Dwudziestościan regularny - Regular icosahedron

Regularny dwudziestościan
Icosahedron.jpg
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Rodzaj Bryła platońska
krótki kod 5<z>
Elementy F = 20, E = 30
V = 12 (χ = 2)
Twarze po bokach 20{3}
notacja Conway I
sT
Symbole Schläfli {3,5}
s{3,4}
sr{3,3} lub
Konfiguracja twarzy V5.5.5
Symbol Wythoffa 5 | 2 3
Schemat Coxetera CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
Symetria I h , H 3 , [5,3], (*532)
Grupa rotacyjna Ja , [5,3] + , (532)
Bibliografia U 22 , C 25 , W 4
Nieruchomości regularny , wypukły deltahedron
Kąt dwuścienny 138,189685° = arccos(− 53 )
Dwudziestościan vertfig.svg
3.3.3.3.3
( rysunek wierzchołkowy )
Dwunastościan.png
Dwunastościan regularny
( podwójny wielościan )
Dwudziestościan płaski.svg
Internet
Model 3D dwudziestościanu foremnego

W geometrii , A regularne Dwudziestościan ( / ˌ K ɒ s ə h ı d r ən , - k ə -, - k - / albo / ˌ K ɒ s ə h ı d r ən / ) jest wypukła wielościan z 20 ścianami, 30 krawędziami i 12 wierzchołkami. Jest to jedna z pięciu brył platońskich i ta o największej liczbie twarzy.

Ma pięć równobocznych trójkątnych ścian zbiegających się w każdym wierzchołku. Jest reprezentowany przez symbol Schläfliego {3,5}, a czasami przez jego wierzchołek jako 3.3.3.3.3 lub 3 5 . Jest to podwójny z dwunastościanu , który jest reprezentowany przez {5,3}, posiadający trzy pięciokątnych twarze wokół każdego wierzchołka. W większości kontekstów bezwarunkowe użycie słowa „icosahedron” odnosi się konkretnie do tej figury.

Dwudzieścian foremny to ściśle wypukły deltahedron i dwupiramida pięciokątna o wydłużeniu żyroskopowym i pięciokątny antypryzmat ze skośnym pryzmatem w dowolnej z sześciu orientacji.

Nazwa pochodzi od greckiego εἴκοσι (eíkosi)  „dwadzieścia” i ἕδρα (hédra)  „siedzisko”. Mnoga może być albo "icosahedrons" lub "icosahedra" ( / - d r ə / ).

Wymiary

Siatka składana w dwudziestościan

Jeśli długość krawędzi regularnego dwudziestościanu wynosi , promień ograniczonej kuli (takiej, która dotyka dwudziestościanu na wszystkich wierzchołkach) wynosi

a promień wpisanej kuli ( stycznej do każdej ze ścian dwudziestościanu) jest
podczas gdy promień środkowy, który dotyka środka każdej krawędzi, wynosi
gdzie jest złoty podział .

Powierzchnia i objętość

Pole powierzchni i

objętość dwudziestościanu foremnego o długości krawędzi wynoszą:
Ta ostatnia to F = 20-krotność objętości czworościanu ogólnego z wierzchołkiem w środku wpisanej kuli, gdzie objętość czworościanu jest jedną trzecią powierzchni podstawy 3/4a 2 razy jego wysokość r i .

Współczynnik wypełnienia objętości opisanej kuli wynosi:

w porównaniu do 66,49% dla dwunastościanu. Kula wpisana w dwudziestościan obejmie 89,635% jego objętości, w porównaniu do zaledwie 75,47% dla dwunastościanu.

Środkowa sfera dwudziestościanu będzie miała objętość 1,01664 razy większą od dwudziestościanu, co jest zdecydowanie największym podobieństwem objętości jakiejkolwiek bryły platonicznej z jej środkową kulą. To prawdopodobnie sprawia, że ​​dwudziestościan jest „najokrągłym” spośród brył platońskich.

współrzędne kartezjańskie

Wierzchołki dwudziestościanu tworzą trzy prostopadłe złote prostokąty

Wierzchołki dwudziestościanu wyśrodkowane na początku o długości krawędzi 2 i promieniu okręgu ϕ + 2 ≈ 1,9

(0, ±1, ± ϕ )
(±1, ± ϕ , 0)
cp , 0, ± 1)

gdzie ϕ =1 + 5/2jest złotym podziałem . Biorąc wszystkie permutacje tych współrzędnych (nie tylko permutacje cykliczne) daje w wyniku Związek dwóch ikosaedrów .

Wierzchołki dwudziestościanu tworzą pięć zestawów trzech koncentrycznych, prostopadłych do siebie złotych prostokątów , których krawędzie tworzą pierścienie boromejskie .

