24-komorowy - 24-cell

24-komorowy
Diagram Schlegla (wierzchołki i krawędzie)
Rodzaj	Wypukły regularny 4-politop
Symbol Schläfli	{3,4,3} r{3,3,4} = {3 1,1,1 } =${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zacząć {tablica} {l} 3 \ \ 3, 4 \ koniec {tablica}} \ prawo \}}$ ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zacząć {tablica} {l} 3 \ \ 3 \ \ 3 \ koniec {tablica}} \ po prawej \}}$
Schemat Coxetera	lub lub
Komórki	24 {3,4}
Twarze	96 {3}
Krawędzie	96
Wierzchołki	24
Figura wierzchołka	Sześcian
Wielokąt Petriego	dwunastokąt
Grupa Coxetera	F 4 , [3,4,3], rząd 1152 B 4 , [4,3,3], rząd 384 D 4 , [3 1,1,1 ], rząd 192
Podwójny	Samodzielność
Nieruchomości	wypukły , izogonalny , izotoksal , izohedralny
Jednolity indeks	22

Internet

W geometrii The 24 komórek jest wypukła regularne 4-Polytope (czterowymiarowy analogiem platońsko stałe) ze symbol schläfliego {3,4,3}. Nazywa się to również C ₂₄ lub icositetrachoron , octaplex (skrót od „oktaedrycznej kompleks”), icosatetrahedroid , octacube , hiper-diament lub polyoctahedron , jest wykonana z oktaedrycznych komórki .

Granica 24 komórek składa się z 24 komórek oktaedrycznych z sześcioma stykającymi się na każdym wierzchołku i trzema na każdej krawędzi. Razem mają 96 trójkątnych ścian, 96 krawędzi i 24 wierzchołki. Figura wierzchołek jest kostka . 24-ogniwowa jest samodzielna . To i tesserakt to jedyne wypukłe regularne 4-politopy, w których długość krawędzi równa się promieniowi.

24-ogniwowy nie ma zwykłego analogu w 3 wymiarach. Jest to jedyny z sześciu wypukłych regularnych 4-politopów, który nie jest czterowymiarowym odpowiednikiem jednej z pięciu regularnych brył platońskich . Można go jednak postrzegać jako odpowiednik pary nieregularnych brył: prostopadłościanu i jego podwójnego dwunastościanu rombowego .

Przetłumaczone kopie 24-komórki mogą kafelkować czterowymiarową przestrzeń twarzą w twarz, tworząc 24-komorowy plaster miodu . Jako wielotop, który można kafelkować przez translację, 24-komórka jest przykładem równoległościanu , najprostszego, który nie jest jednocześnie zonotopem .

Geometria

24-komorowa zawiera geometrie każdego wypukłego wielokąta regularnego w pierwszych czterech wymiarach, z wyjątkiem pięciokomorowego, tych z 5 w symbolu Schlӓfliego oraz wielokątów {7} i wyższych. Szczególnie przydatne jest badanie 24 komórek, ponieważ można zaobserwować geometryczne zależności między wszystkimi tymi regularnymi politopami w pojedynczej 24 komórce lub jej plastrze miodu .

24-komórka jest czwartą w sekwencji 6 wypukłych regularnych 4-politopów (według wielkości i złożoności). Można go rozłożyć na 3 nakładające się instancje swojego poprzednika tesseract (8-cell), ponieważ 8-komórkę można rozłożyć na 2 nakładające się instancje swojego poprzednika, 16-cell . Odwrotna procedura konstruowania każdego z nich z instancji poprzednika zachowuje promień poprzednika, ale generalnie tworzy następcę o mniejszej długości krawędzi.

Regularne wypukłe 4-politopy
Grupa symetrii	4	B 4		F 4	H 4
Nazwa	5-komorowy hiper- czworościanu	16-ogniwowy hiper- ośmiościan	8-ogniwowy hiper- sześcianu	24-komorowy	600-ogniwowy hiper- icosahedron	120-ogniwowy hiper- dwunastościan
Symbol Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Schemat Coxetera
Wykres
Wierzchołki	5	8	16	24	120	600
Krawędzie	10	24	32	96	720	1200
Twarze	10 trójkątów	32 trójkąty	24 kwadraty	96 trójkątów	1200 trójkątów	720 pięciokątów
Komórki	5 czworościanów	16 czworościanów	8 kostek	24 oktaedry	600 czworościanów	120 dwunastościanów
Długi promień	1	1	1	1	1	1
Długość krawędzi	√ 5/√ 2 1,581	√ 2 ≈ 1.414	1	1	1/φ ≈ 0,618	1/√ 2 ϕ 2 ≈ 0,270
Krótki promień	1/4	1/2	1/2	√ 2/2 ≈ 0,707	1 - (√ 2/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,936	1 - (1/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,968
Powierzchnia	10•√ 8/3 9,428	32•√ 3/4 13,856	24	96•√ 3/4 41,569	1200•√ 3/8φ 2 ≈ 99.238	720•25+10 √ 5/8φ 4 621,9
Tom	5•5 √ 5/24 2,329	16•1/3 5.333	8	24•√ 2/3 ≈ 11.314	600•1/3 √ 8 φ 3 16,693	120•2 +/2 √ 8 φ 3 18.118
4-Zawartość	√ 5/24•(√ 5/2) 4 ≈ 0,146	2/3 ≈ 0,667	1	2	Krótkie Objętość/4 3,907	Krótkie Objętość/4 ≈ 4.385

Współrzędne

Kwadraty

24-komórka jest wypukłą powłoką jej wierzchołków, którą można opisać jako 24 permutacje współrzędnych :

${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0) \ w \ mathbb {R} ^ {4}}$.

Współrzędne te można skonstruować jako , Uzupełnianiu do 16-komórka z 8 permutacjami wierzchołków (±2,0,0,0). Figura wierzchołkowa 16-komorowej to ośmiościan ; w ten sposób przecięcie wierzchołków 16-komórki w punkcie środkowym jej padających krawędzi daje 8 komórek oktaedrycznych. Proces ten rektyfikuje również komórki czworościenne 16 komórek, które stają się 16 oktaedrami, dając 24-komórkowe 24 komórki oktaedryczne.

W tym układzie odniesienia 24-ogniwo ma krawędzie o długości √ 2 i jest wpisane w 3-sferę o promieniu √ 2 . Warto zauważyć, że długość krawędzi jest równa promieniowi obwodowemu, jak w przypadku sześciokąta lub sześcianu . Takie politopy są promieniście równoboczne .

24 wierzchołki tworzą 18 wielkich kwadratów (3 zestawy po 6 prostopadłych centralnych kwadratów), z których 3 przecinają się w każdym wierzchołku. Patrząc tylko na jeden kwadrat w każdym wierzchołku, 24-komórka może być postrzegana jako wierzchołki 3 par całkowicie ortogonalnych wielkich kwadratów, które nie przecinają się bez wierzchołków.

Sześciokąty

24-komórka jest samodzielna , ma taką samą liczbę wierzchołków (24) jak komórki i taką samą liczbę krawędzi (96) jak ściany.

Jeśli podwójna z powyższych 24 komórek o długości krawędzi √ 2 zostanie wzięta przez ruch posuwisto-zwrotny wokół wpisanej kuli, zostanie znaleziona kolejna 24-komórka, która ma długość krawędzi i promień obwodu 1, a jej współrzędne ujawniają więcej struktury. W tym układzie odniesienia 24-komórka leży wierzchołkiem w górę, a jej wierzchołki można podać w następujący sposób:

8 wierzchołków uzyskanych przez permutację współrzędnych całkowitych :

(±1, 0, 0, 0)

oraz 16 wierzchołków o współrzędnych półcałkowitych postaci:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

wszystkie 24 leżą w odległości 1 od początku.

Postrzegane jako kwaterniony , są to kwaterniony jednostki Hurwitz .

24-komórka ma promień jednostki i długość krawędzi jednostki w tym układzie współrzędnych. System nazywamy współrzędnymi promienia jednostki, aby odróżnić go od innych, takich jak współrzędne promienia √ 2 użyte powyżej .

