Tesserakt - Tesseract

Tesseract
8-ogniwowy
4-kostkowy
Schlegel model szkieletowy 8-cell.png
Rodzaj Wypukły regularny 4-politop
Symbol Schläfli {4,3,3}
t 0,3 {4,3,2} lub {4,3}×{}
t 0,2 {4,2,4} lub {4}×{4}
t 0,2 ,3 {4,2,2} lub {4}×{ }×{ }
t 0,1,2,3 {2,2,2} lub { }×{ }×{ }×{ }
Schemat Coxetera Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 2.pngWęzeł CDel 1.png
Komórki 8 {4,3} Sześcian.png
Twarze 24 {4}
Krawędzie 32
Wierzchołki 16
Figura wierzchołka 8 komórek verf.png
Czworościan
Wielokąt Petriego ośmiokąt
Grupa Coxetera B 4 , [3,3,4]
Podwójny 16-ogniwowy
Nieruchomości wypukły , izogonalny , izotoksal , izohedralny
Jednolity indeks 10
Krzyż Dali , siatka tesseraktu

W geometrii The tesserakt jest czterowymiarowy analogiem kostki ; tesserakt ma się do sześcianu jak sześcian do kwadratu . Tak jak powierzchnia sześcianu składa się z sześciu kwadratowych ścian , tak hiperpowierzchnia teseraktu składa się z ośmiu sześciennych komórek . Tesseract jest jednym z sześciu wypukłych regularnych 4-politopów .

Tesserakt nazywa się również 8-komórka , C 8 , (zwykłe) octachoron , octahedroid , sześcienny pryzmat i tetracube . Jest to czterowymiarowy hipersześcian lub 4-sześcian jako członek wielowymiarowej rodziny hipersześcianów lub politopów miarowych . Coxeter nazywa to polytope. Termin hipersześcian bez odniesienia do wymiaru jest często traktowany jako synonim tego specyficznego politopu .

Według Oxford English Dictionary słowo tesseract zostało po raz pierwszy użyte w 1888 roku przez Charlesa Howarda Hintona w jego książce A New Era of Thought , od greckiego téssara ( τέσσαρα 'cztery') i aktís ( ἀκτίς 'promień'), odnosząc się do cztery krawędzie od każdego wierzchołka do innych wierzchołków. W tej publikacji, jak również w niektórych późniejszych pracach Hintona, słowo to było czasami pisane tessaract .

Geometria

Tesseract można skonstruować na wiele sposobów. Jako regularny polytop z trzema sześcianami złożonymi razem wokół każdej krawędzi, ma symbol Schläfli {4,3,3} z symetrią hiperoktaedryczną rzędu 384. Zbudowany jako hiperpryzmat 4D złożony z dwóch równoległych sześcianów, można go nazwać złożonym Schläfli symbol {4,3} × { }, o porządku symetrii 96. Jako duopryzm 4-4 , iloczyn kartezjański dwóch kwadratów , można go nazwać złożonym symbolem Schläfliego {4}×{4}, o porządku symetrii 64 Jako ortotop może być reprezentowany przez złożony symbol Schläfliego { } × { } × { } × { } lub { } 4 , o porządku symetrii 16.

Ponieważ każdy wierzchołek teseraktu sąsiaduje z czterema krawędziami, figura wierzchołka teseraktu jest czworościanem foremnym . Podwójnego Polytope z tesserakt jest 16 komórek z symbol schläfliego {3,3,4}, z którymi może być połączona, z wytworzeniem związku o tesserakt i 16 komórek .

Współrzędne

Standardowy tesserakt w 4-przestrzeni euklidesowej jest podany jako wypukła powłoka punktów (±1, ±1, ±1, ±1). Oznacza to, że składa się z punktów:

W tym kartezjańskim układzie odniesienia tesserakt ma promień 2 i jest ograniczony ośmioma hiperpłaszczyznami ( x i = ± 1). Każda para nierównoległych hiperpłaszczyzn przecina się, tworząc 24 kwadratowe ściany w tesserakcie. Na każdej krawędzi przecinają się trzy kostki i trzy kwadraty. Na każdym wierzchołku spotykają się cztery sześciany, sześć kwadratów i cztery krawędzie. W sumie składa się z 8 sześcianów, 24 kwadratów, 32 krawędzi i 16 wierzchołków.

