600 ogniw - 600-cell

600-ogniwowy
Diagram Schlegla , wyśrodkowany na wierzchołkach (wierzchołki i krawędzie)
Rodzaj	Wypukły regularny 4-politop
Symbol Schläfli	{3,3,5}
Schemat Coxetera
Komórki	600 ( 3.3.3 )
Twarze	1200 {3}
Krawędzie	720
Wierzchołki	120
Figura wierzchołka	dwudziestościan
Wielokąt Petriego	30-gon
Grupa Coxetera	H 4 , [3,3,5], zamów 14400
Podwójny	120-ogniwowy
Nieruchomości	wypukły , izogonalny , izotoksal , izohedralny
Jednolity indeks	35

Internet

W geometrii The 600 komórek jest wypukła regularne 4-Polytope (czterowymiarowy analogiem wielościan foremny ) z symbol schläfliego {3,3,5}. Znany jest również jako C ₆₀₀ , hexacosichoron i hexacosihedroid . Jest również nazywany tetrapleksem (w skrócie „kompleks tetraedryczny”) i politetrahedronem , ograniczonym przez komórki czworościenne .

Granica 600 komórek składa się z 600 czworościennych komórek, z których 20 spotyka się w każdym wierzchołku. Razem tworzą 1200 trójkątnych ścian, 720 krawędzi i 120 wierzchołków. Jest to 4- wymiarowej analogowy z icosahedron , ponieważ ma pięć czworościanów spotkanie w każdej krawędzi, podobnie jak dwudziestościan ma pięć trójkąty spotkań na każdym wierzchołku. Jego podwójny politop to 120-komorowy .

Geometria

Komórka 600 jest piątą w sekwencji 6 wypukłych regularnych 4-politopów (według wielkości i złożoności). Można go rozłożyć na dwadzieścia pięć nakładających się instancji swojego bezpośredniego poprzednika 24-ogniwowego , ponieważ 24-ogniwowy można rozłożyć na trzy nakładające się instancje swojego poprzednika tesseract (8-ogniwowego) , a 8-ogniwowy można zdekonstruować na dwie nakładające się instancje swojego poprzednika, 16-ogniwowego .

Odwrotna procedura konstruowania każdego z nich z instancji poprzednika zachowuje promień poprzednika, ale generalnie tworzy następcę o mniejszej długości krawędzi. Długość krawędzi 24 komórek jest równa promieniowi, ale długość krawędzi 600 komórek jest ~0,618 razy większa od promienia. Promień i długość krawędzi 600 komórek są w złotym stosunku .

Regularne wypukłe 4-politopy
Grupa symetrii	4	B 4		F 4	H 4
Nazwa	5-komorowy hiper- czworościanu	16-ogniwowy hiper- ośmiościan	8-ogniwowy hiper- sześcianu	24-komorowy	600-ogniwowy hiper- icosahedron	120-ogniwowy hiper- dwunastościan
Symbol Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Schemat Coxetera
Wykres
Wierzchołki	5	8	16	24	120	600
Krawędzie	10	24	32	96	720	1200
Twarze	10 trójkątów	32 trójkąty	24 kwadraty	96 trójkątów	1200 trójkątów	720 pięciokątów
Komórki	5 czworościanów	16 czworościanów	8 kostek	24 oktaedry	600 czworościanów	120 dwunastościanów
Długi promień	1	1	1	1	1	1
Długość krawędzi	√ 5/√ 2 1,581	√ 2 ≈ 1.414	1	1	1/φ ≈ 0,618	1/√ 2 ϕ 2 ≈ 0,270
Krótki promień	1/4	1/2	1/2	√ 2/2 ≈ 0,707	1 - (√ 2/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,936	1 - (1/2 √ 3 φ) 2 ≈ 0,968
Powierzchnia	10•√ 8/3 9,428	32•√ 3/4 13,856	24	96•√ 3/4 41,569	1200•√ 3/8φ 2 ≈ 99.238	720•25+10 √ 5/8φ 4 621,9
Tom	5•5 √ 5/24 2,329	16•1/3 5.333	8	24•√ 2/3 ≈ 11.314	600•1/3 √ 8 φ 3 16,693	120•2 +/2 √ 8 φ 3 18.118
4-Zawartość	√ 5/24•(√ 5/2) 4 ≈ 0,146	2/3 ≈ 0,667	1	2	Krótkie Objętość/4 3,907	Krótkie Objętość/4 ≈ 4.385

Współrzędne

Promień jednostki Współrzędne kartezjańskie

Wierzchołki 600-komórki o promieniu jednostkowym wyśrodkowane na początku 4-przestrzeni, z krawędziami o długości 1/φ ≈ 0,618 (gdzie φ = 1 + √ 5/2≈ 1,618 jest złotym podziałem ), można podać w następujący sposób:

8 wierzchołków uzyskanych z

(0, 0, 0, ±1)

permutując współrzędne i 16 wierzchołków postaci:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

Pozostałe wierzchołki 96 są uzyskiwane poprzez nawet permutacji z

(±φ/2, ±1/2, ±φ ^-1/2, 0)

Zauważ, że pierwsze 8 to wierzchołki 16-komórki , drugie 16 to wierzchołki tesseract , a te 24 wierzchołki razem są wierzchołkami 24-komórki . Pozostałe 96 wierzchołków to wierzchołki odrzucanej 24-komórki , które można znaleźć, dzieląc każdą z 96 krawędzi innej 24-komórki (podwójnej do pierwszej) w złotym stosunku w spójny sposób.

Kiedy interpretuje się je jako kwaterniony , są to ikozjany jednostkowe .

W 24-komórce znajdują się kwadraty , sześciokąty i trójkąty, które leżą na wielkich kołach (w płaszczyznach centralnych przez cztery lub sześć wierzchołków). W komórce 600 znajduje się dwadzieścia pięć zachodzących na siebie wpisanych 24-komórek, przy czym każdy kwadrat jest unikalny dla jednej 24-komórki, każdy sześciokąt lub trójkąt jest dzielony przez dwie 24-komórki, a każdy wierzchołek jest wspólny dla pięciu 24-komórek.

Współrzędne sferyczne Hopfa

W komórce 600 znajdują się również pięciokąty i dziesięciokąty wielkiego koła (w płaszczyznach centralnych przez dziesięć wierzchołków).

Tylko krawędzie dziesięciokąta są widocznymi elementami komórki 600 (ponieważ są krawędziami komórki 600). Krawędzie innych wielokątów wielkiego koła są wewnętrznymi akordami komórki 600, które nie są pokazane w żadnym renderowaniu 600 komórek w tym artykule.

Przez symetrię przez każdy wierzchołek przechodzi równa liczba wielokątów każdego rodzaju; więc możliwe jest uwzględnienie wszystkich 120 wierzchołków jako przecięcie zbioru centralnych wielokątów tylko jednego rodzaju: dziesięciokątów, sześciokątów, pięciokątów, kwadratów lub trójkątów. Na przykład, 120 wierzchołków może być postrzegane jako wierzchołki 15 par całkowicie ortogonalnych kwadratów, które nie mają wspólnych wierzchołków, lub jako 100 podwójnych par nieortogonalnych sześciokątów, pomiędzy którymi wszystkie pary osi są ortogonalne, lub jako 144 nieortogonalne pięciokąty, z których sześć przecina się w każdym wierzchołku. Ta ostatnia pięciokątna symetria komórki 600 jest uchwycona przez zbiór współrzędnych Hopfa (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) podany jako:

({<10}π/5, {≤5}π/10, {<10}π/5)

gdzie {<10} jest permutacją dziesięciu cyfr (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) a {≤5} jest permutacją sześciu cyfr (0 1 2 3 4 5). Współrzędne 𝜉 _i oraz 𝜉 _j obejmują 10 wierzchołków dziesięciokątów wielkiego koła; Cyfry parzyste i nieparzyste oznaczają wierzchołki dwóch pięciokątów wielkiego koła wpisanych w każdy dziesięciokąt.

Struktura

Sekcje wielościenne

Wzajemne odległości wierzchołków mierzone w stopniach łuku na opisanej hipersferze mają tylko wartości 36° =π/5, 60° = π/3, 72° = 2𝜋/5, 90° = π/2, 108° = 3𝜋/5, 120° = 2𝜋/3, 144° = 4𝜋/5, a 180° = . Odchodząc od dowolnego wierzchołka V, przy 36° i 144° ma 12 wierzchołków dwudziestościanu , przy 60° i 120° 20 wierzchołków dwunastościanu , przy 72° i 108° 12 wierzchołków większego dwudziestościanu, przy 90 ° 30 wierzchołków dwudziestościanu dwudziestościanu i na koniec przy 180° wierzchołek antypodu V. Można je zobaczyć w rzutach płaszczyzny H3 Coxetera z zachodzącymi na siebie wierzchołkami pokolorowanymi.