24 wierzchołki i 96 krawędzi tworzą 16 nieortogonalnych wielkich sześciokątów, z których cztery przecinają się w każdym wierzchołku. Patrząc tylko na jeden sześciokąt na każdym wierzchołku, 24-komórka może być postrzegana jako 24 wierzchołki 4 nie przecinających się sześciokątnych wielkich okręgów, które są równoległe do siebie według Clifforda .

12 osi i 16 heksagonów 24 komórki tworzą konfigurację Reye'a , która w języku konfiguracji jest zapisana jako 12 ₄ 16 _3, aby wskazać, że każda oś należy do 4 sześciokątów, a każdy sześciokąt zawiera 3 osie.

Trójkąty

24 wierzchołki tworzą 32 równoboczne wielkie trójkąty wpisane w 16 wielkich sześciokątów.

Akordy hipersześcienne

Geometria wierzchołka promieniowo równobocznej 24-komórki, przedstawiająca 3 wielokąty wielkiego koła i 4 długości cięciw od wierzchołka do wierzchołka.

24 wierzchołki 24 komórek są rozmieszczone na czterech różnych długościach cięciw od siebie: √ 1 , √ 2 , √ 3 i √ 4 .

Każdy wierzchołek jest połączony z 8 innymi krawędzią o długości 1, obejmującą 60° = π/3łuku. Następne najbliższe to 6 wierzchołków położonych pod kątem 90° =π/2dalej, wzdłuż wewnętrznej cięciwy o długości √ 2 . Kolejne 8 wierzchołków leży 120° =2 π/3dalej, wzdłuż wewnętrznej cięciwy o długości √ 3 . Przeciwległy wierzchołek jest oddalony o 180° = π wzdłuż średnicy o długości 2. Wreszcie, ponieważ 24-komórka jest promieniowo równoboczna, jej środek można traktować jako 25. wierzchołek kanoniczny, który jest oddalony o 1 długość krawędzi od wszystkich pozostałych.

Aby zobrazować, jak wewnętrzne politopy 24 komórek pasują do siebie (jak opisano poniżej ), pamiętaj, że cztery długości cięciwy ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) są długimi średnicami hipersześcianów o wymiarach 1 do 4: długa średnica kwadratu to √ 2 ; długa średnica sześcianu to √ 3 ; a długa średnica tesseraktu wynosi √ 4 . Co więcej, długa średnica ośmiościanu jest √ 2 jak kwadrat; a długa średnica samej 24-komórki to √ 4 jak tesserakt. W 24-komórce, akordy √ 2 są krawędziami centralnych kwadratów, a akordy √ 4 są przekątnymi centralnych kwadratów.

Geodezja

Rzut stereograficzny 16 centralnych sześciokątów 24 ogniw na ich wielkie koła. Każdy wielki okrąg jest podzielony na 6 krawędzi łukowych na przecięciach, gdzie przecinają się 4 wielkie okręgi.

Cięciwy wierzchołków 24 komórek są ułożone w geodezyjne wielokąty wielkiego koła . Geodezyjnej odległość między dwoma wierzchołkami 24 komórek wzdłuż ścieżki √ 1 krawędzie zawsze wynosi 1, 2 lub 3, a jest 3 tylko na przeciwległych wierzchołków.

W √ 1 krawędzie występują w 16 sześciokątnych wielkich kół (w płaszczyznach nachylonych pod kątem 60 ° względem siebie), z których 4 przejeżdżają przy każdym wierzchołku. 96 odrębnych krawędzi √ 1 dzieli powierzchnię na 96 trójkątnych ścian i 24 komórki oktaedryczne: 24 komórki. 16 heksagonalnych wielkich okręgów można podzielić na 4 zestawy 4 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda , tak że tylko jeden heksagonalny wielki okrąg w każdym zestawie przechodzi przez każdy wierzchołek, a 4 sześciokąty w każdym zestawie sięgają wszystkich 24 wierzchołków.

W √ 2 akordy występują w 18 kwadratowych wielkich kół (3 zestawy prostopadłych płaszczyznach 6), 3, które krzyżują się na każdym wierzchołku. 72 różne akordy √ 2 nie biegną w tych samych płaszczyznach, co heksagonalne wielkie koła; nie podążają za krawędziami 24 komórek, przechodzą przez jej ośmiokątne centra komórek. 18-kwadratowe wielkie koła można podzielić na 3 zestawy po 6 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda, tak że tylko jeden kwadratowy wielki okrąg w każdym zestawie przechodzi przez każdy wierzchołek, a 6 kwadratów w każdym zestawie sięga wszystkich 24 wierzchołków.

W √ 3 akordy występują w 32 trójkątnych wielkich kół w 16 płaszczyznach, z których 4 przejeżdżają przy każdym wierzchołku. 96 odrębnych akordów √ 3 biegnie od wierzchołka do każdego innego wierzchołka w tych samych płaszczyznach, co sześciokątne wielkie koła.

W √ 4 akordy wystąpić 12 wierzchołek-do-wierzchołka o średnicy (3 zestawy prostopadłych osiach 4), przy czym około 24 promieni 25 centralnego wierzchołka.

Suma kwadratów długości wszystkich tych odrębnych akordów 24 komórki wynosi 576 = 24 ² . Są to wszystkie centralne wielokąty przechodzące przez wierzchołki, ale w 4-przestrzeni są geodezyjne na 3-sferze, które w ogóle nie leżą w centralnych płaszczyznach. Istnieją geodezyjne najkrótsze ścieżki między dwoma 24-komórkowymi wierzchołkami, które są spiralne, a nie po prostu okrągłe; odpowiadają one raczej ukośnym obrotom izoklinicznym niż prostym obrotom.

W √ 1 krawędzie występują w 48 równoległych parach, √ 3 od siebie. W √ 2 akordy występują w 36 równoległych parach, √ 2 od siebie. W √ 3 akordy występują w 48 równoległych parach, √ 1 siebie.

Centralne płaszczyzny 24-komórki można podzielić na 4 centralne hiperpłaszczyzny (3-przestrzenie), z których każda tworzy prostopadłościan . Wielkie kwadraty są oddalone od siebie o 90 stopni; wielkie sześciokąty są oddalone od siebie o 60 stopni; wielki kwadrat i wielki sześciokąt są od siebie oddalone o 60 stopni. Każdy zestaw podobnych centralnych wielokątów (kwadratów lub sześciokątów) można podzielić na 4 zestawy nie przecinających się równoległych wielokątów Clifforda (6 kwadratów lub 4 sześciokąty). Każdy zestaw równoległych wielkich okręgów Clifforda to wiązka włókien równoległych, która tylko raz odwiedza wszystkie 24 wierzchołki.

Każdy wielki przecina koło z innych interesujących kręgów, do których nie jest Clifford równolegle w jednej √ 4 średnicy 24 komórek. Wielkie koła, które są całkowicie prostopadłe lub w inny sposób równoległe do Clifforda, w ogóle się nie przecinają: przechodzą przez rozłączne zestawy wierzchołków.

Konstrukcje

Trójkąty i kwadraty łączą się w unikalny sposób w 24-komórce, aby wygenerować, jako elementy wewnętrzne, wszystkie regularne wypukłe polytopes o trójkątnej i kwadratowej powierzchni w pierwszych czterech wymiarach (z zastrzeżeniami dla 5-komorowej i 600-komorowej ) . W związku z tym istnieje wiele sposobów konstruowania lub dekonstrukcji 24-ogniwowej.

