Wada kątowa - Angular defect

W geometrii ( kątowa ) wada (lub niedobór lub niedobór ) oznacza niepowodzenie dodawania niektórych kątów do oczekiwanej wartości 360 ° lub 180 °, podczas gdy takie kąty w płaszczyźnie euklidesowej by to zrobiły . Odwrotnym pojęciem jest nadmiar .

Klasycznie wada pojawia się na dwa sposoby:

• wada wierzchołka wielościanu;
• wada trójkąta hiperbolicznego ;

a nadmiar powstaje również na dwa sposoby:

• nadmiar toroidalnego wielościanu .
• nadmiar trójkąta sferycznego ;

W płaszczyźnie euklidesowej kąty wokół punktu sumują się do 360 °, podczas gdy kąty wewnętrzne w trójkącie sumują się do 180 ° (równoważnie kąty zewnętrzne sumują się do 360 °). Jednak na wypukłym wielościanie kąty na wierzchołku sumują się do mniej niż 360 °, w trójkącie sferycznym kąty wewnętrzne zawsze sumują się do więcej niż 180 ° (kąty zewnętrzne sumują się do mniej niż 360 °), a kąty w hiperbolicznej trójkącie zawsze sumują się do mniej niż 180 ° (zewnętrzne kąty sumują się do więcej niż 360 °).

Mówiąc nowocześnie, defekt w wierzchołku lub nad trójkątem (z minusem) jest dokładnie krzywizną w tym punkcie lub całkowitą (całką) na trójkącie, zgodnie z twierdzeniem Gaussa – Bonneta .

Wada wierzchołka

W przypadku wielościanu defekt w wierzchołku wynosi 2π minus suma wszystkich kątów na wierzchołku (uwzględnione są wszystkie ściany na wierzchołku). Jeśli wielościan jest wypukły, to wada każdego wierzchołka jest zawsze dodatnia. Jeśli suma kątów przekracza pełny obrót , jak ma to miejsce w niektórych wierzchołkach wielu niewypukłych wielościanów, to wada jest ujemna.

Pojęcie wady rozciąga większych wymiarów jak wartości, o których suma kątów dwuściennych tych komórek w A pik mniejszy od pełnego okręgu.

Przykłady

Wada któregokolwiek z wierzchołków dwunastościanu foremnego (w którym trzy regularne pięciokąty spotykają się na każdym wierzchołku) wynosi 36 ° lub π / 5 radianów lub 1/10 koła. Każdy z kątów mierzy 108 °; trzy z nich spotykają się w każdym wierzchołku, więc wada wynosi 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.

Ta sama procedura może być zastosowana dla innych brył platońskich :

Kształt	Liczba wierzchołków	Wielokąty spotykające się w każdym wierzchołku	Defekt na każdym wierzchołku	Całkowita wada
czworościan	4	Trzy trójkąty równoboczne	${\ Displaystyle \ pi \ \ (180 ^ {\ circ})}$	${\ Displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
oktaedr	6	Cztery trójkąty równoboczne	${\ Displaystyle {2 \ pi \ ponad 3} \ (120 ^ {\ circ})}$	${\ Displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
sześcian	8	Trzy kwadraty	${\ Displaystyle {\ pi \ ponad 2} \ \ (90 ^ {\ circ})}$	${\ Displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
dwudziestościan	12	Pięć trójkątów równobocznych	${\ Displaystyle {\ pi \ ponad 3} \ \ (60 ^ {\ circ})}$	${\ Displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$
dwunastościan	20	Trzy regularne pięciokąty	${\ Displaystyle {\ pi \ ponad 5} \ \ (36 ^ {\ circ})}$	${\ Displaystyle 4 \ pi \ \ (720 ^ {\ circ})}$

Twierdzenie Kartezjusza

Twierdzenie Kartezjusza o „całkowitej wadzie” wielościanu stwierdza, że ​​jeśli wielościan jest homeomorficzny dla kuli (tj. Topologicznie równoważny kuli, tak że może zostać zdeformowany w kulę przez rozciąganie bez rozrywania), to „całkowita wada” , tj. suma defektów wszystkich wierzchołków to dwa pełne koła (lub 720 ° lub 4π radianów). Wielościan nie musi być wypukły.

Uogólnienie mówi, że liczba okręgów w całkowitej defekt jest równa charakterystyce Eulera wielościanu. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Gaussa – Bonneta, które wiąże całkę krzywizny Gaussa z charakterystyką Eulera. Tutaj krzywizna Gaussa jest skoncentrowana na wierzchołkach: na powierzchniach i krawędziach krzywizna Gaussa wynosi zero, a całka krzywizny Gaussa na wierzchołku jest równa tamtej wadzie.

Można to wykorzystać do obliczenia liczby V wierzchołków wielościanu, sumując kąty wszystkich ścian i dodając całkowity defekt. Ta suma będzie miała jedno pełne koło dla każdego wierzchołka w wielościanie. Należy uważać, aby użyć prawidłowej charakterystyki Eulera dla wielościanu.

Odwrotność tego twierdzenia daje twierdzenie Aleksandrowa o niepowtarzalności , zgodnie z którym przestrzeń metryczna lokalnie euklidesowa, z wyjątkiem skończonej liczby punktów dodatniego defektu kątowego, dodanego do 4π, może być zrealizowana w wyjątkowy sposób jako powierzchnia wypukły wielościan.

Wady pozytywne na figurach niewypukłych

Kuszące jest myślenie, że każdy niewypukły wielościan musi mieć jakieś wierzchołki, których wada jest ujemna, ale nie musi tak być. Dwa kontrprzykłady to mały dwunastościan gwiaździsty i dwunastościan wielki , które mają dwanaście wypukłych punktów, każdy z dodatnimi defektami.

Wielościany z pozytywnymi wadami

Kontrprzykład, który się nie przecina, stanowi sześcian, w którym jedną ścianę zastępuje kwadratowa piramida : ta wydłużona kwadratowa piramida jest wypukła, a defekty na każdym wierzchołku są dodatnie. Rozważmy teraz ten sam sześcian, w którym kwadratowa piramida wchodzi do sześcianu: to jest wklęsłe, ale wady pozostają takie same, a więc wszystkie są pozytywne.

Ujemny defekt wskazuje, że wierzchołek przypomina punkt siodłowy , podczas gdy dodatni defekt wskazuje, że wierzchołek przypomina lokalne maksimum lub minimum.

Bibliografia

Uwagi

Bibliografia

• Richeson, D .; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton (2008), strony 220–225.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Wada kątowa” . MathWorld .