Funkcja holomorficzna - Holomorphic function

Prostokątna siatka (na górze) i jej obraz pod konformalną mapą

f

(na dole).

W matematyce funkcja holomorficzna jest funkcją o wartości zespolonej jednej lub większej liczby zmiennych zespolonych , która jest różniczkowalna zespolona w sąsiedztwie każdego punktu w dziedzinie w złożonej przestrzeni współrzędnych $C n$ . Istnienie pochodnej zespolonej w sąsiedztwie jest bardzo silnym warunkiem: implikuje, że funkcja holomorficzna jest nieskończenie różniczkowalna i lokalnie równa własnemu szeregowi Taylora ( analityczne ). Funkcje holomorficzne są centralnymi przedmiotami badań w analizie złożonej .

Chociaż termin funkcja analityczna jest często używany zamiennie z „funkcją holomorficzną”, słowo „analityczna” jest zdefiniowane w szerszym znaczeniu, aby oznaczyć dowolną funkcję (rzeczywistą, złożoną lub bardziej ogólnego typu), którą można zapisać jako zbieżny szereg potęgowy w sąsiedztwie każdego punktu w swojej domenie . To, że wszystkie funkcje holomorficzne są złożonymi funkcjami analitycznymi i vice versa, jest głównym twierdzeniem w analizie złożonej .

Funkcje holomorficzne są czasami nazywane funkcjami regularnymi . Funkcja holomorficzna, której domeną jest cała płaszczyzna zespolona, nazywana jest funkcją całościową . Wyrażenie „holomorficzny w punkcie $z 0$ ” oznacza nie tylko różniczkowalny w $z 0$ , ale różniczkowalny wszędzie w pewnym sąsiedztwie $z 0$ na płaszczyźnie zespolonej.

Definicja

Funkcja

f (z) = z̅

nie jest zespolona różniczkowalna przy zerze, ponieważ jak pokazano powyżej, wartość

f (z) - f (0) / z - 0

zmienia się w zależności od kierunku, z którego zbliża się zero. Wzdłuż osi rzeczywistej

f

równa się funkcji

g (z) = z ,

a granica wynosi

1

, natomiast wzdłuż osi urojonej

f

równa się

h (z) = - z ,

a granica wynosi

-1

. Inne kierunki dają jeszcze inne ograniczenia.

Biorąc pod uwagę funkcja zespolona $f$ pojedynczej zmiennej złożone, pochodną o $f$ w punkcie $Z, 0$ w jego domenie określony przez ograniczenie

{\ Displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ do z_ {0}} {f (z)-f (z_ {0}) \ nad z-z_ {0}}.}

Jest taka sama, jak w definicji pochodnych do rzeczywistych funkcji , z tym że wszystkie ilości są złożone. W szczególności, granica jest przyjmowana, gdy liczba zespolona $z$ zbliża się do $z 0$ i musi mieć taką samą wartość dla dowolnej sekwencji wartości zespolonych dla $z$ zbliżającej się do $z 0$ na płaszczyźnie zespolonej. Jeśli granica istnieje, mówimy, że $f$ jest zespolona różniczkowalna w punkcie $z 0$ . Ta koncepcja złożonych akcji różniczkowalności kilka właściwości z rzeczywistym różniczkowalności : jest liniowy i przestrzega reguły produkt , iloraz reguła i zasada łańcucha .

Jeśli $f$ jest zespolone różniczkowalna w każdym punkcie $z 0$ w zbiorze otwartym $U$ , mówimy , że $f$ jest holomorficzne na $U$ . Mówimy, że $f$ jest holomorficzne w punkcie $z 0 ,$ jeśli $f$ jest zespolone różniczkowalne na pewnym sąsiedztwie $z 0$ . Mówimy, że $f$ jest holomorficzna na pewnym zbiorze otwartym non- $A$ , jeżeli jest holomorficzna w sąsiedztwie z $A$ . Jako patologiczny nieprzykład, funkcja podana przez $f (z) = | z | 2$ jest złożona różniczkowalną dokładnie w jednym punkcie ( $oo 0 = 0$ ), i z tego powodu jest nie holomorficzny na $0$ , ponieważ nie ma otwarty zestaw około $0$ , w którym $M$ jest złożona różniczkowalną.

