Podstawowa domena - Fundamental domain

Mając daną przestrzeń topologiczną i działającą na nią grupę , obrazy pojedynczego punktu pod akcją grupową tworzą orbitę akcji. Podstawowym domeny lub regionu podstawowym jest podzbiorem przestrzeni, która zawiera dokładnie jeden punkt z każdej z tych orbit. Służy jako geometryczna realizacja dla abstrakcyjnego zbioru przedstawicieli orbit.

Istnieje wiele sposobów na wybór podstawowej domeny. Zazwyczaj wymagana jest domena podstawowa, aby była połączonym podzbiorem z pewnymi ograniczeniami na jej granicach, na przykład gładka lub wielościenna. Następnie obrazy wybranej podstawowej domeny w ramach akcji grupowej układają się w przestrzeń. Jedna ogólna konstrukcja domen podstawowych wykorzystuje komórki Voronoi .

Wskazówki dotyczące ogólnej definicji

Krata w płaszczyźnie zespolonej i jej dziedzina podstawowa, z ilorazem torusa.

Biorąc pod uwagę działania z grupy G na przestrzeni topologicznej X przez homeomorfizmów , podstawowym domeny dla tego działania jest zbiór D przedstawicieli do orbit. Zazwyczaj wymaga się, aby był to dość ładny zestaw topologicznie, na jeden z kilku precyzyjnie określonych sposobów. Jednym z typowych warunków jest to, że D jest prawie zbiorem otwartym, w tym sensie, że D jest symetryczną różnicą zbioru otwartego w X ze zbiorem miary zero , dla pewnej miary (quasi)niezmiennej na X . Domena fundamentalna zawsze zawiera swobodny zbiór regularny U , zbiór otwarty przemieszczany przez G w rozłączne kopie i prawie tak dobry jak D w reprezentowaniu orbit. Często wymaga się, aby D był kompletnym zestawem reprezentantów coset z pewnymi powtórzeniami, ale powtarzana część ma miarę zero. Jest to typowa sytuacja w teorii ergodycznej . Jeśli podstawową domena jest używana do obliczenia całkę na X / G , zbiory miary zero nie mają znaczenia.

Na przykład, gdy X jest przestrzenią euklidesową R ⁿ wymiaru n , a G jest siecią Z ⁿ działającą na nią poprzez translacje, iloraz X / G jest n- wymiarowym torusem . Za podstawową dziedzinę D można przyjąć, że jest to [0,1) ⁿ , które różni się od zbioru otwartego (0,1) ⁿ zbiorem miary zero, lub domknięty sześcian jednostkowy [0,1] ⁿ , którego granica składa się z punktów, których orbita ma więcej niż jednego przedstawiciela w D .

Przykłady

Przykłady w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ³ .

• dla n- krotnego obrotu: orbita jest albo zbiorem n punktów wokół osi, albo pojedynczym punktem na osi; podstawową domeną jest sektor
• dla odbicia na płaszczyźnie: orbita jest albo zbiorem 2 punktów, po jednym z każdej strony płaszczyzny, albo pojedynczym punktem na płaszczyźnie; podstawową domeną jest półprzestrzeń ograniczona tą płaszczyzną
• dla odbicia w punkcie: orbita jest zbiorem 2 punktów, po jednym z każdej strony środka, z wyjątkiem jednej orbity składającej się tylko ze środka; domena podstawowa to półprzestrzeń ograniczona dowolną płaszczyzną przechodzącą przez środek
• dla obrotu o 180° wokół linii: orbita jest albo zbiorem 2 punktów naprzeciw siebie względem osi, albo pojedynczym punktem na osi; domeną podstawową jest półprzestrzeń ograniczona dowolną płaszczyzną przechodzącą przez linię
• dla dyskretnej symetrii translacyjnej w jednym kierunku: orbity są translacją sieci jednowymiarowej w kierunku wektora translacji; podstawową domeną jest nieskończona płyta
• dla dyskretnej symetrii translacyjnej w dwóch kierunkach: orbity są przemieszczeniami sieci 2D w płaszczyźnie przez wektory translacji; podstawową dziedziną jest nieskończony pręt o przekroju równoległobocznym
• dla dyskretnej symetrii translacyjnej w trzech kierunkach: orbity są translacjami sieci; podstawową domeną jest komórka pierwotna, którą jest np. równoległościan lub komórka Wignera-Seitza , zwana również komórką /diagramem Voronoi .

W przypadku symetrii translacyjnej połączonej z innymi symetriami, domena podstawowa jest częścią komórki pierwotnej. Na przykład w przypadku grup tapet domena podstawowa jest o współczynnik 1, 2, 3, 4, 6, 8 lub 12 mniejsza niż komórka pierwotna.

Podstawowa domena dla grupy modularnej

Każdy trójkątny region jest swobodnym regularnym zbiorem H/Γ; szara (z trzecim punktem trójkąta w nieskończoności) jest kanoniczną domeną podstawową.

Diagram po prawej pokazuje część konstrukcji podstawowej dziedziny działania grupy modułowej Γ na górnej półpłaszczyźnie H .

Ten słynny diagram pojawia się we wszystkich klasycznych książkach o funkcjach modułowych . (To był prawdopodobnie dobrze znane CF Gauss , który zajmował się podstawowych domen w przebraniu do redukcji teorii z form kwadratowych ). Tutaj każdy region trójkątny (ograniczony przez niebieskie linie) jest wolny regularny zestaw z działaniem y na H . Granice (niebieskie linie) nie są częścią darmowych regularnych zestawów. Aby skonstruować podstawową dziedzinę H /Γ, należy również zastanowić się, jak przypisać punkty na granicy, uważając, aby nie liczyć takich punktów podwójnie. Tak więc darmowy regularny zbiór w tym przykładzie to

${\ Displaystyle U = \ lewo \ {z \ w H: \ lewo | z \ prawo | > 1 \ \ lewo | \ {\ mbox {Re}} (z) \ \ prawo | < {\ Frac {1}{2}}\prawo\}.}$

Podstawowa domena jest budowana przez dodanie granicy po lewej stronie plus połowa łuku na dole, w tym punkt pośrodku:

${\ Displaystyle D = U \ filiżanka \ lewo \ {z \ w H: \ lewo | z \ prawo | \ geq 1 \ {\ mbox {Re}} (z) = {\ Frac {-1} {2 }}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,{\frac {-1}{2}}<{\mbox{Re}}(z )\leq 0\prawo\}.}$

Wybór punktów granicznych, które należy uwzględnić jako część podstawowej domeny, jest arbitralny i różni się w zależności od autora.

Podstawowa trudność w zdefiniowaniu dziedziny fundamentalnej polega nie tyle na definicji zbioru per se , ile raczej na tym, jak traktować całki po domenie fundamentalnej podczas całkowania funkcji z biegunami i zerami na granicy tej dziedziny.

Zobacz też

• Bezpłatny zwykły zestaw
• Wielokąt podstawowy
• Strefa Brillouina
• Podstawowa para okresów
• Produkt wewnętrzny Peterssona
• Sąsiedztwo guzka

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Domena podstawowa” . MatematykaŚwiat .