Tesserakt - Tesseract
Tesseract 8-ogniwowy 4-kostkowy | |
---|---|
Rodzaj | Wypukły regularny 4-politop |
Symbol Schläfli | {4,3,3} t 0,3 {4,3,2} lub {4,3}×{} t 0,2 {4,2,4} lub {4}×{4} t 0,2 ,3 {4,2,2} lub {4}×{ }×{ } t 0,1,2,3 {2,2,2} lub { }×{ }×{ }×{ } |
Schemat Coxetera |
|
Komórki | 8 {4,3} |
Twarze | 24 {4} |
Krawędzie | 32 |
Wierzchołki | 16 |
Figura wierzchołka |
Czworościan |
Wielokąt Petriego | ośmiokąt |
Grupa Coxetera | B 4 , [3,3,4] |
Podwójny | 16-ogniwowy |
Nieruchomości | wypukły , izogonalny , izotoksal , izohedralny |
Jednolity indeks | 10 |
W geometrii The tesserakt jest czterowymiarowy analogiem kostki ; tesserakt ma się do sześcianu jak sześcian do kwadratu . Tak jak powierzchnia sześcianu składa się z sześciu kwadratowych ścian , tak hiperpowierzchnia teseraktu składa się z ośmiu sześciennych komórek . Tesseract jest jednym z sześciu wypukłych regularnych 4-politopów .
Tesserakt nazywa się również 8-komórka , C 8 , (zwykłe) octachoron , octahedroid , sześcienny pryzmat i tetracube . Jest to czterowymiarowy hipersześcian lub 4-sześcian jako członek wielowymiarowej rodziny hipersześcianów lub politopów miarowych . Coxeter nazywa to polytope. Termin hipersześcian bez odniesienia do wymiaru jest często traktowany jako synonim tego specyficznego politopu .
Według Oxford English Dictionary słowo tesseract zostało po raz pierwszy użyte w 1888 roku przez Charlesa Howarda Hintona w jego książce A New Era of Thought , od greckiego téssara ( τέσσαρα 'cztery') i aktís ( ἀκτίς 'promień'), odnosząc się do cztery krawędzie od każdego wierzchołka do innych wierzchołków. W tej publikacji, jak również w niektórych późniejszych pracach Hintona, słowo to było czasami pisane tessaract .
Geometria
Tesseract można skonstruować na wiele sposobów. Jako regularny polytop z trzema sześcianami złożonymi razem wokół każdej krawędzi, ma symbol Schläfli {4,3,3} z symetrią hiperoktaedryczną rzędu 384. Zbudowany jako hiperpryzmat 4D złożony z dwóch równoległych sześcianów, można go nazwać złożonym Schläfli symbol {4,3} × { }, o porządku symetrii 96. Jako duopryzm 4-4 , iloczyn kartezjański dwóch kwadratów , można go nazwać złożonym symbolem Schläfliego {4}×{4}, o porządku symetrii 64 Jako ortotop może być reprezentowany przez złożony symbol Schläfliego { } × { } × { } × { } lub { } 4 , o porządku symetrii 16.
Ponieważ każdy wierzchołek teseraktu sąsiaduje z czterema krawędziami, figura wierzchołka teseraktu jest czworościanem foremnym . Podwójnego Polytope z tesserakt jest 16 komórek z symbol schläfliego {3,3,4}, z którymi może być połączona, z wytworzeniem związku o tesserakt i 16 komórek .
Współrzędne
Standardowy tesserakt w 4-przestrzeni euklidesowej jest podany jako wypukła powłoka punktów (±1, ±1, ±1, ±1). Oznacza to, że składa się z punktów:
W tym kartezjańskim układzie odniesienia tesserakt ma promień 2 i jest ograniczony ośmioma hiperpłaszczyznami ( x i = ± 1). Każda para nierównoległych hiperpłaszczyzn przecina się, tworząc 24 kwadratowe ściany w tesserakcie. Na każdej krawędzi przecinają się trzy kostki i trzy kwadraty. Na każdym wierzchołku spotykają się cztery sześciany, sześć kwadratów i cztery krawędzie. W sumie składa się z 8 sześcianów, 24 kwadratów, 32 krawędzi i 16 wierzchołków.