Projekcje do dwóch wymiarów

Animacja zmiany wymiarów

Konstrukcję hipersześcianów można sobie wyobrazić w następujący sposób:

  • Jednowymiarowe: dwa punkty A i B mogą zostać połączone w prostą, dając nowy odcinek AB.
  • Dwuwymiarowy: Dwa równoległe odcinki AB i CD można połączyć w kwadrat, z rogami oznaczonymi jako ABCD.
  • Trójwymiarowy: Dwa równoległe kwadraty ABCD i EFGH można połączyć w sześcian, z rogami oznaczonymi jako ABCDEFGH.
  • 4-wymiarowy: Dwa równoległe sześciany ABCDEFGH i IJKLMNOP można połączyć w tesserakt, z rogami oznaczonymi jako ABCDEFGHIJKLMNOP.
Diagram pokazujący jak stworzyć tesserakt z punktu
Rzut 3D 8-komórki wykonującej prosty obrót wokół płaszczyzny, która przecina figurę od przodu-lewo do tyłu-prawo i od góry do dołu

Możliwe jest rzutowanie teseraktów w przestrzenie trójwymiarowe i dwuwymiarowe, podobnie jak rzutowanie sześcianu w przestrzeń dwuwymiarową.

Projekcje na płaszczyźnie 2D stają się bardziej pouczające, zmieniając pozycje rzutowanych wierzchołków. W ten sposób można uzyskać obrazy, które nie odzwierciedlają już relacji przestrzennych w tesseract, ale ilustrują strukturę połączeń wierzchołków, tak jak w następujących przykładach:

Tesserakt jest w zasadzie uzyskiwany przez połączenie dwóch sześcianów. Schemat jest podobny do budowy sześcianu z dwóch kwadratów: zestawiamy ze sobą dwie kopie sześcianu o niższym wymiarze i łączymy odpowiednie wierzchołki. Każda krawędź tesseraktu ma taką samą długość. Ten pogląd jest interesujący, gdy używa się tesseraktów jako podstawy topologii sieci do łączenia wielu procesorów w obliczeniach równoległych : odległość między dwoma węzłami wynosi co najwyżej 4 i istnieje wiele różnych ścieżek, aby umożliwić równoważenie wagi.

Rzuty równoległe do 3 wymiarów

Równoległe obwiednie tesseractu (każda komórka jest rysowana z różnymi kolorowymi ścianami, odwrócone komórki są nienarysowane)

Komórki najpierw równolegle występ z tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej posiada sześcienny koperty. Najbliższe i najdalsze komórki są rzutowane na sześcian, a pozostałe sześć komórek jest rzutowanych na sześć kwadratowych ścian sześcianu.

Twarzą pierwszy występ równoległym tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej ma prostopadłościenną koperty. Dwie pary komórek wystają na górną i dolną połowę tej otoczki, a cztery pozostałe komórki wystają na powierzchnie boczne.

Krawędzi pierwszy występ równoległym tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej posiada powłokę w kształcie heksagonalny . Sześć komórek rzutuje na rombowe pryzmaty, które są ułożone w sześciokątnym pryzmacie w sposób analogiczny do tego, jak ściany sześcianu 3D rzutują się na sześć rombów w sześciokątnej obwiedni w projekcji wierzchołkowej. Dwie pozostałe komórki wystają na podstawy pryzmatu.

Rombowy dwunastościan formy wypukłej kadłub wierzchołek pierwszego równoległego projekcji tesseract'S. Liczba wierzchołków w warstwach tego rzutu wynosi 1 4 6 4 1 — czwarty rząd w trójkącie Pascala .

Wierzchołek pierwszego występ równoległym tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej ma rombowy dodecahedral koperty. Na początek rzutowane są dwa wierzchołki teseraktu. Istnieją dokładnie dwa sposoby krajanie się dwunastościan rombowy na cztery zgodnego romboedru , dając w sumie osiem możliwych romboedru każdy przewidywany sześcian o tesserakt. Ta projekcja jest również tą o maksymalnej objętości. Jeden zestaw wektorów rzutowania to u =(1,1,-1,-1), v =(-1,1,-1,1), w =(1,-1,-1,1).