Związek między różnicowalnością rzeczywistą a różniczkowalnością zespoloną jest następujący: Jeśli funkcja zespolona $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ jest holomorficzna, to $u$ i $v$ mają pierwsze pochodne cząstkowe względem $x$ i $y$ i spełniają równania Cauchy-Riemanna :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy x}} = {\ Frac {\ częściowy v} \ qquad {\ mbox {i}} \ qquad {\ Frac {\ częściowy u }{\częściowy r}}=-{\frac {\częściowy v}{\częściowy x}}\,}

lub równoważnie pochodną Wirtinger z $F$ względem $Ż$ The sprzężone z $Z$ , jest równa zeru:

{\frac {\częściowy f}{\częściowy {\nadkreślenie {z}}}}=0,

co oznacza, że z grubsza $f$ jest funkcjonalnie niezależne od $sprzężenia$ zespolonego z $z$ .

Jeśli nie podano ciągłości, odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa. Prostą odwrotnością jest to, że jeśli $u$ i $v$ mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy-Riemanna, to $f$ jest holomorficzne. Bardziej satysfakcjonującą odwrotnością, która jest znacznie trudniejsza do udowodnienia, jest twierdzenie Loomana-Menchoffa : jeśli $f$ jest ciągłe, $u$ i $v$ mają pierwsze pochodne cząstkowe (ale niekoniecznie ciągłe) i spełniają równania Cauchy-Riemanna, wtedy $f$ jest holomorficzny.

Terminologia

Termin holomorficzna został wprowadzony w 1875 roku przez Karola Briot i Jean-Claude Bukiet , dwóch Augustin Louis Cauchy studentów „s, a wywodzi się od greckiego ὅλος ( hologramy ), co oznacza«całość»i μορφή ( morphe ), co oznacza«formę»lub „wygląd” lub „typ”, w przeciwieństwie do terminu meromorficznego pochodzącego od μέρος ( méros ) oznaczającego „część”. Funkcja holomorficzna przypomina całą funkcję („całość”) w domenie płaszczyzny zespolonej, podczas gdy funkcja meromorficzna (zdefiniowana jako holomorficzna z wyjątkiem pewnych izolowanych biegunów ) przypomina wymierną część („część”) całych funkcji w domenie złożonej płaszczyzny. Cauchy zamiast tego użył terminu synektyka .

Obecnie termin „funkcja holomorficzna” jest czasami preferowany zamiast „funkcja analityczna”. Ważnym wynikiem analizy złożonej jest to, że każda funkcja holomorficzna jest analizą złożoną, co oczywiście nie wynika z definicji. Termin „analityczny” jest jednak również w powszechnym użyciu.

Nieruchomości

Ponieważ zróżnicowanie złożone jest liniowe i podlega regułom iloczynu, ilorazu i łańcucha, sumy, iloczyny i kompozycje funkcji holomorficznych są holomorficzne, a iloraz dwóch funkcji holomorficznych jest holomorficzny, jeśli mianownik nie jest równy zero. Oznacza to, że jeśli funkcje $f$ i $g$ są holomorficzne w domenie $U$ , to także $f + g$ , $f - g$ , $f g$ i $f \circ g$ . Co więcej, $f / g$ jest holomorficzne, jeśli $g$ nie ma zer w $U$ lub jest meromorficzne w przeciwnym razie.

Jeśli utożsamić $C$ z rzeczywistą płaszczyzną $R 2$ , wówczas funkcje holomorficzne pokrywają się z funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych z ciągłymi pierwszymi pochodnymi, które rozwiązują równania Cauchy'ego-Riemanna , zbiór dwóch równań różniczkowych cząstkowych .

Każdą funkcję holomorficzną można podzielić na część rzeczywistą i urojoną $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , a każda z nich jest funkcją harmoniczną na $R 2$ ( każda spełnia równanie Laplace'a $\nabla 2 u = \nabla 2 v = 0$ ), z $v$ w harmonicznej koniugatu o $u$ . I odwrotnie, każda funkcja harmoniczna $u (x, y)$ w prosto połączonej dziedzinie $Ω \subset R 2$ jest rzeczywistą częścią funkcji holomorficznej: Jeśli $v$ jest sprzężeniem harmonicznym $u$ , unikalnym aż do stałej, wtedy $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ jest holomorficzny.