Wzajemne konstrukcje z 8-ogniwowych i 16-ogniwowych

8 wierzchołków liczb całkowitych (±1, 0, 0, 0) to wierzchołki regularnej komórki 16 , a 16 wierzchołków połówkowych (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) są wierzchołkami jego podwójnego, teseraktu (8-komorowego). Tesserakt daje konstrukcję 24-ogniwową Gosseta, równoważną pocięciu teseraktu na 8 sześciennych ostrosłupów , a następnie przymocowaniu ich do faset drugiego teseraktu. Analogiczna konstrukcja w 3 przestrzeniach daje rombowy dwunastościan, który jednak nie jest regularny. 16-ogniwowa daje odwrotną konstrukcję 24-ogniwowej konstrukcji Cesaro, równoważną prostowaniu 16-ogniwowej (przycinanie jej rogów na środkowych krawędziach, jak opisano powyżej ). Analogiczna konstrukcja w 3 przestrzeni daje sześcian (podwójny z dwunastościanu rombowego), który jednak nie jest regularny. Tesseract i 16-komórka to jedyne regularne 4-politopy w 24-komórce.

Możemy dalej podzielić 16 półliczbowych wierzchołków na dwie grupy: te, których współrzędne zawierają parzystą liczbę znaków minus (-) oraz te, które mają nieparzystą liczbę. Każda z tych grup 8 wierzchołków definiuje również zwykłą 16 komórkę. Pokazuje to, że wierzchołki 24 komórek można pogrupować w trzy rozłączne zestawy po osiem, przy czym każdy zestaw definiuje zwykłą 16 komórek, a dopełnienie definiuje podwójny tesserakt. Pokazuje to również, że symetrie 16 komórek tworzą podgrupę o indeksie 3 grupy symetrii 24 komórek.

Uszczuplenia

Możemy fasetować 24-komórkę, przecinając wewnętrzne komórki ograniczone akordami wierzchołków, aby usunąć wierzchołki, odsłaniając fasetki wewnętrznych 4-politopów wpisanych w 24-komórkę. Można przeciąć 24 komórki przez dowolny płaski sześciokąt o 6 wierzchołkach, dowolny płaski prostokąt o 4 wierzchołkach lub dowolny trójkąt o 3 wierzchołkach. Centralne płaszczyzny wielkiego koła ( powyżej ) to tylko niektóre z tych płaszczyzn. Tutaj wyeksponujemy niektóre inne: płaszczyzny licowe politopów wewnętrznych.

8-ogniwowy

Zaczynając od pełnej 24 komórki, usuń 8 ortogonalnych wierzchołków (4 przeciwne pary na 4 prostopadłych osiach) i 8 krawędzi, które odchodzą od każdego, przecinając 8 sześciennych komórek ograniczonych krawędziami √ 1, aby usunąć 8 sześciennych ostrosłupów, których wierzchołki są wierzchołki do usunięcia. Usuwa to 4 krawędzie z każdego heksagonalnego wielkiego koła (pozostawiając tylko jedną przeciwną parę krawędzi), więc nie pozostają żadne ciągłe heksagonalne wielkie koła. Teraz 3 prostopadłe krawędzie spotykają się i tworzą róg sześcianu w każdym z 16 pozostałych wierzchołków, a 32 pozostałe krawędzie dzielą powierzchnię na 24 kwadratowe powierzchnie i 8 sześciennych komórek: tesserakt . Można to zrobić na trzy sposoby (wybierz zestaw 8 ortogonalnych wierzchołków z 24), więc są trzy takie tesserakty wpisane w 24 komórki. Nachodzą na siebie, ale większość ich zestawów elementów jest rozłączna: mają pewną liczbę wierzchołków, ale nie mają długości krawędzi, obszaru twarzy ani objętości komórek. Dzielą 4 treści, ich wspólny rdzeń.

16-ogniwowy

Zaczynając od pełnych 24 komórek, usuń 16 wierzchołków tesseraktu (zachowując 8 wierzchołków, które usunięto powyżej), przecinając 16 czworościennych komórek ograniczonych akordami √ 2, aby usunąć 16 czworościennych ostrosłupów, których wierzchołki są wierzchołkami do usunięcia. Usuwa to 12 wielkich kwadratów (zachowując tylko jeden zestaw ortogonalny) i wszystkie krawędzie √ 1 , odsłaniając akordy √ 2 jako nowe krawędzie. Teraz pozostałe 6 wielkich kwadratów przecina się prostopadle, po 3 w każdym z 8 pozostałych wierzchołków, a ich 24 krawędzie dzielą powierzchnię na 32 trójkątne ściany i 16 czworościennych komórek: 16-komórkę . Można to zrobić na trzy sposoby (usunąć 1 z 3 zestawów wierzchołków teseraktowych), więc są trzy takie 16-komórki wpisane w 24-komórkę. Zachodzą one na siebie, ale wszystkie ich zestawy elementów są rozłączne: nie mają wspólnej liczby wierzchołków, długości krawędzi ani powierzchni twarzy, ale mają wspólną objętość komórki. Dzielą się również treścią 4, ich wspólnym rdzeniem.

Konstrukcje czworościenne

24 komórek mogą być skonstruowane promieniowo od 96 równobocznych trójkątów długości krawędzi √ 1 , które spotykają się w środku Polytope, każdy się dwoma promieniami i krawędzi. Tworzą one czworościany 96 √ 1 (każdy ma jedną 24-komórkową twarz), wszystkie dzielą 25. centralny wierzchołek wierzchołkowy. Tworzą one 24 ośmiościenne piramidy (pół-16 komórek) z wierzchołkami w środku.

24-komórkę można zbudować z 96 trójkątów równobocznych o długości krawędzi √ 2 , gdzie trzy wierzchołki każdego trójkąta znajdują się pod kątem 90° =π/2daleko od siebie. Tworzą one czworościany 48 √ 2 (komórki trzech 16-komórek ), wyśrodkowane na 24 środkowych promieniach 24-komórek.

Relacje między wewnętrznymi politopami

24-komorowe, trzy tesserakty i trzy 16-komorowe są głęboko splecione wokół wspólnego środka i przecinają się we wspólnym rdzeniu. Tesserakty są wpisane w 24-komórkę tak, że ich wierzchołki i krawędzie są zewnętrznymi elementami 24-komórki, ale ich kwadratowe powierzchnie i sześcienne komórki leżą wewnątrz 24-komórki (nie są elementami 24-komórki). 16-komórki są wpisane w 24-komórkę tak, że tylko ich wierzchołki są zewnętrznymi elementami 24-komórki: ich krawędzie, trójkątne powierzchnie i czworościenne komórki leżą wewnątrz 24-komórki. Wewnętrzne krawędzie 16 komórek mają długość √ 2 .

Rysunek Keplera przedstawiający czworościany wpisany w sześcian.

16-komórki są również zapisane w tesseracts: ich √ 2 krawędzie przekątne oblicze tesserakt, a ich wierzchołki 8 zajmują co drugi wierzchołek tesserakt. Każdy tesserakt ma wpisane dwie 16-komórki (zajmujące przeciwległe wierzchołki i przekątne twarzy), więc każda 16-komórka jest wpisana w dwie z trzech 8-komórek. Przypomina to sposób, w którym w 3 wymiarach można wpisać dwa czworościany w sześcian, jak odkrył Kepler. W rzeczywistości jest to dokładna analogia wymiarowa ( półhipersześciany ), a 48 komórek czworościennych wpisuje się w 24 komórki sześcienne właśnie w ten sposób.

24-komórka otacza trzy tesserakty w swojej otoczce z oktaedrycznych ścianek, pozostawiając w niektórych miejscach 4-wymiarową przestrzeń między otoczką a otoczką sześcianów każdego teseraktu. Każdy tesserakt obejmuje dwie z trzech 16 komórek, pozostawiając w niektórych miejscach 4-wymiarową przestrzeń między jego otoczką a otoczką czworościanów każdej z 16 komórek. Tak więc istnieją mierzalne 4-wymiarowe szczeliny między 24-komorową, 8-komorową i 16-komorową otoczką. Kształty wypełniające te luki to 4-piramidy , o których mowa powyżej.

Komórki graniczne

Pomimo 4-wymiarowych szczelin między kopertami 24-komorowymi, 8-komorowymi i 16-komorowymi, ich trójwymiarowe objętości nakładają się na siebie. Poszczególne koperty są w niektórych miejscach rozdzielone, aw innych stykają się (gdzie nie ma między nimi 4-piramidy). Tam, gdzie się stykają, łączą się i dzielą objętość komórek: są w tych miejscach tą samą membraną, a nie dwiema oddzielnymi, ale sąsiadującymi ze sobą trójwymiarowymi warstwami. Ponieważ jest w sumie 7 kopert, są miejsca, w których kilka kopert łączy się i scala objętość, a także miejsca, w których koperty się przenikają (przecinają się od wewnątrz na zewnątrz).

