Teselacja — Tessellation

Płytki z terakoty Zellige w Marrakeszu , tworzące na styk , regularne i inne teselacje
Rzeźba ścienna w Leeuwarden upamiętniająca teselacje artystyczne MC Escher

Tesselacji lub płytki z płaskiej powierzchni jest pokrywanie w płaszczyźnie przy użyciu jednej lub większej liczby figur geometrycznych , zwane płytki , bez pokrywania się z i bez przerw. W matematyce teselacje można uogólnić na wyższe wymiary i różne geometrie.

Okresowe układanie płytek ma powtarzający się wzór. Niektóre specjalne rodzaje obejmują regularne płytki z regularnymi płytkami wielokątnymi o tym samym kształcie oraz półregularne płytki z regularnymi płytkami o więcej niż jednym kształcie io identycznym ułożeniu każdego rogu. Wzory tworzone przez okresowe kafelki można podzielić na 17 grup tapet . Kafelki, w których brakuje powtarzającego się wzoru, nazywane są „nieokresowymi”. Aperiodyczny Dachówka wykorzystuje niewielki zbiór kształtów płytek, które nie mogą stanowić powtarzalny wzór. W geometrii o wyższych wymiarach wypełnienie przestrzeni lub plaster miodu jest również nazywane teselacją przestrzeni .

Prawdziwa teselacja fizyczna to kafelki wykonane z materiałów takich jak ceramiczne kwadraty lub sześciokąty cementowe . Takie płytki mogą być wzorami dekoracyjnymi lub mogą pełnić funkcje polegające na zapewnieniu trwałych i wodoodpornych wykładzin chodnikowych , podłogowych lub ściennych. Historycznie rzecz biorąc, TESELACJE były używane w starożytnym Rzymie i w sztuce islamskiej takie jak w architekturze marokańskiej i dekoracyjne geometrycznej płytek w Alhambra Palace. W XX wieku, dzieło MC Escher często korzystał z teselacji, zarówno w zwykłej geometrii euklidesowej iw geometrii hiperbolicznej , dla efektu artystycznego. Teselacje są czasami wykorzystywane do efektu dekoracyjnego w pikowaniu . Teselacje tworzą w naturze klasę wzorów , na przykład w układach heksagonalnych komórek znajdujących się w plastrach miodu .

Historia

Mozaika świątynna ze starożytnego sumeryjskiego miasta Uruk IV (3400–3100 p.n.e.), przedstawiająca wzór teselacji na kolorowych kafelkach

Teselacje były używane przez Sumerów (ok. 4000 lat pne) do budowy dekoracji ściennych utworzonych z wzorów glinianych płytek.

Dekoracyjne płytki mozaikowe wykonane z małych kwadratowych bloków zwane tesserae były szeroko stosowane w starożytności klasycznej , czasami przedstawiając wzory geometryczne.

W 1619 Johannes Kepler przeprowadził wczesne udokumentowane badania teselacji. O teselacjach regularnych i półregularnych pisał w swoim Harmonices Mundi ; prawdopodobnie był pierwszym, który zbadał i wyjaśnił sześciokątne struktury plastra miodu i płatków śniegu .

Rzymska mozaika geometryczna

Jakieś dwieście lat później, w 1891 roku, rosyjski krystalograf Jewgraf Fiodorow udowodnił, że każde okresowe układanie płaszczyzny zawiera jedną z siedemnastu różnych grup izometrii. Praca Fiodorowa oznaczała nieoficjalny początek matematycznego badania teselacji. Inni wybitni współpracownicy to Aleksiej Szubnikow i Nikołaj Biełow (1964) oraz Heinrich Heesch i Otto Kienzle (1963). (Edytowane przez osobę)

Etymologia

Po łacinie tessella to mały sześcienny kawałek gliny , kamienia lub szkła używany do tworzenia mozaik. Słowo „tessella” oznacza „mały kwadrat” (od tessera , kwadrat, co z kolei pochodzi od greckiego słowa τέσσερα oznaczającego cztery ). Odpowiada to potocznemu terminowi kafelkowanie , który odnosi się do zastosowań teselacji, często wykonanych z glazurowanej gliny.