Jako konfiguracja

Ta macierz konfiguracji reprezentuje tesseract. Wiersze i kolumny odpowiadają wierzchołkom, krawędziom, ścianom i komórkom. Liczby po przekątnej mówią, ile każdego elementu występuje w całym teseracie. Liczby nieukośne mówią, ile elementów kolumny występuje w elemencie wiersza lub przy nim. Na przykład 2 w pierwszej kolumnie drugiego rzędu wskazuje, że w każdej krawędzi (tj. na krańcach) znajdują się 2 wierzchołki; 4 w drugiej kolumnie pierwszego rzędu oznacza, że ​​w każdym wierzchołku spotykają się 4 krawędzie.

Galeria obrazów

Trójwymiarowa siatka tesseraktu
Tesseract można rozłożyć na osiem sześcianów w przestrzeni 3D, tak jak sześcian można rozłożyć na sześć kwadratów w przestrzeni 2D. Rozwijanie się wielokąta nazywa się siatką . Istnieje 261 odrębnych sieci tesseraktu. Te dalsze odkrywanie tego tesserakt mogą być liczone przez mapowanie sieci do sparowanych drzew (a drzewo wraz z doskonałego dopasowania w jego dopełnienie ).
Projekcja stereograficzna 3D tesseract.PNG
Stereoskopowa projekcja 3D tesseraktu (widok równoległy)

Skrzyżowane oczy 3D (bez okularów) Rozbrojony hipersześcian

Projekcje alternatywne

8-komórka-orig.gif
Rzut 3D tesseraktu wykonującego podwójny obrót wokół dwóch prostopadłych płaszczyzn
Projekcja 3D trzech tesseraktów z twarzami i bez
Tesseract-perspective-vertex-first-PSPclarify.png
Perspektywa z eliminacją ukrytej objętości . Czerwony róg jest najbliższy w 4D i ma 4 sześcienne komórki spotykające się wokół niego.
Tesseract tetraedron shadow matrices.svg

W Tetrahedron tworzy wypukłej wierzchołków skoncentrowane centralnej projekcji tesseract'S. Pokazano cztery z 8 komórek sześciennych. 16. wierzchołek jest rzutowany w nieskończoność, a cztery krawędzie do niego nie są pokazane.

Politop stereograficzny 8cell.png
Projekcja stereograficzna

(krawędzie są rzutowane na 3-sferę )

Animacja przedstawiająca każdy pojedynczy sześcian w rzucie płaszczyzny B 4 Coxetera tesseractu.

Rzuty ortogonalne 2D

Rzuty ortogonalne
Samolot Coxetera B 4 B 3 / D 4 / A 2 B 2 / D 3
Wykres 4-sześcian t0.svg 4-kostki t0 B3.svg 4-sześcian t0 B2.svg
Symetria dwuścienna [8] [6] [4]
Samolot Coxetera Inne F 4 3
Wykres 4-kostkowy wykres kolumnowy.svg 4-sześcian t0 F4.svg 4-sześcian t0 A3.svg
Symetria dwuścienna [2] [12/3] [4]
Dowód bez słów , że tesserakt wykres jest planarna pomocą Kuratowskiemu na lub twierdzenia Wagnera i znalezienie albo K 5 (u góry), albo K 3,3 (dół) subgraphs

Promieniowa symetria równoboczna

Długi promień (od środka do wierzchołka) tesseraktu jest równy długości krawędzi; zatem jego przekątna przez środek (wierzchołek do przeciwległego wierzchołka) ma 2 długości krawędzi. Tylko kilka jednorodnych politopów ma tę właściwość, w tym czterowymiarowy tesserakt i 24-komorowy , trójwymiarowy prostopadłościan i dwuwymiarowy sześciokąt . W szczególności tesseract jest jedynym hipersześcianem (innym niż punkt 0-wymiarowy) posiadającym tę właściwość. Średnica najdłuższego wierzchołka do wierzchołka n- wymiarowego hipersześcianu o jednostkowej długości krawędzi wynosi n , więc dla kwadratu jest to 2 , dla sześcianu jest to 3 , a tylko dla teseraktu jest to 4 , dokładnie 2 długości krawędzi.