Niektóre elementy wewnętrzne leżą w 3-przestrzeni (zewnętrznej) obwiedni granicznej samej 24 komórki: każda komórka oktaedryczna jest podzielona na trzy prostopadłe kwadraty (po jednym z każdego teseraktu) i przekątne tych kwadratów (które przecinają wzajemnie prostopadle w środku ośmiościanu) są 16-komorowe krawędzie (po jednej z każdej 16-komorowej). Każdy kwadrat dzieli ośmiościan na dwie kwadratowe piramidy, a także łączy ze sobą dwie sąsiadujące ze sobą sześcienne komórki teseraktu jako ich wspólną twarz.

Jak widzieliśmy powyżej 16 komórek √ 2 komórki tetraedryczne są wpisane w tesserakt √ 1 komórek sześciennych, dzieląc tę samą objętość. 24 komórek √ 1 komórki oktaedryczne nałożyć swoją głośność √ 1 komórek sześciennych: są przedzielone przez kwadratowy powierzchni na dwie kwadratowe piramidy, których wierzchołki leżą również na wierzchołku w kształcie sześcianu. Oktaedry dzielą objętość nie tylko z sześcianami, ale z wpisanymi w nie czworościanami; w ten sposób 24-komórki, tesserakty i 16-komórki mają pewną granicę objętości.

Jako konfiguracja

Ta macierz konfiguracji reprezentuje 24-komorową. Wiersze i kolumny odpowiadają wierzchołkom, krawędziom, ścianom i komórkom. Liczby po przekątnej mówią, ile każdego elementu występuje w całej 24 komórce. Liczby nie po przekątnej określają, ile elementów kolumny występuje w elemencie wiersza lub przy nim.

${\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} {\ zacznij {macierz} 24 i 8 i 12 i 6 \\ 2 i 96 i 3 i 3 \ \ 3 i 3 i 96 i 2 \ \ 6 i 12 i 8 i 24 \ koniec {macierz}} \ koniec {bmatrix}}}$

Ponieważ 24-ogniwo jest samopodwójne, jego matryca jest identyczna z jej obrotem o 180 stopni.

Symetrie, systemy korzeniowe i teselacje

Związek 24 wierzchołków 24 komórek (czerwone węzły) i jego nieskalowany podwójny (żółte węzły) reprezentują 48 wektorów korzeniowych grupy F ₄ , jak pokazano w tym rzucie na płaszczyznę F ₄ Coxetera

W 24 wektory korzeń D ₄ systemu korzeniowego o prostym Lie grupy SO (8) tworzą wierzchołki 24 komórek. Wierzchołki można zobaczyć w 3 hiperpłaszczyznach , z 6 wierzchołkami komórki ośmiościanu na każdej z zewnętrznych hiperpłaszczyzn i 12 wierzchołkami prostopadłościanu na centralnej płaszczyźnie. Wierzchołki te, w połączeniu z 8 wierzchołków 16 komórkach reprezentują 32 wektory korzeń B ₄ i C ₄ grup prostych spoczywają.

48 wierzchołków (a ściślej mówiąc ich wektorów promienia) połączenia 24-komórki i jej podwójnej tworzą system korzeniowy typu F ₄ . 24 wierzchołki oryginalnej 24 komórki tworzą system korzeniowy typu D ₄ ; jego rozmiar ma stosunek √ 2 :1. Odnosi się to również do 24 wierzchołków jego duala. Pełna grupa symetrii 24-komórki to grupa Weyla z F ₄ , która jest generowana przez odbicia przez hiperpłaszczyzny ortogonalne do pierwiastków F ₄ . Jest to rozwiązywalna grupa rzędu 1152. Obrotowa grupa symetrii 24-ogniwowej jest rzędu 576.

Interpretacja czwartorzędowa

24 elementy kwaternionów binarnej grupy tetraedrycznej pasują do wierzchołków 24 komórki. Widziane w 4-krotnej projekcji symetrii: * 1 rząd-1: 1 * 1 rząd-2: -1 * 6 rząd-4: ±i, ±j, ±k * 8 rząd-6: (+1±i±j ±k)/2 * 8 rząd-3: (-1±i±j±k)/2.

Kiedy interpretowane jako kwaterniony , sieć główna F ₄ (która jest integralną rozpiętością wierzchołków 24 komórki) jest zamknięta podczas mnożenia i dlatego jest pierścieniem . To jest pierścień kwaternionów integralnych Hurwitza . Wierzchołki 24-komórki tworzą grupę jednostek (tj. grupę elementów odwracalnych) w pierścieniu kwaternionowym Hurwitza (ta grupa jest również znana jako binarna grupa tetraedryczna ). Wierzchołki 24 komórek to dokładnie 24 kwaterniony Hurwitza z normą kwadratową 1, a wierzchołki podwójnej 24 komórki to te, które mają normę kwadratową 2. Sieć pierwiastkowa D ₄ jest podwójna do F ₄ i jest dana przez podpierścień kwaternionów Hurwitz z parzystą normą kwadratową.

Patrząc jako kwaternionów Hurwitza 24 jednostek , współrzędne promienia jednostki 24-komórki reprezentują (w parach antypodów) 12 obrotów regularnego czworościanu.

Wierzchołki innych wypukłych 4-politopów regularnych również tworzą multiplikatywne grupy kwaternionów, ale niewiele z nich generuje sieć korzeniową.

Komórki Woronoja

Te komórki Woronoja tych D ₄ kraty korzeniowych regularne 24 komórek. Odpowiednia teselacja Voronoi daje teselację 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej przez regularne 24 komórki, 24-komórkowy plaster miodu . 24 komórki są wyśrodkowane w punktach sieci D ₄ (kwaterniony Hurwitza z parzystą normą kwadratową), podczas gdy wierzchołki znajdują się w punktach sieci F ₄ z nieparzystą normą kwadratową. Każda 24 komórka tej teselacji ma 24 sąsiadów. Z każdym z nich dzieli ośmiościan. Ma również 24 innych sąsiadów, z którymi dzieli tylko jeden wierzchołek. Osiem 24-komórek spotyka się na dowolnym wierzchołku w tej teselacji. Symbol schläfliego do Teselację wynosi {3,4,3,3}. Jest to jedna z zaledwie trzech regularnych teselacji R ⁴ .

Jednostkowe kule wpisane 24 komórek tego wzrostu tesselacji dać najgęstszy znany kratowego opakowania z hyperspheres w 4 wymiarach. Wykazano również, że konfiguracja wierzchołków 24 komórek daje najwyższą możliwą liczbę pocałunków w 4 wymiarach .

Promieniowo równoboczny plaster miodu

Podwójna teselacja 24-komórkowego plastra miodu {3,4,3,3} to 16-komórkowy plaster miodu {3,3,4,3} . Trzecią regularną teselacją czterowymiarowej przestrzeni jest tesseraktyczny plaster miodu {4,3,3,4} , którego wierzchołki można opisać 4-całkowitymi współrzędnymi kartezjańskimi. Przystające relacje między tymi trzema teselacjami mogą być pomocne w wizualizacji 24 komórek, w szczególności promieniowej symetrii równobocznej, którą dzieli z tesseraktem.

