Szeregi geometryczne - Geometric series

Szereg geometryczny 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... pokazany jako obszary fioletowych kwadratów. Każdy z fioletowych kwadratów ma 1/4 powierzchni następnego większego kwadratu (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16 itd.). Suma pól fioletowych kwadratów to jedna trzecia pola dużego kwadratu.

Kolejny szereg geometryczny (współczynnik a = 4/9 i wspólny stosunek r = 1/9) pokazany jako obszary fioletowych kwadratów. Całkowity fioletowy obszar to S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, co można potwierdzić obserwując, że zewnętrzny kwadrat jest podzielony na nieskończoną liczba obszarów w kształcie litery L, każdy z czterema fioletowymi kwadratami i czterema żółtymi kwadratami, które są w połowie fioletowe.

W matematyce , A geometryczny szereg jest sumą nieskończonej liczby warunków , które mają stały stosunek pomiędzy kolejnymi warunkach. Na przykład seria

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\+\{\ frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

jest geometryczny, ponieważ każdy kolejny wyraz można otrzymać mnożąc wyraz poprzedni przez 1/2. Ogólnie szereg geometryczny jest zapisywany jako a + ar + ar ² + ar ³ + ... , gdzie a jest współczynnikiem każdego składnika, a r jest wspólnym stosunkiem między sąsiednimi składnikami. Szeregi geometryczne należą do najprostszych przykładów szeregów nieskończonych i mogą służyć jako podstawowe wprowadzenie do szeregów Taylora i szeregów Fouriera . Szeregi geometryczne odegrały ważną rolę we wczesnym rozwoju rachunku różniczkowego , są używane w matematyce i mają ważne zastosowania w fizyce , inżynierii , biologii , ekonomii , informatyce , teorii kolejek i finansach .

Różnica między progresją a serią polega na tym, że progresja jest sekwencją, podczas gdy seria jest sumą.

Współczynnik a

Pierwszych dziewięć wyrazów szeregu geometrycznego 1 + r + r ² + r ³ ... narysowanych jako funkcje (pokolorowane w kolejności czerwony, zielony, niebieski, czerwony, zielony, niebieski, ...) w zakresie -1 < r < 1. Zamknięta forma szeregu geometrycznego 1 / (1 - r ) jest czarną linią przerywaną.

Szereg geometryczny a + ar + ar ² + ar ³ + ... jest zapisany w rozwiniętej formie. Każdy współczynnik w szeregu geometrycznym jest taki sam. Natomiast szereg potęgowy zapisany jako a ₀ + a ₁ r + a ₂ r ² + a ₃ r ³ + ... w rozszerzonej formie ma współczynniki a _i, które mogą się różnić w zależności od wyrazu. Innymi słowy, szereg geometryczny jest szczególnym przypadkiem szeregu potęgowego. Pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego w rozwiniętej postaci jest współczynnik a tego szeregu geometrycznego.

Oprócz rozszerzonej postaci szeregu geometrycznego istnieje forma generatora szeregu geometrycznego zapisana jako

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty}}$ ar ^k

oraz zamknięta forma szeregu geometrycznego zapisana jako

a / (1 - r ) w zakresie | r | < 1.

Wyprowadzenie formy zamkniętej z formy rozwiniętej jest pokazane w sekcji Suma tego artykułu . Wyprowadzenie wymaga, aby wszystkie współczynniki szeregu były takie same (współczynnik a) w celu wykorzystania samopodobieństwa i zredukowania nieskończonej liczby dodawania i operacji potęgowych w postaci rozszerzonej do pojedynczego odejmowania i pojedynczego dzielenia w zamknięty formularz. Jednak nawet bez tej pochodnej, wynik może być potwierdzone z długim podziału : podzielona przez (1 - r ) powoduje + ar + ar ² + ar ³ + ..., która jest w stanie rozwiniętym w geometrycznym.

Zazwyczaj szereg geometryczny jest traktowany jako suma liczb a + ar + ar ² + ar ³ + ... ale może być również traktowany jako suma funkcji a + ar + ar ² + ar ³ + ... które jest zbieżny do funkcji a / (1 - r ) w zakresie |r| < 1. Na sąsiednim rysunku pokazano udział każdego z pierwszych dziewięciu składników (tj. funkcji) w funkcji a / (1 - r ) w zakresie | r | < 1, gdy a = 1. Zmiana choćby jednego ze współczynników na inny niż współczynnik a (oprócz zmiany szeregu geometrycznego na szereg potęgowy) zmieniłaby wynikową sumę funkcji na funkcję inną niż a / (1 - r ) w zakresie | r | < 1. Na marginesie, szczególnie użyteczną zmianę współczynników definiuje szereg Taylora , który opisuje, jak zmienić współczynniki tak, aby suma funkcji zbiegała się do dowolnej wybranej przez użytkownika, wystarczająco gładkiej funkcji w zakresie.

Wspólny stosunek r

Zbieżność szeregu geometrycznego z r =1/2 i a =1/2

Zbieżność szeregu geometrycznego z r =1/2 i a =1

Widok zbliżenia skumulowanej sumy funkcji z zakresu -1 < r < -0,5 jako dodanych pierwszych 11 wyrazów szeregu geometrycznego 1 + r + r ² + r ³ + .... Szereg geometryczny 1 / (1 - r ) to czerwona linia przerywana.

Odtwórz multimedia

Złożone szeregi geometryczne (współczynnik a = 1 i wspólny stosunek r = 0,5 e ^{iω ₀ t} ) zbieżne do okręgu. W animacji każdy wyraz serii geometrycznej jest rysowany jako wektor dwukrotnie : raz w punkcie początkowym i ponownie w ramach sumowania wektorów głowa-ogon, które zbiegają się do okręgu. Okrąg przecina oś rzeczywistą w punkcie 2 (= 1/(1-1/2), gdy θ = 0) i 2/3 (= 1/(1-(-1/2)) gdy θ = 180 stopni).