Te wielościenne sekcje są bryłami w tym sensie, że są trójwymiarowe, ale oczywiście wszystkie ich wierzchołki leżą na powierzchni 600 komórek (są puste, a nie stałe). Każdy wielościan leży w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jako równoległy przekrój poprzeczny przez 600-komórkę (hiperpłaszczyznę). W zakrzywionej trójwymiarowej przestrzeni obwiedni granicznej 600 komórek wielościan otacza wierzchołek V w taki sam sposób, w jaki otacza własny środek. Ale jego własne centrum znajduje się we wnętrzu 600-komórki, a nie na jej powierzchni. V nie znajduje się w rzeczywistości w środku wielościanu, ponieważ jest przesunięty na zewnątrz z hiperpłaszczyzny w czwartym wymiarze, na powierzchnię 600-komórki. Zatem V jest wierzchołkiem 4-piramidy opartej na wielościanie.

Koncentryczne kadłuby
	Komórka 600 jest rzutowana w 3D przy użyciu bazy ortonormalnej. Wierzchołki są sortowane i liczone według ich normy 3D. Generowanie coraz bardziej przezroczystego kadłuba każdego zestawu norm pokazuje: 1) dwa punkty początkowe 2) dwa dwudziestościany 3) dwa dwunastościany 4) dwa większe dwudziestościany 5) i jeden dwudziestościan dwudziestościan dla łącznie 120 wierzchołków.

Akordy wierzchołków

Geometria wierzchołka komórki 600, przedstawiająca 5 regularnych wielokątów wielkich okręgów i 8 długości cięciw od wierzchołka do wierzchołka z kątami łuku. Złoty podział rządzi pierwiastkami ułamkowymi każdego innego akordu i promienistymi złotymi trójkątami, które spotykają się w środku.

120 wierzchołków jest rozmieszczonych na ośmiu różnych długościach cięciw od siebie. Te krawędzie i akordy 600-komórki są po prostu krawędziami i akordami pięciu wielokątów wielkiego koła. W porządku rosnącym są to √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 , i √ 4 .

Zauważ, że cztery hipersześcienne akordy 24-komorowego ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) występują na przemian z czterema nowymi akordami z dodatkowych wielkich okręgów 600-ogniwowych, dziesięciokątów i pięciokątów. Nowe długości pasów dźwigarów kratowych muszą pierwiastki kwadratowe frakcji, ale bardzo szczególnych frakcji podobne do złotego, w tym dwa złote sekcjach z √ 5 , jak pokazano na rysunku.

Koperty graniczne

Projekcja 3D 600-ogniwowej komórki wykonującej prosty obrót . Widoczna jest powierzchnia 3D wykonana z 600 czworościanów.

600 komórek dopełnia 24 komórek przez dodanie 96 kolejne wierzchołki, pomiędzy 24-Cell 24 wierzchołków na istniejących w efekcie dodawania dwadzieścia cztery kolejne nakładające się 24 komórek wpisane na 600 komórek. Powstała w ten sposób nowa powierzchnia jest teselacją mniejszych, liczniejszych komórek i ścian: czworościanów długości krawędzi1/φ≈ 0,618 zamiast oktaedry o długości krawędzi 1. Obejmuje krawędzie √ 1 24 komórek, które stają się niewidocznymi akordami wewnętrznymi w komórce 600, podobnie jak akordy √ 2 i √ 3 .

Projekcja 3D 24 ogniw wykonujących prosty obrót . Widoczna jest powierzchnia 3D zbudowana z 24 oktaedrów. Jest również obecny w komórce 600, ale jako niewidzialna wewnętrzna otoczka graniczna.

Ponieważ czworościany są zbudowane z krótszych krawędzi trójkątów niż oktaedry (o współczynnik 1/φ, odwrotny złoty podział), komórka 600 nie ma jednostki długości krawędzi w układzie współrzędnych jednostka-promień, tak jak robią to 24-komórki i tesserakt; w przeciwieństwie do tych dwóch, ogniwo 600 nie jest promieniowo równoboczne . Podobnie jak oni, jest ona w szczególny sposób promieniście trójkątna, ale taka, w której złote trójkąty zamiast równobocznych spotykają się w centrum.

Otoczka graniczna 600 małych czworościennych komórek owija się wokół dwudziestu pięciu otoczek 24 komórek oktaedrycznych (dodając trochę 4-wymiarowej przestrzeni w miejscach między tymi trójwymiarowymi otoczkami). Kształt tych szczelin musi być swego rodzaju ośmiościenną 4-piramidą , ale w 600-ogniwowej nie jest regularna .

Geodezja

Cięciwy wierzchołków 600-komórek są ułożone w geodezyjne wielokąty wielkiego koła pięciu rodzajów: dziesięciokąty, sześciokąty, pięciokąty, kwadraty i trójkąty.

Skoncentrowana na komórce projekcja stereograficzna 72 centralnych dziesięciokątów 600 komórek na ich wielkie koła. Każdy wielki okrąg jest podzielony na 10 łuków na przecięciach, gdzie przecina się 6 wielkich okręgów.

W √ 0.Δ = cp tworzą krawędzie 72 płaskich regularnych centralnych decagons , z których 6 przecinają się przy każdym wierzchołku. Podobnie jak ikozyddziesięciościan można podzielić na 6 środkowych dziesięciokątów (60 krawędzi = 6 × 10), tak komórkę 600 można podzielić na 72 dziesięciokąty (720 krawędzi = 72 × 10). Krawędzie 720 √ 0, dzielą powierzchnię na 1200 trójkątnych ścian i 600 czworościennych komórek: 600 komórek. Te brzegi 720 występuje w 360 równoległych parach, √ 3.Φ siebie. Podobnie jak w przypadku dziesięciokąta i dwudziestościanu dwudziestościanu, krawędzie występują w postaci złotych trójkątów, które spotykają się w środku wielokąta. 72 wielkie dziesięciokąty można podzielić na 6 zestawów po 12 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda , tak że tylko jeden dziesięciokątny wielki okrąg w każdym zestawie przechodzi przez każdy wierzchołek, a 12 dziesięciokątów w każdym zestawie osiąga wszystkie 120 wierzchołków.

W √ 1 akordy blankiet 200 centralnych sześciokątów (25 zestawów 16, każdego sześciokąta w dwóch zestawach), z których 10 przecinają się przy każdym wierzchołku (4, z każdej z pięciu 24 komórek z każdego sześciokąta w dwóch 24 komórek) . Każdy zestaw 16 sześciokątów składa się z 96 krawędzi i 24 wierzchołków jednej z 25 zachodzących na siebie wpisanych 24 komórek. W √ 1 akordy dołączyć dwa wierzchołki, które są √ 0.Δ krawędzie siebie. Każda cięciwa √ 1 jest długą średnicą połączonej z twarzą pary czworościennych komórek ( trójkątna bipiramida ) i przechodzi przez środek wspólnej ściany. Ponieważ istnieje 1200 oblicza istnieje 1200 √ 1 akordów w 600 równoległych parach, √ 3 od siebie. Heksagonalne płaszczyzny są nieortogonalne (60 stopni od siebie), ale występują jako 100 podwójnych par, w których wszystkie 3 osie jednego sześciokąta są prostopadłe do wszystkich 3 osi jego podwójnego. 200 wielkich sześciokątów można podzielić na 10 zestawów po 20 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda, tak że tylko jeden sześciokątny wielki okrąg w każdym zestawie przechodzi przez każdy wierzchołek, a 20 sześciokątów w każdym zestawie osiąga wszystkie 120 wierzchołków.

W √ 1.Δ akordy tworzą centralne 144 pięciokątów, z których 6 przecinają się przy każdym wierzchołku. W √ 1.Δ akordy uruchomić wierzchołek-do-wszystkich-drugiego wierzchołka w tych samych płaszczyznach jak 72 decagons: dwa pięciokąty są wpisane w każdym dziesięciokąta. W √ 1.Δ akordy dołączyć dwa wierzchołki, które są √ 0.Δ krawędzie siebie na geodezyjnej wielkim kole. Akordy 720 √ 1.𝚫 występują w 360 równoległych parach, √ 2.𝚽 = φ od siebie.