Projekcje do dwóch wymiarów
Konstrukcję hipersześcianów można sobie wyobrazić w następujący sposób:
- Jednowymiarowe: dwa punkty A i B mogą zostać połączone w prostą, dając nowy odcinek AB.
- Dwuwymiarowy: Dwa równoległe odcinki AB i CD można połączyć w kwadrat, z rogami oznaczonymi jako ABCD.
- Trójwymiarowy: Dwa równoległe kwadraty ABCD i EFGH można połączyć w sześcian, z rogami oznaczonymi jako ABCDEFGH.
- 4-wymiarowy: Dwa równoległe sześciany ABCDEFGH i IJKLMNOP można połączyć w tesserakt, z rogami oznaczonymi jako ABCDEFGHIJKLMNOP.
Możliwe jest rzutowanie teseraktów w przestrzenie trójwymiarowe i dwuwymiarowe, podobnie jak rzutowanie sześcianu w przestrzeń dwuwymiarową.
Projekcje na płaszczyźnie 2D stają się bardziej pouczające, zmieniając pozycje rzutowanych wierzchołków. W ten sposób można uzyskać obrazy, które nie odzwierciedlają już relacji przestrzennych w tesseract, ale ilustrują strukturę połączeń wierzchołków, tak jak w następujących przykładach:
Tesserakt jest w zasadzie uzyskiwany przez połączenie dwóch sześcianów. Schemat jest podobny do budowy sześcianu z dwóch kwadratów: zestawiamy ze sobą dwie kopie sześcianu o niższym wymiarze i łączymy odpowiednie wierzchołki. Każda krawędź tesseraktu ma taką samą długość. Ten pogląd jest interesujący, gdy używa się tesseraktów jako podstawy topologii sieci do łączenia wielu procesorów w obliczeniach równoległych : odległość między dwoma węzłami wynosi co najwyżej 4 i istnieje wiele różnych ścieżek, aby umożliwić równoważenie wagi.
Rzuty równoległe do 3 wymiarów
Komórki najpierw równolegle występ z tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej posiada sześcienny koperty. Najbliższe i najdalsze komórki są rzutowane na sześcian, a pozostałe sześć komórek jest rzutowanych na sześć kwadratowych ścian sześcianu.
Twarzą pierwszy występ równoległym tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej ma prostopadłościenną koperty. Dwie pary komórek wystają na górną i dolną połowę tej otoczki, a cztery pozostałe komórki wystają na powierzchnie boczne.
Krawędzi pierwszy występ równoległym tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej posiada powłokę w kształcie heksagonalny . Sześć komórek rzutuje na rombowe pryzmaty, które są ułożone w sześciokątnym pryzmacie w sposób analogiczny do tego, jak ściany sześcianu 3D rzutują się na sześć rombów w sześciokątnej obwiedni w projekcji wierzchołkowej. Dwie pozostałe komórki wystają na podstawy pryzmatu.
Wierzchołek pierwszego występ równoległym tesserakt w przestrzeni trójwymiarowej ma rombowy dodecahedral koperty. Na początek rzutowane są dwa wierzchołki teseraktu. Istnieją dokładnie dwa sposoby krajanie się dwunastościan rombowy na cztery zgodnego romboedru , dając w sumie osiem możliwych romboedru każdy przewidywany sześcian o tesserakt. Ta projekcja jest również tą o maksymalnej objętości. Jeden zestaw wektorów rzutowania to u =(1,1,-1,-1), v =(-1,1,-1,1), w =(1,-1,-1,1).