Jeśli oryginalny dwudziestościan ma długość krawędzi 1, jego podwójny dwunastościan ma długość krawędzi1/φ= ϕ  − 1 =5 − 1/2.

Model dwudziestościanu wykonany z metalowych kul i magnetycznych łączników

12 krawędzi ośmiościanu foremnego można podzielić według złotego podziału, tak aby powstałe wierzchołki określały dwudziestościan foremny. Odbywa się to poprzez umieszczenie wektorów wzdłuż krawędzi ośmiościanu tak, aby każda ściana była ograniczona cyklem, a następnie podobnie dzieląc każdą krawędź na złoty środek wzdłuż kierunku jego wektora. Pięć ośmiościanów definiujące dana Dwudziestościan tworzą regularną związek wielościenne , natomiast dwa icosahedra , które można zdefiniować w ten sposób z dowolnego ośmiościan tworzą jednolity związek graniastosłupa .

Regularny dwudziestościan i jego sfera ograniczona . Wierzchołki dwudziestościanu foremnego leżą w czterech równoległych płaszczyznach, tworząc w nich cztery trójkąty równoboczne ; udowodnił to Pappus z Aleksandrii

Współrzędne sferyczne

Położenie wierzchołków dwudziestościanu foremnego można opisać współrzędnymi sferycznymi , np. długością i szerokością geograficzną . Jeśli przyjmie się, że dwa wierzchołki znajdują się na biegunach północnym i południowym (szerokość geograficzna ±90°), to pozostałe dziesięć wierzchołków znajduje się na szerokości geograficznej ± arctan 1/2= ±26,57°. Te dziesięć wierzchołków znajduje się na równomiernie rozmieszczonych długościach geograficznych (36° od siebie), naprzemiennie pomiędzy północną i południową szerokością geograficzną.

Program ten korzysta z faktu, że regularny dwudziestościan jest pięciokątny gyroelongated podwójnej piramidy , z D 5d dwuścienny symetria -to znaczy, że jest utworzona z dwóch przystające pięciokątny piramidy połączone przez pięciokąta antygraniastosłup .

Rzuty prostopadłe

Dwudziestościan ma trzy specjalne rzuty prostopadłe , wyśrodkowane na ścianie, krawędzi i wierzchołku:

Rzuty prostopadłe
Wyśrodkowany przez Twarz Krawędź Wierzchołek
Samolot Coxetera 2 3 H 3
Wykres Dwudziestościan A2 projekcja.svg Wykres dwudziestościanu A3 1.png Projekcja dwudziestościanu H3.svg

Symetria projekcyjna
[6] [2] [10]
Wykres Dwudziestościan fnormal.png
Normalna twarz
Wykres dwudziestościanu A3 2.png
Krawędź normalna
Dwudziestościan vnormal.png
Normalny wierzchołek

Dachówka sferyczna

Dwudziestościan może być również przedstawiony jako kafelek sferyczny i rzutowany na płaszczyznę za pomocą projekcji stereograficznej . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.

Jednolite płytki 532-t2.png Projekcja stereograficzna dwudziestościanu.svg
Rzut prostokątny Projekcja stereograficzna

Inne fakty

  • Dwudziestościan ma 43380 odrębnych sieci .
  • Aby pokolorować dwudziestościan w taki sposób, aby żadne dwie sąsiadujące ściany nie miały tego samego koloru, potrzeba co najmniej 3 kolorów.
  • Problemem sięgającym starożytnych Greków jest ustalenie, który z dwóch kształtów ma większą objętość, dwudziestościan wpisany w sferę, czy dwunastościan wpisany w tę samą sferę. Problem rozwiązali między innymi Hero , Pappus i Fibonacci . Apoloniusz z Pergi odkrył dziwny wynik, że stosunek objętości tych dwóch kształtów jest taki sam jak stosunek ich powierzchni. Obydwa tomy mają formuły uwzględniające złoty podział , ale podniesione do różnych potęg. Jak się okazuje, dwudziestościan zajmuje mniej objętości kuli (60,54%) niż dwunastościan (66,49%).

Konstrukcja za pomocą systemu linii równokątnych

Projekcja dwudziestościanu H3.svg
Dwudziestościan
H 3 Coxeter samolot
6-kostka t5 B5.svg
Samolot 6-ortoplex
D 6 Coxeter
Ta konstrukcja może być geometrycznie postrzegana jako 12 wierzchołków 6-ortopleksu rzutowanych na 3 wymiary. Reprezentuje to geometryczne fałdowanie grup Coxetera od D 6 do H 3 :Geometryczny wykres Coxetera składany D6 H3.png

Widziane przez te 2D rzuty ortogonalne płaszczyzny Coxetera , dwa nakładające się środkowe wierzchołki definiują trzecią oś w tym odwzorowaniu.