Twierdzenie całkowe Cauchy'ego implikuje, że całka konturowa każdej funkcji holomorficznej wzdłuż pętli znika:

{\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ dz = 0.}

Tutaj $γ$ jest ścieżką prostoliniową w prosto połączonej dziedzinie zespolonej $U \subset C,$ której punkt początkowy jest równy jej punktowi końcowemu, a $f : U \to C$ jest funkcją holomorficzną.

Wzór całkowy Cauchy'ego stwierdza, że każda holomorficzna funkcja wewnątrz dysku jest całkowicie określona przez jej wartości na granicy dysku. Ponadto: Załóżmy, że $U \subset C$ jest dziedziną zespoloną, $f : U \to C$ jest funkcją holomorficzną i zamknięty dysk $D = {z : | z - z 0 | \leq r}$ jest całkowicie zawarte w $U$ . Niech $γ$ być koło tworzącej granicę z $D$ . Następnie dla każdego $A$ w wnętrza z $D$ :

{\ Displaystyle f (a) = {\ Frac {1} {2 \ pi ja}} \ oint _ {\ gamma} {\ Frac {f (z)} {za}} \ dz}

gdzie całka konturu jest brana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara .

Pochodną $f ‍'(a)$ można zapisać jako całkę po konturze, korzystając ze wzoru na różniczkowanie Cauchy'ego :

{\ Displaystyle f '(a) = {1 \ ponad 2 \ pi ja} \ oint _ {\ gamma} {f (z) \ nad (za) ^ {2}} \ dz}

dla dowolnej prostej pętli dodatnio nawiniętej raz wokół $a$ , oraz

{\ Displaystyle f '(a) = \ lim \ limity _ {\ gamma \ do {\ Frac {i} {2 {\ mathcal {A}} (\ gamma)}} \ oint _ {\ gamma} f (z)\,d{\bar {z}},}

dla nieskończenie małych pętli dodatnich $γ$ wokół $a$ .

W obszarach, w których pierwsza pochodna nie jest równa zeru, funkcje holomorficzne są konforemne : zachowują kąty i kształt (ale nie rozmiar) małych figur.

Każda funkcja holomorficzna jest analityczna . Oznacza to, że funkcja holomorficzna $f$ ma pochodne każdego rzędu w każdym punkcie $a$ w swojej dziedzinie i pokrywa się z własnym szeregiem Taylora w $a$ w sąsiedztwie $a$ . W rzeczywistości, $C$ , pokrywa się z jej szeregu Taylora w w każdym dysku wyśrodkowane na tym punkcie i leży w obrębie domeny funkcji.

Z algebraicznego punktu widzenia zbiór funkcji holomorficznych na zbiorze otwartym jest pierścieniem przemiennym i złożoną przestrzenią wektorową . Dodatkowo zbiór funkcji holomorficznych w zbiorze otwartym $U$ jest dziedziną integralną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór otwarty $U$ jest połączony. W rzeczywistości, jest to przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła , przy czym seminorms będąc suprema na zwartych podzbiorów .

Z geometrycznego punktu widzenia funkcja $f$ jest holomorficzna w $z 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej zewnętrzna pochodna $df$ w sąsiedztwie $U$ z $z 0$ jest równa $f ‍'(z) dz$ dla pewnej ciągłej funkcji $f ‍'$ . Wynika to z

{\ Displaystyle \ textstyle 0 = d ^ {2} f = d (f ^ {\ prime} dz) = df ^ {\ prime} \ klin dz}

że $df ‍'$ jest również proporcjonalne do $dz$ , co oznacza, że pochodna $f ‍'$ sama jest holomorficzna, a zatem $f$ jest nieskończenie różniczkowalna. Podobnie, $d (f dz) = f ‍' dz \land ms = 0$ oznacza, że wszystkie funkcji $F$ , która jest na wprost holomorficznym połączonego regionu $U$ jest do zabudowy na $U$ .