W √ 2 akordy wytworzeniem 450 kwadratów centralne (25 rozłączne zbiory 18), z których 15 przecinają się przy każdym wierzchołku (3, z każdej z pięciu 24 komórek). Każdy zestaw 18 kwadratów składa się z 72 √ 2 krawędzi i 24 wierzchołków jednego z 25 zachodzących na siebie wpisanych 24 komórek. W √ 2 akordy przyłączenia wierzchołków, które są trzy √ 0.Δ krawędzie siebie (i dwa √ 1 akordy siebie). Każdy √ 2 cięciwa jest długi średnica ośmiościenny komórki tylko w jednej 24-komórka. Istnieją 1800 √ 2 akordy, w 900 równoległych parach, √ 2 kawałki. 450 wielkich kwadratów (225 całkowicie ortogonalnych par) można podzielić na 15 zestawów po 30 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda, tak że tylko jeden wielki okrąg kwadratowy w każdym zestawie przechodzi przez każdy wierzchołek, a 30 kwadratów w każdym zestawie osiąga wszystkie 120 wierzchołki.

W √ 2.Φ = cp akordy tworzą nogi 720 centralnych trójkątów równoramiennych (72 zestawów 10 wpisany w każdej dziesięciokąta), z których 6 przecinają w każdym wierzchołku. Trzecia krawędź (podstawa) każdego trójkąta równoramiennego ma długość √ 3.𝚽 . W √ 2.Φ akordy uruchomić wierzchołek-do-wszystkich-trzeciego wierzchołka w tych samych płaszczyznach jak 72 decagons, łączącą wierzchołki, które są trzy √ 0.Δ krawędzie siebie na geodezyjnej wielkim kole. Istnieją różne 720 √ 2.Φ akordów w 360 równoległych parach, √ 1.Δ siebie.

W √ 3 akordy wytworzeniem 400 równobocznych trójkątów centralne (25 zestawów 32, z każdego trójkąta w dwóch zestawach), z których 10 przecinają się przy każdym wierzchołku (4, z każdej z pięciu 24 komórek z każdego trójkąta w dwóch 24 komórkach ). Każdy zestaw składa się z 32 trójkątów 96 √ 3 pasów i 24 wierzchołków jednego z 25 nakładającymi się wpisanych 24 komórek. W √ 3 akordy uruchomić wierzchołek-do-wszystkich-drugiego wierzchołka w tych samych płaszczyznach jak 200 sześciokątów: dwa trójkąty są wpisane w każdym sześcioboku. W √ 3 akordy przyłączenia wierzchołków, które są cztery √ 0.Δ krawędzie siebie (i dwa √ 1 akordy siebie na geodezyjnej dużym okręgu). Każda cięciwa √ 3 jest długą średnicą dwóch sześciennych komórek w tej samej 24 komórce. Istnieje 1200 √ 3 akordów w 600 równoległych parach, √ 1 siebie.

W √ 3.Φ molowej (przekątnych pięciokąty) tworzą nogi 720 centralnych trójkątów równoramiennych (144 zestawów 5 wpisany w każdej pięciokąt), z których 6 przecinają w każdym wierzchołku. Trzecia krawędź (podstawa) każdego trójkąta równoramiennego jest krawędzią pięciokąta o długości √ 1.𝚫 , a więc są to złote trójkąty. W √ 3.Φ akordy uruchomić wierzchołek-do-wszystkich-czwartego wierzchołka w tych samych płaszczyznach jak 72 decagons, łączącą wierzchołki, które są cztery √ 0.Δ krawędzie siebie na geodezyjnej wielkim kole. Istnieją różne 720 √ 3.Φ akordów w 360 równoległych parach, √ 0.Δ siebie.

W √ 4 akordy wystąpić 60 długich średnic (75 zestawy prostopadłych osiach 4), w 120 długi promieniach 600 komórek. W √ 4 akordy dołączyć przeciwległe wierzchołki, które są pięć √ 0.Δ krawędzie siebie na geodezyjnej wielkim kole. Istnieje 25 odrębnych, ale zachodzących na siebie zestawów o 12 średnicach, z których każdy zawiera jedną z 25 wpisanych 24 ogniw.

Suma kwadratów długości wszystkich tych odrębnych akordów komórki 600 wynosi 14 400 = 120 ² . Są to wszystkie centralne wielokąty przechodzące przez wierzchołki, ale 600-komórka ma jeden godny uwagi centralny wielokąt, który nie przechodzi przez żadne wierzchołki. Ponadto w 4-przestrzeni istnieją geodezy na 3-sferze, które w ogóle nie leżą w płaszczyznach centralnych. Istnieją geodezyjne najkrótsze ścieżki między dwoma 600-komórkowymi wierzchołkami, które są spiralne, a nie po prostu okrągłe; im odpowiadające isoclinic (przekątna) obrotów , zamiast prostych obrotów.

Wszystkie wymienione powyżej wielokąty geodezyjne leżą w płaszczyznach centralnych tylko w trzech rodzajach, z których każda charakteryzuje się kątem obrotu: płaszczyzny dziesięciokątne (π/5 od siebie), sześciokątne płaszczyzny (π/3 oprócz, również w każdej z 25 wpisanych 24 komórek) i kwadratowych płaszczyznach (π/2oprócz tego również w każdej z 75 wpisanych 16-komorowych). Te centralne płaszczyzny 600-komórki można podzielić na 4 centralne hiperpłaszczyzny (3-przestrzenie), z których każda tworzy dwudziestodwunastościan . Jest 450 wielkich kwadratów oddalonych od siebie o 90 stopni; 200 wielkich sześciokątów oddalonych od siebie o 60 stopni; i 72 wielkie dziesięciokąty oddalone od siebie o 36 stopni. Każda wielka płaszczyzna kwadratu jest całkowicie prostopadła do innej wielkiej płaszczyzny kwadratu. Każdy wielki płaszczyzny sześciokąt jest całkowicie prostopadłe do płaszczyzny, która przecina tylko dwa wierzchołki (jeden √ 4 długości średnicy): szeroki Digon samolotu. Każda wielka płaszczyzna dziesięciokątna jest całkowicie prostopadła do płaszczyzny, która nie przecina żadnych wierzchołków: wielka płaszczyzna 30-kątna .

Fibracje

Każdy zestaw podobnych wielokątów wielkich okręgów (kwadratów, sześciokątów lub dziesięciokątów) można podzielić na wiązki nie przecinających się równoległych wielkich okręgów Clifforda (30 kwadratów lub 20 sześciokątów lub 12 dziesięciokątów). Każda wiązka włókien równoległych wielkich kręgów Clifforda jest dyskretnym fibracją Hopfa, która wypełnia 600 komórkę, odwiedzając wszystkie 120 wierzchołków tylko raz. Wielokąty wielkiego koła w każdej wiązce owijają się wokół siebie, wyznaczając spiralne pierścienie komórek połączonych twarzą, które zagnieżdżają się w sobie, przechodzą przez siebie bez przecinania się z żadną wiązką i dokładnie wypełniają 600-komórkę ich rozłącznymi zestawami komórek. Różne wiązki włókien z ich pierścieniami komórkowymi wypełniają tę samą przestrzeń (komórka 600), ale ich włókna biegną równolegle do Clifforda w różnych „kierunkach”; Wielokąty wielkiego koła w różnych fibracjach nie są równoległe do Clifforda.

Dziesięciokąty

W fibrations z 600 komórek obejmuje 6 fibrations swoich wielkich decagons 72: 6 wiązek włókien o 12 wielkich decagons. Każda wiązka włókien wyznacza 20 spiralnych pierścieni po 30 czworościennych komórek każdy, z pięcioma pierścieniami zagnieżdżonymi razem wokół każdego dziesięciokąta. Każda komórka czworościenna zajmuje tylko jeden pierścień komórkowy w każdym z 6 fibracji. Komórka czworościenna wnosi każdy ze swoich 6 krawędzi do dziesięciokąta w innym włóknieniu, ale wnosi tę krawędź do pięciu odrębnych pierścieni komórkowych we włóknieniu.

Sześciokąty

W fibrations z 24 komórek obejmują 4 fibrations swoich wielkich sześciokątów 16: 4 wiązek włókien o 4 Wielkiej sześciokątów. Każda wiązka włókien wyznacza 4 spiralne pierścienie po 6 komórek oktaedrycznych każdy, z trzema pierścieniami zagnieżdżonymi razem wokół każdego sześciokąta. Każda komórka oktaedryczna zajmuje tylko jeden pierścień komórkowy w każdym z 4 fibracji. Komórka oktaedryczna przyczynia się do 3 ze swoich 12 krawędzi w 3 różnych równoległych sześciokątach Clifforda w każdym fibracji, ale każda krawędź przyczynia się do trzech odrębnych pierścieni komórkowych w fibracji. 600-komórka zawiera 25 24-komórek i może być postrzegana jako związek 5 rozłącznych 24-komórek. Ma 10 włókien z 200 wielkich sześciokątów: 10 wiązek włókien po 20 wielkich sześciokątów. Każda wiązka włókien wyznacza 20 spiralnych pierścieni po 6 komórek oktaedrycznych każdy, z trzema pierścieniami zagnieżdżonymi razem wokół każdego sześciokąta. Każda komórka oktaedryczna zajmuje tylko jeden pierścień komórkowy w każdym z 10 fibracji.

Kwadraty

W fibrations z 16 komórek obejmują 3 fibrations swoich wielkich kwadratów 6: 3 wiązek włókien, z 2 wielkich kwadratów. Każda wiązka włókien wyznacza 2 spiralne pierścienie po 8 czworościennych komórek każdy. Każda komórka czworościenna zajmuje tylko jeden pierścień komórkowy w każdym z 3 fibracji. Komórka czworościenna wnosi każdy ze swoich 6 krawędzi do kwadratu w innym rozwłóknieniu, ale wnosi tę krawędź do obu dwóch odrębnych pierścieni komórkowych w rozwłóknieniu. 600-komórka zawiera 75 16-komórek i może być postrzegana jako związek 15 rozłącznych 16-komórek. Ma 15 fibracji z 450 wielkich kwadratów: 15 wiązek włókien po 30 wielkich kwadratów. Każda wiązka włókien wyznacza 150 spiralnych pierścieni po 8 czworościennych komórek każdy. Każda komórka czworościenna zajmuje tylko jeden pierścień komórkowy w każdym z 15 fibracji.

Ramki referencyjne

Ponieważ każda 16-komórka stanowi ortonormalną podstawę wyboru współrzędnej ramki odniesienia , fibracje różnych 16-komórek mają różne naturalne ramki odniesienia. 15 fibracji wielkich kwadratów w komórce 600 odpowiada 15 naturalnym ramkom odniesienia komórki 600. Jedna lub więcej z tych ramek odniesienia jest naturalna dla każdego fibracji 600-ogniwowej. Każde rozwłóknienie wielkich sześciokątów ma trzy (równie naturalne) z tych ramek odniesienia (ponieważ 24-ogniwo ma 3 16-ogniwowe); każde rozwłóknienie wielkich dziesięciokątów ma wszystkie 15 (ponieważ 600-komórka ma 15 rozłącznych 16-komórek).

Równoległe pierścienie komórkowe Clifforda

Gęsto upakowane spiralne pierścienie komórkowe z fibracji są rozłączne między komórkami, ale mają wspólne wierzchołki, krawędzie i ściany. Każde rozwłóknienie ogniwa 600 może być postrzegane jako gęste upakowanie pierścieni komórkowych z odpowiednimi powierzchniami sąsiednich pierścieni komórkowych połączonych ze sobą czołowo. To samo rozwłóknienie może być również postrzegane jako minimalny, rzadki układ mniejszej liczby całkowicie rozłącznych pierścieni komórkowych, które w ogóle się nie stykają.

Fibracje wielkich dziesięciokątów można zobaczyć (na pięć różnych sposobów) jako 4 całkowicie rozłączne czworościenne pierścienie komórkowe z oddzielającymi je odstępami, a nie jako 20 pierścieni komórkowych połączonych z powierzchnią czołową, pomijając wszystkie oprócz jednego pierścienia komórkowego z pięciu, które spotykają się na każdym dziesięciobok. Pięć różnych sposobów, w jakie możesz to zrobić, jest równoważnych, ponieważ wszystkie pięć odpowiadają temu samemu dyskretnemu fibracji (w tym samym sensie, w jakim 12 fibracji po 600 komórek jest równoważnych, ponieważ wszystkie 12 pokrywają te same 600 komórek). Czterokomórkowe pierścienie nadal stanowią pełne rozwłóknienie: obejmują wszystkie 12 równoległych dziesięciokątów Clifforda, które odwiedzają wszystkie 120 wierzchołków. Ten podzbiór 4 z 20 pierścieni komórkowych jest wymiarowo analogiczny do podzbioru 12 z 72 dziesięciokątów, ponieważ oba są zestawami całkowicie rozłącznych równoległych polytopów Clifforda, które odwiedzają wszystkie 120 wierzchołków. Podzbiór 4 z 20 pierścieni komórkowych jest jednym z 5 fibracji w obrębie fibracji 12 z 72 dziesięciokątów: fibracja fibracji. Wszystkie fibracje mają tę dwupoziomową strukturę z subfibracjami .

Fibracje wielkich sześciokątów 24-ogniwowych można postrzegać (na trzy różne sposoby) jako 2 całkowicie rozłączne pierścienie komórkowe z oddzielającymi je odstępami, a nie jako 4 pierścienie komórkowe połączone twarzą, pomijając wszystkie pierścienie komórkowe z wyjątkiem jednego z trzech, które spotykają się na każdym sześciokącie. Dlatego każde z 10 fibracji wielkich sześciokątów 600 komórek może być postrzegane jako 2 całkowicie rozłączne pierścienie komórek oktaedrycznych.

Fibracje wielkich kwadratów 16-ogniwowych można zobaczyć (dwa różne sposoby) jako pojedynczy pierścień komórkowy z sąsiednim pustym miejscem wielkości pierścienia komórkowego, a nie jako 2 pierścienie komórkowe połączone powierzchniowo, pomijając jeden z dwóch pierścienie komórkowe, które spotykają się na każdym kwadracie. Dlatego każdy z 15 fibracji wielkich kwadratów 600 komórek może być postrzegany jako pojedynczy czworościenny pierścień komórkowy.

Rzadkie konstrukcje fibracji komórek 600 odpowiadają rozkładom o niższej symetrii komórek 600, 24 lub 16 z komórkami o różnych kolorach, aby odróżnić pierścienie komórek od przestrzeni między nimi. Szczególna forma 600-komórki o niższej symetrii, odpowiadająca rzadkiej budowie wielkich dziesięciokątnych fibracji, jest wymiarowo analogiczna do formy czworościanu załamanego dwudziestościanu (która jest podstawą tych fibracji na 2-sferze). Każdy z 4 całkowicie rozłącznych pierścieni komórkowych Boerdijk-Coxeter jest podnoszony z odpowiedniej powierzchni dwudziestościanu.

Konstrukcje

600-komorowy zawiera geometrie każdego wypukłego regularnego wielokąta w pierwszych czterech wymiarach, z wyjątkiem 5-komorowego, 120-komorowego i wielokątów {7} i wyższych. W związku z tym istnieje wiele sposobów na skonstruowanie lub dekonstrukcję komórki 600, ale żaden z nich nie jest trywialny. Konstrukcja 600-ogniwowego poprzednika, 24-ogniwowego, może być trudna do wizualizacji.

Budowa Gosset

Thorold Gosset odkrył półregularne 4-politopy , w tym 24-komorowy odcinek z 96 wierzchołkami, który mieści się między 24-komorowym a 600-komorowym w sekwencji wypukłych 4-politopów o rosnącym rozmiarze i złożoności w tym samym promieniu. Konstrukcja Gosseta 600-ogniwowa z 24-ogniwowej jest dwuetapowa, wykorzystując 24-ogniwową formę pośrednią. W pierwszym, bardziej złożonym etapie (opisanym w innym miejscu ) sklejka 24-ogniwowa jest konstruowana przez specjalne przycięcie 24-ogniwowej w złotych sekcjach jej krawędzi. W drugim etapie 600-ogniwo jest konstruowane w prosty sposób poprzez dodanie 4-piramid (wierzchołków) do ścianek 24-ogniwowej amortyzacji.

Odrzucona 24 komórka jest zmniejszoną 600 komórką, z której 24 wierzchołki (i skupisko 20 czworościennych komórek wokół każdego) zostały obcięte, pozostawiając „płaską” komórkę dwudziestościenną w miejscu każdej usuniętej piramidy dwudziestościennej. Zatem 24-komórka snub ma 24 komórki dwudziestościenne, a pozostałe 120 komórek czworościennych. Drugi etap konstrukcji 600-komórek według Gosseta jest po prostu odwrotnością tego zmniejszania: na każdej dwudziestościennej komórce umieszcza się piramidę dwudziestościenną złożoną z 20 komórek czworościennych.

Konstruowanie ogniwa o promieniu jednostkowym 600 z jego prekursora ogniwa o promieniu jednostkowym 24 za pomocą metody Gosseta w rzeczywistości wymaga trzech kroków. Prekursor 24-ogniwowy komórki snub-24 nie ma tego samego promienia: jest większy, ponieważ komórka snub-24 jest jej obcięciem. Zaczynając od 24-ogniwowej jednostki o promieniu jednostkowym, pierwszym krokiem jest odwrócenie jej wokół środkowej kuli w celu skonstruowania zewnętrznej podwójnej kanonicznej : większej 24-ogniwowej, ponieważ 24-ogniwowa jest samodzielna. Ta większa 24-ogniwa może zostać następnie obcięta do 24-ogniwowej jednostki o promieniu jednostkowym.

Klastry komórkowe

Ponieważ jest to tak pośrednie, konstrukcja Gosseta może nie bardzo nam pomóc w bezpośrednim zobrazowaniu, jak 600 czworościennych komórek pasuje razem do trójwymiarowej otoczki powierzchniowej lub jak leżą na leżącej pod spodem otoczce powierzchniowej komórek oktaedrycznych 24 komórek. W tym celu pomocne jest zbudowanie komórki 600 bezpośrednio ze skupisk komórek czworościennych.

Większość z nas ma trudności z wizualizacją 600-komórek z zewnątrz w 4-przestrzeni lub rozpoznaniem zewnętrznego widoku 600-komórek z powodu naszego całkowitego braku doświadczenia sensorycznego w 4-wymiarowych przestrzeniach, ale powinniśmy być w stanie wizualizować powierzchnia otoczki 600 komórek od wewnątrz, ponieważ ta objętość jest trójwymiarową przestrzenią, w której moglibyśmy „chodzić” i badać. W tych ćwiczeniach budowania 600 komórek z klastrów komórek jesteśmy całkowicie w trójwymiarowej przestrzeni, aczkolwiek dziwnie małej, zamkniętej zakrzywionej przestrzeni , w której możemy przejść zaledwie dziesięć długości krawędzi w linii prostej w dowolnym kierunek i powrót do naszego punktu wyjścia.

Ikozaedry

Regularny dwudziestościan pokolorowany w symetrii załamanego ośmiościanu . Ikosahedry w 600-komórce są połączone ze sobą na żółtych ścianach i do skupisk 5 czworościennych komórek na niebieskich ścianach. Wierzchołek piramidy dwudziestościanowej (niewidoczny) jest 13. wierzchołkiem liczącym 600 komórek wewnątrz dwudziestościanu (ale powyżej jego hiperpłaszczyzny).

Gromada 5 czworościennych komórek: cztery komórki połączone twarzą wokół piątej komórki (niewidoczne). Cztery komórki leżą w różnych hiperpłaszczyznach.

Postać wierzchołka z 600 komórek jest Dwudziestościan . Dwadzieścia czworościennych komórek spotyka się w każdym wierzchołku, tworząc dwudziestościan ostrosłupa, którego wierzchołkiem jest wierzchołek, otoczony dwudziestościanem podstawy. 600 komórek ma kąt dwuścienny zπ/3 + arccos(−1/4) ≈ 164.4775° .

Cała 600 komórka może być złożona z 24 takich dwudziestościanowych piramid (połączonych twarzą w twarz na 8 z 20 ścian dwudziestościanu, na ilustracji pokolorowanych na żółto), plus 24 skupiska 5 czworościennych komórek (cztery komórki połączone twarzą wokół jednego), które wypełniają puste przestrzenie pomiędzy ikosościanami. Każdy dwudziestościan jest połączony z każdym sąsiednim skupiskiem 5 komórek dwiema niebieskimi ścianami, które mają wspólną krawędź (która jest również jedną z sześciu krawędzi środkowego czworościanu z pięciu). Sześć skupisk po 5 komórek otacza każdy dwudziestościan, a sześć dwudziestościanów otacza każde skupisko po 5 komórek. Pięć czworościanów otacza każdą krawędź dwudziestościanu: dwie z piramidy dwudziestościan i trzy z grupy 5 komórek (z których jedna jest centralnym czworościanem pięciu).

Wierzchołki 24 piramid dwudziestościennych są wierzchołkami 24 komórek wpisanych w 600 komórek. Pozostałe 96 wierzchołków (wierzchołki dwudziestościanów) to wierzchołki wpisanej 24-komórki , która ma dokładnie taką samą strukturę jak opisane tu icosahedry i czworościany, z wyjątkiem tego, że icosahedry nie są 4-piramidami wypełnionymi przez komórki czworościenne; są to tylko „płaskie” trójwymiarowe komórki dwudziestościenne.

Pokolorowanie ikosahedrów 8 żółtymi i 12 niebieskimi twarzami można wykonać na 5 różnych sposobów. Zatem wierzchołek wierzchołka każdej piramidy dwudziestościennej jest wierzchołkiem złożonym z 5 odrębnych 24-komórek, a 120 wierzchołków zawiera 25 (nie 5) 24-komórek.

Icosahedry są połączone w geodezyjne „linii proste” przez ich przeciwległe ściany, wygięte w czwartym wymiarze w pierścień 6 piramid dwudziestościennych. Ich wierzchołki są wierzchołkami sześciokąta wielkiego koła . Ta sześciokątna geodezja przecina pierścień 12 czworościennych komórek, naprzemiennie połączonych twarzą w twarz i wierzchołkiem do wierzchołka. Długa średnica każdej połączonej twarzą pary czworościanów (każda trójkątna bipiramida ) jest krawędzią sześciokąta (krawędź 24 komórek). Istnieją 4 rozłączne zazębiające się pierścienie z 6 dwudziestościanów, tak jak w 24 komórce znajdują się 4 rozłączne zazębiające się pierścienie z 6 oktaedrów ( rozwłóknienie sześciokątne ).

Komórki czworościenne są połączone czołowo w potrójne helisy , wygięte w czwartym wymiarze w pierścienie 30 czworościennych komórek. Te trzy helisy to geodezyjne „proste linie” o 10 krawędziach: dziesięciokąty wielkiego koła, które biegną wzdłuż Clifforda równolegle do siebie. Każdy czworościan, mający sześć krawędzi, uczestniczy w sześciu różnych dziesięciokątach, a tym samym we wszystkich sześciu dziesięciokątnych fibracjach 600-komórek .

Podział 600-komórek na klastry po 20 komórek i klastry po 5 komórek jest sztuczny, ponieważ wszystkie komórki są takie same. Można zacząć od wybrania gromady piramid dwudziestościennych wyśrodkowanych na dowolnym arbitralnie wybranym wierzchołku, tak że w 600 komórce znajduje się 120 nakładających się dwudziestościanów. Każdy z ich 120 wierzchołków jest wierzchołkiem złożonym z pięciu 24-wierzchołkowych 24-komórek, więc jest 5*120/24 = 25 nakładających się 24-komórek.

Oktaedra

Jest jeszcze inny użyteczny sposób na podzielenie powierzchni 600-komorowej na 24 skupiska po 25 czworościennych komórek, które ujawniają większą strukturę i bezpośrednią budowę 600-komorowej od swojego poprzednika 24-komorowego.

Rozpocznij od dowolnego z skupisk 5 komórek (powyżej) i rozważ jego centralną komórkę jako centralny obiekt nowego większego skupiska komórek czworościennych. Komórka centralna to pierwsza sekcja komórki 600 rozpoczynająca się komórką. Otaczając go większą liczbą czworościennych komórek, możemy dotrzeć do głębszych sekcji zaczynających się od komórki.

Po pierwsze, zauważ, że skupisko 5 komórek składa się z 4 zachodzących na siebie par czworościanów połączonych twarzą ( trójkątne dipiramidy ), których długa średnica jest krawędzią 24 komórek (krawędź sześciokąta) o długości √ 1 . Sześć kolejnych trójkątnych dwupiramid mieści się we wklęsłościach na powierzchni skupiska 5, tak więc zewnętrzne cięciwy łączące jej 4 wierzchołki wierzchołkowe są również 24-komórkowymi krawędziami o długości √ 1 . Tworzą one czworościan o długości krawędzi √ 1 , który jest drugą częścią 600-komórki rozpoczynającą się od komórki. Istnieje 600 tych √ 1 czworościennych części na 600 komórek.

Gdy sześć trójkątnych dipiamidów pasuje do wklęsłości, istnieje 12 nowych komórek i 6 nowych wierzchołków oprócz 5 komórek i 8 wierzchołków pierwotnego skupienia. 6 nowych wierzchołków tworzy trzecią sekcję 600-komórki, zaczynając od komórki, ośmiościanu o długości krawędzi √ 1 , oczywiście komórki 24-komórki. Jak dotąd częściowo wypełniony (przez 17 czworościennych komórek), ten √ 1 ośmiościan ma wklęsłe ściany, do których pasuje krótka trójkątna piramida; ma taką samą objętość jak zwykła czworościenna komórka, ale ma nieregularny czworościenny kształt. Każda komórka oktaedryczna składa się z 1 + 4 + 12 + 8 = 25 komórek czworościennych: 17 regularnych komórek czworościennych plus 8 równoważnych objętościowo komórek czworościennych, z których każda składa się z 6 fragmentów jednej szóstej z 6 różnych regularnych komórek czworościennych, z których każdy obejmuje trzy sąsiadujące komórki oktaedryczne.

W ten sposób komórka o promieniu jednostkowym 600 jest skonstruowana bezpośrednio ze swojej poprzedniczki, komórki o promieniu jednostkowym 24, umieszczając na każdym z jej oktaedrycznych ścianek ściętą nieregularną ośmiościenną piramidę o 14 wierzchołkach zbudowaną (w powyższy sposób) z 25 regularnych czworościanów komórki o długości krawędzi 1/φ 0,618.

Unia dwóch tori

Istnieje jeszcze inny użyteczny sposób na podzielenie powierzchni 600 komórek na skupiska komórek czworościennych, które ujawniają większą strukturę i dziesięciokątne fibracje 600 komórek. Cała 600 komórek może być złożona z 2 pierścieni po 5 piramid dwudziestościennych, połączonych wierzchołkami w geodezyjne „linii proste”, plus 40 pierścieni po 10 komórek, które wypełniają puste przestrzenie pomiędzy ikosościanami.

100 czworościanów w szyku 10×10 tworzących granicę torusa Clifforda w komórce 600. Zidentyfikowano jego przeciwległe krawędzie, tworząc dwucylindrowy cylinder .

120 komórek może być rozłożony na dwie rozłącznego torusa . Ponieważ jest to podwójna komórka 600, ta sama podwójna struktura tori istnieje w komórce 600, chociaż jest nieco bardziej złożona. Ścieżka geodezyjna 10 komórek w komórce 120 odpowiada ścieżce dziesięciokątnej 10 wierzchołków w komórce 600.

Zacznij od złożenia pięciu czworościanów wokół wspólnej krawędzi. Ta struktura wygląda trochę jak kanciasty „latający spodek”. Ułóż dziesięć z nich, wierzchołek do wierzchołka, w stylu „naleśnik”. Wypełnij pierścieniowy pierścień między każdą parą „latających spodków” 10 czworościanami, aby utworzyć dwudziestościan. Możesz zobaczyć to jako pięć piramid dwudziestościennych ułożonych w wierzchołki , z wypełnionymi pięcioma dodatkowymi pierścieniowymi szczelinami. Powierzchnia jest taka sama, jak w przypadku dziesięciu ułożonych pięciokątnych antypryzmatów : kolumna o trójkątnej twarzy z pięciokątnym przekrojem. Wygięty w kolumnowy pierścień jest to torus składający się ze 150 komórek, dziesięciu długich krawędzi, ze 100 odsłoniętymi trójkątnymi ścianami, 150 odsłoniętymi krawędziami i 50 odsłoniętymi wierzchołkami. Ułóż kolejny czworościan na każdej odsłoniętej twarzy. Daje to nieco wyboisty torus składający się z 250 komórek z 50 podniesionymi wierzchołkami, 50 wierzchołkami doliny i 100 krawędziami doliny. Doliny są zamkniętymi ścieżkami o długości 10 krawędzi i odpowiadają innym instancjom wspomnianej powyżej dziesięciokątnej ścieżki o 10 wierzchołkach (dziesięciokąty z wielkimi okręgami). Te dziesięciokąty krążą wokół centralnego dziesięciokąta jądra, ale matematycznie wszystkie są równoważne (wszystkie leżą w płaszczyznach centralnych).

Zbuduj drugi identyczny torus składający się z 250 komórek, który łączy się z pierwszym. Stanowi to 500 komórek. Te dwa torimy łączą się razem z wierzchołkami doliny, dotykając wzniesionych wierzchołków, pozostawiając 100 czworościennych pustych przestrzeni wypełnionych pozostałymi 100 czworościanami, które łączą się na krawędziach doliny. Ten ostatni zestaw 100 czworościanów znajduje się dokładnie na granicy dwucylindra i tworzy torus Clifforda . Można je „rozwinąć” w kwadratową tablicę 10x10. Nawiasem mówiąc, struktura ta tworzy jedną warstwę czworościenną w czworościenno-oktaedrycznym plastrze miodu . Po obu stronach znajduje się dokładnie 50 wgłębień i wierzchołków „skrzyni na jajka”, które pasują do 250 komórek tori. W tym przypadku w każde wgłębienie zamiast ośmiościanu jak w plastrze miodu wpasowuje się trójkątna dwupiramida złożona z dwóch czworościanów.

Ten rozkład komórki 600 ma symetrię [[10,2 ⁺ ,10]], rząd 400, taką samą symetrię jak wielki antypryzmat . Wielki antypryzmat to tylko 600-komorowy z usuniętymi dwoma powyżej 150-komorowymi tori, pozostawiając tylko pojedynczą środkową warstwę 300 czworościanów, wymiarowo analogiczną do 10-licowego pasa dwudziestościanu z usuniętymi 5 górnymi i 5 dolnymi ścianami ( pięciokątny antygraniastosłup ).

Każda z dwóch 150-komórkowych tori zawiera 6 równoległych wielkich dziesięciokątów Clifforda (pięć wokół jednego), a dwie tori Clifforda są równoległe do siebie, więc razem tworzą kompletne rozwłóknienie 12 dziesięciokątów, które osiąga wszystkie 120 wierzchołków, pomimo wypełnienia tylko połowy 600-komórka z ogniwami.

Pojedynczy 30-tetrahedronowy pierścień helisy Boerdijka-Coxetera w 600-komórce, widoczny w projekcji stereograficznej.

Na obwodzie tego 30-kątnego rzutu ortogonalnego widać 30-tetraedrowy pierścień.

30 wierzchołków 30-komórkowego pierścienia leży na skośnej gwieździe 30-kątowej o liczbie uzwojenia 11.

600-komórkę można również podzielić na 20 rozłącznych, przeplatających się pierścieni po 30 komórek, każdy o długości dziesięciu krawędzi, tworząc dyskretne fibrację Hopfa, która wypełnia całą 600-komórkę. Te łańcuchy po 30 czworościanów każdy tworzą helisę Boerdijka-Coxetera . Oś środkowa każdej helisy to 30-kątowa geodezja, która nie przecina żadnych wierzchołków, a 30 wierzchołków 30-komórkowego pierścienia tworzy ukośną gwiazdę 30-kątową o orbicie geodezyjnej, która owija się wokół 600 komórek 11 razy. Pięć z tych 30-komórkowych helis zagnieżdża się razem i spiralnie wokół każdej z dziesięciokątnych ścieżek z 10 wierzchołkami, tworząc opisany powyżej 150-komórkowy torus. Zatem każdy wielki dziesięciokąt jest centralnym dziesięciokątem rdzenia 150-komórkowego torusa.

20 rozłącznych komórek 30-komórkowych pierścieni stanowi cztery identyczne rozłączne między komórkami 150-komórkowe tori: dwa opisane w wielkim rozkładzie antypryzmatycznym powyżej i dwa inne, które wypełniają środkową warstwę 300 czworościanów zajmowanych przez 30 10-komórkowych pierścieni w wielki rozkład antypryzmatyczny. Cztery 150-komórkowe pierścienie krążą wokół siebie i przechodzą przez siebie w taki sam sposób, jak 20 30-komórkowych pierścieni lub 12 wielkich dziesięciokątów; te trzy zestawy równoległych polytopów Clifforda są tym samym dyskretnym dziesięciokątnym fibracją 600 komórek .

Obroty

W regularnych wypukłe 4-polytopes są wyrażenie swojej podstawowej symetrii , która jest znana jako SO (4) , w grupie obrotów wokół stałej punkcie 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

600-komórka jest generowana przez izokliniczne obroty 24-komórki o 36° =π/5 (łuk o długości jednej krawędzi 600 komórek).

W 600-ogniwowej znajduje się 25 wpisanych 24-ogniw. W związku z tym istnieje również 25 z inskrypcją 24-komorową, 75 z inskrypcją tesseract i 75 z inskrypcją 16-komorową.

8-wierzchołkowa 16-komórka ma 4 długie średnice nachylone pod kątem 90° = π/2do siebie, często traktowane jako 4 osie ortogonalne lub podstawa układu współrzędnych.

24-wierzchołkowa 24-ogniwa ma 12 długich średnic nachylonych pod kątem 60° = π/3 ze sobą: 3 rozłączne zestawy 4 osi ortogonalnych, każdy zestaw zawierający średnice jednej z 3 wpisanych 16-komórek, obróconych izoklinicznie o π/3 względem siebie.

Komórka 120-wierzchołkowa 600 ma 60 długich średnic: nie tylko 5 rozłącznych zestawów po 12 średnic, z których każdy zawiera jedną z 5 wpisanych 24 komórek (jak możemy podejrzewać przez analogię), ale 25 odrębnych, ale nakładających się zestawów po 12 średnic, z których każdy składający się z jednej z 25 wpisanych 24 ogniw. W 600-komórce jest 5 rozłącznych 24-komórek, ale nie tylko 5: istnieje 10 różnych sposobów na podział 600-ogniwowego na 5 rozłącznych 24-komórek.

Podobnie jak 16-komórki i 8-komórki wpisane w 24-komórkę, 25 24-komórek wpisanych w komórkę 600 jest wzajemnie izoklinicznymi politopami . Odległość obrotowa między wpisanymi 24 komórkami jest zawsze rotacją o równym kącieπ/5 w każdej parze całkowicie ortogonalnych niezmiennych płaszczyzn obrotu.

Czterowymiarowy pierścień złożony z trzech równoległych wielkich dziesięciokątów Clifforda, wyciętych i rozłożonych płasko w trójwymiarowej przestrzeni.

Pięć 24-komórek jest rozłącznych, ponieważ są równoległe do Clifforda: odpowiadające im wierzchołki to π/5 oddzielone od dwóch nie przecinających się równoległych, dziesięciokątnych wielkich okręgów Clifforda (jak również π/5na tym samym dziesięciokątnym wielkim kole). Izokliniczny obrót płaszczyzn dziesięciokątnych oπ/5przenosi każdą 24-komórkę do rozłącznej 24-komórki (tak jak izokliniczna rotacja sześciokątnych płaszczyzn oπ/3przenosi każdą 16-ogniwową do rozłącznej 16-komorowej). Każda rotacja izokliniczna występuje w dwóch chiralnych formach: po lewej stronie każdej 24-komórki znajdują się 4 rozłączne 24-komórki, a po prawej kolejne 4 rozłączne 24-komórki . Obroty w lewo i w prawo docierają do różnych 24 komórek; dlatego każda 24-ogniwa należy do dwóch różnych zestawów pięciu rozłącznych 24-ogniw.

Wszystkie polytopy równoległe Clifforda są izokliniczne, ale nie wszystkie polytopy izokliniczne są paralelami Clifforda (całkowicie rozłączne obiekty). Każda 24-komórka jest izokliniczna, a Clifforda jest równoległa do 8 innych, a izokliniczna, ale nie Clifforda, równolegle do 16 innych. Z każdym z 16 dzieli 6 wierzchołków: sześciokątną płaszczyznę centralną. Nierozłączne 24 ogniwa są powiązane prostą rotacją przezπ/5w niezmiennej płaszczyźnie przecinającej tylko dwa wierzchołki komórki 600, obrót, w którym całkowicie ortogonalna stała płaszczyzna jest ich wspólną sześciokątną płaszczyzną centralną. Są one również powiązane rotacją izokliniczną, w której obie płaszczyzny obracają się oπ/5.

Istnieją dwa rodzaje π/5rotacje izokliniczne, które przenoszą każdą 24-komórkę do kolejnej 24-komórki. Rozłączne 24 komórki są powiązane przezπ/5rotacja izokliniczna całego rozwłóknienia 12 równoległych dziesięciokątnych niezmienniczych płaszczyzn Clifforda . (Istnieje 6 takich zestawów włókien, a w każdym zestawie możliwa jest prawa lub lewa rotacja izokliniczna, więc jest 12 takich odrębnych rotacji.) Nierozłączne 24 komórki są powiązane przezπ/5rotacja izokliniczna całego rozwłóknienia 20 równoległych sześciokątnych niezmiennych płaszczyzn Clifforda . (Jest 10 takich zestawów włókien, więc jest 20 tak wyraźnych obrotów.)

Z drugiej strony, każdy z 10 zestawów pięciu rozłącznych 24-komórek jest równoległy do ​​Clifforda, ponieważ odpowiadające mu wielkie sześciokąty są równoległe do Clifforda. (24 komórki nie mają wielkich dziesięciokątów). 16 wielkich sześciokątów w każdej 24 komórce można podzielić na 4 zestawy 4 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda , z których każdy obejmuje wszystkie 24 wierzchołki 24 komórek. 200 wielkich sześciokątów w 600-komórce można podzielić na 10 zestawów 20 nie przecinających się równoległych geodezji Clifforda , z których każdy obejmuje wszystkie 120 wierzchołków 600-ogniwowej komórki. Każdy z 10 zestawów po 20 rozłącznych sześciokątów można podzielić na pięć zestawów po 4 rozłączne sześciokąty, przy czym każdy zestaw 4 obejmuje rozłączne 24 ogniwa. Podobnie, odpowiednie wielkie kwadraty rozłącznych 24 komórek są równoległe do Clifforda.

Radialne złote trójkąty

Komórka 600 może być zbudowana promieniowo z 720 złotych trójkątów o długości krawędzi √ 0.𝚫 √ 1 √ 1, które spotykają się w środku 4-politopu, z których każdy ma dwa promienie √ 1 i krawędź √ 0, . Tworzą 1200 trójkątne piramidy swoim wierzchołkiem w części środkowej z równoboczny czworościan nieregularny √ 0.Δ zasad (Oblicza 600 komórek). Te formy 600 tetraedryczne piramidy swoim wierzchołkiem w części środkowej nieregularne 5 komórek z regularnym √ 0.Δ zasad czworościanu (komórek 600 komórek).

Jako konfiguracja

Ta macierz konfiguracji reprezentuje 600-komorową. Wiersze i kolumny odpowiadają wierzchołkom, krawędziom, ścianom i komórkom. Liczby po przekątnej mówią, ile każdego elementu występuje w całej 600 komórce. Liczby nie po przekątnej określają, ile elementów kolumny występuje w elemencie wiersza lub przy nim.

${\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} {\ zacznij {macierz} 120 i 12 i 30 i 20 \\ 2 i 720 i 5 i 5 \ \ 3 i 3 i 1200 i 2 \ \ 4 i 6 i 4 i 600 \ koniec {macierz}} \ koniec {bmatrix}}}$

Oto konfiguracja rozszerzona o k -elementy twarzy i k -figury. Liczba elementów diagonalnych to stosunek pełnego rzędu grupy Coxetera , 14400, podzielony przez rząd podgrupy z usunięciem lustra.

H 4		k - twarz	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	k -fig	Uwagi
H 3		( )	f 0	120	12	30	20	{3,5}	H 4 /H 3 = 14400/120 = 120
1 H 2		{}	f 1	2	720	5	5	{5}	H 4 /H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	1200	2	{}	H 4 /A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
3		{3,3}	f 3	4	6	4	600	( )	H 4 /A 3 = 14400/24 ​​= 600

Symetrie

W icosians to zestaw specyficzna Hamiltona quaternions w tej samej symetrii co 600 komórek. Ikozjanie leżą w złotym polu ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , gdzie osiem zmiennych jest liczbami wymiernymi . Skończone sumy 120 ikozjanów jednostkowych nazywamy pierścieniem ikozjańskim .

Kiedy interpretowane jako kwaternionów , 120 wierzchołków 600-komórki tworzą grupę w ramach mnożenia kwaternionowego. Grupa ta jest często nazywana binarną grupą dwudziestościenną i oznaczana przez 2I, ponieważ jest to podwójna osłona zwykłej grupy dwudziestościennej I . Występuje dwukrotnie w grupie symetrii obrotowej RSG komórki 600 jako podgrupa niezmiennicza , a mianowicie jako podgrupa 2I _L lewych zwielokrotnień kwaternionów i jako podgrupa 2I _R prawych zwielokrotnień kwaternionów. Każda symetria obrotowa komórki 600 jest generowana przez określone elementy 2I _L i 2I _R ; para przeciwległych elementów generuje ten sam element RSG . Centrum z RSG składa się nieobracania Id i centralnego inwersji -id . Mamy izomorfizm RSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id} . Kolejność RSG jest równa120 × 120/2 = 7200.

Binarna grupa dwudziestościenna jest izomorficzna z SL(2,5) .

Pełna grupa symetrii z 600 komórek jest grupa Weyl o H ₄ . Jest to grupa rzędu 14400. Składa się z 7200 obrotów i 7200 obrotów-odbić. Obroty tworzą niezmienną podgrupę pełnej grupy symetrii. Grupę symetrii obrotowej opisał SL van Oss.

