Trójkąt Schwarza - Schwarz triangle

W geometrii , o trójkąt Schwarz , nazwany Hermann Schwarz , to trójkąt sferyczny , który może być stosowany do płytek na kuli ( układanie kulisty ), ewentualnie zachodzącej za pośrednictwem odbicia w jego krawędzi. Zostały one sklasyfikowane w ( Schwarz 1873 ).

Można je ogólnie zdefiniować jako teselacje kuli, płaszczyzny euklidesowej lub płaszczyzny hiperbolicznej. Każdy trójkąt Schwarza na kuli definiuje skończoną grupę , podczas gdy na płaszczyźnie euklidesowej lub hiperbolicznej definiuje nieskończoną grupę.

Trójkąt Schwarza jest reprezentowany przez trzy liczby wymierne ( p q r ), z których każda reprezentuje kąt w wierzchołku. Wartość n / d oznacza, że kąt wierzchołkowy wynosi d / n półkola. „2” oznacza trójkąt prostokątny. Kiedy są liczbami całkowitymi, trójkąt nazywamy trójkąt Möbiusa, i odpowiada non -overlapping kafli, a grupa symetrii nazywa się grupa trójkąt . W sferze są trzy trójkąty Möbiusa plus jedna rodzina jednoparametrowa; na płaszczyźnie znajdują się trzy trójkąty Möbiusa, natomiast w przestrzeni hiperbolicznej mamy trójparametrową rodzinę trójkątów Möbiusa i żadnych wyjątkowych obiektów .

Przestrzeń rozwiązań

Podstawowy trójkąt dziedzinowy ( p q r ), z kątami wierzchołków $π$ / p , $π$ / q i $π$ / r , może istnieć w różnych przestrzeniach w zależności od wartości sumy odwrotności tych liczb całkowitych:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {p}} + {\ Frac {1} {q}} + {\ Frac {1} {r}} i> 1 {\ tekst {: Kula }} \\ [8pt] {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} & = 1 {\ text {: samolot euklidesowy} } \\ [8pt] {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} & <1 {\ text {: płaszczyzna hiperboliczna}} \ end {aligned}}}

Jest to po prostu sposób na powiedzenie, że w przestrzeni euklidesowej wewnętrzne kąty trójkąta sumują się do $π$ , podczas gdy na kuli sumują się do kąta większego niż $π$ , aw przestrzeni hiperbolicznej sumują się do mniejszego.

Reprezentacja graficzna

Schwarz trójkąt jest przedstawiony graficznie trójkątnym wykresie . Każdy węzeł reprezentuje krawędź (lustro) trójkąta Schwarza. Każda krawędź jest oznaczona racjonalną wartością odpowiadającą kolejności odbicia, będącą π / kątem wierzchołka .

Trójkąt Schwarza ( p q r ) na kuli	Wykres trójkąta Schwarza

Krawędzie rzędu 2 reprezentują prostopadłe lustra, które można zignorować na tym schemacie. Schemat Coxeter-Dynkin przedstawia wykres tego trójkąta z rzędu-2 krawędzie ukryte.

Grupa Coxetera może być użyta do prostszego zapisu, jak ( p q r ) dla wykresów cyklicznych, a ( p q 2) = [ p , q ] dla (prawe trójkąty) i ( p 2 2) = [ p ] × [].

Lista trójkątów Schwarza

Trójkąty Möbiusa dla kuli

(2 2 2) lub [2,2]	(3 2 2) lub [3,2]	...
(3 3 2) albo [3,3]	(4 3 2) albo [4,3]	(5 3 2) albo [5,3]

Trójkąty Schwarza z liczbami całkowitymi, zwane również trójkątami Möbiusa , obejmują jedną rodzinę 1-parametrową i trzy wyjątkowe przypadki:

[ p , 2] lub ( p 2 2) - symetria dwuścienna ,
[3,3] lub (3 3 2) - symetria czworościenna ,
[4,3] lub (4 3 2) - ośmiościenna symetria ,
[5,3] lub (5 3 2) - ikozaedryczna symetria ,

Trójkąty Schwarza dla kuli według gęstości

Trójkąty Schwarza ( p q r ), pogrupowane według gęstości :