(Dla ścieżki $γ$ od $z 0$ do $z$ leżącej całkowicie w $U$ , zdefiniuj w świetle twierdzenia o krzywej Jordana i uogólnionego twierdzenia Stokesa , $F$ $γ$ $($ $z$ $)$ jest niezależne od konkretnego wyboru ścieżki $γ$ , a zatem $F$ $($ $z$ $)$ jest dobrze zdefiniowaną funkcją na $U,$ gdzie $F$ $($ $z$ $0$ $) =$ $F$ $0$ i $dF$ $=$ $f dz$ .) ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$

Przykłady

Wszystkie funkcje wielomianowe w $z$ o współczynnikach zespolonych są funkcjami całkowitymi (holomorficznymi w całej płaszczyźnie zespolonej $C$ ), podobnie jak funkcja wykładnicza $exp z$ oraz funkcje trygonometryczne i (por. wzór Eulera ). Główną gałąź z kompleksu logarytm funkcji $log$ $Z$ jest holomorficzny z domeny $C$ $\$ ${$ $z$ $\in$ $R$ $: z \leq 0}.$ Funkcję pierwiastka kwadratowego można zdefiniować jako i dlatego jest holomorficzna, gdziekolwiek jest logarytm $log$ $z$ . Funkcja odwrotności $1 /$ $z$ jest holomorficzna na $C$ $\ { 0 }.$ (Funkcja odwrotna i każda inna funkcja wymierna jest meromorficzna na $C$ .) ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$

W konsekwencji równań Cauchy'ego-Riemanna każda funkcja holomorficzna o wartościach rzeczywistych musi być stała . Dlatego wartość bezwzględna $| z |$ , argument $arg(z)$ , część rzeczywista $Re(z)$ i część urojona $Im(z)$ nie są holomorficzne. Innym typowym przykładem funkcji ciągłej, która nie jest holomorficzna, jest sprzężenie zespolone $z̅ .$ (Złożony koniugat jest antyholomorficzny .)

Kilka zmiennych

Definicja funkcji holomorficznej w prosty sposób uogólnia kilka zmiennych złożonych. Niech $D$ będzie wielodyskiem, a także oznacza otwarty podzbiór $C n$ , i niech $f : D \to C$ . Funkcja $f$ jest analityczna w punkcie $p$ w $D,$ jeśli istnieje otwarte sąsiedztwo $p,$ w którym $f$ jest równe zbieżnemu szeregowi potęgowemu w $n$ zmiennych zespolonych. Zdefiniuj $f$ jako holomorficzne, jeśli jest analityczne w każdym punkcie swojej domeny. Lemat Osgooda pokazuje (przy użyciu wielowymiarowego wzoru na całkę Cauchy'ego), że dla funkcji ciągłej $f$ , jest to równoważne $f$ jest holomorficzne w każdej zmiennej oddzielnie (co oznacza, że jeśli dowolne $n - 1$ współrzędnych są ustalone, wtedy ograniczenie $f$ jest holomorficzne funkcja pozostałej współrzędnej). Znacznie głębsze twierdzenie Hartogsa dowodzi, że hipoteza ciągłości jest zbędna: $f$ jest holomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy jest holomorficzne w każdej zmiennej z osobna.

Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja kilku zmiennych zespolonych, która jest całkowalna do kwadratu na każdym zwartym podzbiorze swojej dziedziny, jest analityczna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równania Cauchy'ego-Riemanna w sensie rozkładów.

Funkcje kilku zmiennych złożonych są pod pewnymi podstawowymi względami bardziej skomplikowane niż funkcje pojedynczej zmiennej złożonej. Na przykład obszar zbieżności szeregu potęgowego niekoniecznie jest otwartą kulą; regiony te są logarytmicznie wypukłymi domenami Reinhardta , których najprostszym przykładem jest polidysk . Jednak wiążą się one również z pewnymi podstawowymi ograniczeniami. W przeciwieństwie do funkcji pojedynczej zmiennej złożonej, możliwe domeny, na których istnieją funkcje holomorficzne, których nie można rozszerzyć na większe domeny, są bardzo ograniczone. Taki zbiór nazywamy domeną holomorfii .

Kompleks różnica $(p, 0)$ -a- $α$ jest holomorficzny wtedy i tylko wtedy, gdy antiholomorphic pochodną Dolbeault wynosi zero, $\partial α = 0$ .

Rozszerzenie do analizy funkcjonalnej

Pojęcie funkcji holomorficznej można rozszerzyć na nieskończenie wymiarowe przestrzenie analizy funkcjonalnej . Na przykład pochodna Frécheta lub Gateaux może być użyta do zdefiniowania pojęcia funkcji holomorficznej na przestrzeni Banacha nad ciałem liczb zespolonych.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Blakey, Józef (1958). Matematyka uniwersytecka (wyd. 2). Londyn: Blackie i synowie. OCLC 2370110 .

Zewnętrzne linki

„Funkcja analityczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects