Dwudziestościan regularny - Regular icosahedron
Regularny dwudziestościan | |
---|---|
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy) |
|
Rodzaj | Bryła platońska |
krótki kod | 5<z> |
Elementy |
F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2) |
Twarze po bokach | 20{3} |
notacja Conway | I sT |
Symbole Schläfli | {3,5} |
s{3,4} sr{3,3} lub |
|
Konfiguracja twarzy | V5.5.5 |
Symbol Wythoffa | 5 | 2 3 |
Schemat Coxetera | |
Symetria | I h , H 3 , [5,3], (*532) |
Grupa rotacyjna | Ja , [5,3] + , (532) |
Bibliografia | U 22 , C 25 , W 4 |
Nieruchomości | regularny , wypukły deltahedron |
Kąt dwuścienny | 138,189685° = arccos(− √ 5 ⁄ 3 ) |
3.3.3.3.3 ( rysunek wierzchołkowy ) |
Dwunastościan regularny ( podwójny wielościan ) |
Internet |
W geometrii , A regularne Dwudziestościan ( / ˌ aɪ K ɒ s ə h ı d r ən , - k ə -, - k oʊ - / albo / aɪ ˌ K ɒ s ə h ı d r ən / ) jest wypukła wielościan z 20 ścianami, 30 krawędziami i 12 wierzchołkami. Jest to jedna z pięciu brył platońskich i ta o największej liczbie twarzy.
Ma pięć równobocznych trójkątnych ścian zbiegających się w każdym wierzchołku. Jest reprezentowany przez symbol Schläfliego {3,5}, a czasami przez jego wierzchołek jako 3.3.3.3.3 lub 3 5 . Jest to podwójny z dwunastościanu , który jest reprezentowany przez {5,3}, posiadający trzy pięciokątnych twarze wokół każdego wierzchołka. W większości kontekstów bezwarunkowe użycie słowa „icosahedron” odnosi się konkretnie do tej figury.
Dwudzieścian foremny to ściśle wypukły deltahedron i dwupiramida pięciokątna o wydłużeniu żyroskopowym i pięciokątny antypryzmat ze skośnym pryzmatem w dowolnej z sześciu orientacji.
Nazwa pochodzi od greckiego εἴκοσι (eíkosi) „dwadzieścia” i ἕδρα (hédra) „siedzisko”. Mnoga może być albo "icosahedrons" lub "icosahedra" ( / - d r ə / ).
Wymiary
Jeśli długość krawędzi regularnego dwudziestościanu wynosi , promień ograniczonej kuli (takiej, która dotyka dwudziestościanu na wszystkich wierzchołkach) wynosi
Powierzchnia i objętość
Pole powierzchni i
objętość dwudziestościanu foremnego o długości krawędzi wynoszą:Współczynnik wypełnienia objętości opisanej kuli wynosi:
Środkowa sfera dwudziestościanu będzie miała objętość 1,01664 razy większą od dwudziestościanu, co jest zdecydowanie największym podobieństwem objętości jakiejkolwiek bryły platonicznej z jej środkową kulą. To prawdopodobnie sprawia, że dwudziestościan jest „najokrągłym” spośród brył platońskich.
współrzędne kartezjańskie
Wierzchołki dwudziestościanu wyśrodkowane na początku o długości krawędzi 2 i promieniu okręgu √ ϕ + 2 ≈ 1,9 są
- (0, ±1, ± ϕ )
- (±1, ± ϕ , 0)
- (± cp , 0, ± 1)
gdzie ϕ =1 + √ 5/2jest złotym podziałem . Biorąc wszystkie permutacje tych współrzędnych (nie tylko permutacje cykliczne) daje w wyniku Związek dwóch ikosaedrów .
Wierzchołki dwudziestościanu tworzą pięć zestawów trzech koncentrycznych, prostopadłych do siebie złotych prostokątów , których krawędzie tworzą pierścienie boromejskie .
Jeśli oryginalny dwudziestościan ma długość krawędzi 1, jego podwójny dwunastościan ma długość krawędzi1/φ= ϕ − 1 =√ 5 − 1/2.
12 krawędzi ośmiościanu foremnego można podzielić według złotego podziału, tak aby powstałe wierzchołki określały dwudziestościan foremny. Odbywa się to poprzez umieszczenie wektorów wzdłuż krawędzi ośmiościanu tak, aby każda ściana była ograniczona cyklem, a następnie podobnie dzieląc każdą krawędź na złoty środek wzdłuż kierunku jego wektora. Pięć ośmiościanów definiujące dana Dwudziestościan tworzą regularną związek wielościenne , natomiast dwa icosahedra , które można zdefiniować w ten sposób z dowolnego ośmiościan tworzą jednolity związek graniastosłupa .