Wyobrażanie sobie

Symetrie trójwymiarowej powierzchni komórki 600 są nieco trudne do wizualizacji ze względu zarówno na dużą liczbę komórek czworościennych, jak i na fakt, że czworościan nie ma przeciwległych ścian ani wierzchołków. Można zacząć od uświadomienia sobie, że 600-ogniwowy jest podwójny z 120-ogniwowego. Można również zauważyć, że komórka 600 zawiera również wierzchołki dwunastościanu, co z pewnym wysiłkiem można zobaczyć w większości poniższych rzutów perspektywicznych.

projekcje 2D

Rzut dziesięciokątny H3 przedstawia płaszczyznę wielokąta van Oss .

Rzuty ortogonalne przez samoloty Coxetera

H 4	-	F 4
[30] (czerwony=1)	[20] (czerwony=1)	[12] (czerwony=1)
H 3	A 2 / B 3 / D 4	A 3 / B 2
[10] (czerwony=1,pomarańczowy=5,żółty=10)	[6] (czerwony=1,pomarańczowy=3,żółty=6)	[4] (Czerwony=1,pomarańczowy=2,żółty=4)

projekcje 3D

Trójwymiarowy model 600-komorowy, znajdujący się w kolekcji Institut Henri Poincaré , został sfotografowany w latach 1934-1935 przez Man Raya i stanowił część dwóch jego późniejszych obrazów „Równanie Shakesperean”.

Pierwsza projekcja wierzchołków
	Ten obraz przedstawia rzut perspektywiczny z pierwszego wierzchołka 600-komórki w 3D. Komórka 600 jest skalowana do promienia środka wierzchołka równego 1, a punkt widzenia 4D jest umieszczony w odległości 5 jednostek. Następnie stosowane są następujące ulepszenia: 20 czworościanów spotykających się w wierzchołku najbliżej punktu obserwacji 4D jest renderowanych w jednolitym kolorze. Ich układ dwudziestościenny jest wyraźnie pokazany. Czworościany bezpośrednio sąsiadujące z tymi 20 komórkami są przeźroczyście żółte. Pozostałe komórki są renderowane w zarysie krawędzi. Komórki odwrócone od punktu widzenia 4D (te leżące po „drugiej stronie” komórki 600) zostały usunięte, aby zmniejszyć bałagan wizualny na końcowym obrazie.
Projekcja pierwsza komórka
	Ten obraz przedstawia rzut perspektywiczny na 600 komórek w perspektywie 3D. Ponownie, promień 600 komórek do środka wierzchołka równy 1 i punkt widzenia 4D są umieszczone w odległości 5 jednostek. Następnie stosowane są następujące ulepszenia: Najbliższa komórka punktu widzenia 4D jest renderowana w jednolitym kolorze, leżąc w środku obrazu projekcji. Otaczające go komórki (dzielące co najmniej 1 wierzchołek) są renderowane na przezroczysty żółty. Pozostałe komórki są renderowane w zarysie krawędzi. Komórki odwrócone od punktu widzenia 4D zostały usunięte dla przejrzystości. Ten konkretny punkt widzenia pokazuje ładny zarys 5 czworościanów dzielących krawędź, w kierunku przodu obrazu 3D.

Zsynchronizowane z ramą, prostopadłe rzuty izometryczne (po lewej) i perspektywiczne (po prawej)
Odtwórz multimedia

Zmniejszone 600 komórek

Zadarty 24 komórek mogą być uzyskane z komórek 600 poprzez usuwanie wierzchołków wpisanego 24 komórek i biorąc wypukłej pozostałych wierzchołków. Proces ten polega na wyczerpywaniu się komórki 600.

Wielki antygraniastosłup można otrzymać inną pomniejszenia do 600 komórek: usuwanie wierzchołków 20, które znajdują się na dwóch wzajemnie prostopadłych pierścieni i biorąc wypukłej pozostałych wierzchołków.

Dwu24-spadkowa komórka 600, ze wszystkimi trójzmniejszonymi komórkami dwudziestościanowymi , ma 48 wierzchołków usuniętych, pozostawiając 72 ze 120 wierzchołków z 600-komórek. Podwójna wersja 600-komórki o rozmiarze bi-24, to 600-komórka o rozmiarze tri-24, z 48 wierzchołkami i 72 komórkami sześcianu.

W sumie jest 314 248 344 zmniejszenia komórki 600 o nieprzyległe wierzchołki. Wszystkie one składają się z regularnych komórek czworościennych i dwudziestościennych.

Zmniejszone 600 komórek
Nazwa	Tri-24-smukły 600-ogniwowy	Bi-24-smukły 600-ogniwowy	Snub 24-komorowy (24-komorowy 600-komorowy)	Wielki antypryzmat (20-zmniejszony 600-ogniwowy)	600-ogniwowy
Wierzchołki	48	72	96	100	120
Figura wierzchołkowa (symetria)	podwójny trójdzielny dwudziestościan ([3], rząd 6)	czworokątny antyklin ([2] + , rząd 2)	dwudziestościan trójzmniejszony ([3], rząd 6)	dwuspadowy dwudziestościan ([2], rząd 4)	Dwudziestościan ([5,3], rozkaz 120)
Symetria	Zamów 144 (48×3 lub 72×2)		[3 + ,4,3] Zamówienie 576 (96×6)	[[10,2 + ,10]] Zamów 400 (100×4)	[5,3,3] Zamówienie 14400 (120×120)
Internet
Samolot Orto H 4
Samolot Orto F 4

Powiązane wielokąty złożone

W regularnych złożone polytopes ₃ {5}, ₃ ,i ₅ {3} ₅ ,, mają rzeczywistą reprezentację jako 600 komórek w 4-wymiarowej przestrzeni. Oba mają 120 wierzchołków i 120 krawędzi. Pierwsza ma zespoloną grupę odbić ₃ [5] ₃ , rząd 360, a druga ma symetrię ₅ [3] ₅ , rząd 600. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Regularny złożony politop w rzucie ortogonalnym płaszczyzny H 4 Coxetera
{3,3,5} Zamów 14400	3 {5} 3 Zamówienie 360	5 {3} 5 Zamówienie 600

Powiązane polytopy i plastry miodu

Komórka 600 jest jednym z 15 regularnych i jednorodnych politopów o tej samej symetrii [3,3,5]:

Politopy rodziny H 4
120-ogniwowy	rektyfikowane 120-ogniwowe	skrócony 120-ogniwowy	kantelowy 120-ogniwowy	Runcinated 120-cell	cantitruncated 120-cell	skrócony 120-komorowy	omnitrated 120-cell
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t 0,3 {5,3,3}	tr{5,3,3}	t 0,1,3 {5,3,3}	t 0,1,2,3 {5,3,3}
600-ogniwowy	rektyfikowane 600-ogniwowe	obcięte 600-komorowe	kantelowy 600-komorowy	Bitruncated 600-cell	cantitruncated 600-cell	runcitruncated 600-cell	omnitrated 600-cell
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t 0,1,3 {3,3,5}	t 0,1,2,3 {3,3,5}

Jest podobny do trzech regularnych 4-politopów : 5-komorowego {3,3,3}, 16-komorowego {3,3,4} 4-przestrzeni euklidesowej i czworościennego plastra miodu rzędu 6 {3,3, 6} przestrzeni hiperbolicznej. Wszystkie z nich mają komórki czworościenne .

{3,3,p} polytopes
Przestrzeń	S 3			H 3
Formularz	Skończone			Parakompaktowy	Niekompaktowy
Nazwa	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
Obraz
Figura wierzchołka	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Ten 4-politop jest częścią sekwencji 4-politopu i plastrów miodu z figurami wierzchołków dwudziestościanu :

{p,3,5} polytopes
Przestrzeń	S 3	H 3
Formularz	Skończone	Kompaktowy		Parakompaktowy	Niekompaktowy
Nazwa	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Obraz
Komórki	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Zobacz też

• 24-ogniwowy , poprzednik 4-politopowy, na którym oparty jest 600-ogniwowy
• 120-ogniwowy , podwójny 4-politop do 600-ogniwowego i jego następca
• Jednorodna rodzina 4-politopów o symetrii [5,3,3]
• Regularny 4-politop
• Polytope

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. "600-Cell" . MatematykaŚwiat .
• Olszewski, Jerzy. „Heksakosichoron” . Słowniczek dotyczący nadprzestrzeni . Zarchiwizowane z oryginału w dniu 4 lutego 2007 r.
  • Wypukła jednolita polichora oparta na hekatonikozachronie (120 komórek) i heksakosichoronie (600 komórek) - Model 35 , George Olshevsky.
• Klitzing, Richard. „Polytopy jednolite 4D (polichora) x3o3o5o - ex” .
• Der 600-Zeller (600-cell) Regular polytopes Marco Möllera w R ⁴ (niemiecki)
• 600-Cell wierzchołek wyśrodkowany rozszerzenie 600 komórce