Plaster miodu o jednostkowej długości krawędzi 24 komórek może być nałożony na plaster miodu o jednostkowej długości krawędzi tesseraktów tak, że każdy wierzchołek tesseraktu (każda współrzędna 4-całkowita) jest również wierzchołkiem 24-komórki (a krawędzie teseraktu mają również 24 komórki). -krawędzie komórek), a każdy środek 24-komórki jest również centrum tesseraktu. 24-komórki są dwa razy większe niż tesserakty pod względem 4-wymiarowej zawartości (hiperobjętości), więc ogólnie na każdą 24-komórkę przypadają dwa teseraty, z których tylko połowa jest wpisana w 24-komórkę. Jeśli te teseraty są pomalowane na czarno, a sąsiadujące z nimi tesserakty (z którymi mają sześcienny fasetkę) są pokolorowane na czerwono, powstaje 4-wymiarowa szachownica. Spośród 24 promieni od środka do wierzchołka każdej 24-komórki, 16 to także promienie czarnego teseraktu wpisanego w 24-komórkę. Pozostałe 8 promieni rozciąga się na zewnątrz czarnego teseraktu (poprzez środki jego sześciennych faset) do środków 8 sąsiednich czerwonych teseraktów. Zatem 24-komórkowy plaster miodu i teseratyczny plaster miodu pokrywają się w szczególny sposób: 8 z 24 wierzchołków każdej 24 komórki nie występuje w wierzchołku teseraktu (zamiast tego występują w środku teseraktu). Każdy czarny tesserakt jest wycinany z 24 komórek przez obcięcie go w tych 8 wierzchołkach, odcinając 8 sześciennych piramid (jak w odwróceniu konstrukcji Gosseta, ale zamiast usuwać piramidy są po prostu pokolorowane na czerwono i pozostawione na miejscu). Osiem 24-komórek spotyka się w centrum każdego czerwonego teseraktu: każda spotyka swoje przeciwieństwo we wspólnym wierzchołku, a sześć pozostałych we wspólnej komórce oktaedrycznej.

Czerwone tesserakty są wypełnionymi komórkami (zawierają centralny wierzchołek i promienie); czarne tesserakty to puste komórki. Zestaw wierzchołków tego połączenia dwóch plastrów miodu zawiera wierzchołki wszystkich 24 komórek i teseraktów oraz środki czerwonych teseraktów. Dodanie centrów 24-komórkowych (które są również centrami czarnego teseraktu) do tego plastra miodu daje 16-komórkowy plastra miodu, którego zestaw wierzchołków zawiera wszystkie wierzchołki i centra wszystkich 24-komórek i teseraktów. Wcześniej puste środki sąsiednich 24 komórek stają się przeciwległymi wierzchołkami 16-komórki o długości krawędzi jednostki. 24 pół-16-komórki (piramidy oktaedryczne) spotykają się w każdym wcześniej pustym środku, aby wypełnić każdą 24-komórkę, a ich oktaedryczne podstawy są sześciobocznymi oktaedrycznymi ściankami 24-komórki (wspólnymi z sąsiednią 24-komórką).

Zwróć uwagę na całkowity brak pięciokątów w tym połączeniu trzech plastrów miodu. Podobnie jak 24-komorowa, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest całkowicie wypełniona kompleksem wszystkich politopów, które mogą być zbudowane z regularnych trójkątów i kwadratów (z wyjątkiem 5-komórkowej), ale ten kompleks nie wymaga (ani nie pozwala) dowolny z pięciokątnych politopów.

Obroty

W regularnych wypukłe 4-polytopes są wyrażenie swojej podstawowej symetrii , która jest znana jako SO (4) , w grupie obrotów wokół stałej punkcie 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

3 kartezjańskie bazy 24-ogniwowej

Istnieją trzy różne orientacje tesseraktycznego plastra miodu, które można wykonać tak, aby pokrywały się z 24-komórkowym plastrem miodu , w zależności od tego, który z trzech rozłącznych zestawów 24-komorowych 8 ortogonalnych wierzchołków (który zestaw 4 prostopadłych osi lub równoważnie wpisuje się base 16-cell ) został wybrany, aby go wyrównać, tak jak trzy tesseracts można wpisać w 24-komorę, obróconą względem siebie. Odległość od jednej z tych orientacji do drugiej to obrót izokliniczny o 60 stopni ( podwójny obrót o 60 stopni w każdej parze ortogonalnych niezmiennych płaszczyzn, wokół jednego stałego punktu). Ten obrót widać najwyraźniej w sześciokątnych płaszczyznach centralnych, gdzie sześciokąt obraca się, aby zmienić, która z jego trzech średnic jest wyrównana z osią układu współrzędnych.

Płaszczyzny obrotu

Obroty w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej można postrzegać jako złożenie dwóch 2-wymiarowych obrotów w całkowicie ortogonalnych płaszczyznach. Zatem ogólny obrót w 4-przestrzeni jest rotacją podwójną . Istnieją dwa ważne przypadki specjalne, zwane rotacją prostą i rotacją izokliniczną .

Proste obroty

Projekcja 3D 24 ogniw wykonujących prosty obrót

W 3 wymiarach wirujący wielościan ma jedną niezmienną centralną płaszczyznę obrotu . Płaszczyzna nazywana jest niezmienną, ponieważ każdy punkt na płaszczyźnie porusza się po okręgu, ale pozostaje w płaszczyźnie. Tylko jedna z centralnych płaszczyzn wielościanu może być niezmienna podczas określonego obrotu; wybór niezmiennej płaszczyzny środkowej i kątowej odległości, na jaką jest ona obrócona, całkowicie określa obrót. Punkty poza płaszczyzną niezmienniczą również poruszają się po okręgach (chyba że znajdują się na stałej osi obrotu prostopadłej do płaszczyzny niezmiennej), ale okręgi nie leżą w płaszczyźnie środkowej .

Kiedy 4-politop obraca się tylko z jedną niezmienną płaszczyzną środkową, ma miejsce ten sam rodzaj prostego obrotu, który występuje w 3 wymiarach. Jedyna różnica polega na tym, że zamiast stałej osi obrotu istnieje cała stała płaszczyzna centralna, w której punkty się nie poruszają. Płaszczyzna stała to jedna centralna płaszczyzna, która jest całkowicie prostopadła do niezmiennej płaszczyzny obrotu. W 24-komórce istnieje prosty obrót, który przeniesie dowolny wierzchołek bezpośrednio do dowolnego innego wierzchołka, przesuwając również większość innych wierzchołków, ale pozostawiając co najmniej 2, a co najwyżej 6 innych wierzchołków stałych (wierzchołki, które przecina stała płaszczyzna centralna ). Wierzchołek porusza się po wielkim okręgu w niezmiennej płaszczyźnie obrotu pomiędzy sąsiednimi wierzchołkami wielkiego sześciokąta, wielkiego kwadratu lub wielkiego dwukąta , a całkowicie ortogonalna stała płaszczyzna jest odpowiednio dwukątem, kwadratem lub sześciokątem.

Podwójne obroty

Projekcja 3D 24-ogniwowej wykonującej podwójny obrót

Punkty w całkowicie ortogonalnej płaszczyźnie środkowej nie są ograniczone do ustalenia. Możliwe jest również, że obracają się po okręgu, jako druga niezmienna płaszczyzna, z prędkością niezależną od obrotu pierwszej niezmiennej płaszczyzny: podwójny obrót w dwóch płaszczyznach obrotu jednocześnie. W podwójnym obrocie nie ma ustalonej płaszczyzny ani osi: porusza się każdy punkt z wyjątkiem punktu środkowego. Obrócona odległość kątowa może być różna w dwóch całkowicie ortogonalnych płaszczyznach centralnych, ale obie są zawsze niezmienne: ich poruszające się po okręgu punkty pozostają w płaszczyźnie, gdy cała płaszczyzna przechyla się na boki w całkowicie ortogonalnym obrocie. Obrót w 4-przestrzeni ma zawsze (co najmniej) dwie całkowicie ortogonalne niezmienne płaszczyzny obrotu, chociaż w obrocie prostym kąt obrotu w jednej z nich wynosi 0.

Obroty podwójne występują w dwóch formach chiralnych : rotacji lewej i prawej . W podwójnym obrocie każdy wierzchołek porusza się spiralnie po dwóch całkowicie ortogonalnych wielkich kołach jednocześnie. Każda ścieżka jest prawostronnym z gwintem (jak większość śrub i nakrętek), poruszając się wzdłuż kręgów w „samych” kierunkach, czy to jest gwintowany lewa (jak odwróconych gwintowaną śrubą), poruszając się wzdłuż okręgów w tym, co konwencjonalnie mówimy, że są „przeciwne” kierunki (zgodnie z regułą prawej ręki, według której konwencjonalnie mówimy, która droga jest „w górę” na każdej z 4 osi współrzędnych).

Obroty izokliniczne

Kiedy kąty obrotu w dwóch płaszczyznach niezmiennych są dokładnie takie same, pojawia się niezwykła symetria : wszystkie płaszczyzny wielkiego koła równoległe do płaszczyzn niezmiennych same stają się niezmiennymi płaszczyznami rotacji pod tym samym kątem, a 4- politop obraca się izoklinicznie w wielu kierunkach jednocześnie. Każdy wierzchołek porusza się na równą odległość we wszystkich czterech wymiarach jednocześnie. W 24-komórce każdy obrót izokliniczny o 60 stopni w płaszczyźnie sześciokątnej przenosi każdy wierzchołek do sąsiedniego wierzchołka, obraca wszystkie 16 sześciokątów o 60 stopni i przenosi każdy wielokąt wielkiego koła (kwadrat, sześciokąt lub trójkąt) do równoległego wielkiego koła Clifforda wielokąt tego samego rodzaju oddalony o 60 stopni. Rotacja izokliniczna jest również nazywana przemieszczeniem Clifforda , od nazwiska jego odkrywcy .

Wydaje się, że 24-komórka w animacji podwójnego obrotu wywraca się na lewą stronę. Wydaje się, że odwraca chiralność całego 4-politopu w taki sam sposób, w jaki lustro w łazience odwraca chiralność obrazu o 180-stopniowe odbicie. Każdy obrót izokliniczny o 360 stopni wygląda tak, jakby 24-komórkowa powierzchnia została zdarta jak rękawiczka i wywrócona na lewą stronę, zmieniając rękawicę prawą w lewą (lub odwrotnie, w zależności od tego, czy była to lewa, czy lewa). obrót izokliniczny w prawo o 360 stopni).

W prostym obrocie 24 komórek w płaszczyźnie heksagonalnej każdy wierzchołek w płaszczyźnie obraca się najpierw wzdłuż krawędzi do sąsiedniego wierzchołka oddalonego o 60 stopni. Ale w rotacji izoklinicznej w dwóch całkowicie ortogonalnych płaszczyznach heksagonalnych, każdy wierzchołek obraca się najpierw do wierzchołka o dwie długości krawędzi dalej (po przekątnej) w innej płaszczyźnie heksagonalnej. Geodezja spiralna podwójnego heksagonalnego obrotu przechodzi przez każdy inny wierzchołek, przecinając się między płaszczyznami centralnymi. Mimo że wszystkie wierzchołki i wszystkie sześciokąty obracają się jednocześnie, obrót o 360 stopni uderza tylko w połowę wierzchołków w 24-komórce. Po 360 stopniach każda helisa przeszła przez 6 wierzchołków, ale nie wróciła do wierzchołka, odeszła od utworzenia zamkniętego sześciokąta. Każda środkowa płaszczyzna (każdy sześciokąt lub kwadrat w 24-komórce) obróciła się o 360 stopni i została przechylona na boki o 360 stopni z powrotem do swojej pierwotnej pozycji, ale orientacja 24-komórki w 4-przestrzeni, w której jest osadzona jest teraz inny. Ponieważ 24-komórka jest teraz wywrócona na lewą stronę, jeśli obrót izokliniczny będzie kontynuowany w tym samym kierunku przez kolejne 360 ​​stopni, ruchome wierzchołki przejdą przez drugą połowę wierzchołków, które przeoczyły podczas pierwszego obrotu (antypodalne wierzchołki te trafią za pierwszym razem, na ich odwrocie), a każdy isoclinic geodezyjnej będzie dotrzeć z powrotem na to odstąpił od wierzchołka, tworząc zamkniętą dwunastokąt . Obrót izokliniczny o 720 stopni wymaga dla każdej dwunastokątnej izokliny geodezyjnej, aby zakończyć obwód przez wszystkie 12 wierzchołków, które na nim leżą, poprzez dwukrotne nawinięcie wokół 24-ogniwowej komórki, przywracając jej pierwotną chiralną orientację.

Dwie płaszczyzny są również nazywane izoklinicznymi, jeśli rotacja izokliniczna doprowadzi je do siebie. Płaszczyzny izokliniczne są dokładnie tymi centralnymi płaszczyznami z równoległymi geodezyjnymi wielkimi okręgami Clifforda. Wielkie koła równoległe Clifforda nie przecinają się, więc izokliniczne wielokąty wielkich okręgów mają rozłączne wierzchołki. W 24-komórce każda sześciokątna płaszczyzna centralna jest izokliniczna względem trzech innych, a każda kwadratowa płaszczyzna centralna jest izokliniczna względem pięciu innych. Możemy wybrać 4 wzajemnie izokliniczne (równolegle do Clifforda) wielkie sześciokąty (cztery różne sposoby) pokrywające wszystkie 24 wierzchołki 24-komórki tylko raz. Możemy wybrać 6 wzajemnie izoklinicznych (równolegle do Clifforda) wielkich kwadratów (na trzy różne sposoby) obejmujących wszystkie 24 wierzchołki 24-komórki tylko raz.

Politopy równoległe Clifforda

Dwuwymiarowe wielokąty wielkiego koła nie są jedynymi wielokątami w 24-komórce, które są równoległe w sensie Clifforda. Przystające politopy o 2, 3 lub 4 wymiarach można powiedzieć, że są równoległe do Clifforda w 4 wymiarach, jeśli ich odpowiadające wierzchołki są w tej samej odległości od siebie we wszystkich 4 kierunkach współrzędnych. Trzy 16-komórki zapisane w 24-celach to paralele Clifforda. Politopy równoległe Clifforda są całkowicie rozłączne . Obrót izokliniczny o 60 stopni w sześciokątnych płaszczyznach przenosi każdą 16-komórkę do rozłącznej 16-komórki. Jak wszystkie podwójne rotacje , rotacje izokliniczne występują w dwóch chiralnych formach: po lewej stronie każdej 16-komórki znajduje się rozłączna 16 komórka, a druga po jej prawej stronie .

Wszystkie 4-politopy równoległe Clifforda są powiązane przez rotację izokliniczną, ale nie wszystkie politopy izokliniczne są równoleżnikami Clifforda (całkowicie rozłącznymi). Trzy 8-komórki w 24-komórce są izokliniczne, ale nie równoległe do Clifforda. Podobnie jak komórki 16, są one obrócone izoklinicznie względem siebie o 60 stopni, ale ich wierzchołki nie są rozłączne (a zatem nie wszystkie są równoodległe). Każdy wierzchołek występuje w dwóch z trzech 8-komórek (ponieważ każda 16-komórka występuje w dwóch z trzech 8-komórek).

Rotacje izokliniczne wiążą ze sobą wypukłe regularne 4-politopy. Obrót izokliniczny pojedynczej 16-komórki wygeneruje 24-komórkę. Zwykła rotacja pojedynczej 16-komórki nie dotrze, ponieważ jej wierzchołki nie dotrą do żadnego z wierzchołków pozostałych dwóch 16-komórek w trakcie rotacji. Obrót izokliniczny 24 komórek wygeneruje 600-komórkę, a izokliniczny obrót 600-komórki wygeneruje 120-komórkę. (Albo wszystkie mogą być generowane bezpośrednio przez izokliniczne rotacje 16-komórki, generując izokliniczne kopie siebie). -kula. W przypadku obiektu o więcej niż jednym wymiarze jedynym sposobem bezpośredniego dostępu do tych równoległych podprzestrzeni jest rotacja izokliniczna.

