Lista planarnych grup symetrii - List of planar symmetry groups
Artykuł ten podsumowuje klasy oddzielnych grup symetrii w euklidesowej płaszczyźnie . Do grupa symetrii nazywane są tutaj przez trzy nazwy: systemy notacji międzynarodowej , Orbifold notacji i notacji Coxeter . Istnieją trzy rodzaje grup symetrii płaszczyzny:
- 2 rodziny grup rozetowych – grupy punktowe 2D
- 7 grup fryzowych – grupy liniowe 2D
- 17 grup tapet – grupy przestrzenne 2D .
Grupy rozetowe
Istnieją dwie rodziny dyskretnych dwuwymiarowych grup punktów i są one określone za pomocą parametru n , który jest porządkiem grupy obrotów w grupie.
Rodzina |
Intl ( orbifold ) |
Schön. | Geo Coxeter |
Zamówienie | Przykłady | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria cykliczna |
n (n•) |
C n |
n [n] + |
n |
C 1 , [ ] + (•) |
C 2 , [2] + (2•) |
C 3 , [3] + (3•) |
C 4 , [4] + (4•) |
C 5 , [5] + (5•) |
C 6 , [6] + (6•) |
Symetria dwuścienna |
n m (*n•) |
D n | n [n] |
2 n |
D 1 , [ ] (*•) |
D 2 , [2] (*2•) |
D 3 , [3] (*3•) |
D 4 , [4] (*4•) |
D 5 , [5] (*5•) |
D 6 , [6] (*6•) |
Grupy fryzowe
7 grup fryzowych , dwuwymiarowych grup liniowych , z kierunkiem okresowości, ma pięć nazw notacyjnych. Oznaczenie Schönflies podano jako nieskończenie granicach 7 grup dwuścienne. Żółte regiony reprezentują nieskończoną podstawową domenę w każdym.
|
|
Grupy tapet
W 17 grupy tapety , z ograniczonym podstawowych dziedzin, podano za pomocą zapisu międzynarodowego , Orbifold zapisu i zapisu Coxeter sklasyfikowane przez 5 Bravais kraty w płaszczyźnie: kwadratowy , ukośne (równoległoboczny), sześciokątny (trójkąta równobocznego), prostokątny (wycentrowany rombowy ) i rombowy (wyśrodkowany prostokątny).
W P1 i P2 grupy, bez reflectional symetrii, są powtarzane we wszystkich klasach. Pokrewne czysto refleksyjne grupy Coxetera są podane ze wszystkimi klasami z wyjątkiem ukośnych.
|
|
|
|
Relacje podgrup tapet
o | 2222 | ×× | ** | *× | 22× | 22* | *2222 | 2*22 | 442 | 4*2 | *442 | 333 | *333 | 3*3 | 632 | *632 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p1 | p2 | pg | po południu | cm | pgg | pmg | pm | cmm | p4 | p4g | p4m | p3 | p3m1 | p31m | p6 | p6m | ||
o | p1 | 2 | ||||||||||||||||
2222 | p2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||
×× | pg | 2 | 2 | |||||||||||||||
** | po południu | 2 | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||
*× | cm | 2 | 2 | 2 | 3 | |||||||||||||
22× | pgg | 4 | 2 | 2 | 3 | |||||||||||||
22* | pmg | 4 | 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 3 | ||||||||||
*2222 | pm | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 4 | 2 | 2 | 2 | ||||||||
2*22 | cmm | 4 | 2 | 4 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | ||||||||
442 | p4 | 4 | 2 | 2 | ||||||||||||||
4*2 | p4g | 8 | 4 | 4 | 8 | 4 | 2 | 4 | 4 | 2 | 2 | 9 | ||||||
*442 | p4m | 8 | 4 | 8 | 4 | 4 | 4 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |||||
333 | p3 | 3 | 3 | |||||||||||||||
*333 | p3m1 | 6 | 6 | 6 | 3 | 2 | 4 | 3 | ||||||||||
3*3 | p31m | 6 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
632 | p6 | 6 | 3 | 2 | 4 | |||||||||||||
*632 | p6m | 12 | 6 | 12 | 12 | 6 | 6 | 6 | 6 | 3 | 4 | 2 | 2 | 2 | 3 |
Zobacz też
- Lista grup symetrii sferycznej
- Notacja Orbifold # Płaszczyzna hiperboliczna - Hiperboliczne grupy symetrii
Uwagi
Bibliografia
- Symetrie rzeczy 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (notacja Orbifold dla wielościanów, euklidesowych i hiperbolicznych kafelków)
- Na Quaternions i Octonions , 2003, John Horton Conway i Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
-
Kalejdoskopy: Wybrane pisma HSM Coxeter , pod redakcją F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- ( Praca 22) HSM Coxeter, Regular i Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- ( Praca 23) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes II , [ Mat . Zeit. 188 (1985) 559-591]
- ( Praca 24) HSM Coxeter, Regularne i półregularne Polytopes III , [ Mat . Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Coxeter, HSM i Moser, WOJ (1980). Generatory i relacje dla grup dyskretnych . Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 0-387-09212-9.
- NW Johnson : Geometrie and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Rozdział 12: Grupy symetrii euklidesowej
Zewnętrzne linki
- „Rękopis Conwaya” w notacji Orbifold (notacja zmieniona w stosunku do oryginału, x jest teraz używane zamiast otwartej kropki, a o jest używane zamiast zamkniętej kropki)
- 17 grup tapet