Jako konfiguracja
Ta macierz konfiguracji reprezentuje tesseract. Wiersze i kolumny odpowiadają wierzchołkom, krawędziom, ścianom i komórkom. Liczby po przekątnej mówią, ile każdego elementu występuje w całym teseracie. Liczby nieukośne mówią, ile elementów kolumny występuje w elemencie wiersza lub przy nim. Na przykład 2 w pierwszej kolumnie drugiego rzędu wskazuje, że w każdej krawędzi (tj. na krańcach) znajdują się 2 wierzchołki; 4 w drugiej kolumnie pierwszego rzędu oznacza, że w każdym wierzchołku spotykają się 4 krawędzie.
Galeria obrazów
Tesseract można rozłożyć na osiem sześcianów w przestrzeni 3D, tak jak sześcian można rozłożyć na sześć kwadratów w przestrzeni 2D. Rozwijanie się wielokąta nazywa się siatką . Istnieje 261 odrębnych sieci tesseraktu. Te dalsze odkrywanie tego tesserakt mogą być liczone przez mapowanie sieci do sparowanych drzew (a drzewo wraz z doskonałego dopasowania w jego dopełnienie ). |
Stereoskopowa projekcja 3D tesseraktu (widok równoległy) |
Projekcje alternatywne
Rzut 3D tesseraktu wykonującego podwójny obrót wokół dwóch prostopadłych płaszczyzn |
Perspektywa z eliminacją ukrytej objętości . Czerwony róg jest najbliższy w 4D i ma 4 sześcienne komórki spotykające się wokół niego. |
W Tetrahedron tworzy wypukłej wierzchołków skoncentrowane centralnej projekcji tesseract'S. Pokazano cztery z 8 komórek sześciennych. 16. wierzchołek jest rzutowany w nieskończoność, a cztery krawędzie do niego nie są pokazane. |
Projekcja stereograficzna (krawędzie są rzutowane na 3-sferę ) |
Rzuty ortogonalne 2D
Samolot Coxetera | B 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
Wykres | |||
Symetria dwuścienna | [8] | [6] | [4] |
Samolot Coxetera | Inne | F 4 | 3 |
Wykres | |||
Symetria dwuścienna | [2] | [12/3] | [4] |
Promieniowa symetria równoboczna
Długi promień (od środka do wierzchołka) tesseraktu jest równy długości krawędzi; zatem jego przekątna przez środek (wierzchołek do przeciwległego wierzchołka) ma 2 długości krawędzi. Tylko kilka jednorodnych politopów ma tę właściwość, w tym czterowymiarowy tesserakt i 24-komorowy , trójwymiarowy prostopadłościan i dwuwymiarowy sześciokąt . W szczególności tesseract jest jedynym hipersześcianem (innym niż punkt 0-wymiarowy) posiadającym tę właściwość. Średnica najdłuższego wierzchołka do wierzchołka n- wymiarowego hipersześcianu o jednostkowej długości krawędzi wynosi √ n , więc dla kwadratu jest to √ 2 , dla sześcianu jest to √ 3 , a tylko dla teseraktu jest to √ 4 , dokładnie 2 długości krawędzi.
Teselacja
Tesserakt, jak wszystkie hipersześciany , teseluje przestrzeń euklidesową . Samo-Dual tesseractic strukturze plastra miodu, składający się z 4 tesseracts wokół każdej powierzchni ma Schläfli symbol {4,3,3,4} . Stąd tesserakt ma kąt dwuścienny równy 90°.
Promieniowa równoboczna symetria tesseractu sprawia, że jego teselacja jest unikalną regularną, wyśrodkowaną na ciele sześcienną siatką sfer o jednakowej wielkości, w dowolnej liczbie wymiarów.
Sam tesseract można rozłożyć na mniejsze politopy. Jest to wypukła powłoka złożona z dwóch demisseraktów ( 16 komórek ). Tesseract może być również triangulowany w 4-wymiarowe proste, które mają wspólne wierzchołki z tesseract. Wiadomo, że takich triangulacji jest 92487256, a najmniejsza liczba 4-wymiarowych uproszczeń w każdej z nich to 16.