Przegląd

Rhombitrihexagonal Dachówka : kafelki podłogowe w Muzeum Archeologicznego w Sewilli , w Hiszpanii, korzystając kwadrat, trójkąt i prototiles sześciokątne

Teselacja w dwóch wymiarach, zwana także kafelkowaniem planarnym, to temat w geometrii, który bada, w jaki sposób kształty, zwane kafelkami , mogą być rozmieszczone w celu wypełnienia płaszczyzny bez żadnych przerw, zgodnie z określonym zestawem zasad. Zasady te można zmieniać. Powszechne są takie, że między płytkami nie może być żadnych przerw oraz że żaden róg jednej płytki nie może leżeć wzdłuż krawędzi innej. Teselacje utworzone przez mury klejone nie spełniają tej zasady. Wśród tych, które to robią, regularna teselacja ma zarówno identyczne regularne płytki, jak i identyczne regularne narożniki lub wierzchołki, mające ten sam kąt między sąsiednimi krawędziami dla każdej płytki. Istnieją tylko trzy kształty, które mogą tworzyć takie regularne teselacje: trójkąt równoboczny , kwadrat i sześciokąt foremny . Każdy z tych trzech kształtów można powielać w nieskończoność, aby wypełnić płaszczyznę bez przerw.

Wiele innych rodzajów teselacji jest możliwych przy różnych ograniczeniach. Na przykład istnieje osiem typów teselacji półregularnej, wykonanych z więcej niż jednego rodzaju wielokąta foremnego, ale wciąż mających ten sam układ wielokątów na każdym rogu. Teselacje nieregularne mogą być również wykonane z innych kształtów, takich jak pięciokąty , poliomino, a właściwie prawie każdy kształt geometryczny. Artysta MC Escher słynie z wykonywania teselacji z nieregularnych zazębiających się płytek, w kształcie zwierząt i innych naturalnych przedmiotów. Jeśli do płytek o różnych kształtach dobierze się odpowiednie kontrastujące kolory, powstaną wyraziste wzory, które można wykorzystać do dekoracji fizycznych powierzchni, takich jak posadzki kościelne.

Wyszukane i kolorowe teselacje zellige glazurowanych płytek w Alhambrze w Hiszpanii, które przyciągnęły uwagę MC Eschera

Bardziej formalnie, teselacja lub kafelkowanie to pokrycie płaszczyzny euklidesowej policzalną liczbą zamkniętych zestawów, zwanych kaflami , tak że kafelki przecinają się tylko na swoich granicach . Te płytki mogą być wielokątami lub dowolnymi innymi kształtami. Wiele teselacji powstaje ze skończonej liczby prototylów, w których wszystkie płytki w teselacji są przystające do danych prototylów. Jeśli kształt geometryczny może być użyty jako prototil do stworzenia teselacji, mówi się, że kształt ten tworzy teselację lub układa płaszczyznę . Kryterium Conway jest wystarczający, ale nie jest to konieczne zestaw reguł w celu podjęcia decyzji, czy dany kształt rozmieszcza samolot okresowo bez refleksów: niektóre płytki nie kryterium ale nadal płytki samolotu. Nie znaleziono żadnej ogólnej zasady określającej, czy dany kształt może kafelkować płaszczyznę, czy też nie, co oznacza, że ​​istnieje wiele nierozwiązanych problemów dotyczących teselacji.

Matematycznie teselacje można rozszerzyć na przestrzenie inne niż płaszczyzna euklidesowa. Szwajcarski matematyk Ludwig Schläfli pionierem tego definiując polyschemes , które matematycy obecnie połączeń polytopes . Są to odpowiedniki wielokątów i wielościanów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów. On dalej zdefiniował notację symbolu Schläfli, aby ułatwić opisywanie politopów. Na przykład symbol Schläfliego dla trójkąta równobocznego to {3}, a kwadratu to {4}. Notacja Schläfli umożliwia zwięzłe opisanie płytek. Na przykład kafelek z regularnych sześciokątów ma trzy sześcioboczne wielokąty w każdym wierzchołku, więc jego symbol Schläfliego to {6,3}.

Istnieją również inne metody opisywania kafelków wielokątnych. Kiedy teselacja składa się z wielokątów foremnych, najczęstszą notacją jest konfiguracja wierzchołków , która jest po prostu listą liczby boków wielokątów wokół wierzchołka. Kafelki kwadratowe mają konfigurację wierzchołków 4.4.4.4 lub 4 4 . Odnotowuje się układanie płytek foremnych sześciokątów 6.6.6 lub 6 3 .

W matematyce

Wprowadzenie do teselacji

Matematycy, omawiając kafelki, używają pewnych terminów technicznych. Krawędź jest punktem przecięcia dwóch płytek przygranicznych; często jest to linia prosta. Wierzchołek jest punktem przecięcia się trzech lub więcej płytek przygranicznych. Używając tych terminów, kafelkowanie izogonalne lub wierzchołkowo przechodnie to kafelkowanie, w którym każdy punkt wierzchołka jest identyczny; oznacza to, że układ wielokątów wokół każdego wierzchołka jest taki sam. Podstawowy region ma kształt taki jak prostokąt, który jest powtarzany w celu wytworzenia tesselacji. Na przykład regularna teselacja płaszczyzny z kwadratami ma spotkanie czterech kwadratów na każdym wierzchołku .

Boki wielokątów niekoniecznie są identyczne z krawędziami płytek. Dachówka krawędzi do krawędzi jest teselacji dowolnego wielokąta, gdzie sąsiadujące ze sobą płytki dzielić tylko jedną pełną stronę, czyli nie posiadał akcji kafle częściowy boczny lub więcej niż jedną stronę z jakiegokolwiek innego segmentu. W przypadku kafelkowania od krawędzi do krawędzi boki wielokątów i krawędzie płytek są takie same. Znana „ceglana ściana” nie jest układana od krawędzi do krawędzi, ponieważ dłuższy bok każdej prostokątnej cegły jest dzielony z dwoma sąsiadującymi cegłami.

Normalny Dachówka jest teselacji, dla których każda płytka jest topologicznie równoważne dysku , skrzyżowanie z dwoma płytkami jest podłączony zestaw lub zbiór pusty , a wszystkie płytki są wspólnie ograniczone . Oznacza to, że jeden promień opisujący i jeden promień wpisujący można zastosować dla wszystkich płytek w całej płytce; stan nie pozwala na płytki, które są patologicznie długie lub cienkie.

Przykład układania płytek
od krawędzi do krawędzi:
piętnasta wypukła jednościenna płytka pięciokątna , odkryta w 2015 r.

Monohedral Dachówka jest teselacji w którym wszystkie płytki są przystające ; ma tylko jednego prototyla. Szczególnie interesującym rodzajem teselacji jednościennej jest spiralne kafelkowanie jednościenne. Pierwsza spiralna dachówka jednościenna została odkryta przez Heinza Voderberga w 1936 roku; Dachówka Voderberg ma płytki jednostki, która jest nonconvex enneagon . Hirschhorn Dachówka , opublikowane przez Michael D. Hirschhorn i DC Hunt w 1985 roku, jest pięciokąt płytki stosując nieregularne pięciokątów: regularne pięciokątów nie może dachówka płaszczyznę euklidesową jako wewnętrzny kąt pięciokąta foremnego,3 π/5, nie jest dzielnikiem 2 π .

Kafelkowanie izohedralne to specjalna odmiana kafelkowania jednościennego, w której wszystkie kafelki należą do tej samej klasy przechodniości, to znaczy wszystkie kafelki są transformacjami tego samego prototypu w ramach grupy symetrii kafelkowania. Jeśli pierwiastek dopuszcza kafelkowanie, ale żadne takie kafelkowanie nie jest izohedralne, wtedy pierwiastek nazywa się anizoedrycznym i tworzy anizoedryczne kafelki .

Regularne tesselacji jest bardzo symetryczna , płytki od krawędzi do krawędzi składa się z regularnych wielokątów , wszystkie o takim samym kształcie. Istnieją tylko trzy teselacje regularne: te złożone z trójkątów równobocznych , kwadratów lub sześciokątów foremnych . Wszystkie te trzy kafelki są izogonalne i jednościenne.

Pitagorasa płytki to
nie jest płytki krawędzi do krawędzi .