Współrzędne sferyczne
Położenie wierzchołków dwudziestościanu foremnego można opisać współrzędnymi sferycznymi , np. długością i szerokością geograficzną . Jeśli przyjmie się, że dwa wierzchołki znajdują się na biegunach północnym i południowym (szerokość geograficzna ±90°), to pozostałe dziesięć wierzchołków znajduje się na szerokości geograficznej ± arctan 1/2= ±26,57°. Te dziesięć wierzchołków znajduje się na równomiernie rozmieszczonych długościach geograficznych (36° od siebie), naprzemiennie pomiędzy północną i południową szerokością geograficzną.
Program ten korzysta z faktu, że regularny dwudziestościan jest pięciokątny gyroelongated podwójnej piramidy , z D 5d dwuścienny symetria -to znaczy, że jest utworzona z dwóch przystające pięciokątny piramidy połączone przez pięciokąta antygraniastosłup .
Rzuty prostopadłe
Dwudziestościan ma trzy specjalne rzuty prostopadłe , wyśrodkowane na ścianie, krawędzi i wierzchołku:
Wyśrodkowany przez | Twarz | Krawędź | Wierzchołek |
---|---|---|---|
Samolot Coxetera | 2 | 3 | H 3 |
Wykres | |||
Symetria projekcyjna |
[6] | [2] | [10] |
Wykres |
Normalna twarz |
Krawędź normalna |
Normalny wierzchołek |
Dachówka sferyczna
Dwudziestościan może być również przedstawiony jako kafelek sferyczny i rzutowany na płaszczyznę za pomocą projekcji stereograficznej . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.
Rzut prostokątny | Projekcja stereograficzna |
---|
Inne fakty
- Dwudziestościan ma 43380 odrębnych sieci .
- Aby pokolorować dwudziestościan w taki sposób, aby żadne dwie sąsiadujące ściany nie miały tego samego koloru, potrzeba co najmniej 3 kolorów.
- Problemem sięgającym starożytnych Greków jest ustalenie, który z dwóch kształtów ma większą objętość, dwudziestościan wpisany w sferę, czy dwunastościan wpisany w tę samą sferę. Problem rozwiązali między innymi Hero , Pappus i Fibonacci . Apoloniusz z Pergi odkrył dziwny wynik, że stosunek objętości tych dwóch kształtów jest taki sam jak stosunek ich powierzchni. Obydwa tomy mają formuły uwzględniające złoty podział , ale podniesione do różnych potęg. Jak się okazuje, dwudziestościan zajmuje mniej objętości kuli (60,54%) niż dwunastościan (66,49%).
Konstrukcja za pomocą systemu linii równokątnych
Dwudziestościan H 3 Coxeter samolot |
Samolot 6-ortoplex D 6 Coxeter |
Ta konstrukcja może być geometrycznie postrzegana jako 12 wierzchołków 6-ortopleksu rzutowanych na 3 wymiary. Reprezentuje to geometryczne fałdowanie grup Coxetera od D 6 do H 3 :
Widziane przez te 2D rzuty ortogonalne płaszczyzny Coxetera , dwa nakładające się środkowe wierzchołki definiują trzecią oś w tym odwzorowaniu. |
Poniższa konstrukcja dwudziestościanu pozwala uniknąć żmudnych obliczeń w polu liczbowym, koniecznych w bardziej elementarnych podejściach.
Istnienie dwudziestościanu sprowadza się do istnienia sześciu linii równokątnych w . Rzeczywiście, przecięcie takiego systemu linii równokątnych z sferą euklidesową wyśrodkowaną na ich wspólnym przecięciu daje dwanaście wierzchołków regularnego dwudziestościanu, co można łatwo sprawdzić. I odwrotnie, zakładając istnienie regularnego dwudziestościanu, linie wyznaczone przez sześć par przeciwległych wierzchołków tworzą układ równokątny.