Szereg geometryczny a + ar + ar ² + ar ³ + ... jest szeregiem nieskończonym zdefiniowanym przez tylko dwa parametry : współczynnik a i wspólny stosunek r . Wspólny stosunek r to stosunek dowolnego terminu do poprzedniego terminu w szeregu. Lub równoważnie, wspólny stosunek r jest mnożnikiem wyrazu używanym do obliczenia następnego wyrazu w szeregu. Poniższa tabela przedstawia kilka szeregów geometrycznych:

Zbieżność szeregu geometrycznego zależy od wartości wspólnego stosunku r :

• Jeżeli | r | <1, warunki serii podejście do zera na granicy (coraz mniejsze i mniejsze wielkości ) i zbiega szeregowo do sumy A / (1 - R ).
• Jeżeli | r | = 1, szereg nie jest zbieżny. Gdy r = 1, wszystkie wyrazy szeregu są takie same i szereg jest nieskończony. Gdy r = -1, terminy przyjmują na przemian dwie wartości (na przykład 2, -2, 2, -2, 2,... ). Suma terminów oscyluje między dwiema wartościami (na przykład 2, 0, 2, 0, 2,... ). To inny rodzaj rozbieżności. Zobacz na przykład szeregi Grandiego : 1 − 1 + 1 − 1 + ···.
• Jeżeli | r | > 1, terminy serii stają się coraz większe. Suma wyrazów również staje się coraz większa, a szereg nie zbiega się do sumy. (Seria się rozchodzi .)

Tempo zbieżności zależy również od wartości wspólnego ilorazu r . W szczególności tempo zbieżności zmniejsza się, gdy r zbliża się do 1 lub -1. Na przykład ciąg geometryczny z a = 1 to 1 + r + r ² + r ³ + ... i jest zbieżny do 1 / (1 - r ), gdy | r | < 1. Jednak liczba wyrazów potrzebnych do zbieżności zbliża się do nieskończoności, gdy r zbliża się do 1, ponieważ a / (1 - r ) zbliża się do nieskończoności, a każdy wyraz szeregu jest mniejszy lub równy jeden. W przeciwieństwie do tego, gdy r zbliża się do -1, suma pierwszych kilku wyrazów szeregu geometrycznego zaczyna być zbieżna do 1/2, ale nieznacznie odwraca się w górę lub w dół w zależności od tego, czy ostatnio dodany wyraz ma potęgę r, która jest parzysta czy nieparzysta . To zachowanie odwracania w pobliżu r = -1 jest zilustrowane na sąsiednim obrazie przedstawiającym pierwszych 11 wyrazów szeregu geometrycznego z a = 1 i | r | < 1.

Wspólny stosunek r i współczynnik a określają również postęp geometryczny , który jest listą wyrażeń szeregu geometrycznego, ale bez dodatków. Dlatego ciąg geometryczny a + ar + ar ² + ar ³ + ... ma ciąg geometryczny (zwany również ciągiem geometrycznym) a , ar , ar ² , ar ³ , ... Postęp geometryczny - tak prosty jak to jest - modeluje zaskakującą liczbę zjawisk przyrodniczych ,

• z niektórych z największych obserwacji, takich jak rozszerzanie się wszechświata, gdzie wspólny stosunek r jest zdefiniowany przez stałą Hubble'a ,
• do niektórych najmniejszych obserwacji, takich jak rozpad radioaktywnych atomów węgla-14, gdzie wspólny stosunek r jest określony przez okres półtrwania węgla-14 .

Na marginesie, wspólny stosunek r może być liczbą zespoloną, taką jak | r |e ^{ja θ} gdzie | r | jest przez nosiciela „s wielkości (lub długości) θ jest kąt nosiciela (lub orientacji) w płaszczyźnie zespolonej i ² = 1. Ze wspólnym stosunkiem | r |e ^{i θ} , rozwinięta forma szeregu geometrycznego to a + a | r |e ^{i θ} + a | r | ² e ^{i2 θ} + a | r | ³ e ^{i3 θ} + ... Modelując kąt θ jako liniowo rosnący w czasie z szybkością pewnej częstotliwości kątowej ω ₀ (innymi słowy, dokonując podstawienia θ = ω ₀ t ), rozwinięta postać szeregu geometrycznego staje się + a | r |e ^{i ω ₀ t} + a | r | ² e ^{i2 ω ₀ t} + a | r | ³ e ^{i3 ω ₀ t} + ... , gdzie pierwszy wyraz jest wektorem o długości a w ogóle nie obracającym się, a wszystkie pozostałe wyrazami są wektorami o różnych długościach obracającymi się z harmonicznymi podstawowej częstotliwości kątowej ω ₀ . Ograniczenie | r |<1 wystarczy, aby skoordynować tę nieskończoną liczbę wektorów o różnych długościach, z których wszystkie obracają się z różnymi prędkościami, tworząc okrąg, jak pokazano na sąsiednim filmie. Podobnie jak szereg Taylora opisuje jak zmienićwspółczynniki tak, aby szereg zbiegał do wybranej przez użytkownika funkcji wystarczająco gładkiej w zakresie, szereg Fouriera opisuje jak zmienićwspółczynniki (które mogąbyćrównież liczbami zespolonymi w celu określenia kątów początkowych wektorów), aby szereg zbiegał się do wybranej przez użytkownika funkcji okresowej .

