Współdomena — Codomain

Funkcja f od X do Y . Niebieski owal Y jest kodziedziną f . Żółty owalny wewnątrz Y jest obraz o f .

W matematyce , codomain lub zestaw przeznaczenia z funkcji jest zbiór , do którego wszystkie wyjścia funkcji jest ograniczony do upadku. Jest to zbiór Y w notacji f : XY . Termin zakres jest czasem niejednoznacznie używany w odniesieniu do kodomeny lub obrazu funkcji.

Codomain jest częścią funkcji f , jeśli f jest określony jako potrójne ( X , Y , G ) , gdzie X jest nazywany domeny z F , Y jego codomain i G jego wykres . Zbiór wszystkich elementów postaci f ( x ) , gdzie x waha się ponad elementami obszarze X , nazywa się obraz o f . Obraz funkcji jest podzbiorem jej kodomeny, więc może się z nią nie pokrywać. Mianowicie funkcja, która nie jest surjektywna, ma w swojej przeciwdziedzinie elementy y, dla których równanie f ( x ) = y nie ma rozwiązania.

Koddomena nie jest częścią funkcji f, jeśli f jest zdefiniowane jako tylko graf. Na przykład w teorii mnogości pożądane jest, aby dziedzina funkcji była odpowiednią klasą X , w takim przypadku formalnie nie ma czegoś takiego jak trójka ( X , Y , G ) . Przy takiej definicji funkcje nie mają kodomeny, choć niektórzy autorzy nadal używają jej nieformalnie po wprowadzeniu funkcji w postaci f : XY .

Przykłady

Dla funkcji

zdefiniowany przez

lub równoważnie

kodomena f jest , ale f nie mapuje na żadną liczbę ujemną. Zatem obraz f jest zbiorem ; tj. przedział [0, ∞) .

Alternatywna funkcja g jest zdefiniowana w następujący sposób:

Chociaż f i g odwzorowują dany x na tę samą liczbę, w tym ujęciu nie są one tą samą funkcją, ponieważ mają różne współdomeny. Można zdefiniować trzecią funkcję h, aby zademonstrować, dlaczego:

Dziedzina h nie może być, ale może być zdefiniowana jako :

Te kompozycje są oznaczone

Przy kontroli hf nie jest przydatne. Prawdą jest, o ile nie określono inaczej, że obraz f nie jest znany; wiadomo tylko, że jest to podzbiór . Z tego powodu jest możliwe, że h , złożone z f , może otrzymać argument, dla którego nie ma zdefiniowanego wyjścia – liczby ujemne nie są elementami dziedziny h , czyli funkcji pierwiastka kwadratowego .

Kompozycja funkcji jest zatem użytecznym pojęciem tylko wtedy, gdy kodziedzina funkcji po prawej stronie kompozycji (nie jej obraz , który jest konsekwencją funkcji i może być nieznany na poziomie kompozycji) jest podzbiorem domeny funkcji po lewej stronie.

Kodomena wpływa na to, czy funkcja jest surjekcją , ponieważ funkcja jest surjektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej kodomena jest równa jej obrazowi. W tym przykładzie g jest sujekcją, podczas gdy f nie jest. Koddomena nie wpływa na to, czy funkcja jest wstrzyknięciem .

Drugi przykład różnicy między kodziedziną a obrazem pokazują przekształcenia liniowe między dwiema przestrzeniami wektorowymi – w szczególności wszystkie przekształcenia liniowe od siebie do siebie, które mogą być reprezentowane przez macierze 2×2 o rzeczywistych współczynnikach. Każda macierz reprezentuje mapę z domeną i kodomeną . Obraz jest jednak niepewny. Niektóre przekształcenia mogą mieć obraz równy całej kodziedzinie (w tym przypadku macierze z rangą 2 ), ale wiele nie, zamiast tego mapuje się na mniejszą podprzestrzeń (macierze z rangą 1 lub 0 ). Weźmy na przykład macierz T podaną przez

która reprezentuje transformację liniową, która odwzorowuje punkt ( x , y ) na ( x , x ) . Punkt (2, 3) nie znajduje się na obrazie T , ale nadal znajduje się w kodziedzinie, ponieważ przekształcenia liniowe od do mają wyraźne znaczenie. Podobnie jak wszystkie macierze 2×2 , T reprezentuje członka tego zbioru. Badanie różnic między obrazem a kodziedziną często może być przydatne do odkrywania właściwości danej funkcji. Na przykład można stwierdzić, że T nie ma pełnej rangi, ponieważ jej obraz jest mniejszy niż cała przeciwdomena.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Bourbaki, Mikołaj (1970). Theorie des Ensembles . Elementy matematyczne. Skoczek. Numer ISBN 9783540340348.
  • Eccles, Peter J. (1997), Wprowadzenie do rozumowania matematycznego: liczby, zbiory i funkcje , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
  • Forster, Thomas (2003), Logika, indukcja i zestawy , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
  • Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie dla matematyka pracującego (wyd. 2), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
  • Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Aksjomatyczna teoria mnogości , Sympozjum z czystej matematyki, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
  • Sharma, AK (2004), Wprowadzenie do teorii mnogości , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
  • Stewarta, Iana; Wysoki, David Orme (1977), Podstawy matematyki , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4