Poniższa konstrukcja dwudziestościanu pozwala uniknąć żmudnych obliczeń w polu liczbowym, koniecznych w bardziej elementarnych podejściach.

Istnienie dwudziestościanu sprowadza się do istnienia sześciu linii równokątnych w . Rzeczywiście, przecięcie takiego systemu linii równokątnych z sferą euklidesową wyśrodkowaną na ich wspólnym przecięciu daje dwanaście wierzchołków regularnego dwudziestościanu, co można łatwo sprawdzić. I odwrotnie, zakładając istnienie regularnego dwudziestościanu, linie wyznaczone przez sześć par przeciwległych wierzchołków tworzą układ równokątny.

Aby skonstruować taki układ równokątny, zaczynamy od tej macierzy kwadratów 6 × 6 :

Prosta kalkulacja daje (gdzie jest macierz identyczności 6 × 6). Oznacza to, że ma

wartości własne i , obie z krotnością 3, ponieważ jest symetryczna i ma ślad zerowy.

Matrix indukuje Tak więc

euklidesowa struktury na powierzchni ilorazu , który jest izomorficzny z ponieważ jądro z ma gabarytach 3. Obraz pod występem o sześciu osiach współrzędnych tworzy układ sześciu równokątnych liniach, przecinających się parami na wspólnym kątem ostrym z . Prostopadły dodatnich i ujemnych wektorów bazowych na - eigenspace z wydajnością zatem dwanaście wierzchołków dwudziestościanu.

Druga prosta konstrukcja dwudziestościanu wykorzystuje teorii reprezentacji z grupy zmiennego stanowiącej bezpośrednie

izometrycznych na dwudziestościanu.

Symetria

Pełna symetria dwudziestościenna ma 15 płaszczyzn lustrzanych (postrzeganych jako błękitne wielkie koła na tej sferze) spotykających się pod kątami uporządkowanymi , dzielących sferę na 120 podstawowych domen trójkątów . Jest 6 osi 5-krotnych (niebieskie), 10 osi 3-krotnych (czerwone) i 15 osi 2-krotnych (magenta). Wierzchołki dwudziestościanu foremnego znajdują się w 5-krotnych punktach osi obrotu.

Obrotowa grupa symetrii regularnej icosahedron jest izomorficzna z grupą przemiennego na pięciu liter. Ta nie- abelowa grupa prosta jest tylko nietrywialnym normalne podgrupy z grupy symetrycznie na pięciu liter. Ponieważ grupa Galois ogólnego równania kwintyki jest izomorficzna z grupą symetryczną o pięciu literach, a ta normalna podgrupa jest prosta i nieabelowa, ogólne równanie kwintyki nie ma rozwiązania w postaci pierwiastków. Dowód twierdzenia Abla-Ruffiniego wykorzystuje ten prosty fakt, a Felix Klein napisał książkę, w której wykorzystał teorię symetrii dwudziestościennych do wyprowadzenia analitycznego rozwiązania ogólnego równania kwintycznego ( Klein 1884 ). Zobacz symetrię dwudziestościenną: powiązane geometrie dla dalszej historii i powiązane symetrie na siedmiu i jedenastu literach.

Pełna grupa symetrii dwudziestościanu (w tym odbicia) jest znana jako pełna grupa dwudziestościan i jest izomorficzna z iloczynem grupy symetrii obrotowej i grupy o rozmiarze dwa, który jest generowany przez odbicie przez środek dwudziestościanu.

Stellations

Dwudziestościan ma dużą liczbę gwiazd . Zgodnie ze szczegółowymi zasadami określonymi w książce The Fifty-Nine Icosahedra , dla dwudziestościanu foremnego zidentyfikowano 59

gwiazd . Pierwszą formą jest sam dwudziestościan. Jednym z nich jest regularny wielościan Keplera-Poinsota . Trzy to regularne wielościany złożone .
21 z 59 gwiazd
Diagram stelacji icosahedron.svg
Ściany dwudziestościanu rozciągały się na zewnątrz, gdy płaszczyzny przecinają się, definiując regiony w przestrzeni, jak pokazano na tym schemacie gwiaździstym przecięć w jednej płaszczyźnie.
Zerowa gwiazda dwudziestościanu.png Pierwsza gwiazda dwudziestościanu.png Druga gwiazda dwudziestościanu.png Trzecia gwiazda icosahedron.svg Czwarta gwiazda dwudziestościanu.png Piąta gwiazda dwudziestościanu.png Szósta gwiazda dwudziestościanu.png
Siódma gwiazda dwudziestościanu.png Ósma gwiazda dwudziestościanu.png Dziewiąta gwiazda dwudziestościanu.png Dziesiąta gwiazda dwudziestościanu.png Jedenasta gwiazda dwudziestościanu.png Dwunasta gwiazda dwudziestościanu.png Trzynasta gwiazda dwudziestościanu.png
Czternasta gwiazda dwudziestościanu.png Piętnasta gwiazda dwudziestościanu.png Szesnasta gwiazda dwudziestościanu.png Siedemnasta gwiazda dwudziestościanu.png Pierwsza gwiazda złożona icosahedron.png Druga gwiazda złożona icosahedron.png Trzecia gwiazda złożona icosahedron.png