Suma

Formuła zamknięta

Oferując inną perspektywę niż dobrze znane wyprowadzenie algebraiczne podane w sąsiedniej sekcji, poniżej znajduje się geometryczne wyprowadzenie formy zamkniętej szeregu geometrycznego. W skrócie, to wyprowadzenie geometryczne przedstawia terminy szeregu geometrycznego jako obszary nakładających się kwadratów, a celem jest przekształcenie tych nakładających się kwadratów w łatwy do obliczenia obszar niepokrywający się. Punktem wyjścia jest suma częściowa S = r ^m + r ^m+1 + ... + r ^n-1 + r ⁿ gdy m < n i wspólny stosunek r > 1. Każdy wyraz szeregu r ⁱ jest reprezentowany przez obszar nakładającego się kwadratu obszaru _Ai, który można przekształcić w niezachodzący na siebie obszar w kształcie litery L L _i = A _i - A _i-1 lub równoważnie L _i+1 = A _i+1 - _Ai . Ponieważ jest to szereg geometryczny, A _i+1 = r A _i . Dlatego L _i+1 = A _i+1 - A _i = (r - 1) A _i , lub A _i = L _i+1 / ( r - 1). Mówiąc słownie, każdy kwadrat nakłada się, ale można go przekształcić w nienachodzący na siebie obszar w kształcie litery L przy następnym większym kwadracie (następna potęga r ) i przeskalowany o 1 / ( r - 1) tak, aby transformacja z nakładającego się kwadratu na nie -zachodzący na siebie obszar w kształcie litery L zachowuje ten sam obszar. Dlatego suma S = A _m + A _m+1 + ... + A _n-1 + A _n = (L _m+1 + L _m+2 + ... + L _n + L _n+1 ) / ( r - 1). Zauważże niezachodzące na siebie obszary w kształcie litery L od obszaru w kształcie litery L m + 1 do obszaru w kształcie litery L n + 1 stanowią podział niezachodzącego na siebie kwadratu A _n+1 minus prawe górne wycięcie kwadratowe A _m (ponieważ istnieje nie ma nakładających się mniejszych kwadratów, które mają zostać przekształcone w to wycięcie obszaru A _m ). Dlatego zastąpienie A _i = r ⁱ i przeskalowanie wszystkich wyrazów przez współczynnik a daje w wyniku ogólną, zamkniętą formę, szereg geometryczny S = ( r ⁿ⁺¹ - r ^m ) a / ( r - 1) gdy m < n i r > 1. Chociaż powyższy dowód geometryczny zakłada r > 1, można wykazać, że ten sam wzór formy zamkniętej ma zastosowanie do dowolnej wartości r z możliwym wyjątkiem r = 0 (w zależności od tego, jak zdecydujesz się zdefiniować zero do potęgi zero ). Na przykład dla przypadku r = 1, S = (1 ⁿ⁺¹ - 1 ^m ) a / (1 - 1) = 0 / 0. Jednak zastosowanie reguły L'Hôpitala daje wynik S = (n + 1 - m ) a gdy r = 1. Dla przypadku 0 < r < 1, zacznij od S = ( r ⁿ⁺¹ - r ^m ) a / ( r - 1) gdy m < n, r > 1 i niech m = - ∞ i n = 0, więc S = ar / ( r - 1) gdy r > 1. Dzielenie licznika i mianownika przez r daje S = a / (1 - (1/ r )) gdy r > 1, co jest równoważne S = a / (1 - r ) gdy 0 < r < 1, ponieważ odwrócenie r odwraca kolejność szeregu (od największego do najmniejszego zamiast od najmniejszego do największego), ale nie zmienia sumy. Zakres 0 < r < 1 można rozszerzyć do zakresu -1 < r < 1 stosując wyprowadzony wzór S = a / (1 - r ) gdy 0 < r < 1, oddzielnie dla dwóch podziałów szeregu geometrycznego: jedna z parzystymi potęgami r (która nie może być ujemna), a druga z nieparzystymi potęgami r (która może być ujemna). Suma dla obu partycji wynosi S = a / (1 - r ² ) + ar / (1 - r ² ) = a (1 + r ) / ((1 + r )(1 - r )) = a / (1 - r ).

Dla , suma pierwszych n +1 wyrazów szeregu geometrycznego, aż do wyrazu r ⁿ włącznie , jest ${\displaystyle r\neq 1}$

${\ Displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots + ar ^ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k} = a \ lewo ( {\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\prawo),}$

gdzie r jest wspólnym stosunkiem. Formułę zamkniętą dla sumy częściowej s można wyprowadzić , odejmując wiele samopodobnych terminów w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} s = a \ + \ & ar \ + \ ar ^ {2} \ + \ ar ^ {3} \ + \ \ cdots \ + \ ar ^ {n} \ \ rs = \ &ar\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{3}\ +\ \cdots \ +\ ar^{n}\ +\ ar^{n+1},\\s-rs=\ &a \ -\ ar^{n+1},\\s(1-r)=\ &a(1-r^{n+1}),\\s=\ &a\left({\frac {1-r ^{n+1}}{1-r}}\right)\quad {\text{(if }}r\neq 1{\text{)}}.\end{wyrównany}}}$

Gdy n zbliża się do nieskończoności, wartość bezwzględna r musi być mniejsza niż jeden, aby szereg był zbieżny. Suma staje się wtedy

${\ Displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + ar ^ {4} + \ cdots = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = {\ Frac {a}{1-r}},{\text{ dla }}|r|<1.}$

Gdy a = 1 , można to uprościć do

${\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1 -r}}.}$

Receptura posiada również złożoną R , z odpowiednim ograniczenia, moduł z R jest mniejsze od jedności.

Nawiasem mówiąc, pytanie, czy szereg nieskończony jest zbieżny, jest zasadniczo pytaniem o odległość między dwiema wartościami: przy wystarczającej liczbie wyrazów, czy wartość sumy częściowej zbliża się arbitralnie do wartości, do której się zbliża? W powyższym wyprowadzeniu zamkniętej postaci szeregu geometrycznego interpretacją odległości między dwiema wartościami jest odległość między ich położeniem na osi liczbowej . To najczęstsza interpretacja odległości między dwiema wartościami. Jednak metryka p-adyczna , która stała się pojęciem krytycznym we współczesnej teorii liczb , oferuje taką definicję odległości, że szereg geometryczny 1 + 2 + 4 + 8 + ... z a = 1 i r = 2 faktycznie jest zbieżny do a / (1 - r ) = 1 / (1 - 2) = -1 nawet jeśli r jest poza typowym zakresem zbieżności | r | < 1.

Dowód zbieżności

Możemy udowodnić, że szereg geometryczny jest zbieżny, używając wzoru sumy na postęp geometryczny :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + \ cdots \ & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ lewo (1 + r + r ^ { 2}+\cdots +r^{n}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\ koniec{wyrównany}}}$

Druga równość jest prawdziwa, ponieważ jeśli wtedy jako i ${\displaystyle |r|<1,}$${\ Displaystyle r ^ {n + 1} \ do 0}$${\displaystyle n\do \infty}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (1 + r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n}) (1-r) i = (1-r) + (rr ^ {2}) +(r^{2}-r^{3})+...+(r^{n}-r^{n+1}))\\&=(1+(-r+r)+( -r^{2}+r^{2})+...+(-r^{n}+r^{n})-r^{n+1})\\&=1-r^{ n+1}.\end{wyrównany}}}$

Zbieżność szeregów geometrycznych można również wykazać, przepisując szereg jako równoważny szereg teleskopowy . Rozważ funkcję,

${\ Displaystyle g (K) = {\ Frac {r ^ {K}} {1-r}}.}$

Zauważ, że

${\ Displaystyle 1 = g (0)-g (1), \ quad r = g (1)-g (2), \ quad r ^ {2} = g (2)-g (3), \ ldots}$

Zatem,

${\ Displaystyle S = 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + \ cdots = (g (0) - g (1)) + (g (1) - g (2)) + (g (2)-g(3))+\cdots .}$

Gdyby

${\displaystyle |r|<1}$

następnie

${\ Displaystyle g (K) \ longrightarrow 0 {\ tekst {jako}} K \ do \ infty.}$

Więc S zbiega się do

${\ Displaystyle g (0) = {\ Frac {1} {1-r}}.}$

Wskaźnik konwergencji

Skumulowana suma funkcji z zakresu -1 < r < -0,5 jako pierwsze 51 wyrazów szeregu geometrycznego 1 + r + r ² + r ³ + ... są dodawane. Wielkość nachylenia przy r = -1 rośnie bardzo stopniowo z każdym dodanym składnikiem . Szereg geometryczny 1 / (1 - r ) to czerwona linia przerywana.