Teselacja

Tesserakt, jak wszystkie hipersześciany , teseluje przestrzeń euklidesową . Samo-Dual tesseractic strukturze plastra miodu, składający się z 4 tesseracts wokół każdej powierzchni ma Schläfli symbol {4,3,3,4} . Stąd tesserakt ma kąt dwuścienny równy 90°.

Promieniowa równoboczna symetria tesseractu sprawia, że ​​jego teselacja jest unikalną regularną, wyśrodkowaną na ciele sześcienną siatką sfer o jednakowej wielkości, w dowolnej liczbie wymiarów.

Sam tesseract można rozłożyć na mniejsze politopy. Jest to wypukła powłoka złożona z dwóch demisseraktów ( 16 komórek ). Tesseract może być również triangulowany w 4-wymiarowe proste, które mają wspólne wierzchołki z tesseract. Wiadomo, że takich triangulacji jest 92487256, a najmniejsza liczba 4-wymiarowych uproszczeń w każdej z nich to 16.

Formuły

Dla teseraktu o długości boku s :

  • Nadmierna objętość:
  • Objętość powierzchni:
  • Przekątna twarzy :
  • Przekątna komórki :
  • Przekątna z 4 miejscami:

Powiązane polytopy i plastry miodu

Tesseract (8-komorowy) jest trzecim w sekwencji 6 wypukłych regularnych 4-politopów (według wielkości i złożoności).

Regularne wypukłe 4-politopy
Grupa symetrii 4 B 4 F 4 H 4
Nazwa 5-komorowy

hiper-
czworościanu

16-ogniwowy

hiper-
ośmiościan

8-ogniwowy

hiper-
sześcianu

24-komorowy 600-ogniwowy

hiper-
icosahedron

120-ogniwowy

hiper-
dwunastościan

Symbol Schläfli {3, 3, 3} {3, 3, 4} {4, 3, 3} {3, 4, 3} {3, 3, 5} {5, 3, 3}
Schemat Coxetera Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Wykres 4-simplex t0.svg 4-kostki t3.svg 4-sześcian t0.svg 24-komorowy t0 F4.svg Wykres 600 komórek H4.svg Wykres 120 komórek H4.svg
Wierzchołki 5 8 16 24 120 600
Krawędzie 10 24 32 96 720 1200
Twarze 10
trójkątów
32
trójkąty
24
kwadraty
96
trójkątów
1200
trójkątów
720
pięciokątów
Komórki 5
czworościanów
16
czworościanów
8
kostek
24
oktaedry
600
czworościanów
120
dwunastościanów
Długi promień 1 1 1 1 1 1
Długość krawędzi 5/2 1,581 2 ≈ 1.414 1 1 1/φ ≈ 0,618 1/2 ϕ 2 ≈ 0,270
Krótki promień 1/4 1/2 1/2 2/2 ≈ 0,707 1 - (2/2 3 φ) 2 ≈ 0,936 1 - (1/2 3 φ) 2 ≈ 0,968
Powierzchnia 10•8/3 9,428 32•3/4 13,856 24 96•3/8 ≈ 20.785 1200•3/2 ≈ 99.238 720•25+10 5/4 621,9
Tom 5•5 5/24 2,329 16•1/3 ≈ 5.333 8 24•2/3 ≈ 11.314 600•1/3 8 φ 3 16,693 120•2 +/2 8 φ 3 18.118
4-Zawartość 5/24•(5/2) 4 ≈ 0,146 2/3 ≈ 0,667 1 2 Krótkie Objętość/4 3,907 Krótkie Objętość/4 ≈ 4.385

Jako jednolity duopryzm , tesserakt istnieje w ciągu jednorodnych duopryzmów : { p }×{4}.

Regularny tesseract wraz z 16 komórkami istnieje w zestawie 15 jednolitych 4-politopów o tej samej symetrii . Tesserakt {4,3,3} istnieje w sekwencji regularnych 4-politopów i plastrów miodu , { p ,3,3} z czworościennymi figurami wierzchołkowymi , {3,3}. Tesseract jest również sekwencją regularnych 4-politopów i plastrów miodu {4,3, p } z sześciennymi komórkami .