A pół regularne (lub Archimedesa) teselacji zastosowania więcej niż jednego typu regularnego wielokąta w isogonal układzie. Istnieje osiem półregularnych kafelków (lub dziewięć, jeśli para kafelków w lustrzanym odbiciu liczy się jako dwa). Można je opisać poprzez ich konfigurację wierzchołków ; na przykład płytki półregularne z kwadratami i ośmiokątami foremnymi mają konfigurację wierzchołków 4,8 2 (każdy wierzchołek ma jeden kwadrat i dwa ośmiokąty). Możliwych jest wiele kafelków bez krawędzi do krawędzi płaszczyzny euklidesowej, w tym rodzina kafelków pitagorejskich , teselacje, które wykorzystują dwa (sparametryzowane) rozmiary kwadratu, każdy kwadrat styka się z czterema kwadratami innego rozmiaru. Tesselacji krawędź jest taki, w którym każda płyta może być odzwierciedlone na krawędzi do objęcia pozycji sąsiedniej płytki, jak pokazano w tablicy równobocznych lub równoramiennych trójkątów.

Grupy tapet

Ten mozaikowy, jednościenny chodnik uliczny wykorzystuje zakrzywione kształty zamiast wielokątów. Należy do grupy tapet p3.

Kafelki z symetrią translacyjną w dwóch niezależnych kierunkach można podzielić na grupy tapet , których istnieje 17. Twierdzono, że wszystkie siedemnaście z tych grup są reprezentowane w Alhambra Palace w Granada , Hiszpania . Chociaż jest to kwestionowane, różnorodność i wyrafinowanie płytek Alhambra zaskoczyły współczesnych badaczy. Z trzech zwykłych kafelków dwa znajdują się w grupie tapet p6m , a jeden w p4m . Kafelki w 2D z symetrią translacyjną tylko w jednym kierunku można podzielić na siedem grup fryzów opisujących możliwe wzory fryzów . Notacja Orbifold może być użyta do opisania grup tapet płaszczyzny euklidesowej.

kafelki aperiodyczne

Penrose Dachówka z kilkoma symetrie ale bez okresowych powtórzeń

Płytki Penrose , które wykorzystują dwa różne czworoboczne prototile, są najbardziej znanym przykładem płytek, które na siłę tworzą nieokresowe wzory. Należą do ogólnej klasy kafli aperiodycznych , w których stosuje się płytki, które nie mogą okresowo ulegać teselacji. Rekurencyjne proces z substytucji płytek jest sposób wytwarzania aperiodycznych tilings. Jedną z klas, które można wygenerować w ten sposób, są gady ; te płytki mają zaskakujące właściwości samoreplikujące . Dachówki Wiatraczek są nieokresowe, przy użyciu konstrukcji z gadów; płytki pojawiają się w nieskończenie wielu orientacjach. Można by pomyśleć, że nieokresowy wzór byłby całkowicie pozbawiony symetrii, ale tak nie jest. Kafelki aperiodyczne, chociaż pozbawione symetrii translacyjnej , mają symetrie innych typów, poprzez nieskończone powtarzanie dowolnego ograniczonego płata kafelkowania oraz w pewnych skończonych grupach obrotów lub odbić tych płatów. Symetria skalowania ilustruje reguła podstawiania, taka jak może być użyta do wygenerowania niektórych wzorów Penrose'a przy użyciu zestawów płytek zwanych rombami. Słowa Fibonacciego mogą być wykorzystane do zbudowania aperiodyczny kafli, i uczyć się quasi-kryształów , które są konstrukcje z aperiodyczny kolejności.

Zestaw 13 płytek Wang, które układają samolot tylko okresowo

Płytki Wang to kwadraty pokolorowane na każdej krawędzi i umieszczone tak, aby przylegające krawędzie sąsiednich płytek miały ten sam kolor; stąd są czasami nazywane domino Wang . Odpowiedni zestaw domino Wang pozwala na układanie płytek w samolocie, ale tylko okresowo. Jest to znane, ponieważ każda maszyna Turinga może być reprezentowana jako zestaw domino Wanga, które układają płaszczyznę wtedy i tylko wtedy, gdy maszyna Turinga się nie zatrzyma. Ponieważ problem zatrzymania jest nierozstrzygnięty, problem rozstrzygnięcia, czy zestaw domino Wang może pokryć samolot, jest również nierozstrzygnięty.

Płytki Truchet to kwadratowe płytki ozdobione wzorami, dzięki czemu nie mają symetrii obrotowej ; w 1704 roku Sébastien Truchet użył kwadratowej płytki podzielonej na dwa trójkąty o kontrastujących kolorach. Mogą one układać samolot okresowo lub losowo.

Parkietaż i kolor

Jeśli kolory tej płytki mają tworzyć wzór, powtarzając ten prostokąt jako podstawową domenę , wymagane jest co najmniej siedem kolorów; bardziej ogólnie potrzebne są co najmniej cztery kolory .