Jak pokazano w powyższych dowodach, zamknięta forma częściowej sumy szeregu geometrycznego do n -tej potęgi r włącznie jest a (1 - r ^{n +1} ) / (1 - r ) dla dowolnej wartości r , oraz formą domkniętą szeregu geometrycznego jest pełna suma a / (1 - r ) z przedziału | r | < 1.

Jeżeli wspólny stosunek mieści się w zakresie 0 < r < 1, to suma częściowa a (1 - r ^{n +1} ) / (1 - r ) rośnie z każdym dodanym członem i ostatecznie mieści się w granicach małego błędu, E , stosunek pełna suma a / (1 - r ). Rozwiązywanie dla n przy tym progu błędu,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a \ lewo ({\ Frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}} \ prawej) i \ geq a \ lewo ({\ Frac {1-E }{1-r}}\right),\\1-r^{n+1}&\geq 1-E,\\r^{n+1}&\leq E,\\\ln(r^ {n+1})&\leq \ln(E),\\(n+1)\ln(r)&\leq \ln(E),\\n+1&\geq \left\lceil {\frac {\ln(E)}{\ln(r)}}\right\rceil ,\end{wyrównany}}}$

gdzie 0 < r < 1, operacja sufitu ogranicza n do liczb całkowitych, a podzielenie obu stron przez logarytm naturalny r odwraca nierówność, ponieważ jest ujemna. Wynik n +1 jest liczbą członów sumy częściowej potrzebną do uzyskania w granicach aE / (1 - r ) pełnej sumy a / (1 - r ). Na przykład, aby uzyskać w granicach 1% pełnej sumy a / (1 - r ) przy r = 0,1, tylko 2 (= ln( E ) / ln( r ) = ln(0,01) / ln(0,1) potrzebne są częściowe sumy. Jednak przy r = 0,9, 44 (= ln(0,01) / ln(0,9)) składniki sumy częściowej są potrzebne, aby uzyskać w granicach 1% pełnej sumy a / (1 - r ). ${\displaystyle \lceil \rceil}$

Jeżeli wspólny stosunek mieści się w zakresie -1 < r < 0, wówczas szereg geometryczny jest szeregiem przemiennym, ale można go przekształcić w postać nieprzemiennego szeregu geometrycznego, łącząc pary wyrazów, a następnie analizując szybkość zbieżności za pomocą to samo podejście, jak pokazano dla wspólnego zakresu stosunku 0 < r < 1. W szczególności suma częściowa

s = a + ar + ar ² + ar ³ + ar ⁴ + ar ⁵ + ... + ar ^{n -1} + ar ⁿ w zakresie -1 < r < 0 jest równoważne

s = a - ap + ap ² - ap ³ + ap ⁴ - ap ⁵ + ... + ap ^{n -1} - ap ⁿ z nieparzystym n , z podstawieniem p = - r , i w zakresie 0 < p < 1,

s = ( a - ap ) + ( ap ² - ap ³ ) + ( ap ⁴ - ap ⁵ ) + ... + ( ap ^{n -1} - ap ⁿ ) z sąsiednimi i różnie podpisanymi terminami sparowanymi razem,

s = a (1 - p ) + a (1 - p ) p ² + a (1 - p ) p ⁴ + ... + a (1 - p ) p ^{2( n -1)/2} z a (1 - p ) odliczane od każdego terminu,

s = a (1 - p ) + a (1 - p ) p ² + a (1 - p ) p ⁴ + ... + a (1 - p ) p ^{2 m} z podstawieniem m = ( n - 1) / 2, która jest liczbą całkowitą biorąc pod uwagę ograniczenie, że n jest nieparzyste,

który jest teraz w postaci pierwszych m wyrazów szeregu geometrycznego o współczynniku a (1 - p ) io wspólnym stosunku p ² . Zatem zamknięta forma sumy częściowej to a (1 - p )(1 - p ^{2( m +1)} ) / (1 - p ² ), która rośnie z każdym dodanym członem i ostatecznie mieści się w pewnym małym błędzie, E , stosunek pełnej sumy a (1 - p ) / (1 - p ² ). Jak poprzednio, rozwiązywanie dla m przy tym progu błędu,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} a (1-p) \ lewo ({\ Frac {1-p ^ {2 m + 2}} {1-p ^ {2}}} \ prawej) i \ geq a ( 1-p)\lewo({\frac {1-E}{1-p^{2}}}\prawo),\\1-p^{2m+2}&\geq 1-E,\\p ^{2m+2}&\leq E,\\\ln(p^{2m+2})&\leq \ln(E),\\(2m+2)\ln(p)&\leq \ln (E),\\m+1&\geq \left\lceil {\frac {\ln(E)}{2\ln(p)}}\right\rceil ,\\m+1&\geq \left\lceil {\frac {\ln(E)}{2\ln(-r)}}\right\rceil ,\end{wyrównany}}}$

