaskiego obiektu, tym samym wykazując VE + F = 2 dla wielościanu. To potwierdza twierdzenie.

Aby uzyskać dodatkowe dowody, zobacz Twenty Proofs of Euler's Formula autorstwa Davida Eppsteina . Wiele dowodów, w tym ich wady i ograniczenia, są używane jako przykłady w Dowodach i odrzuceniach autorstwa Imre Lakatosa .

Definicja topologiczna

Omówione powyżej powierzchnie wielościenne są, we współczesnym języku, dwuwymiarowymi skończonymi kompleksami CW . (Gdy używane są tylko trójkątne ściany, są to dwuwymiarowe skończone simplicjalne kompleksy .) Ogólnie, dla dowolnego skończonego kompleksu CW, charakterystykę Eulera można zdefiniować jako sumę przemienną

gdzie k n oznacza liczbę komórek o wymiarze n w kompleksie.

Podobnie, dla kompleksu symplicjalnego The Charakterystyka Eulera równa sumie zmienny

gdzie k n oznacza liczbę n -simpleksów w kompleksie.

Alternatywa dla numeru Betti

Jeszcze bardziej ogólnie dla dowolnego miejsca topologicznej , że można określić n th Betti numer B n co stopnia z w a n -tej pojedynczej homologii grupy. Charakterystykę Eulera można następnie zdefiniować jako przemienną sumę

Ta wielkość jest dobrze zdefiniowana, jeśli wszystkie liczby Betti są skończone i jeśli wynoszą zero poza pewnym indeksem  n 0 . Dla kompleksów symplicjalnych nie jest to ta sama definicja, jak w poprzednim akapicie, ale obliczenie homologii pokazuje, że obie definicje dadzą tę samą wartość dla .

Nieruchomości

Charakterystyka Eulera zachowuje się dobrze w odniesieniu do wielu podstawowych operacji na przestrzeniach topologicznych, jak następuje.

Niezmienność homotopii

Homologia jest topologicznym niezmiennikiem, a ponadto homotopijnym niezmiennikiem : Dwie przestrzenie topologiczne, które są równoważne homotopii, mają izomorficzne grupy homologii. Wynika z tego, że charakterystyka Eulera jest również niezmiennikiem homotopii.

Na przykład każda przestrzeń kurczliwa (tj. jedna homotopia równoważna punktowi) ma trywialną homologię, co oznacza, że ​​0. liczba Bettiego wynosi 1, a pozostałe 0. Dlatego jej charakterystyka Eulera wynosi 1. Ten przypadek obejmuje przestrzeń euklidesową dowolnego wymiaru , a także kula bryłowa w dowolnej przestrzeni euklidesowej — interwał jednowymiarowy, dysk dwuwymiarowy, kula trójwymiarowa itp.

Na przykład każdy wielościan wypukły jest homeomorficzny z trójwymiarową kulą , więc jego powierzchnia jest homeomorficzna (stąd odpowiednik homotopii) z dwuwymiarową sferą , która ma charakterystykę Eulera 2. To wyjaśnia, dlaczego wielościany wypukłe mają charakterystykę Eulera 2.

Zasada włączenia-wykluczenia

Jeśli M i N są dowolnymi dwiema przestrzeniami topologicznymi, to charakterystyka Eulera ich sumy rozłącznej jest sumą ich cech Eulera, ponieważ homologia jest addytywna w ramach sumy rozłącznej:

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli M i N są podprzestrzeniami większej przestrzeni X , to ich suma i przecięcie są takie same. W niektórych przypadkach charakterystyka Eulera jest zgodna z wersją zasady włączenia-wykluczenia :

Dzieje się tak w następujących przypadkach:

Generalnie zasada włączenia-wykluczenia jest fałszywa. Kontrprzykładem podaje się poprzez X się z prostej , M podzbiór składa się z jednego miejsca i N dopełniacza z M .

Połączona suma

Dla dwóch połączonych zamkniętych rozgałęźników n można uzyskać nowy połączony rozdzielacz poprzez operację połączonej sumy . Charakterystyka Eulera jest powiązana wzorem

Właściwość produktu

Również charakterystyka Eulera dowolnej przestrzeni produktowej M × N to

Te właściwości dodawania i mnożenia także korzystają liczności w zestawach . W ten sposób cechę Eulera można postrzegać jako uogólnienie kardynalności; patrz [1] .

Zakrywanie przestrzeni

Podobnie, w przypadku pokrycia k- tablijnego należy

Bardziej ogólnie, dla rozgałęzionej przestrzeni pokrycia , charakterystykę Eulera pokrycia można obliczyć z powyższego, ze współczynnikiem korygującym dla punktów rozgałęzienia, co daje wzór Riemanna-Hurwitza .

