Dachówka trójkątna - Triangular tiling

Trójkątne płytki
Rodzaj	Regularne kafelki
Konfiguracja wierzchołków	3.3.3.3.3.3 (lub 3 6 )
Konfiguracja twarzy	V6.6.6 (lub V6 3 )
Symbol(e) Schläfli	{3,6} {3 [3] }
Symbole Wythoffa	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Schemat(y) Coxetera	=
Symetria	p6m , [6,3], (*632)
Symetria rotacji	p6 , [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Podwójny	Płytki sześciokątne
Nieruchomości	Wierzchołki przechodnie , krawędzie przechodnie , ściany przechodnie

W geometrii The trójkątny Dachówka lub trójkątny teselacji jest jednym z trzech regularnych tilings z euklidesowej płaszczyzny , i jest jedynym takim Dachówka gdzie kształty składowe nie są parallelogons . Ponieważ kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego wynosi 60 stopni, sześć trójkątów w punkcie zajmuje pełne 360 ​​stopni. Trójkątne płytki mają symbol Schläfliego {3,6}.

Conway nazywa to deltille , nazwane od trójkątnego kształtu greckiej litery delta (Δ). Trójkątne kafelki można również nazwać kishextille przez operację kis , która dodaje punkt środkowy i trójkąty w celu zastąpienia ścian hextille .

Jest to jedna z trzech regularnych kafli samolotu . Pozostałe dwa to kafelki kwadratowe i sześciokątne .

Jednolite kolorystyka

Dwujednolita dachówka trójkątna, 4 kolorowe trójkąty, odniesione do wielościanu geodezyjnego jako {3,6+} _2,0 .

Istnieje 9 wyraźnych jednolitych wybarwień trójkątnej płytki. (Nazywanie kolorów według indeksów na 6 trójkątach wokół wierzchołka: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Trzy z nich można wyprowadzić z innych, powtarzając kolory: 111212 i 111112 z 121213 przez łącząc 1 i 3, podczas gdy 111213 zmniejszono z 121314.

Istnieje jedna klasa kolorystyki Archimedesa , 111112, (oznaczona *), która nie jest jednolita, zawierająca naprzemienne rzędy trójkątów, gdzie co trzecia jest pokolorowana. Pokazany przykład jest 2-jednorodny, ale istnieje nieskończenie wiele takich wybarwień Archimedesa, które mogą być tworzone przez dowolne poziome przesunięcia rzędów.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
p6m (*632)	p3m1 (*333)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
p31m (3*3)			p3 (333)

Uszczelki kratowe i okrągłe A2

A^*
₂ krata jako trzy trójkątne płytki: + +

Układ wierzchołków trójkątnych płytek nazywany jest siatką A ₂ . Jest to dwuwymiarowy przypadek prostego plastra miodu .

A^*
₂ krata (zwana także A³
₂) może być skonstruowany przez sumę wszystkich trzech sieci A ₂ i jest równoważny sieci A ₂ .

+ + = podwójna z =

Wierzchołki trójkątnej płytki są środkami najgęstszego możliwego upakowania okręgu . Każde koło jest w kontakcie z 6 innymi kręgami w opakowaniu ( pocałunek numer ). Gęstość upakowania wynosi π ⁄ √ 12 lub 90,69%. Komórka Voronoi trójkątnego kafli jest sześciokąt , a więc teselacji Voronoi , heksagonalnej kafli, ma bezpośredni Korespondencja opakowaniach okręgu.

Wariacje geometryczne

Trójkątne kafelki mogą być tworzone z równoważną topologią {3,6} jak zwykłe kafelkowanie (6 trójkątów wokół każdego wierzchołka). Z identycznymi ścianami ( face-transitivity ) i wierzchołkami-transitivity , istnieje 5 odmian. Podana symetria zakłada, że ​​wszystkie twarze mają ten sam kolor.

• 

  
  Symetria trójkąta skali p2

• 

  
  Symetria pmg trójkąta skalistego

• 

  Symetria
  cmm trójkąta równoramiennego

• 

  
  Symetria cmm trójkąta prostokątnego

• 

  
  Symetria trójkąta równobocznego p6m

Powiązane wielościany i płytki

Planarne kafelki są spokrewnione z wielościanami . Umieszczenie mniejszej liczby trójkątów na wierzchołku pozostawia lukę i pozwala na złożenie go w piramidę . Można je rozszerzyć do brył platońskich : pięć, cztery i trzy trójkąty na wierzchołku definiują odpowiednio dwudziestościan , ośmiościan i czworościan .

To kafelkowanie jest topologicznie powiązane jako część sekwencji wielościanów foremnych z symbolami Schläfliego {3,n}, kontynuując w płaszczyźnie hiperbolicznej .