gdzie 0 < p < 1 lub równoważnie -1 < r < 0, a wynik m +1 jest liczbą par części sumy terminów potrzebnych do uzyskania w obrębie a (1 - p ) E / (1 - p ² ) pełna suma a (1 - p ) / (1 - p ² ). Na przykład, aby uzyskać w granicach 1% pełnej sumy a (1 - p ) / (1 - p ² ) przy p =0,1 lub równoważnie r =-0,1, tylko 1 (= ln( E ) / (2 ln( p ) ) = ln(0,01) / (2 ln(0,1)) potrzebne są pary składników sumy częściowej. Jednak przy p =0,9 lub równoważnie r =-0,9, 22 (= ln(0,01) / (2 ln(0,9) )) pary wyrazów sumy częściowej są potrzebne, aby uzyskać w granicach 1% pełnej sumy a (1 - p ) / (1 - p ² ).Porównanie szybkości zbieżności dla dodatnich i ujemnych wartości r , n + 1 (liczba terminów wymaganych do osiągnięcia progu błędu dla pewnego dodatniego r ) jest zawsze dwa razy większa niż m + 1 (liczba par terminów wymaganych do osiągnięcia progu błędu dla ujemnego tego r ), ale m + 1 odnosi się do par terminów zamiast pojedynczych terminów. Dlatego tempo zbieżności jest symetryczne wokół r = 0, co może być niespodzianką, biorąc pod uwagę asymetrię a / (1 - r ). Jedną z perspektyw, która pomaga wyjaśnić ten współczynnik symetrii zbieżności, jest to, że po stronie r > 0 każdy dodany wyraz sumy częściowej tworzy skończoną kon wkład do nieskończonej sumy przy r = 1, podczas gdy po stronie r < 0 każdy dodany składnik wnosi skończony wkład do nieskończonego nachylenia przy r = -1.

Nawiasem mówiąc, ten rodzaj analizy zbieżności jest szczególnie przydatny przy obliczaniu liczby członów szeregu Taylora potrzebnych do odpowiedniego przybliżenia wybranej przez użytkownika wystarczająco gładkiej funkcji lub przy obliczaniu liczby członów szeregu Fouriera potrzebnych do adekwatnego przybliżenia niektórych wybrana funkcja okresowa.

Spostrzeżenia historyczne

Zenon z Elei (ok. 495 – ok. 430 pne)

2500 lat temu greccy matematycy mieli problem z chodzeniem z jednego miejsca do drugiego. Fizycznie potrafili chodzić tak samo, jak my dzisiaj, a może nawet lepiej. Logicznie jednak myśleli, że nieskończenie długa lista liczb większych od zera sumuje się w nieskończoność. Dlatego był paradoksem, gdy Zenon z Elei wskazał, że aby przejść z jednego miejsca do drugiego, najpierw trzeba przejść połowę odległości, a potem połowę pozostałej odległości, a potem połowę. pozostałej odległości i kontynuujesz zmniejszanie pozostałych odległości o połowę nieskończoną liczbę razy, ponieważ bez względu na to, jak mała jest pozostała odległość, nadal musisz przejść pierwszą połowę. W ten sposób Zenon z Elei przekształcił krótką odległość w nieskończenie długą listę pozostałych odległości o połowę, z których wszystkie są większe od zera. I na tym polegał problem: jak odległość może być krótka, gdy mierzy się ją bezpośrednio, a także nieskończona, gdy zsumuje się ją na nieskończonej liście połówkowych reszt? Paradoks ujawnił, że coś było nie tak z założeniem, że nieskończenie długa lista liczb większych od zera sumuje się w nieskończoność.

Euklides z Aleksandrii (ok.300 pne)

Elements of Geometry, Księga IX, Stwierdzenie 35. „Jeżeli istnieje jakakolwiek mnogość liczb stale proporcjonalnych i równych pierwszej jest odejmowana od drugiej i ostatniej, to jako nadmiar drugiej do pierwszej, więc nadmiar ostatni będzie dla wszystkich, którzy byli przed nim.

Dla tego samego przypadku wspólnego stosunku r > 1 istnieją inne dowody geometryczne szeregu geometrycznego w postaci częściowej sumy zamkniętej. Jeden, który reprezentuje terminy jako obszary, a nie długości odcinków linii, jest podsumowany, jak pokazano na powyższym rysunku, w trzech krokach: (GÓRA) Reprezentuj terminy szeregu geometrycznego jako obszary nakładających się podobnych trójkątów. (ŚRODKOWY) Od największego do najmniejszego trójkąta, usuń nakładającą się lewą część obszaru (1/ r ) z niezachodzącej prawej części obszaru (1-1/ r = ( r - 1)/ r ) i przeskaluj, nakładający się trapez o r /( r -1), więc jego pole jest takie samo, jak pole oryginalnego nakładającego się trójkąta. (DÓŁ) Zauważ, że pole trapezu zbiorczego to pole dużego trójkąta pomniejszone o pole pustego małego trójkąta na lewym wierzchołku dużego trójkąta. Duży trójkąt to dokładnie największy nakładający się trójkąt skalowany przez r /( r -1). Pusty mały trójkąt zaczynał się jako a, ale ten obszar został przekształcony w niepokrywający się, skalowany trapez, pozostawiając pustą lewą część obszaru (1/ r ). Jednak ten pusty trójkąt obszaru a / r musi być również przeskalowany przez r /( r -1), aby jego nachylenie odpowiadało nachyleniu wszystkich niezachodzących na siebie trapezoidów skalowanych. Dlatego S _n = pole dużego trójkąta - pole pustego małego trójkąta = ar ⁿ⁺¹ /( r -1) - a /( r -1) = a ( r ⁿ⁺¹ -1)/( r -1) .

Euclid's Elements of Geometry Księga IX, Stwierdzenie 35, dowód (stwierdzenia w tytule sąsiedniego diagramu):

Niech AA', BC, DD', EF będą dowolną liczbą liczb proporcjonalnych, zaczynając od najmniejszego AA'. I niech BG i FH, każdy równy AA', zostaną odjęte od BC i EF. Mówię, że jak GC ma się do AA', tak EH ma się do AA', BC, DD'.

Niech bowiem FK będzie równe BC, a FL DD'. A ponieważ FK jest równe BC, z czego FH jest równe BG, więc reszta HK jest równa reszcie GC. A skoro EF ma się do DD', tak DD' do BC, a BC do AA' [Prop. 7.13], a DD' równe FL, a BC do FK, a AA' do FH, więc jak EF ma się do FL, więc LF do FK, a FK do FH. Przez oddzielenie jak EL do LF, czyli LK do FK i KH do FH [Rekwizyty. 7.11, 7.13]. I tak jak jeden z wiodących jest do jednego z następujących, tak (suma) wszystkich wiodących do (suma) wszystkich następujących [Prop. 7.12]. Zatem jak KH ma się do FH, tak EL, LK, KH do LF, FK, HF. A KH równe CG, a FH równe AA', a LF, FK, HF równe DD', BC, AA'. Zatem jak CG ma się do AA', tak EH do DD', BC, AA'. Tak więc, jak nadmiar drugiego ma się do pierwszego, tak nadmiar ostatniego ma się do wszystkich poprzedzających go. Dokładnie to, co trzeba było pokazać.