Właściwość fibracji

Właściwości produktu są bardziej ogólne, w przypadku włókien w określonych warunkach.

Jeżeli jest to fibracja ze włóknem F, z połączoną ścieżką bazy B , a fibracja jest orientowana nad polem K, to charakterystyka Eulera ze współczynnikami w polu K spełnia właściwość produktu:

Obejmuje to przestrzenie produktowe i przestrzenie pokrywające jako szczególne przypadki i można to udowodnić za pomocą sekwencji widmowej Serre na homologii fibracji.

W przypadku wiązek światłowodów można to również rozumieć w kategoriach mapy transferu – zauważ, że jest to lifting i idzie „w złą stronę” – której skład z mapą projekcji jest pomnożeniem przez klasę Eulera światłowodu:

Przykłady

Powierzchnie

Charakterystykę Eulera można łatwo obliczyć dla powierzchni ogólnych, znajdując poligonizację powierzchni (tj. opis jako kompleks CW ) i stosując powyższe definicje.

Nazwa Obraz χ
Interwał Kompletny wykres K2.svg 01
Koło Circlo.svg 00
Dysk Dysk zwykły szary.svg 01
Kula Sfera-szkielet.png 02
Torus ( iloczyn dwóch okręgów)

Ilustracja torusa.png 00
Podwójny torus Ilustracja podwójnego torusa.png -2
Potrójny torus Potrójny torus ilustracja.png -4
Prawdziwa
płaszczyzna rzutowa
Steiners Roman.png 01
Wstęga Möbiusa MobiusStrip-01.svg 00
Butelka Kleina KleinBottle-01.png 00
Dwie sfery
(niepołączone)
(Rozłączne połączenie
dwóch sfer)
2-sfery.png 2 + 2 = 4
Trzy sfery
(nie połączone)
(Rozłączne połączenie
trzech sfer)
Sfera-szkielet.pngSfera-szkielet.pngSfera-szkielet.png 2 + 2 + 2 = 6
Sfery
(nie podłączony)
(suma rozłączna
z
n kulek)
Sfera-szkielet.png. . .Sfera-szkielet.png 2 + ... + 2 = 2n

Piłka nożna

Powszechne jest konstruowanie piłek futbolowych przez zszycie ze sobą elementów pięciokątnych i sześciokątnych, przy czym trzy elementy stykają się na każdym wierzchołku (patrz na przykład Adidas Telstar ). Jeśli używane są pięciokąty P i sześciokąty H , to są ściany F = P + H , V = (5 P + 6 H ) / 3 wierzchołki i E = (5 P + 6 H ) / 2 krawędzie. Cechą Eulera jest zatem

Ponieważ kula ma charakterystykę Eulera 2, wynika z tego, że P = 12. Oznacza to, że tak skonstruowana piłka ma zawsze 12 pięciokątów. W zasadzie liczba sześciokątów jest nieograniczona. Wynik ten ma zastosowanie do fulerenów i wielościanów Goldberga .

Dowolne wymiary

Porównanie charakterystyk Eulera hipersześcianów i uproszczeń o wymiarach od 1 do 4
Charakterystyka Eulera sześciu 4-wymiarowych analogów wielościanów foremnych
Regularny
4-politop
V
( k 0 )
E
( k 1 )
F
( k 2 )
C
( k 3 )
= VE
+ FC
5-ogniwowy 5 10 10 5 0
8-ogniwowy 16 32 24 8 0
16-ogniwowy 8 24 32 16 0
24-komorowy 24 96 96 24 0
120-ogniwowy 600 1200 720 120 0
600-ogniwowy 120 720 1200 600 0

N kuli wymiarową ma pojedyncze grupy homologii równej

stąd ma liczbę Bettiego 1 w wymiarach 0 i n , a wszystkie inne liczby Bettiego wynoszą 0. Jego charakterystyka Eulera to wtedy 1 + (−1) n — czyli albo 0 albo 2.

N wymiarową rzeczywistym przestrzeni rzutowej jest ilorazem n -sphere przez antypodyczne mapie . Wynika z tego, że jego charakterystyka Eulera jest dokładnie o połowę mniejsza od odpowiedniej sfery — albo 0, albo 1.

N wymiarową torus jest przestrzeń produktem n kręgów. Jego charakterystyka Eulera wynosi 0, według właściwości produktu. Mówiąc bardziej ogólnie, każda zwarta rozmaitość równoległa , w tym dowolna zwarta grupa Liego , ma charakterystykę Eulera 0.

Cecha Eulera każdej zamkniętej nieparzystowymiarowej rozmaitości jest również równa 0. Przypadek orientowalnych przykładów jest następstwem dualizmu Poincarégo . Ta właściwość ma bardziej ogólne zastosowanie do każdej zwartej przestrzeni warstwowej, której wszystkie warstwy mają nieparzyste wymiary. Odnosi się to również do zamkniętych, nieparzystych rozgałęźników, których nie można orientować, za pośrednictwem orientowanej podwójnej pokrywy dwa do jednego .