Prostokątny Perspektywiczny
4-uogólnione-2-sześcian.svg Wielokąt złożony 4-4-2-stereographic3.png
4 {4} 2 , z 16 wierzchołkami i 8 4-krawędziami, z 8 4-krawędziami pokazanymi tutaj jako 4 czerwone i 4 niebieskie kwadraty.

Regularny kompleks Polytope 4 {4}, 2 ,CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png, w ma realną reprezentację jako tesserakt lub 4-4 duopryzm w 4-wymiarowej przestrzeni. 4 {4} 2 ma 16 wierzchołków i 8 4-krawędzi. Jego symetria to 4 [4] 2 , rząd 32. Ma również konstrukcję o niższej symetrii,CDel 4node 1.pngCDel 2.pngCDel 4node 1.png, lub 4 {}× 4 {}, z symetrią 4 [2] 4 , rząd 16. Jest to symetria, jeśli czerwone i niebieskie krawędzie 4 są uważane za różne.

W kulturze popularnej

Od czasu ich odkrycia czterowymiarowe hipersześciany są popularnym tematem w sztuce, architekturze i science fiction. Godne uwagi przykłady obejmują:

  • I zbudował krzywy dom ”, opowiadanie science-fiction Roberta Heinleina z 1940 roku, przedstawiające budynek w formie czterowymiarowego hipersześcianu. To i „The No-Sided Professor” autorstwa Martina Gardnera , opublikowane w 1946 roku, są jednymi z pierwszych w science fiction, które przybliżają czytelnikom zespół Moebiusa , butelkę Kleina i hipersześcian (tesserakt).
  • Ukrzyżowanie (Corpus Hypercubus) , obraz olejny Salvadora Dali z 1954 roku przedstawiający czterowymiarowy hipersześcian rozłożony w trójwymiarowy krzyż łaciński .
  • Grande Arche , pomnik i budynek niedaleko Paryża, Francja, ukończony w 1989. Według inżyniera zabytku, Erik Reitzel , Grande Arche został zaprojektowany, aby przypominać projekcję hipersześcianu.
  • Fez , gra wideo, w której gra się postacią, która widzi poza dwoma wymiarami, które widzą inne postacie i musi wykorzystać tę umiejętność do rozwiązywania zagadek platformowych. Zawiera „Dot”, tesserakt, który pomaga graczowi poruszać się po świecie i mówi, jak używać umiejętności, pasując do tematu widzenia poza ludzką percepcją znanej przestrzeni wymiarowej.

Słowo tesseract zostało później zaadoptowane do wielu innych zastosowań w kulturze popularnej, w tym jako narzędzie fabuły w dziełach science fiction, często z niewielkim lub żadnym związkiem z czterowymiarowym hipersześcianem tego artykułu. Zobacz Tesserakt (ujednoznacznienie) .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

4-politopy
Rodzina A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Wielokąt foremny Trójkąt Kwadrat p-gon Sześciokąt Pięciokąt
Jednolity wielościan Czworościan Ośmiościankostka Demicube DwunastościanIcosahedron
Jednolita polichoron Pentachoron 16-ogniwowyTesseract Demitesseract 24-komorowy 120-ogniwowy600-ogniwowy
Jednolity 5-politop 5-simplex 5-ortopleks5-kostka 5-demicube
Jednolity 6-politop 6-simplex 6-ortopleks6-kostka 6-demicube 1 222 21
Jednolity 7-politop 7-simplex 7-ortopleks7-kostka 7-demicube 1 322 313 21
Jednolity 8-politop 8-simplex 8-ortopleks8-kostka 8-demicube 1 422 414 21
Jednolity 9-politop 9-simplex 9-ortopleks9-kostka 9-demicube
Jednolity 10-politop 10-simplex 10-ortopleks10-kostka 10-demicube
Jednolity n - polytope n - simpleks n - ortoplexn - sześcian n - demicube 1 k22 k1k 21 n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny PolytopeRegularny polytopeLista regularnych polytopów i związków