Projekcje

Rzuty równoległe

Koperty projekcyjne 24-komorowe. (Każda komórka jest rysowana z różnymi kolorowymi twarzami, odwrócone komórki są nienarysowane)

Wierzchołek pierwszego występ równoległe 24 komórek w przestrzeni 3-wymiarowej ma rombowy dodecahedral koperty . Dwanaście z 24 komórek oktaedrycznych rzutuje parami na sześć kwadratowych dipiramid, które spotykają się w środku dwunastościanu rombowego. Pozostałe 12 komórek oktaedrycznych rzutuje na 12 rombowych ścian dwunastościanu rombowego.

Komórek pierwszy występ równoległe 24 komórek w przestrzeni 3-wymiarowej ma cuboctahedral koperty. Dwie z komórek oktaedrycznych, najbliżej i dalej od obserwatora wzdłuż osi w, rzutują na ośmiościan, którego wierzchołki leżą pośrodku kwadratowych ścian sześcianu. Wokół tego centralnego ośmiościanu znajdują się rzuty 16 innych komórek, mających 8 par, z których każda wystaje na jedną z 8 objętości leżących pomiędzy trójkątną ścianą środkowego ośmiościanu i najbliższą trójkątną ścianą sześcianu. Pozostałe 6 komórek rzutuje na kwadratowe ściany sześcianu. Odpowiada to rozkładowi sześcianu na ośmiościan foremny i 8 nieregularnych, ale równych ośmiościanów, z których każdy ma kształt wypukłego kadłuba sześcianu z usuniętymi dwoma przeciwległymi wierzchołkami.

Krawędź pierwszego równolegle Występ posiada wydłużone sześciokątne dipyramidal koperty, a powierzchnia pierwszego równolegle występ ma niejednorodny sześciokątny dwu- antiprismic kopert.

Projekcje perspektywiczne

Wierzchołek pierwszego perspektywiczny rzut z 24 komórek w przestrzeni 3-wymiarowej ma tetrakis sześciościennej koperty. Układ komórek na tym obrazie jest podobny do obrazu w projekcji równoległej.

Poniższa sekwencja obrazów pokazuje strukturę rzutu perspektywicznego 24-komórki w 3 wymiarach. Punkt widzenia 4D jest umieszczony w odległości pięciokrotnej promienia środka wierzchołka 24-komórki.

Projekcja z perspektywy pierwszej komórki
Na tym obrazie najbliższa komórka jest renderowana na czerwono, a pozostałe komórki są obrysowane krawędzią. Dla jasności komórki odwrócone od punktu widzenia 4D zostały usunięte.	Na tym obrazie cztery z 8 komórek otaczających najbliższą komórkę są pokazane na zielono. Czwarta komórka znajduje się z tego punktu widzenia za komórką centralną (nieco dostrzegalna, ponieważ czerwona komórka jest półprzezroczysta).	Na koniec pokazano wszystkie 8 komórek otaczających najbliższą komórkę, przy czym ostatnie cztery są renderowane w kolorze magenta.
Zauważ, że te obrazy nie zawierają komórek, które są odwrócone od punktu widzenia 4D. W związku z tym pokazano tutaj tylko 9 komórek. Po drugiej stronie 24 celi znajduje się kolejne 9 cel w identycznym układzie. Pozostałe 6 komórek leżą na „równiku” 24 komórek i łączą dwa zestawy komórek.

Animowany przekrój 24 ogniw

Stereoskopowej projekcji 3D z icositetrachoron komórek (24).

Odtwórz multimedia Rzut izometryczny prostopadły: 8 komórek (Tesseract) + 16 komórek = 24 komórki

Rzuty prostopadłe

rzuty ortogonalne

Samolot Coxetera	F 4
Wykres
Symetria dwuścienna	[12]
Samolot Coxetera	B 3 / A 2 (a)	B 3 / A 2 (b)
Wykres
Symetria dwuścienna	[6]	[6]
Samolot Coxetera	B 4	B 2 / A 3
Wykres
Symetria dwuścienna	[8]	[4]

Wyobrażanie sobie

24-komórka jest ograniczona przez 24 komórki oktaedryczne . Dla celów wizualizacji wygodnie jest, aby ośmiościan miał przeciwległe równoległe ściany (cecha, którą dzieli z komórkami teseraktu i 120-komórki ). Ośmiościany można układać naprzeciw siebie w linii prostej wygiętej w 4 kierunku w wielkie koło o obwodzie 6 komórek. Lokalizacje komórek nadają się do opisu hipersferycznego . Wybierz dowolną komórkę i nazwij ją „ Biegunem Północnym ”. Osiem południków wielkiego koła (o długości dwóch komórek) rozchodzi się promieniście w 3 wymiarach, zbiegając się w trzeciej komórce „ Biegun południowy ”. Ten szkielet stanowi 18 z 24 komórek (2 +  8 × 2 ). Zobacz tabelę poniżej.

W 24-ogniwowej komórce jest jeszcze jeden powiązany wielki krąg , podwójny do powyższego. Ścieżka, która przechodzi przez 6 wierzchołków wyłącznie wzdłuż krawędzi, znajduje się w dualności tego polytope, który jest sam w sobie, ponieważ jest samopodwójny. Są to opisane powyżej geodezy heksagonalne . Ścieżkę tę można łatwo prześledzić w renderowaniu przekroju prostopadłościanu równikowego .

Zaczynając od bieguna północnego, możemy zbudować 24-komórkę w 5 warstwach równoleżnikowych. Z wyjątkiem biegunów, każda warstwa reprezentuje oddzielną 2-kulę, przy czym równik jest wielką 2-kulą. Komórki oznaczone w poniższej tabeli równikowe są śródmiąższowe względem komórek południka po wielkim okręgu. Śródmiąższowe komórki „równikowe” dotykają komórek meridianów na ich twarzach. Dotykają się nawzajem, a komórki biegunowe znajdują się na ich wierzchołkach. Ten ostatni podzbiór ośmiu komórek niepołudnikowych i biegunowych ma taką samą pozycję względem siebie jak komórki w teseracie (8-komorowym), chociaż stykają się wierzchołkami, a nie ścianami.

Rzut perspektywiczny krawędź-centrum, pokazujący jeden z czterech pierścieni 6 oktaedrów wokół równika

24-ogniwowe ogniwa można podzielić na rozłączne komórki składające się z czterech z tych 6-ogniwowych pierścieni wielkich okręgów, tworząc dyskretne rozwłóknienie Hopfa czterech zazębiających się pierścieni. Jeden pierścień jest „pionowy”, obejmujący komórki biegunowe i cztery komórki południkowe. Pozostałe trzy pierścienie obejmują dwie komórki równikowe i cztery komórki południka, dwie z półkuli północnej i dwie z południowej.

Zauważ, że ta sześciokątna ścieżka wielkiego koła implikuje, że wewnętrzny/dwuścienny kąt pomiędzy sąsiednimi komórkami wynosi 180 - 360/6 = 120 stopni. Sugeruje to, że możesz ułożyć obok siebie dokładnie trzy 24-komórki w płaszczyźnie i utworzyć 4-wymiarowy plaster miodu z 24-komorami, jak opisano wcześniej.

Można też pokonywać trasę po wielkim okręgu , przez przeciwległe wierzchołki ośmiościanów, czyli o długości czterech komórek. Są kwadratowych geodezyjne wzdłuż czterech √ 2 pasów opisane powyżej . Droga ta odpowiada przejściu po przekątnej przez kwadraty w przekroju prostopadłościanu. 24-komórka jest jedynym regularnym politopem w więcej niż dwóch wymiarach, w którym można przemierzyć wielkie koło wyłącznie przez przeciwległe wierzchołki (i wnętrze) każdej komórki. To wielkie koło jest samo podwójne. Ścieżka ta została poruszona powyżej w odniesieniu do zestawu 8 komórek niepołudnikowych (równikowych) i biegunowych. 24-komórkę można podzielić na trzy podzbiory po 8 komórek, z których każdy ma strukturę teseraktu. Każdy z tych podzbiorów można dodatkowo podzielić na dwa zazębiające się łańcuchy wielkich okręgów o długości czterech komórek. Łącznie te trzy podzbiory wytwarzają teraz kolejne, sześciopierścieniowe, dyskretne rozwłóknienie Hopfa.