Zwięzłość twierdzeń i dowodów Euklidesa mogła być koniecznością. Jak jest, Elements of Geometry to ponad 500 stron propozycji i dowodów. Wykonywanie kopii tego popularnego podręcznika było pracochłonne, biorąc pod uwagę, że prasa drukarska została wynaleziona dopiero w 1440 r. A popularność książki trwała długo: jak stwierdzono w cytowanym wstępie do angielskiego przekładu, Elements of Geometry „wyróżnia się tym, że jest najstarszy na świecie nieprzerwanie używany podręcznik matematyczny." Tak więc bycie bardzo zwięzłym było bardzo praktyczne. Dowód Twierdzenia 35 w Księdze IX mógłby być jeszcze bardziej zwięzły, gdyby Euklides mógł w jakiś sposób uniknąć jawnego zrównania długości określonych odcinków linii z różnych terminów w serii. Na przykład współczesny zapis szeregu geometrycznego (tj. a + ar + ar ² + ar ³ + ... + ar ⁿ ) nie oznacza określonych części terminów, które są sobie równe.

Również w cytowanym wstępie redaktor komentuje:

Większość twierdzeń pojawiających się w Elementach nie została odkryta przez samego Euklidesa, ale była dziełem wcześniejszych greckich matematyków, takich jak Pitagoras (i jego szkoła), Hipokrates z Chios, Theaetetus z Aten i Eudoksos z Knidos. Jednak Euklidesowi przypisuje się ogólnie ułożenie tych twierdzeń w logiczny sposób, aby wykazać (co prawda, nie zawsze z rygorem wymaganym przez współczesną matematykę), że z konieczności wynikają one z pięciu prostych aksjomatów. Euklidesowi przypisuje się również opracowanie szeregu szczególnie pomysłowych dowodów wcześniej odkrytych twierdzeń (np. Twierdzenie 48 w księdze 1).

Aby pomóc przetłumaczyć twierdzenie i dowód na formę używającą aktualnej notacji, na diagramie znajduje się kilka modyfikacji. Po pierwsze, cztery długości linii poziomych reprezentujące wartości pierwszych czterech wyrazów szeregu geometrycznego są teraz oznaczone jako a, ar, ar ² , ar ³ na lewym marginesie diagramu. Po drugie, nowe etykiety A' i D' znajdują się teraz na pierwszym i trzecim wierszu, dzięki czemu wszystkie nazwy segmentów linii diagramu spójnie określają punkt początkowy i końcowy segmentu.

Oto fraza po frazie interpretacja zdania:

Podobnie, oto interpretacja dowodu zdanie po zdaniu:

Archimedes z Syrakuz (ok. 287 - ok. 212 pne)

Rozcięcie Archimedesa odcinka parabolicznego na nieskończenie wiele trójkątów

Archimedes użył sumy szeregu geometrycznego do obliczenia obszaru otoczonego parabolą i linią prostą. Jego metoda polegała na podzieleniu obszaru na nieskończoną liczbę trójkątów.

Twierdzenie Archimedesa mówi, że całkowita powierzchnia pod parabolą wynosi 4/3 pola niebieskiego trójkąta.

Archimedes ustalił, że każdy zielony trójkąt ma 1/8 pola niebieskiego trójkąta, każdy żółty trójkąt ma 1/8 pola zielonego trójkąta i tak dalej.

Zakładając, że niebieski trójkąt ma pole 1, całkowita powierzchnia jest nieskończoną sumą:

${\ Displaystyle 1 \ + \ 2 \ lewo ({\ Frac {1} {8}} \ po prawej) \ + \ 4 \ lewo ({\ Frac {1} {8}} \ po prawej) ^ { 2}\,+\,8\lewo({\frac {1}{8}}\prawo)^{3}\,+\,\cdots .}$

Pierwszy wyraz reprezentuje pole niebieskiego trójkąta, drugi wyraz pola dwóch zielonych trójkątów, trzeci wyraz pola czterech żółtych trójkątów i tak dalej. Uproszczenie ułamków daje

${\ Displaystyle 1 \, + \, {\ Frac {1}{4}} \, + \, {\ Frac {1} {16}} \, + \, {\ Frac {1} {64}} \ ,+\,\cdots .}$

Jest to szereg geometryczny o wspólnym stosunku 1/4 i części ułamkowej równej

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} 4 ^ {-n} = 1 + 4 ^ {-1} + 4 ^ {-2} + 4 ^ {-3} + \ cdots = { 4 \ponad 3}.}$

Suma wynosi

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}\;=\;{\frac { 4}{3}}.}$

To obliczenie wykorzystuje metodę wyczerpania , wczesną wersję całkowania . Używając rachunku różniczkowego , ten sam obszar można znaleźć za pomocą całki oznaczonej .

Nicole Oresme (ok.1323-1382)

Dwuwymiarowy diagram szeregów geometrycznych Nicole Oresme wykorzystał do określenia, że ​​nieskończony szereg 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ... zbiega się do 2.

Wśród swoich spostrzeżeń na temat szeregów nieskończonych, oprócz elegancko prostego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego, Nicole Oresme udowodniła, że ​​szereg 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/ 64 + 7/128 + ... zbiega się do 2. Jego diagram do dowodu geometrycznego, podobny do diagramu sąsiedniego, pokazuje dwuwymiarowy szereg geometryczny. Pierwszy wymiar jest poziomy, w dolnym wierszu przedstawia szereg geometryczny S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... , który jest szeregiem geometrycznym o współczynniku a = 1/2 i wspólnym stosunek r = 1/2 zbieżny do S = a / (1- r ) = (1/2) / (1-1/2) = 1. Drugi wymiar jest pionowy, gdzie dolny wiersz jest nowym współczynnikiem a _T równy S, a każdy kolejny wiersz powyżej jest skalowany według tego samego wspólnego stosunku r = 1/2, tworząc kolejny szereg geometryczny T = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... , który jest szereg geometryczny o współczynniku a _T = S = 1 i wspólnym stosunku r = 1/2, który jest zbieżny do T = a _T / (1- r ) = S / (1- r ) = a / (1- r ) / (1 - r ) = (1/2) / (1-1/2) / (1-1/2) = 2.