Czasami kolor płytki jest rozumiany jako część kafelkowania; w innych przypadkach można później zastosować dowolne kolory. Omawiając kafelek, który jest wyświetlany w kolorach, aby uniknąć niejasności, należy określić, czy kolory są częścią kafelka, czy tylko częścią jego ilustracji. Ma to wpływ na to, czy płytki o tym samym kształcie, ale różnych kolorach są uważane za identyczne, co z kolei wpływa na kwestie symetrii. Twierdzenie o czterech kolorach mówi, że dla każdej teselacji normalnej płaszczyzny euklidesowej , przy zestawie czterech dostępnych kolorów, każda płytka może być pokolorowana jednym kolorem, tak że żadna płytka o tym samym kolorze nie spotyka się na krzywej o dodatniej długości. Kolorowanie gwarantowane przez twierdzenie o czterech kolorach generalnie nie uwzględnia symetrii teselacji. Aby uzyskać kolorystykę, która działa, należy traktować kolory jako część teselacji. Tutaj może być potrzebnych aż siedem kolorów, jak na zdjęciu po prawej.

Parkietaż z wielokątami

Voronoi Dachówka , w której komórki są zawsze wypukłych wielokątów.

Oprócz różnych kafelków przez wielokąty foremne badano również kafelkowanie przez inne wielokąty.

Każdy trójkąta lub w kształcie czworoboku (nawet uwypuklony ) może być stosowany jako prototile celu utworzenia Jednorodna tesselacji, często więcej niż jeden sposób. Kopie dowolnego czworoboku mogą tworzyć teselację z symetrią translacyjną i dwukrotną symetrią obrotową ze środkami w punktach środkowych wszystkich boków. W przypadku asymetrycznego czworoboku ta płytka należy do grupy tapet p2 . Jako podstawową domenę mamy czworokąt. Równoważnie możemy skonstruować równoległobok oparty na minimalnym zbiorze wektorów translacji, zaczynając od środka obrotu. Możemy podzielić to przez jedną przekątną i przyjąć jedną połowę (trójkąt) jako domenę podstawową. Taki trójkąt ma taką samą powierzchnię jak czworokąt i można go z niego skonstruować przez wycięcie i wklejenie.

Jeśli dozwolony jest tylko jeden kształt płytki, istnieją płytki z wypukłymi N- kątami dla N równych 3, 4, 5 i 6. Dla N = 5 , patrz Płytki pięciokątne , dla N = 6 , zobacz Płytki sześciokątne , dla N = 7 , patrz kafelki heptagonalne , a dla N = 8 , patrz kafelki ośmiokątne .

Aby uzyskać wyniki dotyczące układania płaszczyzny z poliominoes , zobacz Polyomino § Zastosowanie poliominoes .

Płytki Woronoja

Kafelki Voronoi lub Dirichleta to teselacje, w których każda płytka jest zdefiniowana jako zbiór punktów najbliżej jednego z punktów w dyskretnym zbiorze punktów definiujących. (Pomyśl o regionach geograficznych, w których każdy region jest zdefiniowany jako wszystkie punkty znajdujące się najbliżej danego miasta lub urzędu pocztowego.) Komórka Voronoi dla każdego punktu definiującego jest wypukłym wielokątem. Delaunay triangulacji jest teselacji czyli graf dualny z teselacji Voronoi. Triangulacje Delaunaya są przydatne w symulacji numerycznej, po części dlatego, że spośród wszystkich możliwych triangulacji punktów definiujących, triangulacje Delaunaya maksymalizują minimum kątów utworzonych przez krawędzie. Kafelki Voronoi z losowo rozmieszczonymi punktami mogą być użyte do konstruowania losowych kafelków samolotu.

Parkietaż w wyższych wymiarach

Teselacja przestrzeni trójwymiarowej: dwunastościan rombowy jest jedną z brył, które można układać w stos, aby dokładnie wypełnić przestrzeń .