Trzy konstrukcje grupy Coxetera

Istnieją dwie niższe formy symetrii 24 komórek, wyprowadzone jako rektyfikowane 16 komórek , z dwukolorową symetrią B ₄ lub [3,3,4] z 8 i 16 komórkami oktaedrycznymi . Wreszcie może być skonstruowany z symetrii D ₄ lub [3 ^1,1,1 ] i narysowany trójkolorowo po 8 oktaedrów każda.

Trzy siatki z 24 komórek z komórek zabarwionych D 4 , B 4 i F 4 symetrii
rektyfikowany demitesseract	Rektyfikacja 16-ogniwowa	Zwykły 24-ogniwowy
D 4 , [3 1,1,1 ], rząd 192	B 4 , [3,3,4], rząd 384	F 4 , [3,4,3], rząd 1152
Trzy zestawy 8 rektyfikowanych komórek czworościennych	Jeden zestaw 16 rektyfikowanych komórek czworościennych i jeden zestaw 8 komórek oktaedrycznych .	Jeden zestaw 24 komórek oktaedrycznych
Figura wierzchołkowa (Każda krawędź odpowiada jednej trójkątnej ścianie, pokolorowanej przez układ symetrii)

Powiązane wielokąty złożone

Regularny wielokąt kompleks ₄ {3}, ₄ , lub zawiera 24 wierzchołki 24-komórki i 24 4-krawędzie, które odpowiadają centralnym kwadratom 24 z 48 komórek oktaedrycznych. Jego symetria to ₄ [3] ₄ , rząd 96.

Złożony politop regularny ₃ {4} ₃ , lub , ma rzeczywistą reprezentację jako 24-komorowa w 4-wymiarowej przestrzeni. ₃ {4} ₃ ma 24 wierzchołki i 24 3 krawędzie. Jego symetria to ₃ [4] ₃ , rząd 72. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Powiązane figury w rzutach ortogonalnych

Nazwa	{3,4,3},	4 {3} 4 ,	3 {4} 3 ,
Symetria	[3,4,3], , zamów 1152	4 [3] 4 ,, zamów 96	3 [4] 3 ,, zamów 72
Wierzchołki	24	24	24
Krawędzie	96 2-krawędzi	24 4-krawędziowe	24 3 krawędzie
Obraz	24-komorowy w płaszczyźnie F4 Coxeter, z 24 wierzchołkami w dwóch pierścieniach po 12 i 96 krawędzi.	4 {3} 4 , ma 24 wierzchołki i 32 4-krawędzie, pokazane tutaj z 8 czerwonymi, zielonymi, niebieskimi i żółtymi 4-krawędziami.	3 {4} 3 lub ma 24 wierzchołki i 24 3 krawędzie, pokazane tutaj z 8 czerwonymi, 8 zielonymi i 8 niebieskimi kwadratowymi 3 krawędziami, z wypełnionymi niebieskimi krawędziami.

Powiązane 4-politopy

Kilka jednorodnych 4-politopów można uzyskać z 24-komórki poprzez obcięcie :

• obcięcie na 1/3 długości krawędzi daje obcięte 24 komórki ;
• obcięcie na 1/2 długości krawędzi daje rektyfikowane 24 komórki ;
• a obcięcie o połowę głębokości do podwójnej 24-komórki daje 24-komórkę z bitruncowaną , która jest przechodnia dla komórek .

96 krawędzi 24-ogniwowych komórek można podzielić na złoty podział, aby uzyskać 96 wierzchołków 24-ogniwowej komórki . Odbywa się to poprzez umieszczenie wektorów wzdłuż krawędzi 24 komórek tak, że każda dwuwymiarowa ściana jest ograniczona cyklem, a następnie podobnie dzieląc każdą krawędź na złoty podział wzdłuż kierunku jej wektora. Analogiczna modyfikacja do ośmiościanu daje dwudziestościan lub „ oktaedr zadarty ”.

24-komorowy jest unikalnym wypukłym, samopodwójnym, regularnym polytopem euklidesowym, który nie jest ani wielokątem, ani simpleksem . Złagodzenie stanu wypukłości dopuszcza dwie dalsze liczby: wielki 120-ogniwowy i wielki gwiaździsty 120-ogniwowy . Sam ze sobą może tworzyć związek politopowy : związek dwóch 24 komórek .

Powiązane jednolite politopy

D 4 jednolita polichora
{3,3 1,1 } godz.{4,3,3}	2r{3,3 1,1 } h 3 {4,3,3}	t{3,3 1,1 } godz. 2 {4,3,3}	2t{3,3 1,1 } godz. 2,3 {4,3,3}	r{3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3}	rr{3,3 1,1 } r{3 1,1,1 }=r{3,4,3}	tr{3,3 1,1 } t{3 1,1,1 }=t{3,4,3}	sr{3,3 1,1 } s{3 1,1,1 }=s{3,4,3}

Politopy z rodziny 24-komórkowej
Nazwa	24-komorowy	skrócony 24-ogniwowy	arogancki 24-ogniwowy	rektyfikowane 24-ogniwowe	kantelowany 24-ogniwowy	24-komorowy bitrunc	cantitruncated 24-cell	Runcinated 24-cell	skrócony 24-komorowy	wszechstronnie skrócony 24-ogniwowy
Symbol Schläfli	{3,4,3}	t 0,1 {3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t 1 {3,4,3} r{3,4,3}	t 0,2 {3,4,3} rr{3,4,3}	t 1,2 {3,4,3} 2t{3,4,3}	t 0,1,2 {3,4,3} s {3,4,3}	t 0,3 {3,4,3}	t 0,1,3 {3,4,3}	t 0,1,2,3 {3,4,3}
Schemat Coxetera
Schemat Schlegla
F 4
B 4
B 3 (a)
B 3 (b)
B 2

24-ogniwowa może być również wyprowadzona jako rektyfikowana 16-ogniwowa:

Politopy symetrii B4
Nazwa	teserakt	rektyfikowany tesseract	obcięty tesseract	cantellated tesseract	runcinated tesseract	bitruncated tesseract	cantitruncated tesseract	runcitruncated tesseract	wszechskrócony tesseract
Schemat Coxetera		=				=
Symbol Schläfli	{4,3,3}	t 1 {4,3,3} r{4,3,3}	t 0,1 {4,3,3} t{4,3,3}	t 0,2 {4,3,3} rr{4,3,3}	t 0,3 {4,3,3}	t 1,2 {4,3,3} 2t{4,3,3}	t 0,1,2 {4,3,3} s {4,3,3}	t 0,1,3 {4,3,3}	t 0,1,2,3 {4,3,3}
Schemat Schlegla
B 4
Nazwa	16-ogniwowy	rektyfikowane 16-ogniwowe	skrócona 16-ogniwowa	kantelowy 16-ogniwowy	uruchomiony 16-komorowy	bitruncated 16-komorowy	cantitruncated 16-komorowy	skrócony 16-komorowy	wszechstronnie skrócony 16-ogniwowy
Schemat Coxetera	=	=	=	=		=	=
Symbol Schläfli	{3,3,4}	t 1 {3,3,4} r{3,3,4}	t 0,1 {3,3,4} t{3,3,4}	t 0,2 {3,3,4} rr{3,3,4}	t 0,3 {3,3,4}	t 1,2 {3,3,4} 2t{3,3,4}	t 0,1,2 {3,3,4} s {3,3,4}	t 0,1,3 {3,3,4}	t 0,1,2,3 {3,3,4}
Schemat Schlegla
B 4

{3, p ,3} polytopes
Przestrzeń	S 3		H 3
Formularz	Skończone		Kompaktowy	Parakompaktowy	Niekompaktowy
{3, s. 3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
Obraz
Komórki	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Figura wierzchołka	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Zobacz też

• Oktakube (rzeźba)
• Jednolity 4-politop#Rodzina F4

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Animacje 24-komorowe
• 24-celowa w projekcjach stereograficznych
• 24-komorowy opis i schematy
• Dwunastokąty Petriego w 24-komórce: oprogramowanie do matematyki i animacji