Antypryzm - Antiprism

Zestaw jednolitych n -gonalnych antypryzmatów
Przykład jednolity sześciokątny antypryzmat
Rodzaj	jednolity w sensie wielościanu półregularnego
Twarze	2 { n } + 2 n {3}
Krawędzie	4 n
Wierzchołki	2 n
Notacja wielościanu Conwaya	A n
Konfiguracja wierzchołków	3.3.3. n
Symbol Schläfli	{ } { n } s{2,2 n } sr{2, n }
Diagramy Coxetera
Grupa symetrii	D _{n d} , [2 ⁺ ,2 n ], (2* n ), rząd 4 n
Grupa rotacyjna	D _n , [2, n ] ⁺ , (22 n ), rząd 2 n
Podwójny wielościan	wypukły podwójnie jednorodny n -kątny trapezhedron
Nieruchomości	wypukłe , wierzchołki przechodnie , regularne ściany wielokątów , podstawy przystające i współosiowe
Internet	Przykładowa jednolita enneagonalna siatka antypryzmatyczna (n = 9)

W geometrii An n -gonal antygraniastosłup lub n -antiprism jest wielościanem składa się z dwóch równoległych bezpośrednich kopii (nie odbić lustrzanych), o n -sided wielokąta , połączone za pomocą zespołu naprzemiennie 2 n trójkątów .

Antypryzmaty są podklasą pryzmatoidów i są (zdegenerowanym) typem wielościanu typu snub .

Antypryzmaty są podobne do pryzmatów , z wyjątkiem tego, że podstawy są skręcone względem siebie, a ściany boczne (łączące podstawy) to 2 n trójkątów, a nie n czworokątów.

Właściwy antypryzm

W przypadku antypryzmatu o regularnych podstawach n- gonowych zwykle rozważa się przypadek, w którym te dwie kopie są skręcone o kąt180/n stopnie.

Oś regularnego wielokąta jest linia prostopadła do płaszczyzny wielokąta i leżące w centrum wielokąta.

Do antypryzmatu o przystających regularnych podstawach n-gonowych, skręconych o kąt180/nstopni, większą regularność uzyskuje się, gdy podstawy mają tę samą oś: są współosiowe ; tj. (dla baz niewspółpłaszczyznowych ): jeśli linia łącząca środki baz jest prostopadła do płaszczyzn bazowych. Wtedy antypryzmat nazywany jest prawym antypryzmatem , a jego 2 n ścianki boczne to trójkąty równoramienne .

Jednolity antypryzmat

Jednolity antygraniastosłup dwa przystające regularnie powierzchnie bazowe N-gon i 2 n równobocznych trójkątów powierzchniach bocznych.

Jednolite antypryzmaty tworzą nieskończoną klasę wierzchołkowo przechodnich wielościanów, podobnie jak jednolite pryzmaty. Dla n = 2 mamy czworościan foremny jako antypryzmat dwukątny (zdegenerowany antypryzmat); dla n = 3 , ośmiościan foremny jako trójkątny antypryzmat (niezdegenerowany antypryzmat).

Podwójny wielościany z antygraniastosłup są trapezohedra .

Dyskutowano o istnieniu antypryzmatów , a ich nazwę wymyślił Johannes Kepler , choć możliwe , że były one wcześniej znane Archimedesowi , ponieważ spełniają te same warunki na ścianach i wierzchołkach , co bryły Archimedesa .