Relacje z innymi niezmiennikami

Cechę Eulera zamkniętej orientowalnej powierzchni można obliczyć z jej rodzaju g (liczba tori w połączonym rozkładzie sumy powierzchni; intuicyjnie, liczba „uchwytów”) jako

Charakterystykę Eulera zamkniętej niezorientowanej powierzchni można obliczyć z jej niezorientowanego rodzaju k (liczba rzeczywistych płaszczyzn rzutowych w połączonym rozkładzie sumy powierzchni) jako

Dla zamkniętych gładkich rozmaitości charakterystyka Eulera pokrywa się z liczbą Eulera , tj. klasą Eulera jej wiązki stycznej ocenianej na podstawowej klasie rozmaitości. Klasa Euler z kolei odnosi się do wszystkich innych charakterystycznych klas z wiązek wektorowych .

Dla zamkniętych rozmaitości riemannowskich charakterystykę Eulera można również znaleźć przez całkowanie krzywizny; zobacz twierdzenie Gaussa-Bonneta dla przypadku dwuwymiarowego i uogólnione twierdzenie Gaussa-Bonneta dla przypadku ogólnego.

Dyskretnym analogiem twierdzenia Gaussa-Bonneta jest twierdzenie Kartezjusza, że „całkowita wada” wielościanu , mierzona w pełnych okręgach, jest cechą Eulera wielościanu; patrz wada (geometria) .

Twierdzenie Hadwiger w charakteryzuje charakterystykę Eulera Jako unikalne ( do skalarnej mnożenia ) translacyjnie niezmienna skończenie dodatek nie-koniecznie-dodatnią funkcja Zestaw zdefiniowany w ograniczonym związków o zwartej wypukłych zbiorów w R n , które jest „jednorodny stopnia 0”.

Uogólnienia

Dla każdego kombinatorycznego kompleksu komórek definiuje się charakterystykę Eulera jako liczbę 0 komórek minus liczba 1-komórek plus liczba 2-komórek itd., jeśli ta przemienna suma jest skończona. W szczególności cechą Eulera zbioru skończonego jest po prostu jego kardynalność, a cechą Eulera grafu jest liczba wierzchołków minus liczba krawędzi.

Bardziej ogólnie, można zdefiniować charakterystykę Eulera dowolnego kompleksu łańcucha jako naprzemienną sumę rang grup homologii kompleksu łańcucha, zakładając, że wszystkie te rang są skończone.

Wersja charakterystyki Eulera stosowana w geometrii algebraicznej jest następująca. Dla dowolnego spójnego snopa na odpowiednim schemacie X definiuje się jego charakterystykę Eulera jako

gdzie jest wymiarem i- tej grupy kohomologii snopa . W tym przypadku wszystkie wymiary są skończone według twierdzenia Grothendiecka o skończoności . Jest to przykład Eulera charakterystycznego dla kompleksu łańcuchowego, gdzie kompleks łańcuchowy jest skończoną rozdzielczością przez snopy acykliczne.

Kolejne uogólnienie pojęcia Eulera charakterystyczne na rozmaitościach pochodzi z orbifoldów (patrz charakterystyka Eulera dla orbifoldu ). Podczas gdy każda rozmaitość ma całkowitą charakterystykę Eulera, orbifold może mieć ułamkową charakterystykę Eulera. Na przykład orbifold łzy ma charakterystykę Eulera 1 + 1/ p , gdzie p jest liczbą pierwszą odpowiadającą kątowi stożka 2 π  /  p .

Pojęcie Eulera charakterystyczne dla zredukowanej homologii ograniczonego posetu skończonego jest kolejnym uogólnieniem, ważnym w kombinatoryce . Poset jest „ograniczony”, jeśli zawiera najmniejsze i największe elementy; nazwijmy je 0 i 1. Cecha Eulera takiego posetu jest zdefiniowana jako liczba całkowita μ (0,1), gdzie μ jest funkcją Möbiusa w algebrze padania tego posetu .

Można to dalej uogólnić, definiując cechę Eulera o wartości Q dla pewnych kategorii skończonych , pojęcie zgodne z cechami Eulera grafów, orbifoldów i posetów wspomnianych powyżej. W tym ustawieniu charakterystyka Eulera skończonej grupy lub monoidu G wynosi 1/| G |, a charakterystyka Eulera skończonego groupoidu jest sumą 1/| G i |, gdzie wybraliśmy jedną reprezentatywną grupę G i dla każdego połączonego składnika grupyoidu.

Zobacz też

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Flegg, H. Graham; Od geometrii do topologii , Dover 2001, s. 40.

Zewnętrzne linki