Facetowanie

Niewielki gwiezdny dwunastościan , wielki dwunastościan i wielki dwudziestościan są trzy facetings regularnego icosahedron. Mają ten sam układ wierzchołków . Wszystkie mają 30 krawędzi. Dwudziestościan foremny i dwunastościan wielki mają ten sam układ krawędzi, ale różnią się ścianami (trójkąty i pięciokąty), podobnie jak mały dwunastościan gwiaździsty i wielki dwudziestościan (pentagramy i trójkąty).

Wypukły Zwykłe gwiazdki
dwudziestościan wielki dwunastościan mały dwunastościan gwiaździsty wielki dwudziestościan
Dwudziestościan.png Wielki dwunastościan.png Mały dwunastościan gwiaździsty.png Wielki dwudziestościan.png

Relacje geometryczne

Istnieją zniekształcenia dwudziestościanu, które choć nie są już regularne, to jednak są jednorodne w wierzchołkach . Są one niezmienne przy tych samych obrotach, co czworościan i są nieco analogiczne do sześcianu typu arabskiego i dwunastościanu typu arabskiego , w tym niektóre formy, które są chiralne, a niektóre z symetrią T h , tj. mają inne płaszczyzny symetrii niż czworościan.

Dwudziestościan wyróżnia się spośród brył platońskich, ponieważ posiada kąt dwuścienny nie mniejszy niż 120°. Jej kąt dwuścienny wynosi około 138,19°. Tak jak sześciokąty mają kąty nie mniejsze niż 120° i nie mogą być używane jako ściany wypukłego wielościanu foremnego, ponieważ taka konstrukcja nie spełniałaby wymogu, aby co najmniej trzy ściany spotykały się na wierzchołku i pozostawiały dodatnią wadę do składania. w trzech wymiarach, dwudziestościan nie może być użyty jako komórki wypukłego wielokoronu foremnego, ponieważ podobnie co najmniej trzy komórki muszą spotykać się na krawędzi i pozostawiać dodatni defekt do fałdowania w czterech wymiarach (ogólnie dla wielokąta wypukłego w n wymiarach, co co najmniej trzy fasetki muszą spotykać się na wierzchołku i pozostawić dodatni defekt do złożenia w n -przestrzeni). Jednakże, w połączeniu z odpowiednimi komórkami o mniejszych kątów dwuściennych, icosahedra można stosować jako komórki w pół-regularnych polychora (na przykład zadarty 24 komórek ), jak sześciokątów może być stosowany jako powierzchnie, na pół-regularnych wielościanów (na przykład ścięty dwudziestościan ). Wreszcie, wielościany niewypukłe nie mają takich samych ścisłych wymagań jak wielościany wypukłe, a ikosaedry są rzeczywiście komórkami dwudziestościennej 120-komórki , jednej z dziesięciu niewypukłych wielokątów regularnych .

Dwudziestościan można również nazwać dwupiramidą pięciokątną o

wydłużonym żyro . Można go rozłożyć na żyro-wydłużoną piramidę pięciokątną i piramidę pięciokątną lub na antypryzmat pięciokątny i dwie równe piramidy pięciokątne.

Stosunek do 6-sześcianu i rombowego triacontaedron

6demicube-nieparzysty-icosahedron.png

Można go rzutować w 3D z 6-demisześcianu 6D przy użyciu tych samych wektorów bazowych, które tworzą kadłub triacontaedronu rombowego z 6-sześcianu . Pokazano tutaj wraz z wewnętrznymi 20 wierzchołkami, które nie są połączone 30 zewnętrznymi krawędziami kadłuba o standardowej długości 6D 2 . Wierzchołki wewnętrzne tworzą dwunastościan .

Wykorzystane wektory bazowe projekcji 3D [u,v,w] to:

Symetrie

Istnieją 3 jednolite kolory dwudziestościanu. Te kolory mogą być reprezentowane jako 11213, 11212, 11111, nazywając 5 trójkątnych ścian wokół każdego wierzchołka według ich koloru.

Dwudzieścian może być uważany za czworościan typu snub, ponieważ snubyfikacja regularnego czworościanu daje regularny dwudziestościan o chiralnej symetrii czworościanu . Może być również skonstruowany jako naprzemienny ścięty ośmiościan, mający symetrię pirytoedryczną . Wersja symetrii pirytoedrycznej jest czasami nazywana pseudoikościanem i jest podwójna do pirytoedru .

Regularny Mundur 2-jednolita
Nazwa Regularny
dwudziestościan

Ośmiościan Snub

Czworościan Snub
Zadartym kwadratowy
podwójnej piramidy
Pięciokątna bipiramida
wydłużona żyroskopowo
Trójkątna
kopuła żyroskopowa
Trójkątny
antypryzmat
Obraz Jednolite wielościan-53-t2.png Jednolite wielościan-43-h01.svg Jednolite wielościan-33-s012.png Snub kwadratowa bipiramida.png Pięciokątna bipiramida wydłużona żyroskopowo.png Regularny trójkątny gyrobiantikopola.png Snub trójkątny antypryzmat.png

Kolorowanie twarzy
(11111) (11212) (11213) (11212) (11122)
(22222)
(12332)
(23333)
(11213)
(11212)

Schemat Coxetera
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png Węzeł CDel h.pngCDel split1.pngWęzły CDel hh.png

Symbol Schläfli
{3,5} s{3,4} sr{3,3} sdt{2,4} () || {n} || r{n} || () ss{2,6}
Conway i HtO NS HtdP4 k5A5 sY3 = HtA3
Symetria I H
[5,3]
(* 532)
T h
[3 + ,4]
(3*2)
T
[3,3] +
(332)
D 2h
[2,2]
(*222)
D 5d
[2 + ,10]
(2*5)
D 3d
[2 + ,6]
(2*3)
D 3
[3,2] +
(322)

Kolejność symetrii
120 24 12 8 20 12 6

Zastosowania i formy naturalne

Nanocząstka złota oglądana przez transmisyjną mikroskopię elektronową .
Struktura γ-boru.

Biologia

Wiele wirusów , na przykład wirus opryszczki , mają dwudziestościennego kapsydu zbudowanego z muszli . Struktury wirusowe zbudowane są z powtarzających się identycznych podjednostek białkowych znanych jako kapsomery , a dwudziestościan jest najłatwiejszym kształtem do złożenia przy użyciu tych podjednostek. Regularne wielościan jest stosowany, ponieważ może on być zbudowany z jednego białka jednostce podstawowej stosowanej w kółko; oszczędza to miejsce w genomie wirusa .

Znaleziono również różne organelle bakteryjne o kształcie dwudziestościennym. Enzymy kapsułkujące otoczkę ikozaedryczną i nietrwałe produkty pośrednie zbudowane są z różnych typów białek z domenami BMC .

W 1904 roku Ernst Haeckel opisał szereg gatunków Radiolaria , w tym Circogonia icosahedra , którego szkielet ma kształt regularnego dwudziestościanu. Kopia ilustracji Haeckela dla tego radiolariana pojawia się w artykule na temat wielościanów foremnych .

Chemia

Closo - karborany są związki chemiczne, kształtu bardzo blisko dwudziestościanu. Ikozahedralnymi twinningowa występuje również w kryształach, zwłaszcza nanocząstek .

Wiele borków i alotropów boru zawiera dwudziestościan boru B 12 jako podstawową jednostkę struktury.

Zabawki i gry

Dwustronna kostka z ptolemejskiego Egiptu
Dwustronna kostka

Ikozahedralnymi kości z dwudziestu stronach były wykorzystywane od czasów starożytnych.

W kilku grach fabularnych , takich jak Dungeons & Dragons , dwudziestościenna kość ( w skrócie k20 ) jest powszechnie używana do określania sukcesu lub porażki akcji. Ta kość ma kształt regularnego dwudziestościanu. Może być dwukrotnie numerowana od „0” do „9” (w takiej formie służy zwykle jako dziesięciościenna kostka, czyli k10 ), ale większość współczesnych wersji jest oznaczona od „1” do „20”.

Dwudziestościan to trójwymiarowa plansza do gry Icosagame, dawniej znana jako Ico Crystal Game.

Dwudziestościan jest używany w grze planszowej Scattergories do wyboru litery alfabetu. Pominięto sześć liter (Q, U, V, X, Y i Z).

W Nintendo 64 gry Kirby 64: The Crystal Shards , szef Miracle Materia jest regularny dwudziestościan.

Wewnątrz magicznej kuli ósemki na regularnym dwudziestościanie wypisane są różne odpowiedzi na pytania tak-nie .

Zabawka dla niemowląt „Skwish” to obiekt tensegrity w postaci dwudziestościanu Jessena , który ma takie same współrzędne wierzchołka jak regularny dwudziestościan i taką samą liczbę ścian, ale z sześcioma krawędziami obróconymi o 90°, aby połączyć się z innymi wierzchołkami.

Inni

R. Buckminster Fuller i japoński kartograf Shoji Sadao zaprojektowali mapę świata w postaci rozłożonego dwudziestościanu, zwanego projekcją Fullera , której maksymalne zniekształcenie wynosi zaledwie 2%. Amerykański duet muzyki elektronicznej ODESZA używa jako logo regularnego dwudziestościanu.

Wykres dwudziestościenny

Wykres dwudziestościan regularny
Wykres dwudziestościanu.svg
3-krotna symetria
Wierzchołki 12
Krawędzie 30
Promień 3
Średnica 3
Obwód 3
Automorfizmy 120 ( A 5 × Z 2 )
Liczba chromatyczna 4
Nieruchomości Hamiltonian , regularny , symetryczny , odległościowo regularny , odległościowo przechodni , spójny z 3 wierzchołkami , graf planarny
Tabela wykresów i parametrów

Szkielet dwudziestościanu (wierzchołkach i krawędziach) stanowi wykres . Jest to jeden z 5 grafów platońskich , z których każdy jest szkieletem platońskiej bryły .

Wysoki stopień symetrii wielokąta jest odwzorowywany we właściwościach tego grafu, który jest przechodni na odległość i symetryczny . Grupa automorfizmu ma rząd 120. Wierzchołki można pokolorować 4 kolorami, krawędzie 5 kolorami, a średnica 3.

Wykres dwudziestościenny jest hamiltonianem : istnieje cykl zawierający wszystkie wierzchołki. Jest to również graf planarny .

Rzut prostopadły
Dwudziestościan A2 projekcja.svg

Zmniejszone icosahedry regularne

Istnieją 4 powiązane bryły Johnsona , w tym ściany pięciokątne z podzbiorem 12 wierzchołków. Podobny przecięty dwudziestościan foremny ma 2 sąsiednie wierzchołki zmniejszone, pozostawiając dwie trapezoidalne ściany, a bifastigium ma usunięte 2 przeciwległe zestawy wierzchołków i 4 trapezoidalne ściany. Pięciokątny antypryzmat powstaje przez usunięcie dwóch przeciwległych wierzchołków.

Formularz J2 Bifastigium J63 J62 Rozcięty
dwudziestościan
s{2,10} J11
Wierzchołki 6 z 12 8 z 12 9 z 12 10 z 12 11 z 12
Symetria C 5v , [5], (*55)
zamów 10
D 2h , [2,2], *222
zamów 8
C 3v , [3], (*33)
rząd 6
C 2v , [2], (*22)
rząd 4
D 5d , [2 + ,10], (2*5)
rząd 20
C 5v , [5], (*55)
zamów 10
Obraz Piramida pięciokątna.png 4-zmniejszony dwudziestościan.png Potrójny dwudziestościan.png Metabidiminated dwudziestościan.png Rozcięty regularny icosahedron.png Pięciokątny antypryzm.png Żyroskopowa piramida pięciokątna.png

Powiązane wielościany i wielościany

Dwudziestościan może zostać przekształcony przez sekwencję skrócenia w jego podwójny , dwunastościan:

Rodzina jednolitych wielościanów dwudziestościennych
Symetria : [5,3] , (*532) [5,3] + , (532)
Jednolite wielościan-53-t0.svg Jednolite wielościan-53-t01.svg Jednolite wielościan-53-t1.svg Jednolite wielościan-53-t12.svg Jednolite wielościan-53-t2.svg Jednolite wielościan-53-t02.png Jednolite wielościan-53-t012.png Jednolite wielościan-53-s012.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel h.pngCDel 5.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duals do jednolitych wielościanów
Icosahedron.jpg Triakisicosahedron.jpg żołądek.jpg Pentakisdodecahedron.jpg Dwunastościan.jpg DeltoidalneHeksecontahedron.jpg .jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Jako czworościan odrętwiały i naprzemiennie ścięty ośmiościan istnieje również w rodzinach symetrii czworościennej i ośmiościanowej:

Rodzina jednolitych wielościanów czworościennych
Symetria : [3,3] , (*332) [3,3] + , (332)
Jednolite wielościan-33-t0.png Jednolite wielościan-33-t01.png Jednolity wielościan-33-t1.png Jednolite wielościan-33-t12.png Jednolite wielościan-33-t2.png Jednolite wielościan-33-t02.png Jednolite wielościan-33-t012.png Jednolite wielościan-33-s012.svg
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duals do jednolitych wielościanów
Czworościan.svg Triakistetrahedron.jpg Sześcian.svg Triakistetrahedron.jpg Czworościan.svg Dwunastościan rombowy.jpg Czworokąt.jpg Dwunastościan.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
Jednolite wielościany ośmiościenne
Symetria : [4,3], (*432) [4,3] +
(432)
[1 + ,4,3] = [3,3]
(*332)
[3 + ,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{3 1,1 }
t{3,4}
t{3 1,1 }
{3,4}
{3 1,1 }
rr{4,3}
s 2 {3,4}
tr{4,3} sr{4,3} godz.{4,3}
{3,3}
h 2 {4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{3 1,1 }
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel h.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png
Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= Węzły CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
= Węzły CDel 11.pngCDel split2.pngWęzeł CDel 1.png
Węzeł CDel h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngWęzeł CDel 1.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png Węzeł CDel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
Węzły CDel 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png lub Węzły CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
Węzeł CDel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png =
Węzły CDel 10ru.pngCDel split2.pngWęzeł CDel 1.png lub Węzły CDel 01rd.pngCDel split2.pngWęzeł CDel 1.png
Węzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.pngCDel 4.pngWęzeł CDel h0.png =
Węzeł CDel h.pngCDel split1.pngWęzły CDel hh.png
Jednolite wielościan-43-t0.svg Jednolite wielościan-43-t01.svg Jednolite wielościan-43-t1.svg
Jednolite wielościan-33-t02.png
Jednolite wielościan-43-t12.svg
Jednolite wielościan-33-t012.png
Jednolite wielościan-43-t2.svg
Jednolity wielościan-33-t1.png
Jednolite wielościan-43-t02.png
Rombikuboktaedr jednolity kolorowanie krawędzi.png
Jednolite wielościan-43-t012.png Jednolite wielościan-43-s012.png Jednolite wielościan-33-t0.pngJednolite wielościan-33-t2.png Jednolite wielościan-33-t01.pngJednolite wielościan-33-t12.png Jednolite wielościan-43-h01.svg
Jednolite wielościan-33-s012.svg
Duals do jednolitych wielościanów
V4 3 V3.8 2 V(3.4) 2 V4.6 2 V3 4 V3.4 3 Wersja 4.6.8 V3 4 0,4 V3 3 V3.6 2 V3 5
Węzeł CDel f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png Węzeł CDel f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png Węzeł CDel f1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png Węzeł CDel fh.pngCDel 4.pngWęzeł CDel fh.pngCDel 3.pngWęzeł CDel fh.png Węzeł CDel fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png Węzeł CDel fh.pngCDel 3.pngWęzeł CDel fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
Węzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png Węzeł CDel f1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel f1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel fh.pngCDel 3.pngWęzeł CDel fh.png Węzeł CDel f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.pngCDel 3.pngWęzeł CDel f1.png Węzeł CDel fh.pngCDel 3.pngWęzeł CDel fh.pngCDel 3.pngWęzeł CDel fh.png
Oktaedron.jpg Triakisoctahedron.jpg Dwunastościan rombowy.jpg Czworokąt.jpg Sześcian.jpg Deltoidalnetrahedron.jpg .jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Czworościan.jpg Triakistetrahedron.jpg Dwunastościan.jpg

Ten wielościan jest powiązany topologicznie jako część ciągu wielościanów foremnych z symbolami Schläflego {3, n }, kontynuując w płaszczyźnie hiperbolicznej .

* n 32 mutacja symetrii regularnych płytek: {3, n }
Kulisty Euklidesa. Kompaktowy hiper. Parako. Niekompaktowy hiperboliczny
Dwuścian trójkątny.svg Jednolite płytki 332-t2.png Jednolite płytki 432-t2.png Jednolite płytki 532-t2.png Jednolity wielościan-63-t2.png Zamówienie-7 trójkątne kafelki.svg H2-8-3-primal.svg H2 płytki 23i-4.png Płytki H2 23j12-4.png H2 płytki 23j9-4.png H2 płytki 23j6-4.png H2 kafelki 23j3-4.png
3,3 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 3 12i 3 9i 3 6i 3 3i

Regularne dwudziestościanu postrzegane jako Tetrahedron zadartym jest członkiem sekwencji Odrzucony wielościanów a tilings z wierzchołka rysunku (3.3.3.3. N ) i Coxeter-Dynkin wykres Węzeł CDel h.pngCDel n.pngWęzeł CDel h.pngCDel 3.pngWęzeł CDel h.png. Te figury i ich figury podwójne mają ( n 32) symetrię obrotową , będąc w płaszczyźnie euklidesowej dla , oraz płaszczyznę hiperboliczną dla każdego wyższego . Można uznać, że seria zaczyna się od jednego zestawu twarzy zdegenerowanych w cyfry .