Rodzina jednolitych n- gonalnych antypryzmatów

v

T

mi
Nazwa antypryzmatyczna	Digonalny antypryzmat	(Trigonal) Trójkątny antypryzmat	(czworokątny) kwadratowy antypryzm	Pięciokątny antypryzmat	Sześciokątny antypryzmat	Heptagonalny antypryzmat	Ośmiokątny antypryzmat	Enneagonalny antypryzmat	Dekagonalny antypryzmat	Hendekagonalny antypryzmat	Dodekagonalny antypryzmat	...	Antypryzmat apeirogonalny
Obraz wielościanu												...
Kulisty obraz kafelkowy												Samolot kafelkowy obraz
Konfiguracja wierzchołków.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Diagramy Schlegla

A3	A4	A5	A6	A7	A8

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie dla wierzchołków prawego antypryzmatu (tj. z regularnymi podstawami n- gonów i równoramiennymi ścianami bocznymi) są

{\ Displaystyle \ lewo (\ cos {\ Frac {k \ pi} {n}}, \ grzech {\ Frac {k \ pi} {n}}, (-1) ^ {k} h \ prawej)}

gdzie k waha się od 0 do 2 n – 1;

jeśli trójkąty są równoboczne, to

{\ Displaystyle 2h ^ {2} = \ cos {\ Frac {\ pi {n}} - \ cos {\ Frac {2 \ pi} {n}}.}

Objętość i powierzchnia

Niech a będzie długością krawędzi jednolitego antypryzmatu; to głośność jest

{\ Displaystyle V = {\ Frac {n {\ sqrt {4 \ cos ^ {2} {\ frac {\ pi} {2n}}-1}} \ grzech {\ Frac {3 \ pi} {2n}} }{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},}

a powierzchnia jest

{\ Displaystyle A = {\ Frac {n} {2}} \ lewo (\ łóżeczko {\ Frac {\ pi {n}} + {\ sqrt {3}} \ prawej) a ^ {2}.}

Powiązane wielościany

Istnieje nieskończony zestaw ściętych antypryzmatów, w tym ściętego ośmiościanu o niższej symetrii (ściętego trójkąta antypryzmatycznego). Można je stosować naprzemiennie, tworząc antypryzmaty zadarte , z których dwa są bryłami Johnsona , a trójkątny antypryzmat zadarty jest formą dwudziestościanu o niższej symetrii .

Antypryzmaty
				...
s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,2 n }
Obcięte antypryzmaty
				...
ts{2,4}	ts{2,6}	ts{2,8}	ts{2,10}	ts{2,2n}
Antypryzmaty zniewalające
J ₈₄	dwudziestościan	J ₈₅	Nieregularne twarze...
				...
ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}	ss{2,2n}

Symetria

Grupa symetrii z prawej n -antiprism (tj zwykłych zasad i równoramiennego boczne powierzchnie) jest D _{n d} o uporządkowaniu 4, n , z wyjątkiem przypadków:

n = 2: czworościan foremny , który ma większą grupę symetrii _Td rzędu 24 = 3×(4×2), który ma trzy wersje D _2d jako podgrupy;

n = 3: ośmiościan foremny , który ma większą grupę symetrii O _h rzędu 48 = 4×(4×3), który ma cztery wersje D _3d jako podgrupy.

Grupa symetrii zawiera inwersję wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste.

Grupa obrót jest D _n rzędu 2 N , z wyjątkiem przypadków:

n = 2: czworościan foremny, który ma większą grupę rotacyjną T rzędu 12 = 3×(2×2), który ma trzy wersje D ₂ jako podgrupy;

n = 3: ośmiościan foremny, który ma większą grupę rotacji O rzędu 24 = 4×(2×3), który ma cztery wersje D ₃ jako podgrupy.

Gwiazdkowy antypryzmat

5/2-antypryzmat			5/3-antypryzmat
9/2-antypryzm		9/4-antypryzm		9/5-antypryzm

Pokazuje to wszystkie antypryzmaty niegwiazdowe i gwiezdne do 15 boków - łącznie z tymi z icosikaienneagon.

Jednolite gwiaździste antypryzmaty są nazywane przez ich podstawy wielokątów gwiazdowych , { p / q } i istnieją w roztworach postępowych i wstecznych (skrzyżowanych). Formy skrzyżowane mają przecinające się figury wierzchołkowe i są oznaczone ułamkami „odwróconymi”: p /( p – q ) zamiast p / q ; przykład: 5/3 zamiast 5/2.