Aby skonstruować taki układ równokątny, zaczynamy od tej macierzy kwadratów 6 × 6 :
Prosta kalkulacja daje (gdzie jest macierz identyczności 6 × 6). Oznacza to, że ma
wartości własne i , obie z krotnością 3, ponieważ jest symetryczna i ma ślad zerowy.Matrix indukuje Tak więc
euklidesowa struktury na powierzchni ilorazu , który jest izomorficzny z ponieważ jądro z ma gabarytach 3. Obraz pod występem o sześciu osiach współrzędnych tworzy układ sześciu równokątnych liniach, przecinających się parami na wspólnym kątem ostrym z . Prostopadły dodatnich i ujemnych wektorów bazowych na - eigenspace z wydajnością zatem dwanaście wierzchołków dwudziestościanu.Druga prosta konstrukcja dwudziestościanu wykorzystuje teorii reprezentacji z grupy zmiennego stanowiącej bezpośrednie
izometrycznych na dwudziestościanu.Symetria
Obrotowa grupa symetrii regularnej icosahedron jest izomorficzna z grupą przemiennego na pięciu liter. Ta nie- abelowa grupa prosta jest tylko nietrywialnym normalne podgrupy z grupy symetrycznie na pięciu liter. Ponieważ grupa Galois ogólnego równania kwintyki jest izomorficzna z grupą symetryczną o pięciu literach, a ta normalna podgrupa jest prosta i nieabelowa, ogólne równanie kwintyki nie ma rozwiązania w postaci pierwiastków. Dowód twierdzenia Abla-Ruffiniego wykorzystuje ten prosty fakt, a Felix Klein napisał książkę, w której wykorzystał teorię symetrii dwudziestościennych do wyprowadzenia analitycznego rozwiązania ogólnego równania kwintycznego ( Klein 1884 ). Zobacz symetrię dwudziestościenną: powiązane geometrie dla dalszej historii i powiązane symetrie na siedmiu i jedenastu literach.
Pełna grupa symetrii dwudziestościanu (w tym odbicia) jest znana jako pełna grupa dwudziestościan i jest izomorficzna z iloczynem grupy symetrii obrotowej i grupy o rozmiarze dwa, który jest generowany przez odbicie przez środek dwudziestościanu.
Stellations
Dwudziestościan ma dużą liczbę gwiazd . Zgodnie ze szczegółowymi zasadami określonymi w książce The Fifty-Nine Icosahedra , dla dwudziestościanu foremnego zidentyfikowano 59
gwiazd . Pierwszą formą jest sam dwudziestościan. Jednym z nich jest regularny wielościan Keplera-Poinsota . Trzy to regularne wielościany złożone .
Ściany dwudziestościanu rozciągały się na zewnątrz, gdy płaszczyzny przecinają się, definiując regiony w przestrzeni, jak pokazano na tym schemacie gwiaździstym przecięć w jednej płaszczyźnie. |
|||||||
Facetowanie
Niewielki gwiezdny dwunastościan , wielki dwunastościan i wielki dwudziestościan są trzy facetings regularnego icosahedron. Mają ten sam układ wierzchołków . Wszystkie mają 30 krawędzi. Dwudziestościan foremny i dwunastościan wielki mają ten sam układ krawędzi, ale różnią się ścianami (trójkąty i pięciokąty), podobnie jak mały dwunastościan gwiaździsty i wielki dwudziestościan (pentagramy i trójkąty).
Wypukły | Zwykłe gwiazdki | ||
---|---|---|---|
dwudziestościan | wielki dwunastościan | mały dwunastościan gwiaździsty | wielki dwudziestościan |
Relacje geometryczne
Istnieją zniekształcenia dwudziestościanu, które choć nie są już regularne, to jednak są jednorodne w wierzchołkach . Są one niezmienne przy tych samych obrotach, co czworościan i są nieco analogiczne do sześcianu typu arabskiego i dwunastościanu typu arabskiego , w tym niektóre formy, które są chiralne, a niektóre z symetrią T h , tj. mają inne płaszczyzny symetrii niż czworościan.
Dwudziestościan wyróżnia się spośród brył platońskich, ponieważ posiada kąt dwuścienny nie mniejszy niż 120°. Jej kąt dwuścienny wynosi około 138,19°. Tak jak sześciokąty mają kąty nie mniejsze niż 120° i nie mogą być używane jako ściany wypukłego wielościanu foremnego, ponieważ taka konstrukcja nie spełniałaby wymogu, aby co najmniej trzy ściany spotykały się na wierzchołku i pozostawiały dodatnią wadę do składania. w trzech wymiarach, dwudziestościan nie może być użyty jako komórki wypukłego wielokoronu foremnego, ponieważ podobnie co najmniej trzy komórki muszą spotykać się na krawędzi i pozostawiać dodatni defekt do fałdowania w czterech wymiarach (ogólnie dla wielokąta wypukłego w n wymiarach, co co najmniej trzy fasetki muszą spotykać się na wierzchołku i pozostawić dodatni defekt do złożenia w n -przestrzeni). Jednakże, w połączeniu z odpowiednimi komórkami o mniejszych kątów dwuściennych, icosahedra można stosować jako komórki w pół-regularnych polychora (na przykład zadarty 24 komórek ), jak sześciokątów może być stosowany jako powierzchnie, na pół-regularnych wielościanów (na przykład ścięty dwudziestościan ). Wreszcie, wielościany niewypukłe nie mają takich samych ścisłych wymagań jak wielościany wypukłe, a ikosaedry są rzeczywiście komórkami dwudziestościennej 120-komórki , jednej z dziesięciu niewypukłych wielokątów regularnych .