Chociaż trudne do wizualizacji poza trzema wymiarami, wgląd Oresme uogólnia się na dowolny wymiar d . Użycie sumy wymiaru d −1 szeregu geometrycznego jako współczynnika a w wymiarze d szeregu geometrycznego daje w wyniku d- wymiarowy szereg geometryczny zbieżny do S ^d / a = 1 / (1- r ) ^d w obrębie zakres | r |<1. Trójkąt Pascala i dzielenie długie ujawniają współczynniki tych wielowymiarowych szeregów geometrycznych, w których forma zamknięta obowiązuje tylko w zakresie | r |<1.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz}} {\ tekst { 1}} \ \ {\ tekst { 1}} \ quad {\ tekst { 1}} \ \ {\ tekst { 1}} \ quad {\ tekst { 2 }}\quad {\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 3}}\quad {\text{ 3}}\quad {\text{ 1}}\\{ \text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 1}}\end{macierz}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i d \ quad S ^ {d} / a \ {\ tekst {(forma zamknięta)}} \ quad i & S ^ {d} / a \ {\ tekst {(forma rozszerzona)}} \\&1\quad 1/(1-r)\quad &&1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots \\&2\quad 1/(1-r) ^{2}\quad &&1+2r+3r^{2}+4r^{3}+5r^{4}+\cdots \\&3\quad 1/(1-r)^{3}\quad &&1+ 3r+6r^{2}+10r^{3}+15r^{4}+\cdots \\&4\quad 1/(1-r)^{4}\quad &&1+4r+10r^{2}+ 20r^{3}+35r^{4}+\cdots \\\end{aligned}}}$

Należy zauważyć, że jako alternatywa dla dzielenia długiego możliwe jest również obliczenie współczynników d- wymiarowego szeregu geometrycznego przez całkowanie współczynników wymiaru d- 1. To mapowanie z dzielenia przez 1- rw domenie sumy szeregów potęgowych do całkowania w domenie współczynników szeregów potęgowych jest dyskretną formą mapowania wykonywanego przez transformatę Laplace'a . Profesor Arthur Mattuck z MIT pokazuje, jak wyprowadzić transformatę Laplace'a z serii potęgowej w tym wideo wykładowym, gdzie szereg potęgowy jest odwzorowaniem między dyskretnymi współczynnikami a sumą, a transformata Laplace'a jest odwzorowaniem między ciągłymi wagami a całką.

Zamknięte formy S ^d / a są powiązane, ale nie równe pochodnym S = f( r ) = 1 / (1- r ). Jak pokazano w poniższej tabeli, zależność jest następująca: S ^{k +1} = f ^{( k )} ( r ) / k !, gdzie f ^{( k )} ( r ) oznacza k- ^tą pochodną f ( r ) = 1 / (1- r ) a formularz zamknięty jest ważny tylko w zakresie | r | < 1.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i k \ quad f ^ {(k)} (r) / a \ {\ tekst {(forma zamknięta)}} \ quad i f ^ {(k)} (r) / a \ {\text{(forma generatora)}}\\&0\quad 1/(1-r)\quad &&\sum _{j=0}^{\infty }r^{j}\\&1\quad 1! /(1-r)^{2}\quad &&\sum _{j=1}^{\infty }jr^{j-1}\\&2\quad 2!/(1-r)^{3} \quad &&\sum _{j=2}^{\infty }j(j-1)r^{j-2}\\&3\quad 3!/(1-r)^{4}\quad &&\ suma _{j=3}^{\infty }j(j-1)(j-2)r^{j-3}\\&4\quad 4!/(1-r)^{5}\quad && \sum _{j=4}^{\infty }j(j-1)(j-2)(j-3)r^{j-4}\\\end{wyrównany}}}$

Aplikacje

Powtarzające się ułamki dziesiętne

Powtarzający się dziesiętny można traktować jako szereg geometryczny, którego wspólny stosunek jest potęgą 1/10. Na przykład:

${\ Displaystyle 0.7777 \ ldots \; = \; {\ Frac {7} {10}} \ + \, {\ Frac {7} {100}} \, + \, {\ Frac {7} {1000} }\,+\,{\frac {7}{10000}}\,+\,\cdots .}$

Wzór na sumę szeregu geometrycznego można wykorzystać do zamiany ułamka dziesiętnego na ułamek,

${\ Displaystyle 0.7777 \ ldots \; = \; {\ Frac {a} {1-r}} \; = \; {\ Frac {7/10} {1-1/10}} \; = \; { \frac {7/10}{9/10}}\;=\;{\frac {7}{9}}.}$

Formuła działa nie tylko na pojedynczą powtarzającą się figurę, ale także na powtarzającą się grupę figur. Na przykład:

${\ Displaystyle 0.123412341234 \ ldots \; = \; {\ Frac {a} {1-r}} \; = \; {\ Frac {1234/1000} {1-1/10000}} \; = \; { \frac {1234/10000}{9999/10000}}\;=\;{\frac {1234}{9999}}.}$

Zauważ, że każdą serię powtarzających się kolejnych cyfr dziesiętnych można wygodnie uprościć w następujący sposób:

${\ Displaystyle 0.09090909 \ ldots \; = \; {\ Frac {09} {99}} \; = \; {\ Frac {1} {11}}.}$

${\ Displaystyle 0.143814381438 \ ldots \; = \; {\ Frac {1438}{9999}}.}$

${\ Displaystyle 0,9999 \ ldots \; = \; {\ Frac {9} {9}} \; = \; 1.}$

Oznacza to, że powtarzająca się liczba dziesiętna o długości powtórzeń n jest równa ilorazowi części powtarzalnej (jako liczba całkowita) i 10 ⁿ - 1 .

Ekonomia

W ekonomii , geometryczne serii są używane do reprezentowania bieżącej wartości danego renty (sumę pieniędzy do zapłacenia w regularnych odstępach czasu).