Prawo gwiazda antygraniastosłup ma dwa przystające współosiowe regularne wypukłe lub gwiazda wielokątów powierzchnie bazowe, a 2 n trójkąta równoramiennego powierzchnie boczne.

Dowolny antypryzmat gwiaździsty z regularnymi wypukłymi lub wielokątnymi podstawami gwiaździstymi można przekształcić w prawostronny antypryzmat (przez translację i/lub skręcenie jednej z jego podstaw, jeśli to konieczne).

W formach wstecznych, ale nie w formach postępowych, trójkąty łączące podstawy wypukłe lub gwiaździste przecinają oś symetrii obrotowej. Zatem:

Wsteczne antypryzmaty gwiazdowe z regularnymi wypukłymi podstawami wielokątów nie mogą mieć wszystkich równych długości krawędzi, więc nie mogą być jednolite. „Wyjątek”: antypryzmat gwiazdy wstecznej o podstawie trójkąta równobocznego (konfiguracja wierzchołków: 3.3/2.3.3) może być jednorodny; ale potem ma wygląd trójkąta równobocznego: jest zdegenerowanym wielościanem gwiaździstym.

Podobnie, niektóre antypryzmaty gwiazd wstecznych z regularnymi podstawami wielokątów nie mogą mieć wszystkich równych długości krawędzi, więc nie mogą być jednorodne. Przykład: antypryzmat gwiazdy wstecznej z regularną gwiazdą o podstawie 7/5-kąta (konfiguracja wierzchołka: 3.3.3.7/5) nie może być jednorodny.

Można również skonstruować gwiaździste związki antypryzmatyczne z regularnymi gwiezdnymi zasadami p / q -gon, jeśli p i q mają wspólne czynniki. Przykład: gwiazda 10/4-antypryzmat jest połączeniem dwóch gwiazd 5/2-antypryzmatów.

Gwiazda p / *q -* antypryzmaty według symetrii, dla p ≤ 12
Grupa symetrii	Jednolite gwiazdy			Właściwe gwiazdy
D _4d [2 ⁺ ,8] (2*4)				3.3/2.3.4
D _5h [2,5] (*225)	3.3.3.5/2			3.3/2.3.5
D _5d [2 ⁺ ,10] (2*5)	3.3.3.5/3
D _6d [2 ⁺ ,12] (2*6)				3.3/2.3.6
D _7h [2,7] (*227)	3.3.3.7/2	3.3.3.7/4
D _7d [2 ⁺ ,14] (2*7)	3.3.3.7/3
D _8d [2 ⁺ ,16] (2*8)	3.3.3.8/3	3.3.3.8/5
D _9h [2,9] (*229)	3.3.3.9/2	3.3.3.9/4
D _9d [2 ⁺ ,18] (2*9)	3.3.3.9/5
D _10d [2 ⁺ ,20] (2*10)	3.3.3.10/3
D _11h [2,11] (*2.2.11)	3.3.3.11/2	3.3.3.11/4	3.3.3.11/6
D _11d [2 ⁺ ,22] (2*11)	3.3.3.11/3	3.3.3.11/5	3.3.3.11/7
D _12d [2 ⁺ ,24] (2*12)	3.3.3.12/5	3.3.3.12/7
...	...

Zobacz też

Antypryzmat apeirogonalny
rektyfikowany antypryzmat
Wielki antypryzm – czterowymiarowy politop
One World Trade Center , budynek składający się głównie z wydłużonego kwadratowego antypryzmatu
Pochyl wielokąt

Bibliografia

Antoniego Pugha (1976). Wielościany: podejście wizualne . Kalifornia: University of California Press Berkeley. Numer ISBN 0-520-03056-7. Rozdział 2: Wielościany Archimedesa, pryzmaty i antypryzmaty

Languages

In other projects