Dwudziestościan można również nazwać dwupiramidą pięciokątną o
wydłużonym żyro . Można go rozłożyć na żyro-wydłużoną piramidę pięciokątną i piramidę pięciokątną lub na antypryzmat pięciokątny i dwie równe piramidy pięciokątne.Stosunek do 6-sześcianu i rombowego triacontaedron
Można go rzutować w 3D z 6-demisześcianu 6D przy użyciu tych samych wektorów bazowych, które tworzą kadłub triacontaedronu rombowego z 6-sześcianu . Pokazano tutaj wraz z wewnętrznymi 20 wierzchołkami, które nie są połączone 30 zewnętrznymi krawędziami kadłuba o standardowej długości 6D √ 2 . Wierzchołki wewnętrzne tworzą dwunastościan .
Wykorzystane wektory bazowe projekcji 3D [u,v,w] to:
Symetrie
Istnieją 3 jednolite kolory dwudziestościanu. Te kolory mogą być reprezentowane jako 11213, 11212, 11111, nazywając 5 trójkątnych ścian wokół każdego wierzchołka według ich koloru.
Dwudzieścian może być uważany za czworościan typu snub, ponieważ snubyfikacja regularnego czworościanu daje regularny dwudziestościan o chiralnej symetrii czworościanu . Może być również skonstruowany jako naprzemienny ścięty ośmiościan, mający symetrię pirytoedryczną . Wersja symetrii pirytoedrycznej jest czasami nazywana pseudoikościanem i jest podwójna do pirytoedru .
Regularny | Mundur | 2-jednolita | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Nazwa | Regularny dwudziestościan |
Ośmiościan Snub |
Czworościan Snub |
Zadartym kwadratowy podwójnej piramidy |
Pięciokątna bipiramida wydłużona żyroskopowo |
Trójkątna kopuła żyroskopowa |
Trójkątny antypryzmat |
Obraz | |||||||
Kolorowanie twarzy |
(11111) | (11212) | (11213) | (11212) | (11122) (22222) |
(12332) (23333) |
(11213) (11212) |
Schemat Coxetera |
|||||||
Symbol Schläfli |
{3,5} | s{3,4} | sr{3,3} | sdt{2,4} | () || {n} || r{n} || () | ss{2,6} | |
Conway | i | HtO | NS | HtdP4 | k5A5 | sY3 = HtA3 | |
Symetria | I H [5,3] (* 532) |
T h [3 + ,4] (3*2) |
T [3,3] + (332) |
D 2h [2,2] (*222) |
D 5d [2 + ,10] (2*5) |
D 3d [2 + ,6] (2*3) |
D 3 [3,2] + (322) |
Kolejność symetrii |
120 | 24 | 12 | 8 | 20 | 12 | 6 |
Zastosowania i formy naturalne
Biologia
Wiele wirusów , na przykład wirus opryszczki , mają dwudziestościennego kapsydu zbudowanego z muszli . Struktury wirusowe zbudowane są z powtarzających się identycznych podjednostek białkowych znanych jako kapsomery , a dwudziestościan jest najłatwiejszym kształtem do złożenia przy użyciu tych podjednostek. Regularne wielościan jest stosowany, ponieważ może on być zbudowany z jednego białka jednostce podstawowej stosowanej w kółko; oszczędza to miejsce w genomie wirusa .
Znaleziono również różne organelle bakteryjne o kształcie dwudziestościennym. Enzymy kapsułkujące otoczkę ikozaedryczną i nietrwałe produkty pośrednie zbudowane są z różnych typów białek z domenami BMC .
W 1904 roku Ernst Haeckel opisał szereg gatunków Radiolaria , w tym Circogonia icosahedra , którego szkielet ma kształt regularnego dwudziestościanu. Kopia ilustracji Haeckela dla tego radiolariana pojawia się w artykule na temat wielościanów foremnych .
Chemia
Closo - karborany są związki chemiczne, kształtu bardzo blisko dwudziestościanu. Ikozahedralnymi twinningowa występuje również w kryształach, zwłaszcza nanocząstek .
Wiele borków i alotropów boru zawiera dwudziestościan boru B 12 jako podstawową jednostkę struktury.
Zabawki i gry
Ikozahedralnymi kości z dwudziestu stronach były wykorzystywane od czasów starożytnych.
W kilku grach fabularnych , takich jak Dungeons & Dragons , dwudziestościenna kość ( w skrócie k20 ) jest powszechnie używana do określania sukcesu lub porażki akcji. Ta kość ma kształt regularnego dwudziestościanu. Może być dwukrotnie numerowana od „0” do „9” (w takiej formie służy zwykle jako dziesięciościenna kostka, czyli k10 ), ale większość współczesnych wersji jest oznaczona od „1” do „20”.
Dwudziestościan to trójwymiarowa plansza do gry Icosagame, dawniej znana jako Ico Crystal Game.
Dwudziestościan jest używany w grze planszowej Scattergories do wyboru litery alfabetu. Pominięto sześć liter (Q, U, V, X, Y i Z).
W Nintendo 64 gry Kirby 64: The Crystal Shards , szef Miracle Materia jest regularny dwudziestościan.
Wewnątrz magicznej kuli ósemki na regularnym dwudziestościanie wypisane są różne odpowiedzi na pytania tak-nie .
Zabawka dla niemowląt „Skwish” to obiekt tensegrity w postaci dwudziestościanu Jessena , który ma takie same współrzędne wierzchołka jak regularny dwudziestościan i taką samą liczbę ścian, ale z sześcioma krawędziami obróconymi o 90°, aby połączyć się z innymi wierzchołkami.
Inni
R. Buckminster Fuller i japoński kartograf Shoji Sadao zaprojektowali mapę świata w postaci rozłożonego dwudziestościanu, zwanego projekcją Fullera , której maksymalne zniekształcenie wynosi zaledwie 2%. Amerykański duet muzyki elektronicznej ODESZA używa jako logo regularnego dwudziestościanu.
Wykres dwudziestościenny
Wykres dwudziestościan regularny | |
---|---|
Wierzchołki | 12 |
Krawędzie | 30 |
Promień | 3 |
Średnica | 3 |
Obwód | 3 |
Automorfizmy | 120 ( A 5 × Z 2 ) |
Liczba chromatyczna | 4 |
Nieruchomości | Hamiltonian , regularny , symetryczny , odległościowo regularny , odległościowo przechodni , spójny z 3 wierzchołkami , graf planarny |
Tabela wykresów i parametrów |
Szkielet dwudziestościanu (wierzchołkach i krawędziach) stanowi wykres . Jest to jeden z 5 grafów platońskich , z których każdy jest szkieletem platońskiej bryły .
Wysoki stopień symetrii wielokąta jest odwzorowywany we właściwościach tego grafu, który jest przechodni na odległość i symetryczny . Grupa automorfizmu ma rząd 120. Wierzchołki można pokolorować 4 kolorami, krawędzie 5 kolorami, a średnica 3.
Wykres dwudziestościenny jest hamiltonianem : istnieje cykl zawierający wszystkie wierzchołki. Jest to również graf planarny .
Zmniejszone icosahedry regularne
Istnieją 4 powiązane bryły Johnsona , w tym ściany pięciokątne z podzbiorem 12 wierzchołków. Podobny przecięty dwudziestościan foremny ma 2 sąsiednie wierzchołki zmniejszone, pozostawiając dwie trapezoidalne ściany, a bifastigium ma usunięte 2 przeciwległe zestawy wierzchołków i 4 trapezoidalne ściany. Pięciokątny antypryzmat powstaje przez usunięcie dwóch przeciwległych wierzchołków.