Gęstość	Dwuścienny	Czworościenny	Ośmiościenny	Icosaedr
re	( 2 2 n / d )
1		( 2 3 3)	( 2 3 4)	( 2 3 5)
2		(3/2 3 3)	(3/2 4 4)	(3/2 5 5), (5/2 3 3)
3		( 2 3/2 3)		( 2 5/2 5)
4			(3 4/3 4)	(3 5/3 5)
5		( 2 3/2 3/2)	( 2 3/2 4)
6		(3/2 3/2 3/2)		(5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7			( 2 3 4/3)	( 2 3 5/2)
8				(3/2 5/2 5)
9				( 2 5/3 5)
10				(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11			( 2 3/2 4/3)	( 2 3/2 5)
13				( 2 3 5/3)
14			(3/2 4/3 4/3)	(3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16				(3 5/4 5/2)
17				( 2 3/2 5/2)
18				(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19				( 2 3 5/4)
21				( 2 5/4 5/2)
22				(3/2 3/2 5/2)
23				( 2 3/2 5/3)
26				(3/2 5/3 5/3)
27				( 2 5/4 5/3)
29				( 2 3/2 5/4)
32				(3/2 5/4 5/3)
34				(3/2 3/2 5/4)
38				(3/2 5/4 5/4)
42				(5/4 5/4 5/4)

Trójkąty na płaszczyźnie euklidesowej

(3 3 3)	(4 4 2)	(6 3 2)

Gęstość 1:

(3 3 3) - 60-60-60 ( równoboczne ),
(4 4 2) - 45-45-90 (prawe równoramienne),
(6 3 2) - 30-60-90 ,

Gęstość 2:

(6 6 3/2) - 120-30-30 trójkąt

Gęstość ∞:

(4 4/3 ∞)
(3 3/2 ∞)
(6 6/5 ∞)

Trójkąty na płaszczyźnie hiperbolicznej

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Podstawowe domeny trójkątów ( p q r )

Gęstość 1:

(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
(2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
(3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
(3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
(3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
...
(∞ ∞ ∞)

Gęstość 2:

(3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
(5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
(7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
(9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
...

Gęstość 3:

(2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Gęstość 4:

(7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Gęstość 6:

(7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
(7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

Gęstość 10:

(3 7/2 7)

Trójkąt Schwarza (2 3 7) jest najmniejszym hiperbolicznym trójkątem Schwarza i jako taki jest szczególnie interesujący. Jej grupa trójkątów (a dokładniej grupa izometrii zachowujących orientację o indeksie 2 von Dycka ) to grupa trójkątów (2,3,7) , która jest grupą uniwersalną dla wszystkich grup Hurwitza - maksymalnych grup izometrii powierzchni Riemanna . Wszystkie grupy Hurwitza są ilorazami grupy trójkątów (2,3,7), a wszystkie powierzchnie Hurwitza są wyłożone kafelkami trójkąta Schwarza (2,3,7). Najmniejszą grupą Hurwitza jest prosta grupa rzędu 168, drugą najmniejszą nieabelową grupą prostą , która jest izomorficzna do PSL (2,7) , a związana z nią powierzchnia Hurwitza (rodzaju 3) to kwartyk Kleina .

Trójkąt (2 3 8) pokrywa powierzchnię Bolzy , wysoce symetryczną (ale nie Hurwitza) powierzchnię rodzaju 2.

Trójkąty z jednym kątem niecałkowitym, wymienione powyżej, zostały po raz pierwszy sklasyfikowane przez Anthony'ego W. Knappa w. Lista trójkątów z wieloma kątami niecałkowitymi jest podana w.

Zobacz też

Bibliografia

Coxeter, HSM (1973), Regular Polytopes (wydanie trzecie), Dover Publications, ISBN 0-486-61480-8 , Tabela 3: Trójkąty Schwarza
Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean Tesselations i ich grupy , Academic Press, ISBN 0080873774
Schwarz, HA (1873), „Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1873 (75): 292–335, doi : 10.1515.7 / crll .292 , ISSN 0075-4102 , S2CID 121698536 (Zauważ, że Coxeter odnosi się do tego jako „Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe”, co jest krótkim tytułem używanym w nagłówkach stron czasopisma).

Wenninger, Magnus J. (1979), „Wprowadzenie do pojęcia gęstości wielościennej”, modele sferyczne , CUP Archive, str. 132–134 , ISBN 978-0-521-22279-2

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Trójkąt Schwarza” . MathWorld .
Klitzing, Richard. „3D Ogólny trójkąt Schwarza (pqr) i uogólnione macierze częstości odpowiadających im wielościanów” .

Languages

In other projects