Teselację można rozszerzyć do trzech wymiarów. Niektóre wielościany mogą być ułożone w regularny wzór kryształów, aby wypełnić (lub kafelkować) trójwymiarową przestrzeń, w tym sześcian (jedyny wielościan platoński, który to robi), rombowy dwunastościan , ścięty ośmiościan oraz trójkątne, czworokątne i sześciokątne graniastosłupy , pośród innych. Każdy wielościan spełniający to kryterium jest znany jako plezjościan i może mieć od 4 do 38 ścian. Naturalnie występujące rombowe dwunastościany występują jako kryształy o andradyt (rodzaj granat ) i fluorytu .

Ilustracja dwupryzmażu Schmitta-Conwaya, zwanego także płytką Schmitta-Conwaya-Danzera

Teselacje w trzech lub więcej wymiarach nazywane są plastrami miodu . W trzech wymiarach jest tylko jeden regularny plaster miodu, który ma osiem sześcianów na każdym wierzchołku wielościanu. Podobnie w trzech wymiarach istnieje tylko jeden quasi-regularny plaster miodu, który ma osiem czworościanów i sześć ośmiościanów na każdym wierzchołku wielościanu. Istnieje jednak wiele możliwych półregularnych plastrów miodu w trzech wymiarach. Jednolite wielościany można zbudować przy użyciu konstrukcji Wythoffa .

Schmitt-Conway biprism jest wypukły wielościan z właściwością kafli przestrzeń tylko nieokresowym.

Schwarz trójkąt to trójkąt sferyczny , który może być stosowany do płytek do sfery .

Teselacje w geometriach nieeuklidesowych

Rombitriheptagonalne kafelki w płaszczyźnie hiperbolicznej, widoczne w projekcji modelu dysku Poincarégo
Regularny {3,5,3} plaster miodu icosahedral , jeden z czterech regularnych kompaktowych plastrów miodu w hiperbolicznej 3-przestrzeni

Możliwa jest teselacja w geometriach nieeuklidesowych, takich jak geometria hiperboliczna . Jednolite płytki w płaszczyźnie hiperbolicznej (które mogą być regularne lub semiregular quasiregular) jest wypełnienie krawędzi do krawędzi hiperbolicznej płaszczyźnie z regularnych wielokątów jak twarz ; są to wierzchołki przechodnie ( przechodnie na wierzchołkach ) i izogonalne (istnieje izometria mapująca dowolny wierzchołek na dowolny inny).

Jednolity o strukturze plastra miodu w hiperbolicznej powierzchni jest jednorodna tesselacji z jednolitymi wieloboczne komórek . W 3-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej istnieje dziewięć Grupa Coxetera rodziny kompaktowy wypukłych jednolitych plastrach , generowanych w konstrukcjach Wythoff i reprezentowane przez permutacje z pierścieniami tych schematów Coxeter dla każdej rodziny.

W sztuce

Rzymska mozaika podłogowa z kamienia, płytek i szkła, z willi w pobliżu Antiochii w rzymskiej Syrii. II wne

W architekturze teselacje były używane do tworzenia motywów dekoracyjnych od czasów starożytnych. Płytki mozaikowe często miały wzory geometryczne. Późniejsze cywilizacje również używały większych płytek, gładkich lub dekorowanych indywidualnie. Jednymi z najbardziej dekoracyjnych były mauretańskie kafelki ścienne architektury islamskiej , wykorzystujące płytki Girih i Zellige w budynkach takich jak Alhambra i La Mezquita .

Teselacje często pojawiały się w grafice MC Eschera ; zainspirowało go mauretańskie użycie symetrii w miejscach takich jak Alhambra, kiedy odwiedził Hiszpanię w 1936 roku. Escher wykonał cztery rysunki „ Granica koła ” z kafelków, które wykorzystują geometrię hiperboliczną. Do swojego drzeworytu „Circle Limit IV” (1960) Escher przygotował studium ołówkiem i tuszem, ukazujące wymaganą geometrię. Escher wyjaśnił, że „Żaden pojedynczy składnik całego szeregu, który z nieskończenie dalekiej odległości wznosi się jak rakiety prostopadle z granicy i w końcu się w niej gubi, nigdy nie osiąga linii granicznej”.

Kołdra przedstawiająca regularny wzór teselacji

Wzory mozaikowe często pojawiają się na tekstyliach, tkanych, szytych lub drukowanych. Wzory teselacji zostały wykorzystane do zaprojektowania przeplatających się motywów kształtów łatek w pikowaniach .

Teselacje są również głównym gatunkiem origami (składania papieru), gdzie plisy są używane do łączenia cząsteczek, takich jak skręcanie fałd w powtarzalny sposób.

W produkcji

Teselacja jest stosowana w przemyśle wytwórczym w celu zmniejszenia marnotrawstwa materiału (straty wydajności), takiego jak blacha podczas wycinania kształtów dla przedmiotów takich jak drzwi samochodowe czy puszki po napojach .

Teselacji jest widoczne w mudcrack -Jak pękanie z cienkich folii - o stopniu samoorganizacji jest obserwowany przy użyciu mikro i nanotechnologii .

W naturze

Plaster miodu to naturalna struktura mozaikowa.

Strukturze plastra miodu, jest dobrze znanym przykładem teselacji w przyrodzie z jego komórek sześciokątnych.

Mozaikowaty wzór w kwiatach Colchicum

W botanice termin „tessellate” opisuje wzór w kratkę, na przykład na płatku kwiatu, korze drzewa lub owocu. Kwiaty, w tym fritillary i niektóre gatunki Colchicum, są charakterystycznie mozaikowate.

Wiele wzorów w naturze tworzą pęknięcia w arkuszach materiałów. Te wzorce można opisać za pomocą teselacji Gilberta , znanej również jako losowe sieci pęknięć. Teselacja Gilberta jest matematycznym modelem powstawania pęknięć błotnych , kryształów przypominających igły i podobnych struktur. Model, nazwany na cześć Edgara Gilberta , pozwala na powstawanie pęknięć, zaczynając od losowo rozrzuconych po samolocie; każde pęknięcie rozchodzi się w dwóch przeciwnych kierunkach wzdłuż linii przechodzącej przez punkt inicjacji, o losowym nachyleniu, tworząc mozaikę nieregularnych wielokątów wypukłych. Bazaltowe strumienie lawy często wykazują łączenia kolumnowe w wyniku sił skurczu powodujących pęknięcia podczas ochładzania się lawy. Rozległe sieci pęknięć, które się rozwijają, często wytwarzają sześciokątne kolumny lawy. Jednym z przykładów takiego zestawu kolumn jest Grobla Olbrzyma w Irlandii Północnej. Bruk mozaikowy , którego charakterystyczny przykład znajduje się w Eaglehawk Neck na Półwyspie Tasman w Tasmanii , jest rzadką formacją skał osadowych, w której skała pękła na prostokątne bloki.

Inne naturalne wzory występują w piankach ; są one pakowane zgodnie z prawami Plateau , które wymagają minimalnej powierzchni . Takie pianki stwarzają problem, jak upakować komórki tak ciasno, jak to tylko możliwe: w 1887 roku Lord Kelvin zaproponował wypełnienie z użyciem tylko jednej bryły, sześciennego plastra miodu o przekroju bitowym z bardzo lekko zakrzywionymi powierzchniami. W 1993 Denis Weaire i Robert Phelan zaproponowali strukturę Weaire-Phelan , która wykorzystuje mniejszą powierzchnię do oddzielania komórek o równej objętości niż pianka Kelvina.

W łamigłówkach i matematyce rekreacyjnej

Teselacje dały początek wielu rodzajom układania płytek , od tradycyjnych puzzli (z nieregularnymi kawałkami drewna lub tektury) i tangramu po bardziej nowoczesne układanki, które często mają podstawy matematyczne. Na przykład polyiamonds i polyominoes to figury o regularnych trójkątach i kwadratach, często używane w układaniu puzzli. Autorzy tacy jak Henry Dudeney i Martin Gardner wielokrotnie wykorzystywali teselację w matematyce rekreacyjnej . Na przykład, Dudeney wynalazł rozwarstwienie zawiasach , a Gardner pisał o REP-kafle , kształt, który może być rozcięta na mniejsze kopii tego samego kształtu. Zainspirowana artykułami Gardnera w Scientific American , matematyk-amator Marjorie Rice znalazła cztery nowe teselacje z pięciokątami. Podnoszenie kwadratu do kwadratu to problem polegający na ułożeniu kwadratu całkowego (takiego, którego boki mają długość całkowitą) przy użyciu tylko innych kwadratów całkowitych. Rozszerzeniem jest kwadratura płaszczyzny, układając ją kwadratami, których rozmiary są liczbami naturalnymi bez powtórzeń; James i Frederick Henle udowodnili, że jest to możliwe.

Przykłady

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Źródła

Zewnętrzne linki