Formularz | J2 | Bifastigium | J63 | J62 |
Rozcięty dwudziestościan |
s{2,10} | J11 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Wierzchołki | 6 z 12 | 8 z 12 | 9 z 12 | 10 z 12 | 11 z 12 | ||
Symetria |
C 5v , [5], (*55) zamów 10 |
D 2h , [2,2], *222 zamów 8 |
C 3v , [3], (*33) rząd 6 |
C 2v , [2], (*22) rząd 4 |
D 5d , [2 + ,10], (2*5) rząd 20 |
C 5v , [5], (*55) zamów 10 |
|
Obraz |
Powiązane wielościany i wielościany
Dwudziestościan może zostać przekształcony przez sekwencję skrócenia w jego podwójny , dwunastościan:
Rodzina jednolitych wielościanów dwudziestościennych | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
Duals do jednolitych wielościanów | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Jako czworościan odrętwiały i naprzemiennie ścięty ośmiościan istnieje również w rodzinach symetrii czworościennej i ośmiościanowej:
Rodzina jednolitych wielościanów czworościennych | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria : [3,3] , (*332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Duals do jednolitych wielościanów | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Jednolite wielościany ośmiościenne | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria : [4,3], (*432) | [4,3] + (432) |
[1 + ,4,3] = [3,3] (*332) |
[3 + ,4] (3*2) |
|||||||
{4,3} | t{4,3} |
r{4,3} r{3 1,1 } |
t{3,4} t{3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr{4,3} s 2 {3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} |
godz.{4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{3 1,1 } |
= |
= |
= |
= lub |
= lub |
= |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Duals do jednolitych wielościanów | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V(3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | Wersja 4.6.8 | V3 4 0,4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Ten wielościan jest powiązany topologicznie jako część ciągu wielościanów foremnych z symbolami Schläflego {3, n }, kontynuując w płaszczyźnie hiperbolicznej .
* n 32 mutacja symetrii regularnych płytek: {3, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kulisty | Euklidesa. | Kompaktowy hiper. | Parako. | Niekompaktowy hiperboliczny | |||||||
3,3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
Regularne dwudziestościanu postrzegane jako Tetrahedron zadartym jest członkiem sekwencji Odrzucony wielościanów a tilings z wierzchołka rysunku (3.3.3.3. N ) i Coxeter-Dynkin wykres . Te figury i ich figury podwójne mają ( n 32) symetrię obrotową , będąc w płaszczyźnie euklidesowej dla , oraz płaszczyznę hiperboliczną dla każdego wyższego . Można uznać, że seria zaczyna się od jednego zestawu twarzy zdegenerowanych w cyfry .
n 32 mutacje symetrii płytek odrzucanych: 3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria n 32 |
Kulisty | Euklidesa | Kompaktowy hiperboliczny | Parakomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Postacie z awanturą |
||||||||
Konfig. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Figurki żyroskopowe |
||||||||
Konfig. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Kulisty | Kafelki hiperboliczne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{2,5} |
{3,5} |
{4,5} |
{5,5} |
{6,5} |
{7,5} |
{8,5} |
... |
{∞,5} |
Dwudziestościan może tworzyć teselację przestrzeni hiperbolicznej w rzędzie 3 dwudziestościanów plastra miodu , z 3 dwudziestościanami wokół każdej krawędzi, 12 dwudziestościanami wokół każdego wierzchołka, z symbolem Schläfliego {3,5,3}. Jest to jedna z czterech regularnych teselacji w trójprzestrzeni hiperbolicznej.
Jest pokazany tutaj jako szkielet krawędzi w modelu dysku Poincarégo , z jednym dwudziestościanem widocznym w środku. |
Zobacz też
- Wielki dwudziestościan
- Siatki geodezyjne wykorzystują iteracyjnie dwudzielny dwudziestościan do generowania siatek na sferze
- Bliźniaki dwudziestościenne
- Nieskończony skośny wielościan
- Dwudziestościan Jessena
- Wielościan regularny
- Dwudziestościan ścięty
Uwagi
Bibliografia
- Klein, Felix (1888), Wykłady o dwudziestościanie i rozwiązywanie równań piątego stopnia , ISBN 978-0-486-49528-6, wydanie DoverCS1 maint: postscript ( link ), przetłumaczone z Klein, Felix (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade . Teubnera.
Zewnętrzne linki
- Klitzing, Richard. „3D wypukła jednolita wielościan x3o5o – ike” .
- Hartleya, Michaela. „Gry matematyczne dr Mike'a dla dzieci” .
- KJM MacLean, Analiza geometryczna pięciu brył platońskich i innych półregularnych wielościanów
- Wielościany wirtualnej rzeczywistości Encyklopedia wielościanów
- Tulane.edu Omówienie struktury wirusa i dwudziestościanu
- Origami Polyhedra – modele wykonane z modułowego origami
- Film przedstawiający rzeźbę lustrzaną icosahedral
- [1] Zasada architektury wirusa