n 32 mutacje symetrii płytek odrzucanych: 3.3.3.3.n
Symetria
n 32
Kulisty Euklidesa Kompaktowy hiperboliczny Parakomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32

Postacie z awanturą
Sferyczny trygonalny antypryzmat.png Sferyczny czworościan zadarty.png Kulisty sześcian snub.png Sferyczny dwunastościan.png Jednolite kafelki 63-snub.svg Snub triheptagonal tiling.svg H2-8-3-snub.svg Jednolite kafelki i32-snub.png
Konfig. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞

Figurki żyroskopowe
Jednolite płytki 432-t0.png Jednolite płytki 532-t0.png Kulisty pięciokątny icositetrahedron.png Sferyczny pięciokątny sześciokątny sześcian.png Dachówka Podwójny Półregularny V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg 7-3 floret pięciokątne kafelki.svg H2-8-3-floret.svg Zamówienie-3-nieskończone floret pięciokątne kafelki.png
Konfig. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞
Kulisty Kafelki hiperboliczne
Kulisty pięciokątny hosohedron.png
{2,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Jednolite płytki 532-t2.png
{3,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H2-5-4-primal.svg
{4,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H2 kafelki 255-1.png
{5,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Płytki H2 256-1.png
{6,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Płytki H2 257-1.png
{7,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Płytki H2 258-1.png
{8,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
... H2 kafelki 25i-1.png
{∞,5}
Węzeł CDel 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

Dwudziestościan może tworzyć teselację przestrzeni hiperbolicznej w rzędzie 3 dwudziestościanów plastra miodu , z 3 dwudziestościanami wokół każdej krawędzi, 12 dwudziestościanami wokół każdego wierzchołka, z symbolem Schläfliego {3,5,3}. Jest to jedna z czterech regularnych teselacji w trójprzestrzeni hiperbolicznej.

Hyperb icosahedral hc.png
Jest pokazany tutaj jako szkielet krawędzi w modelu dysku Poincarégo , z jednym dwudziestościanem widocznym w środku.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Rodzina A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Wielokąt foremny Trójkąt Kwadrat p-gon Sześciokąt Pięciokąt
Jednolity wielościan Czworościan Ośmiościankostka Demicube DwunastościanIcosahedron
Jednolita polichoron Pentachoron 16-ogniwowyTesseract Demitesseract 24-komorowy 120-ogniwowy600-ogniwowy
Jednolity 5-politop 5-simplex 5-ortopleks5-kostka 5-demicube
Jednolity 6-politop 6-simplex 6-ortopleks6-kostka 6-demicube 1 222 21
Jednolity 7-politop 7-simplex 7-ortopleks7-kostka 7-demicube 1 322 313 21
Jednolity 8-politop 8-simplex 8-ortopleks8-kostka 8-demicube 1 422 414 21
Jednolity 9-politop 9-simplex 9-ortopleks9-kostka 9-demicube
Jednolity 10-politop 10-simplex 10-ortopleks10-kostka 10-demicube
Jednolity n - polytope n - simpleks n - ortoplexn - sześcian n - demicube 1 k22 k1k 21 n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny PolytopeRegularny polytopeLista regularnych polytopów i związków
Wybitne stelacje dwudziestościanu
Regularny Jednolite podwójne Zwykłe związki Zwykła gwiazda Inni
(Wypukły) dwudziestościan Mały dwudziestościan triambiczny Przyśrodkowy triambic dwudziestościan Wielki dwudziestościan triambiczny Związek pięciu oktaedrów Związek pięciu czworościanów Związek dziesięciu czworościanów Wielki dwudziestościan Odkopany dwunastościan Ostateczna stelacja
Zerowa gwiazda dwudziestościanu.png Pierwsza gwiazda dwudziestościanu.png Dziewiąta gwiazda dwudziestościanu.png Pierwsza gwiazda złożona icosahedron.png Druga gwiazda złożona icosahedron.png Trzecia gwiazda złożona icosahedron.png Szesnasta gwiazda dwudziestościanu.png Trzecia gwiazda icosahedron.svg Siedemnasta gwiazda dwudziestościanu.png
Diagram stelacji icosahedron.svg Mała gwiazda dwudziestościanu triambicznego facets.svg Wielki triambic gwiazdozbiór dwudziestościan fasets.svg Złożony z pięciu fasetek gwiazdozbioru oktaedry.svg Związek pięciu fasetek gwiazdowych czworościanów.svg Złożony z dziesięciu fasetek gwiazdowych czworościanów.svg Wielki dwudziestościan stellation fasets.svg Wydobyty dwunastościan gwiazdozbiór facets.svg Fasety gwiazd kolczatki.svg
Proces stelacji na dwudziestościanie tworzy szereg pokrewnych wielościanów i związków o symetrii dwudziestościanowej .