Formuły
Dla teseraktu o długości boku s :
- Nadmierna objętość:
- Objętość powierzchni:
- Przekątna twarzy :
- Przekątna komórki :
- Przekątna z 4 miejscami:
Powiązane polytopy i plastry miodu
Tesseract (8-komorowy) jest trzecim w sekwencji 6 wypukłych regularnych 4-politopów (według wielkości i złożoności).
Regularne wypukłe 4-politopy | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Grupa symetrii | 4 | B 4 | F 4 | H 4 | |||
Nazwa |
5-komorowy hiper- |
16-ogniwowy hiper- |
8-ogniwowy hiper- |
24-komorowy |
600-ogniwowy hiper- |
120-ogniwowy hiper- |
|
Symbol Schläfli | {3, 3, 3} | {3, 3, 4} | {4, 3, 3} | {3, 4, 3} | {3, 3, 5} | {5, 3, 3} | |
Schemat Coxetera | |||||||
Wykres | |||||||
Wierzchołki | 5 | 8 | 16 | 24 | 120 | 600 | |
Krawędzie | 10 | 24 | 32 | 96 | 720 | 1200 | |
Twarze | 10 trójkątów |
32 trójkąty |
24 kwadraty |
96 trójkątów |
1200 trójkątów |
720 pięciokątów |
|
Komórki | 5 czworościanów |
16 czworościanów |
8 kostek |
24 oktaedry |
600 czworościanów |
120 dwunastościanów |
|
Długi promień | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
Długość krawędzi | √ 5/√ 2 1,581 | √ 2 ≈ 1.414 | 1 | 1 | 1/φ ≈ 0,618 | 1/√ 2 ϕ 2 ≈ 0,270 | |
Krótki promień | 1/4 | 1/2 | 1/2 | √ 2/2 ≈ 0,707 | 1 - (√ 2/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,936 | 1 - (1/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,968 | |
Powierzchnia | 10•√ 8/3 9,428 | 32•√ 3/4 13,856 | 24 | 96•√ 3/8 ≈ 20.785 | 1200•√ 3/8φ 2 ≈ 99.238 | 720•25+10 √ 5/8φ 4 621,9 | |
Tom | 5•5 √ 5/24 2,329 | 16•1/3 ≈ 5.333 | 8 | 24•√ 2/3 ≈ 11.314 | 600•1/3 √ 8 φ 3 16,693 | 120•2 +/2 √ 8 φ 3 18.118 | |
4-Zawartość | √ 5/24•(√ 5/2) 4 ≈ 0,146 | 2/3 ≈ 0,667 | 1 | 2 | Krótkie Objętość/4 3,907 | Krótkie Objętość/4 ≈ 4.385 |
Jako jednolity duopryzm , tesserakt istnieje w ciągu jednorodnych duopryzmów : { p }×{4}.
Regularny tesseract wraz z 16 komórkami istnieje w zestawie 15 jednolitych 4-politopów o tej samej symetrii . Tesserakt {4,3,3} istnieje w sekwencji regularnych 4-politopów i plastrów miodu , { p ,3,3} z czworościennymi figurami wierzchołkowymi , {3,3}. Tesseract jest również sekwencją regularnych 4-politopów i plastrów miodu {4,3, p } z sześciennymi komórkami .
Prostokątny | Perspektywiczny |
---|---|
4 {4} 2 , z 16 wierzchołkami i 8 4-krawędziami, z 8 4-krawędziami pokazanymi tutaj jako 4 czerwone i 4 niebieskie kwadraty. |
Regularny kompleks Polytope 4 {4}, 2 ,, w ma realną reprezentację jako tesserakt lub 4-4 duopryzm w 4-wymiarowej przestrzeni. 4 {4} 2 ma 16 wierzchołków i 8 4-krawędzi. Jego symetria to 4 [4] 2 , rząd 32. Ma również konstrukcję o niższej symetrii,, lub 4 {}× 4 {}, z symetrią 4 [2] 4 , rząd 16. Jest to symetria, jeśli czerwone i niebieskie krawędzie 4 są uważane za różne.
W kulturze popularnej
Od czasu ich odkrycia czterowymiarowe hipersześciany są popularnym tematem w sztuce, architekturze i science fiction. Godne uwagi przykłady obejmują:
- „ I zbudował krzywy dom ”, opowiadanie science-fiction Roberta Heinleina z 1940 roku, przedstawiające budynek w formie czterowymiarowego hipersześcianu. To i „The No-Sided Professor” autorstwa Martina Gardnera , opublikowane w 1946 roku, są jednymi z pierwszych w science fiction, które przybliżają czytelnikom zespół Moebiusa , butelkę Kleina i hipersześcian (tesserakt).
- Ukrzyżowanie (Corpus Hypercubus) , obraz olejny Salvadora Dali z 1954 roku przedstawiający czterowymiarowy hipersześcian rozłożony w trójwymiarowy krzyż łaciński .
- Grande Arche , pomnik i budynek niedaleko Paryża, Francja, ukończony w 1989. Według inżyniera zabytku, Erik Reitzel , Grande Arche został zaprojektowany, aby przypominać projekcję hipersześcianu.
- Fez , gra wideo, w której gra się postacią, która widzi poza dwoma wymiarami, które widzą inne postacie i musi wykorzystać tę umiejętność do rozwiązywania zagadek platformowych. Zawiera „Dot”, tesserakt, który pomaga graczowi poruszać się po świecie i mówi, jak używać umiejętności, pasując do tematu widzenia poza ludzką percepcją znanej przestrzeni wymiarowej.
Słowo tesseract zostało później zaadoptowane do wielu innych zastosowań w kulturze popularnej, w tym jako narzędzie fabuły w dziełach science fiction, często z niewielkim lub żadnym związkiem z czterowymiarowym hipersześcianem tego artykułu. Zobacz Tesserakt (ujednoznacznienie) .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Coxeter, HSM (1973). Regularne Polytopes (3rd ed.). Nowy Jork: Dover. str. 122 -123.
- F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) Kalejdoskopy: wybrane pisma HSM Coxeter , Wiley-Interscience Publication ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- ( Praca 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- ( Praca 23) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes II , [ Mat . Zeit. 188 (1985) 559-591]
- ( Praca 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes III , [ Mat . Zeit. 200 (1988) 3-45]
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008) Symetrie rzeczy , ISBN 978-1-56881-220-5 (Rozdział 26. s. 409: Hemikuby: 1 n1 )
- T. Gosset (1900) O regularnych i półregularnych figurach w przestrzeni n wymiarów , Messenger of Mathematics , Macmillan.
- T. Proctor Hall (1893) „Projekcja poczwórnych figur na trójmieszkanie ” , American Journal of Mathematics 15:179-89.
-
Norman Johnson Uniform Polytopes , Rękopis (1991)
- NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. (1966)
- Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper , Waren.
Zewnętrzne linki
- Weisstein, Eric W. „Tesseract” . MatematykaŚwiat .
- Klitzing, Richard. "Polytopy jednolite 4D (polichora) x4o3o3o - tes" .
- Tesseract Ray śledził obrazy z eliminacją ukrytych powierzchni. Ta strona zawiera dobry opis metod wizualizacji brył 4D.
- Der 8-Zeller (8-ogniwowy) Regular polytopes Marco Möllera w 4 (niemiecki)
- WikiChoron: Tesserakt
- HyperSolids to program typu open source dla Apple Macintosh (Mac OS X i nowszy), który generuje pięć regularnych brył w przestrzeni trójwymiarowej i sześć regularnych hiperbrył przestrzeni czterowymiarowej.
- Hypercube 98 Program Windows wyświetlający animowane hipersześciany autorstwa Rudy'ego Ruckera
- Strona główna kena perlina Sposób na wizualizację hipersześcianów autorstwa Kena Perlina
- Niektóre notatki dotyczące czwartego wymiaru zawierają animowane samouczki dotyczące kilku różnych aspektów teseraktu autorstwa Davide P. Cervone
- Animacja Tesseract z eliminacją ukrytej objętości
4-politopy |
---|