* n 32 mutacja symetrii regularnych płytek: {3, n } v T mi
Kulisty				Euklidesa.	Kompaktowy hiper.		Parako.	Niekompaktowy hiperboliczny
3,3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i

Jest również powiązany topologicznie jako część sekwencji brył katalońskich o konfiguracji ścian Vn.6.6, a także kontynuuje w płaszczyźnie hiperbolicznej.

V3.6.6

V4.6.6

V5.6.6

V6.6.6

V7.6.6

Konstrukcje Wythoff z płytek sześciokątnych i trójkątnych

Podobnie jak w przypadku jednolitych wielościanów, istnieje osiem jednolitych płytek, które mogą być oparte na regularnych sześciokątnych płytkach (lub podwójnych trójkątnych płytkach).

Rysując płytki pokolorowane na czerwono na oryginalnych ścianach, żółte na oryginalnych wierzchołkach i niebieskie na oryginalnych krawędziach, jest 8 form, z których 7 jest odmiennych topologicznie. ( Płytka w kształcie trójkąta ściętego jest topologicznie identyczna z płytką sześciokątną.)

Jednolite płytki sześciokątne/trójkątne
Domeny podstawowe	Symetria : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Konfig.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Płytki o symetrii trójkątnej v T mi
Wythoff	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
Coxeter
Rysunek wierzchołka obrazu	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Powiązane regularne złożone apeirogony

Istnieją 4 regularne złożone apeirogony , dzielące wierzchołki trójkątnej płytki. Regularne złożone apeirogony mają wierzchołki i krawędzie, gdzie krawędzie mogą zawierać 2 lub więcej wierzchołków. Regularne apeirogony p { q } r są ograniczone przez: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Krawędzie mają p wierzchołków, a figury wierzchołków są r -kątne.

Pierwsza składa się z dwóch krawędzi, kolejne dwie to krawędzie trójkątne, a ostatnia ma zachodzące na siebie sześciokątne krawędzie.

2 {6} 6 lub	3{4}6 lub	3 {6} 3 lub	6{3}6 lub

Inne trójkątne płytki

Istnieją również trzy płytki Laves wykonane z jednego rodzaju trójkątów:

Kisrhombille 30°-60°-90° trójkąty prostokątne

Kisquadrille 45 °-45 °-90 ° trójkąty prostokątne

Kisdeltile 30°-30°-120° trójkąty równoramienne

Zobacz też

• Trójkątne płytki o strukturze plastra miodu
• Simplectic o strukturze plastra miodu
• Kafelki regularnych wielokątów
• Lista jednolitych płytek
• Isogrid (projekt konstrukcyjny z wykorzystaniem trójkątnych płytek)

Bibliografia

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3 wydanie, 1973), wydanie Dover, ISBN  0-486-61480-8 s. 296, Tabela II: Regularne plastry miodu
• Grünbaum, Branko i Shephard, GC (1987). Kafelki i wzory . Nowy Jork: WH Freeman. Numer ISBN 0-7167-1193-1.(Rozdział 2.1: Regularne i jednolite kafelki , s. 58-65, rozdział 2.9 Archimedesowe i jednolite kolorystyki, s. 102-107)
• Williams, Robert (1979). Geometryczne podstawy struktury naturalnej: źródłowa księga projektowania . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p35
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie rzeczy 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Siatka trójkątna” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Teselacja regularna” . MatematykaŚwiat .
  • Weisstein, Eric W. „Jednolita teselacja” . MatematykaŚwiat .
• Klitzing, Richard. "Dachówki euklidesowe 2D x3o6o - trat - O2" .

v T mi Podstawowe wypukłe regularne i jednolite plastry miodu o wymiarach 2-9
Przestrzeń	Rodzina	${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {B}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {D}} _ {n-1}}$	${\ Displaystyle {\ tylda {G}} _ {2}}$/ /${\ Displaystyle {\ tylda {F}} {4}}$${\ Displaystyle {\ tylda {E}} _ {n-1}}$
E 2	Jednolite kafelki	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Sześciokątny
E 3	Jednolity wypukły plaster miodu	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Jednolity 4-plaster miodu	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-komórkowy plaster miodu
E 5	Jednolity 5-plaster miodu	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Jednolity 6-plaster miodu	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Jednolite 7-plaster miodu	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Jednolite 8-plaster miodu	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Jednolite 9-plaster miodu	{3 [10] }	δ 10	godz. 10	qδ 10
E 10	Jednolite 10-plaster miodu	{3 [11] }	δ 11	godz. 11	qδ 11
P n -1	Jednolity ( n -1)- plaster miodu	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21