Załóżmy na przykład, że raz w roku (na koniec roku) zostanie dokonana bezterminowa płatność na rzecz właściciela renty w wysokości 100 USD . Otrzymanie 100 dolarów rocznie od teraz jest warte mniej niż natychmiastowe 100 dolarów, ponieważ nie można zainwestować tych pieniędzy, dopóki ich nie otrzymamy. W szczególności aktualna wartość 100 USD w przyszłości wynosi 100 USD / (1 +  ), gdzie jest roczna stopa procentowa. ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle I}$

Podobnie, płatność w wysokości 100 USD za dwa lata w przyszłości ma wartość bieżącą 100 USD / (1 +  ) ² (do kwadratu, ponieważ wartość odsetek z dwóch lat jest tracona z powodu nieotrzymania pieniędzy w tej chwili). Dlatego aktualna wartość otrzymywania 100 USD rocznie w nieskończoność wynosi ${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ 100 USD} {(1 + I) ^ {n}}}}$

czyli nieskończona seria:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ 100 USD}{(1 + I)}} \ + \, {\ Frac {\ 100 USD} {(1 + I) ^ {2}}} \ + \, {\ Frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .}$

Jest to szereg geometryczny o wspólnym stosunku 1 / (1 +  ). Suma jest pierwszym składnikiem podzielonym przez (jeden minus wspólny stosunek): ${\ Displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {\100$/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\100$}{I}}.}$

Na przykład, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% (  =0,10), to cała renta ma wartość bieżącą 100 USD / 0,10 = 1000 USD. ${\ Displaystyle I}$

Ten rodzaj obliczeń służy do obliczania RRSO pożyczki (np. pożyczki hipotecznej ). Może być również stosowany w celu oszacowania wartości bieżącej oczekiwanych dywidend giełdowych , lub wartości rezydualnej o bezpieczeństwo .

Geometria fraktalna

Wnętrze płatka śniegu Kocha to połączenie nieskończenie wielu trójkątów.

W badaniu fraktale , geometrycznym często powstają jako obwód , powierzchni lub objętości o samopodobna rysunku.

Na przykład obszar wewnątrz płatka śniegu Kocha można opisać jako połączenie nieskończenie wielu trójkątów równobocznych (patrz rysunek). Każdy bok zielonego trójkąta ma dokładnie 1/3 wielkości boku dużego niebieskiego trójkąta, a zatem ma dokładnie 1/9 powierzchni. Podobnie, każdy żółty trójkąt ma 1/9 pola zielonego trójkąta i tak dalej. Biorąc niebieski trójkąt jako jednostkę powierzchni, całkowita powierzchnia płatka śniegu wynosi

${\ Displaystyle 1 \ + \ 3 \ lewo ({\ Frac {1} {9}} \ po prawej) \ + \ 12 \ lewo ({\ Frac {1} {9}} \ po prawej) ^ { 2}\,+\,48\lewo({\frac {1}{9}}\prawo)^{3}\,+\,\cdots .}$

Pierwszy wyraz tej serii reprezentuje pole niebieskiego trójkąta, drugi wyraz całkowity obszar trzech zielonych trójkątów, trzeci wyraz całkowity obszar dwunastu żółtych trójkątów i tak dalej. Wyłączając początkową 1, ta seria jest geometryczna ze stałym stosunkiem r  = 4/9. Pierwszy wyraz szeregu geometrycznego to a  = 3(1/9) = 1/3, więc suma wynosi

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\ frac {4}{9}}}\;=\;{\frac {8}{5}}.}$

Tak więc płatek śniegu Kocha ma 8/5 powierzchni trójkąta podstawowego.

Geometryczne szeregi potęgowe

Wzór na szereg geometryczny

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + \ cdots }$

można interpretować jako szereg potęgowy w sensie twierdzenia Taylora , zbieżny gdzie . Z tego można ekstrapolować, aby uzyskać inne szeregi potęgowe. Na przykład, ${\displaystyle |x|<1}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ tan ^ {-1} (x) i = \ int {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \ \ & = \ int {\ frac {dx }{1-(-x^{2})}}\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right) ^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4} -x^{6}+\cdots \right)dx\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1 }}x^{2n+1}.\end{wyrównany}}}$

Zobacz też

• 0,999...  – Alternatywne rozwinięcie dziesiętne liczby 1
• Asymptota  – granica linii stycznej w punkcie zmierzającym do nieskończoności
• Rozbieżne serie geometryczne
• Uogólniona funkcja hipergeometryczna
• Postęp geometryczny
• Seria Neumanna
• Test stosunku
• Test korzeniowy
• Seria (matematyka)  – Suma nieskończona
• Szeregi arytmetyczne

Określone serie geometryczne

• Szereg Grandiego  – Nieskończona suma przemiennych wyrazów 1 i -1: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯  – szereg nieskończony
• 1 − 2 + 4 − 8 +
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• Szereg geometryczny jest szeregiem jednostkowym (suma szeregu jest zbieżna do jednego) wtedy i tylko wtedy, gdy | r | < 1 i a + r = 1 (odpowiednik bardziej znanej postaci S = a / (1 - r ) = 1 gdy | r | < 1). Dlatego szereg przemienny jest również szeregiem jednostkowym, gdy -1 < r < 0 i a + r = 1 (na przykład współczynnik a = 1,7 i wspólny stosunek r = -0,7).
• Terminy szeregu geometrycznego są również terminami uogólnionego ciągu Fibonacciego (F _n = F _n-1 + F _n-2, ale bez konieczności F ₀ = 0 i F ₁ = 1), gdy wspólny stosunek szeregu geometrycznego r spełnia ograniczenie 1 + r = r ² , co według wzoru kwadratowego ma miejsce, gdy wspólny stosunek r jest równy złotemu stosunkowi (tj. wspólny stosunek r = (1 ± √5)/2).
• Jedyny szereg geometryczny, który jest szeregiem jednostkowym i ma również wyrazy uogólnionego ciągu Fibonacciego, ma złoty podział jako swój współczynnik a i sprzężony złoty podział jako wspólny stosunek r (tj. a = (1 + √5)/2 i r = (1 - √5)/2). Jest to szereg jednostkowy, ponieważ a + r = 1 oraz | r | < 1, jest to uogólniony ciąg Fibonacciego, ponieważ 1 + r = r ² , i jest szeregiem przemiennym, ponieważ r < 0.

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Postęp geometryczny” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Seria geometryczna” . MatematykaŚwiat .
• Seria geometryczna w PlanetMath .
• Peppard, Kim. „College Algebra Tutorial na sekwencjach geometrycznych i seriach” . Zachodni Teksas A&M University.
• Casselman, Bill. „Geometryczna interpretacja szeregu geometrycznego” . Zarchiwizowane z oryginału (Applet) w dniu 29.09.2007.
• „Seria geometryczna” Michaela Schreibera, Wolfram Demonstrations Project , 2007.